Problema Dirichlet

Problema Dirichlet  este un tip de problemă care apare la rezolvarea ecuațiilor cu diferențe parțiale de ordinul doi. Numit după Peter Gustav Dirichlet .

Enunțul problemei

Problema Dirichlet se pune astfel: fie ecuația

unde  este operatorul Laplace . Cu condiții la limită :

O astfel de problemă se numește problema Dirichlet internă sau problema primei valorii la limită . Condițiile în sine sunt numite condiții Dirichlet sau condiții de primă limită . Al doilea nume poate fi interpretat mai larg, denotând orice problemă de rezolvare a unei ecuații diferențiale, atunci când valoarea funcției dorite este cunoscută pe întreaga limită a regiunii. În cazul în care este necesar să se găsească valorile funcției în afara regiunii , problema se numește problema Dirichlet externă .

Teoreme înrudite

Soluție analitică

Analitic, problema Dirichlet poate fi rezolvată folosind teoria potențialului . Soluția unei ecuații omogene poate fi reprezentată ca [1] :

unde  este funcția lui Green pentru operatorul Laplace din domeniul .

Soluție numerică

Construirea unei expresii analitice pentru funcția lui Green în domenii complexe poate fi dificilă, așa că metodele numerice trebuie utilizate pentru a rezolva astfel de probleme. Fiecare metodă are propriile sale particularități de a lua în considerare primele condiții limită:

• în metoda diferențelor finite pentru nodurile de la limita regiunii, se scrie ecuația , unde  este numărul nodului corespunzător;
• în metoda elementelor finite, astfel de condiții la limită sunt numite condiții la limită principale și sunt luate în considerare în etapa de asamblare a matricei; pentru toate greutățile asociate cu granița, ecuațiile sunt înlocuite cu ecuații de forma ; apoi se efectuează mai mulți pași ai metodei Gauss astfel încât matricea rezultată să fie simetrică [2] .

Interpretare fizică

Interpretarea fizică a condițiilor Dirichlet este comportamentul cantității dorite la graniță:

• temperatura, dacă se consideră ecuația conducției căldurii ;
• câmpuri de viteză dacă se ia în considerare ecuația Stokes ;
• câmp magnetic sau electric, dacă se ia în considerare o ecuație obținută din ecuațiile lui Maxwell (atunci condițiile la limită se numesc condiții la limită magnetice sau , respectiv, electrice ).

Vezi și

• Ecuație eliptică
• Problema Neumann
• integrală Poisson
• Conversie Kelvin

Note

1. ↑ 1 2 M. M. Smirnov. Ecuații cu diferențe parțiale de ordinul doi. - Moscova: Nauka, 1964. .
2. ↑ Soloveichik Yu.G. , Royak M.E. , Persova M.G. Metoda elementelor finite pentru probleme scalare și vectoriale. - Novosibirsk: NGTU, 2007. - 896 p. - ISBN 978-5-7782-0749-9 .