Produs mixt

Produsul mixt al vectorilor este produsul scalar al unui vector și produsul vectorial al vectorilor și : $({\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}})$ ${\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}}$ ${\mathbf {a}}$ ${\mathbf {b}}$ ${\mathbf {c}}$

({\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf c})={\mathbf {a}}\cdot \left({\mathbf {b}}\times {\mathbf c} \dreapta)

Se numește uneori produsul punctual triplu al vectorilor, aparent datorită faptului că rezultatul este un scalar (mai precis, un pseudoscalar ).

Sensul geometric: modulul produsului mixt este numeric egal cu volumul paralelipipedului format de vectori . ${\mathbf a},{\mathbf b},{\mathbf c}$

Proprietăți

Produsul mixt este simetric înclinat în raport cu toate argumentele sale:

({\mathbf a},{\mathbf b},{\mathbf c})=({\mathbf b},{\mathbf c},{\mathbf a})=({\mathbf c},{\mathbf a},{\mathbf b})=-({\mathbf b},{\mathbf a},{\mathbf c})=-({\mathbf c},{\mathbf b},{\mathbf a} )=-({\mathbf a},{\mathbf c},{\mathbf b});

adică, o permutare a oricăror doi factori schimbă semnul produsului. De aici rezultă că

\langle {\mathbf a},[{\mathbf b},{\mathbf c}]\rangle =\langle [{\mathbf a},{\mathbf b}],{\mathbf c}\rangle

Produsul mixt în sistemul de coordonate carteziene drept (în baza ortonormală) este egal cu determinantul matricei compuse din vectori și : $({\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}})$ ${\mathbf {a},{\mathbf {b))$ ${\mathbf {c}}$

({\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}})={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x} &b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}.

Produsul mixt din sistemul de coordonate carteziene din stânga (în bază ortonormală) este egal cu determinantul matricei compuse din vectori și luată cu semnul minus: $({\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}})$ ${\mathbf {a},{\mathbf {b))$ ${\mathbf {c}}$

({\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}})=-{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x }&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}.

În special,

Dacă oricare doi vectori sunt coliniari, atunci cu orice al treilea vector formează un produs mixt egal cu zero.
Dacă trei vectori sunt dependenți liniar (adică, coplanari, se află în același plan), atunci produsul lor mixt este zero.
Sensul geometric - Produsul mixt în valoare absolută este egal cu volumul paralelipipedului (vezi figura) format din vectorii și ; semnul depinde dacă acest triplu de vectori este dreapta sau stânga. $({\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}})$ ${\mathbf {a},{\mathbf {b))$ ${\mathbf {c}}$
Pătratul produsului mixt al vectorilor este egal cu determinantul Gram definit de ei [1] :215 .

Produsul amestecat este scris convenabil folosind simbolul Levi-Civita (tensor) :

({\mathbf a},{\mathbf b},{\mathbf c})=\sum _{{i,j,k}}\varepsilon _{{ijk}}a^{i}b^{j} c^{k}

(în ultima formulă într-o bază ortonormală, toți indicii pot fi scriși ca fiind inferioare; în acest caz, această formulă repetă formula cu un determinant destul de direct, totuși, aceasta rezultă automat într-un factor (-1) pentru bazele din stânga) .

Generalizare

În spațiul -dimensional, o generalizare firească a produsului mixt, care are semnificația unui volum orientat, este determinantul unei matrice compuse din rânduri sau coloane umplute cu coordonate vectoriale. Semnificația acestei mărimi este un volum orientat -dimensional (sunt implicate o bază standard și o metrică trivială). $n$ $n\ ori n$ $n$

Într-o bază arbitrară de dimensiune arbitrară, produsul mixt este convenabil scris folosind simbolul Levi-Civita (tensorul) dimensiunii corespunzătoare:

({\mathbf a},{\mathbf b},{\mathbf c},\ldots )=\sum _{{i,j,k,\ldots }}\varepsilon _{{ijk\ldots }}a^ {i}b^{j}c^{k}\ldots

În spațiul bidimensional, acesta este produsul pseudoscalar .

Vezi și

Note

↑ Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Algebră vectorială în exemple și probleme . - M . : Şcoala superioară , 1985. - 232 p.

Link -uri

Produsul mixt al vectorilor și proprietățile acestuia. Exemple de rezolvare a problemelor

Vectori și matrici

Vectori

Noțiuni de bază	Vector în geometrie Bază Baza ortogonala Coordonatele vectoriale Coliniaritate Ortogonalitatea Dependență liniară Spațiu coloane
Tipuri de vectori	Vector unitar Vector axial vector izotrop Normal Coliniaritate Vector zero Vector rază Vector propriu
Operații pe vectori	Produs scalar produs vectorial produs mixt Produs pseudoscalar Produs dublu cruce
Tipuri de spațiu	spațiu vectorial spatiu afin Spațiul euclidian Spațiul pseudo-euclidian Spațiu normat Spațiul Minkowski

matrici

Noțiuni de bază	Înmulțirea matricei Matrice transpusă Matricea conjugată hermitiană Matricea simetrică matrice inversă Valoare proprie Polinom caracteristic al unei matrice
Matrici speciale	Matrice de identitate Matrice zero Matricea diagonală matricea lambda
Descompuneri de matrice	descompunerea LU Descompunerea Cholesky Descompunerea QR Descompunerea LUP descompunerea unei valori singulare Descompunerea spectrală a unei matrice

Alte