Polyomino , sau polyomino ( engleză polyomino ) - forme geometrice plate formate prin conectarea mai multor pătrate unicelulare pe laturile lor. Acestea sunt poliforme ale căror segmente sunt pătrate [1] .
O piesă de poliomino poate fi privită ca un subset finit conectat al unei table de șah infinite care poate fi ocolită de o turnă [1] [3] .
Poliominoele ( n -minos) sunt denumite după numărul n de pătrate din care sunt formate:
n | Nume | n | Nume |
---|---|---|---|
unu | monomino | 6 | hexamino |
2 | domino | 7 | heptamino |
3 | tromino | opt | octamino |
patru | tetramino | 9 | nonamino sau enneomino |
5 | pentomino | zece | decamino |
Poliominoele au fost folosite în matematica de divertisment din cel puțin 1907 [4] [5] și sunt cunoscute încă din antichitate. Multe rezultate cu cifre care conțin de la 1 la 6 pătrate au fost publicate pentru prima dată în Fairy Chess Review între 1937 și 1957 sub titlul „ probleme de disecție ” . Numele „poliomino” sau „poliomino” ( ing. polyomino ) a fost inventat de Solomon Golomb [1] în 1953 și apoi popularizat de Martin Gardner [6] [7] .
În 1967 revista Science and Life a publicat o serie de articole despre pentominoe . Mai târziu, probleme legate de poliominoe și alte poliforme au fost publicate pentru un număr de ani [8] .
În funcție de dacă este permisă răsturnarea sau rotirea figurilor, se disting următoarele trei tipuri de poliomino [1] [2] :
În funcție de condițiile de conectivitate ale celulelor învecinate, se disting următoarele [1] [9] [10] :
Următorul tabel colectează date despre numărul de figuri poliomino și generalizările acestuia. Numărul de cvasi - n -minos este 1 pentru n = 1 și ∞ pentru n > 1.
n | poliominoe | pseudopoliomino | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
bilateral | unilateral | fix | bilateral | unilateral | fix | |||
toate | cu gauri | fara gauri | ||||||
A000105 | A001419 | A000104 | A000988 | A001168 | A030222 | A030233 | A006770 | |
unu | unu | 0 | unu | unu | unu | unu | unu | unu |
2 | unu | 0 | unu | unu | 2 | 2 | 2 | patru |
3 | 2 | 0 | 2 | 2 | 6 | 5 | 6 | douăzeci |
patru | 5 | 0 | 5 | 7 | 19 | 22 | 34 | 110 |
5 | 12 | 0 | 12 | optsprezece | 63 | 94 | 166 | 638 |
6 | 35 | 0 | 35 | 60 | 216 | 524 | 991 | 3832 |
7 | 108 | unu | 107 | 196 | 760 | 3031 | 5931 | 23 592 |
opt | 369 | 6 | 363 | 704 | 2725 | 18 770 | 37 196 | 147 941 |
9 | 1285 | 37 | 1248 | 2500 | 9910 | 118 133 | 235 456 | 940 982 |
zece | 4655 | 195 | 4460 | 9189 | 36 446 | 758 381 | 1 514 618 | 6 053 180 |
unsprezece | 17 073 | 979 | 16 094 | 33 896 | 135 268 | 4 915 652 | 9 826 177 | 39 299 408 |
12 | 63 600 | 4663 | 58 937 | 126 759 | 505 861 | 32 149 296 | 64 284 947 | 257 105 146 |
Poliformele sunt o generalizare a poliominoelor, ale căror celule pot fi orice poligoane sau poliedre identice. Cu alte cuvinte, o poliformă este o figură plată sau un corp spațial, constând din mai multe copii conectate ale unei forme de bază date [11] .
Poliformele plane (bidimensionale) includ poliamondele , formate din triunghiuri echilaterale; polihexuri , formate din hexagoane regulate; polyabolo , constând din triunghiuri dreptunghiulare isoscele și altele.
Exemple de poliforme spațiale (tridimensionale): policuburi, formate din cuburi tridimensionale; polironi ( ing. polyrhons ), format din rombododecaedre [12] .
Poliformele sunt generalizate și în cazul dimensiunilor superioare (de exemplu, cele formate din hipercuburi - polihipercuburi).
Ordinea poliominoului P este numărul minim de copii congruente ale lui P suficiente pentru a plia un dreptunghi. Pentru poliomino, din copiile cărora nu se poate adăuga niciun dreptunghi, ordinea nu este definită. Ordinul poliominoului P este egal cu 1 dacă și numai dacă P este dreptunghi [13] .
Dacă există cel puțin un dreptunghi care poate fi acoperit de un număr impar de copii congruente ale lui P , poliomino P se numește poliomino impar ; dacă dreptunghiul poate fi pliat doar dintr-un număr par de copii P , P se numește poliomino par .
Această terminologie a fost introdusă în 1968 de D. A. Klarner [1] [14] .
Există un set de poliominoe de ordinul 2; un exemplu este așa-numitele L - poliominoe [15] .
Probleme nerezolvate la matematică : Există un poliomino a cărui ordine este un număr impar?Poliomino de ordinul 3 nu există; o dovadă în acest sens a fost publicată în 1992 [16] . Orice poliomino ale cărui trei copii pot forma un dreptunghi este el însuși dreptunghi și are ordinul 1. Nu se știe dacă există un poliomino a cărui ordine este un număr impar mai mare decât 3 [14] .
Există poliominouri de ordinul 4 , 10 , 18 , 24 , 28 , 50 , 76 , 92 , 312 ; există o construcție care face posibilă obținerea unui poliomino de ordinul 4 s pentru orice s natural [14] .
Probleme nerezolvate la matematică : Care este cea mai mică multiplicitate impară posibilă a acoperirii unui dreptunghi cu un poliomino nedreptunghiular?Klarner a reușit să găsească un poliomino non-dreptunghiular de ordinul 2, din care 11 copii pot forma un dreptunghi [1] [14] [17] , și niciun număr impar mai mic de copii ale acestui poliomino poate acoperi dreptunghiul. Din octombrie 2015, nu se știe dacă există un poliomino nedreptunghiular ale cărui 9, 7 sau 5 copii pot forma un dreptunghi; nu se cunosc alte exemple de poliominoe cu o multiplicitate minimă impară de acoperire 11 (cu excepția celui găsit de Klarner).
Regiunea minimă ( ing. regiune minimă , superformă comună minimă ) pentru un set dat de poliomino - poliominoe de cea mai mică suprafață posibilă, care conține fiecare poliomino din setul dat [1] [14] [18] . Problema găsirii ariei minime pentru un set de douăsprezece pentominoe a fost pusă pentru prima dată de T. R. Dawson în Fairy Chess Review în 1942 [18] .
Pentru un set de 12 pentominoe, există două regiuni minime de nouă celule, reprezentând 2 din 1285 nonominoe [1] [14] [18] :
### ### ##### ##### # #
![]() | |
---|---|
În cataloagele bibliografice |
Poliforme | |
---|---|
Tipuri de poliforme | |
Poliomino după numărul de celule | |
Puzzle-uri cu policuburi | |
Sarcina de stivuire |
|
Personalități |
|
subiecte asemănătoare | |
Alte puzzle-uri și jocuri |