Numar compus

Un număr compus este un număr natural care are alți divizori decât unul și el însuși. Fiecare număr compus este produsul a două sau mai multe numere naturale mai mari decât unu [1] . Toate numerele naturale sunt împărțite în trei categorii care nu se suprapun: prim , compus și unu [2] .

Începutul secvenței de numere compuse ( A002808 )::

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, . .

Concepte înrudite

Fiecare număr natural mai mare decât unu are cel puțin doi divizori, care se numesc triviali : unul și el însuși. Un număr este compus dacă are divizori netriviali.

Un număr natural compus se numește:

semisimplu , dacă poate fi reprezentat ca un produs a două numere prime (nu neapărat distincte);
sfenic , dacă poate fi reprezentat ca produs de trei numere prime (nu neapărat diferite);
multiplu complet dacă poate fi reprezentat ca un produs unde sunt numere naturale. O definiție echivalentă: un număr este un multiplu întreg dacă pentru oricare dintre divizorii primi numărul este și un divizor ; $a^{2}b^{3},$ $a,b$ $N$ $p$ $p^{2}$ $N$
supercomponentă , dacă are mai mulți divizori decât orice număr mai mic (primele două numere supercomponente nu sunt compuse, sunt 1 și 2).

Proprietăți

Teorema fundamentală a aritmeticii spune că orice număr compus poate fi descompus într-un produs de factori primi și într-un mod unic (până la ordinea factorilor).

Să arătăm că în seria naturală se pot găsi șiruri de numere compuse succesive de orice lungime. Fie n un număr natural arbitrar. Denota:

N=(n+1)!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\dots \cdot (n+1).

Atunci n numere consecutive conțin numai numere compuse: divizibil cu 2, divizibil cu 3 etc. $N+2,N+3,N+4\dots N+(n+1)$ $N+2$ $N+3$

Factorizarea unui număr

Pentru a determina dacă un număr natural dat este prim sau compus, trebuie să găsim divizorii săi netriviali sau să dovedim că nu există. În cazul unui număr mic , găsirea divizorilor acestuia este o sarcină simplă; pentru aceasta, puteți folosi criteriile de divizibilitate [3] sau algoritmii speciali indicați în articolele Test de simplitate și Factorizarea numerelor întregi . Găsirea divizorilor de numere mari (o problemă reală în criptografie ) poate fi o problemă care depășește capacitățile computerelor moderne. $N$ $N$

Variații și generalizări

Conceptele de număr prim și compus pot fi definite nu numai pentru numere naturale, ci și pentru alte structuri algebrice; cel mai frecvent, sunt considerate inele comutative fără divizori zero ( domenii de integritate ).

Exemplul 1. Inelul numerelor întregi conține doi divizori ai unității (elemente inversabile): și Prin urmare, toate numerele întregi, cu excepția divizorilor unității, au nu doi, ci cel puțin patru divizori banali ; de exemplu, numărul 7 are divizori.În acest sens, trebuie corectată formularea teoremei principale a aritmeticii : orice număr compus poate fi descompus într-un produs de factori primi , și într-un mod unic, până la ordinul lui factori și divizori ai unității. $+1$ $-unu.$ $1;7;-1;-7.$

Numerele întregi prime, ca și înainte, sunt cele care nu au divizori netriviali. Astfel, inelul numerelor întregi este împărțit în trei părți care nu se suprapun: numere prime, compozite și divizori ai unității.

Exemplul 2 . Inelul numerelor întregi gaussiene este format din numere complexe care sunt numere întregi obișnuite. Pentru numere de acest fel, se poate defini împărțirea după numere întregi după reguli generale. Există patru divizori de unități: $a+bi,$ $a,b$ $1;-1;i;-i.$

Primele gaussiene fac parte din numerele prime obișnuite și din „gausienii primi” (de exemplu, ). Vezi criteriul de primalitate al numărului gaussian . Un număr natural prim poate să nu fie un simplu gaussian; de exemplu, numărul 5 ca număr gaussian este compus: Teorema fundamentală a aritmeticii este formulată exact în același mod ca mai sus pentru numerele întregi [4] . $1+i$ $5=(2+i)(2-i).$

Exemplul 3 . Inelul de polinoame este format din polinoame cu coeficienți reali . Divizorii unității aici sunt constante numerice diferite de zero (considerate ca polinoame de grad zero). Analogii numerelor prime de aici vor fi toate polinoame indecompuse ( ireductibile ), adică polinoame de gradul I și acele polinoame de gradul II care nu au rădăcini reale (deoarece discriminantul lor este negativ). În consecință, toate polinoamele de grad mai mare decât al doilea, precum și polinoamele de gradul doi cu un discriminant nenegativ, acționează ca un analog al numerelor compuse. Și aici are loc teorema principală a aritmeticii și este formulată exact în același mod ca indicat mai sus pentru numerele întregi [5] . $R[x]$

Note

↑ BDT, 2004-2017 .
↑ Matematică elementară, 1976 , p. 20-21.
↑ Matematică elementară, 1976 , p. 21-22.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K. Algebra și aritmetica numerelor complexe. Un ghid pentru profesori. - M . : Uchpedgiz, 1939. - S. 147-149. — 187 p.
↑ Vinberg E. B. Algebra polinoamelor. - M . : Educaţie, 1980. - S. 122-124, 67-68. — 176 p.

Literatură

Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Matematică elementară. Repetă cursul. - Ediția a treia, stereotipă. — M .: Nauka, 1976. — 591 p.
Număr compus // Marea Enciclopedie Rusă [Resursă electronică]. - 2004-2017.

Link -uri

Liste de numere prime și compuse descompuse

Numerele după caracteristicile de divizibilitate
Informatii generale	Factorizarea numerelor întregi Divizibilitate divizor unitar Funcția divizor număr prim Teorema fundamentală a aritmeticii Număr aritmetic
Forme de factorizare	număr prim Numar compus Semiprim număr dreptunghiular Numărul sfenic Număr fără pătrat Multiplu complet Gradul perfect numărul lui Ahile număr neted Număr obișnuit număr grosier număr neobișnuit
Cu divizori limitați	număr perfect Cifre ușor insuficiente Numere ușor redundante Număr multiperfect Numerele hemiperfecte număr hiperperfect număr super perfect prim unitar număr semiperfect număr pararitmic numărul Erdős-Nicolas
Numerele cu mulți divizori	Numere în exces Numerele în exces primitive Numere extrem de redundante Numere super redundante Numere extrem de redundante număr supercompus Un număr foarte supercompus număr ciudat
Legat de secvențele alicote	număr sacru numere amicale numere publice Numere aproape prietenoase
Alte	Nu sunt suficiente numere numere de prieteni numere sublimate Numerele de minereu număr umil Cifre egale număr extravagant