A treia problemă a valorii la limită

Problema lui Robin , problema lui Newton , a treia problemă a valorii la limită, problema tipului de impedanță - un fel de problemă a valorii la limită pentru ecuațiile diferențiale . Numit după matematicianul francez Victor Robin și fizicianul britanic Isaac Newton .

Enunțul problemei

În forma sa cea mai generală, problema se pune după cum urmează: rezolvarea unei ecuații cu diferență parțială de forma

Lu=f(\mathbf {x} )

în zona

\Omega

În condiții la limită de următoarea formă:

\left.\left(au+b{\frac {\partial u}{\partial \mathbf {n} }}\right)\right|_{\partial \Omega}=g(\mathbf {x } )

O astfel de sarcină se numește a treia problemă a valorii la limită .

Interpretare fizică

Deoarece a treia graniță definește legătura dintre funcția dorită și derivata ei normală pe granița regiunii, atunci, în funcție de problema care se rezolvă, se folosesc diferite moduri de specificare și interpretare a celei de-a treia limită:

Pentru ecuația conducției căldurii, acestea sunt date sub forma - transfer de căldură conform legii Newton-Richmann [1] . $-\lambda {\frac {\partial u}{\partial \mathbf {n} }}=\beta (u-u_{\beta}(\mathbf {x} ))$
Pentru ecuațiile scalare obținute din ecuațiile lui Maxwell , , este dat într-o formă similară (dacă ecuația este relativă la intensitatea câmpului electric ) și înseamnă relația dintre câmpurile electrice și magnetice la limita regiunii. $-\mu ^{-1}{\frac {\partial E}{\partial \mathbf {n} }}=\beta (E-u_{\beta}(\mathbf {x} ))$
Pentru ecuațiile vectoriale obținute din ecuațiile lui Maxwell, cele de-a treia ecuații la graniță pot fi scrise, ținând cont de legătura , după cum urmează [2] : $\mathbf {H} =\mu ^{-1}\nabla \times \mathbf {E}$

-\mathbf {E} \times \mathbf {n} +\sigma (\mathbf {H} \times \mathbf {n} )\times \mathbf {n} =Q(\mathbf {E} \times \mathbf {n} +\sigma (\mathbf {H} \times \mathbf {n} )\times \mathbf {n} )+\mathbf {g} =0

Soluție analitică

O soluție analitică la cea de-a treia problemă a valorii la limită poate fi găsită folosind teoria potențialului .

Soluție numerică

Fiecare metodă numerică de rezolvare a ecuațiilor diferențiale are propriile caracteristici de luare în considerare a celei de-a treia limită, de exemplu:

În metoda diferențelor finite , se construiește o schemă de diferențe a formei , unde este un operator de diferență, iar ecuația rezultată este adăugată sistemului. $au_{i}+Ru_{i}=g(\mathbf {x} _{i})$ $R$
În metoda elementelor finite, cele de graniță a treia sunt naturale și sunt luate în considerare la nivelul formulării variaționale, se obțin adaosuri la matrice și în partea dreaptă [1] :

\int _{\partial \Omega {\beta \varphi _{i}(\mathbf {x})\varphi _{j}(\mathbf {x})dx)

este adăugarea la elementul --lea, --lea al matricei;

i

j

\int _{\partial \Omega}}{\beta u_{\beta}(\mathbf {x})\varphi _{i}(\mathbf {x})dx)

este adăugarea la elementul i al părții drepte.

i

Vezi și

Note

↑ 1 2 Soloveichik Yu.G. , Royak M.E. , Persova M.G. Metoda elementelor finite pentru probleme scalare și vectoriale. - Novosibirsk: NGTU, 2007. - 896 p. - ISBN 978-5-7782-0749-9 .
↑ T. Huttunen, M. Malinen, P. Monk. Rezolvarea ecuațiilor lui Maxwell folosind formularea variațională ultra slabă . - 2006. - S. 46 .

Fizică matematică

Tipuri de ecuații

Condiții de frontieră

Ecuații ale fizicii matematice

Difuzie și convecție	Ecuația căldurii Ecuația de difuzie Ecuația Mason-Weaver
Hidrodinamică	Ecuația de transfer Ecuații Navier-Stokes Ecuația lui Euler Ecuația Gromeka-Lamb Ecuația vortexului Ecuația burgerii Ecuații pentru apă puțin adâncă Ecuația Korteweg-de Vries
Electromagnetism	Ecuațiile lui Maxwell Ecuația Helmholtz Ecuația Landau-Lifshitz Ecuația Poisson ecranată
Mecanica cuantică	Ecuația Schrödinger Ecuația Heisenberg Ecuația Rarita-Schwinger Ecuația lui Hartree Ecuația lui Dirac Ecuația Klein-Gordon
Modele generale	Ecuația de continuitate ecuația de undă Ecuația Fokker-Planck Ecuația Poisson

Metode de rezolvare

Metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale

Metode grilă

Metode cu elemente finite	Metoda elementului finit metoda Galerkin Metoda Galerkin discontinuă Metoda cu elemente finite la scară multiplă Metoda multigrid
Alte Metode	Metoda diferențelor finite Metoda volumului finit metoda lui Godunov Metoda elementului de limită

Metode non-grilă

Studiul ecuațiilor

subiecte asemănătoare