Deviație standard

În teoria probabilităților și statistică , abaterea medie pătratică (rădăcină medie pătrată) este cel mai comun indicator al dispersării valorilor unei variabile aleatoare în raport cu așteptarea sa matematică (un analog al mediei aritmetice cu un număr infinit de rezultate). De obicei înseamnă rădăcina pătrată a varianței unei variabile aleatoare, dar uneori poate însemna una sau alta variantă de estimare a acestei valori.

În literatură, este de obicei notat cu litera greacă (sigma). În statistică sunt acceptate două denumiri: - pentru populația generală și sd (din engleză standard deviation - standard deviation ) - pentru eșantion . $\sigma$ $\sigma$

Termenul

Există, de asemenea, sinonime pentru expresia deviație standard :

abaterea standard ;
abaterea standard ;
abatere pătrată ;
abaterea standard ;
spread standard ;
incertitudine standard .

În sine, termenul pătrat mediu înseamnă media puterii 2 (vezi mai jos ).

Informații de bază

Abaterea standard este definită ca rădăcina pătrată a varianței unei variabile aleatoare : . $\sigma ={\sqrt {D[X]}}$

Abaterea standard este măsurată în unități ale variabilei aleatoare în sine și este utilizată la calcularea erorii standard a mediei aritmetice , la construirea intervalelor de încredere , la testarea statistică a ipotezelor , la măsurarea unei relații liniare între variabile aleatoare.

În practică, când în loc de o distribuție exactă a unei variabile aleatoare , este disponibil doar un eșantion, se estimează abaterea standard, precum și așteptarea matematică ( varianța eșantionului ), iar acest lucru se poate face în moduri diferite. Termenii „abatere standard” și „abatere standard” sunt de obicei aplicați la rădăcina pătrată a varianței unei variabile aleatoare (definită în termenii distribuției sale adevărate), dar uneori la diferite estimări ale acestei cantități bazate pe un eșantion.

În special, dacă este elementul i - al eșantionului, este dimensiunea eșantionului, este media aritmetică a eșantionului ( media eșantionului este o estimare a așteptării matematice a unei valori): $x_{i}$ $n$ ${\bara {x}}$

{\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}(x_ {1}+\ldots +x_{n}),

atunci cele două modalităţi principale de estimare a abaterii standard sunt scrise după cum urmează.

O estimare a abaterii standard bazată pe o estimare părtinitoare a varianței (uneori denumită pur și simplu varianța eșantionului [1] ):

S={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^ {2}}}.

Este literalmente rădăcina pătrată medie a diferenței dintre valorile măsurate și medie.

O estimare a abaterii standard bazată pe o estimare imparțială a varianței (varianța eșantionului corectată [1] , în GOST R 8.736-2011 - „abaterea standard”):

S_{0}={\sqrt {{\frac {n}{n-1}}S^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}.

În sine, totuși, nu este o estimare imparțială a rădăcinii pătrate a varianței, adică luarea rădăcinii pătrate „strica” imparțialitatea. $S_{0}$

Ambele estimări sunt consistente [1] .

În plus, abaterea standard este așteptarea matematică a pătratului diferenței dintre valoarea adevărată a unei variabile aleatoare și estimarea acesteia pentru o metodă de estimare [2] . Dacă estimarea este imparțială (media eșantionului este doar o estimare imparțială pentru o variabilă aleatoare), atunci această valoare este egală cu varianța acestei estimări.

Abaterea standard a mediei

Media eșantionului este, de asemenea, o variabilă aleatoare cu o abatere standard estimată [2]

$S_{\bar {x}}=S_{0}/{\sqrt {n}}={\sqrt {{\frac {1}{n(n-1)}}\sum _{i= 1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}.$

Regula trei sigma

Regula celor trei sigma ( ) spune: probabilitatea ca orice variabilă aleatoare să se abate de la valoarea sa medie cu mai puțin de , - . $3\sigma$ $3\sigma$ $P(|\xi -E\xi \mid <3\sigma )\geq {\frac {8}{9)}$

Aproape toate valorile unei variabile aleatoare distribuite normal se află în intervalul , unde este așteptarea matematică a variabilei aleatoare. Mai strict, aproximativ cu o probabilitate de 0,9973, valoarea unei variabile aleatoare distribuite normal se află în intervalul specificat. $\left(\mu -3\sigma ;\mu +3\sigma \right)$ $\mu =E\xi$

Interpretarea valorii abaterii standard

O valoare mai mare a abaterii standard indică o răspândire mai mare a valorilor în setul prezentat cu media setului; o valoare mai mică, respectiv, indică faptul că valorile din set sunt grupate în jurul valorii medii.

De exemplu, avem trei seturi de numere: {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} și {6, 6, 8, 8}. Toate cele trei seturi au valori medii de 7 și, respectiv, abateri standard de 7, 5 și, respectiv, 1. Ultimul set are o abatere standard mică, deoarece valorile din set sunt grupate în jurul mediei; primul set are cea mai mare valoare a abaterii standard - valorile din cadrul setului diferă puternic de valoarea medie.

Într-un sens general, abaterea standard poate fi considerată o măsură a incertitudinii. De exemplu, în fizică, abaterea standard este utilizată pentru a determina eroarea unei serii de măsurători succesive a unei cantități. Această valoare este foarte importantă pentru determinarea plauzibilității fenomenului studiat în comparație cu valoarea prezisă de teorie: dacă valoarea medie a măsurătorilor este foarte diferită de valorile prezise de teorie (deviație standard mare), atunci valorile obținute sau metoda de obținere a acestora trebuie reverificate.

Aplicație practică

În practică, abaterea standard vă permite să estimați cât de mult valorile dintr-un set pot diferi de valoarea medie.

Economie și finanțe

Abaterea standard a randamentului portofoliului este identificată cu riscul portofoliului. $\sigma ={\sqrt {D[X]}}$

În analiza tehnică , abaterea standard este utilizată pentru a construi benzi Bollinger , pentru a calcula volatilitatea .

Evaluarea riscului și critica

Abaterea standard este utilizată pe scară largă în sectorul financiar ca criteriu de evaluare a riscului investițional . Potrivit economistului american Nassim Taleb , acest lucru nu ar trebui făcut. Deci, conform teoriei, aproximativ două treimi din modificări ar trebui să se încadreze în anumite limite (abateri standard de -1 și +1) și că fluctuațiile peste șapte abateri standard sunt practic imposibile. Cu toate acestea, în viața reală, potrivit lui Taleb, totul este diferit - salturile în indicatorii individuali pot depăși 10, 20 și uneori 30 de abateri standard. Taleb consideră că managerii de risc ar trebui să evite utilizarea instrumentelor și metodelor de abatere standard, cum ar fi modelele de regresie, coeficientul de determinare (R-pătrat) și factorii beta. În plus, potrivit lui Taleb, abaterea standard este prea complicată pentru a înțelege metoda. El crede că oricine încearcă să evalueze riscul folosind un singur indicator este sortit eșecului [3] .

Clima

Să presupunem că există două orașe cu aceeași temperatură maximă medie zilnică, dar unul este situat pe coastă, iar celălalt este în interior. Se știe că orașele de coastă au multe temperaturi maxime zilnice mai mici decât orașele din interior. Prin urmare, abaterea standard a temperaturilor maxime zilnice în orașul de coastă va fi mai mică decât în al doilea oraș, în ciuda faptului că au aceeași valoare medie a acestei valori, ceea ce înseamnă, în practică, că probabilitatea ca temperatura maximă a aerului de fiecare zi anume a anului va fi mai puternic diferit de valoarea medie, mai mare pentru un oras situat in interiorul continentului.

Sport

Să presupunem că există mai multe echipe de fotbal care sunt clasate în funcție de un set de parametri, de exemplu, numărul de goluri marcate și primite, șanse de gol etc. Cel mai probabil, cea mai bună echipă din această grupă va avea cele mai bune valori. în mai mulți parametri. Cu cât abaterea standard a echipei pentru fiecare dintre parametrii prezentați este mai mică, cu atât rezultatul echipei este mai previzibil, astfel de echipe sunt echilibrate. Pe de altă parte, o echipă cu o abatere standard mare prezice cu greu rezultatul, care la rândul său se explică printr-un dezechilibru, de exemplu, o apărare puternică, dar un atac slab.

Utilizarea abaterii standard a parametrilor echipei permite să se prezică într-o oarecare măsură rezultatul meciului dintre două echipe, evaluând punctele forte și punctele slabe ale echipelor și, prin urmare, metodele de luptă alese.

Exemplu

Să presupunem că grupul de interes pentru noi ( populația generală ) este o clasă de opt elevi care sunt notați pe un sistem de 10 puncte. Deoarece estimăm întregul grup și nu un eșantion al acestuia, putem folosi abaterea standard pe baza estimării părtinitoare a varianței. Pentru a face acest lucru, luăm rădăcina pătrată a mediei aritmetice a pătratelor abaterilor valorilor de la valoarea lor medie.

Fiți notele elevilor din clasă după cum urmează:

2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9.

Atunci scorul mediu este:

\mu ={\frac {2+4+4+4+5+5+7+9}{8}}=5

Să calculăm abaterile pătrate ale notelor elevilor față de nota medie:

{\begin{array}{lll}(2-5)^{2}=(-3)^{2}=9&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\ \(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}= (-1)^{2}=1&&(7-5)^{2}=2^{2}=4\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&( 9-5)^{2}=4^{2}=16\\\end{array}}

Media aritmetică a acestor valori se numește varianță :

\sigma ^{2}={\frac {9+1+1+1+0+0+4+16}{8}}=4

Abaterea standard este egală cu rădăcina pătrată a varianței:

\sigma ={\sqrt {4}}=2

Această formulă este valabilă numai dacă aceste opt valori sunt populația. Dacă aceste date ar fi un eșantion aleatoriu dintr-o populație mare (de exemplu, notele a opt elevi selectați aleatoriu dintr-un oraș mare), atunci în loc de n = 8, numitorul formulei pentru calcularea varianței ar trebui pus n − 1 = 7:

\sigma ^{2}={\frac {9+1+1+1+0+0+4+16}{7}}\aprox 4{,}57

iar abaterea standard ar fi:

\sigma ={\sqrt {4{,}57}}\aprox 2{,}14

Acest rezultat se numește abatere standard pe baza estimării nepărtinitoare a varianței. Împărțirea cu n − 1 în loc de n oferă o estimare imparțială a varianței pentru populații mari.

Vezi și

Note

↑ 1 2 3 Ivchenko G. I., Medvedev Yu. I. Introducere în statistica matematică. - M . : Editura LKI, 2010. - §2.2. Momente selectate: teoria exactă și asimptotică. - ISBN 978-5-382-01013-7 .
↑ 1 2 C. Patrignani et al. (Grupul de date despre particule). 39 STATISTICA . — În: Review of Particle Physics // Chin. Fiz. C. - 2016. - Vol. 40. - P. 100001. - doi : 10.1088/1674-1137/40/10/100001 .
↑ Taleb, Goldstein, Spitsnagel, 2022 , p. 46.

Literatură

Borovikov V. STATISTICA. Arta analizei datelor computerizate: Pentru profesioniști / V. Borovikov. - Sankt Petersburg. : Peter, 2003. - 688 p. - ISBN 5-272-00078-1 . .
Nassim Taleb, Daniel Goldstein, Mark Spitznagel. Six CEO Mistakes in Risk Management // Risk Management (Harvard Business Review Series: Top 10 Articles) = On Managing Risk / Team of Authors. - M . : Editura Alpina , 2022. - S. 41-50. — 206 p. - ISBN 978-5-9614-8186-0 .

Dicționare și enciclopedii	mare danez Mare catalană Rusă mare Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	GND : 4767332-1 J9U : 987007531597405171 LCCN : sh85127303

Rău
Matematica	Puterea medie ( ponderată ) medie armonică ponderat medie geometrică ponderat In medie ponderat rădăcină medie pătrată Cubic mediu medie mobilă Media aritmetică-geometrică Funcție medie Kolmogorov înseamnă
Geometrie	centru geometric Barycenter
Teoria probabilității și statistica matematică	Winsorized înseamnă eșantion mediu Valorea estimata Median Modă deviație standard Medie trunchiată Așteptarea condiționată
Tehnologia de informație	Medoid metoda k-mediană
Teoreme	Prima teoremă medie A doua teoremă medie Inegalitatea cu privire la media aritmetică, geometrică și armonică
Alte	Valorile centrului de distribuție