O ecuație diferențială este o ecuație care, pe lângă o funcție , conține derivatele sale . Ordinea derivatelor incluse în ecuație poate fi diferită (formal, nu este limitată de nimic). Derivatele, funcțiile, variabilele independente și parametrii pot fi incluse în ecuație în diferite combinații sau absente cu totul, cu excepția a cel puțin unei derivate. Nicio ecuație care conține derivate ale unei funcții necunoscute nu este diferențială. De exemplu, nu este o ecuație diferențială [1] .
Spre deosebire de ecuațiile algebrice , în urma cărora se caută un număr (mai multe numere), la rezolvarea ecuațiilor diferențiale se caută o funcție (familie de funcții).
O ecuație diferențială de ordin mai mare decât prima poate fi transformată într- un sistem de ecuații de ordinul întâi în care numărul de ecuații este egal cu ordinea ecuației diferențiale inițiale.
Calculatoarele moderne de mare viteză oferă în mod eficient o soluție numerică a ecuațiilor diferențiale obișnuite, fără a necesita soluția acesteia într-o formă analitică. Acest lucru permite unor cercetători să susțină că soluția problemei a fost obținută dacă a fost posibil să o reducă la soluția unei ecuații diferențiale obișnuite .
O generalizare a conceptului de ecuație diferențială în cazul unui set infinit de variabile este o ecuație în derivate funcționale .
Ordinea unei ecuații diferențiale este ordinul cel mai înalt al derivatelor sale.
Dacă o ecuație diferențială este un polinom în raport cu cea mai mare derivată, atunci gradul acestui polinom se numește gradul ecuației diferențiale . Deci, de exemplu, ecuațiaeste o ecuație de ordinul doi, gradul al patrulea[2].
O soluție ( integrală ) a unei ecuații diferențiale de ordin este o funcție care are derivate de până la ordin inclusiv pe un anumit interval și satisface această ecuație. Procesul de rezolvare a unei ecuații diferențiale se numește integrare . Problema integrării unei ecuații diferențiale se consideră rezolvată dacă găsirea funcției necunoscute poate fi adusă la o cuadratură (adică la forma , unde este o funcție elementară), indiferent dacă integrala rezultată este exprimată în forma finală în termeni de funcţii cunoscute sau nu.
Toate ecuațiile diferențiale pot fi împărțite în ecuații diferențiale obișnuite (ODE), care includ numai funcții (și derivatele lor) ale unui argument și ecuații diferențiale parțiale (PDE ), în care funcțiile de intrare depind de multe variabile. Există, de asemenea, ecuații diferențiale stocastice (SDE) care implică procese stocastice .
În funcție de combinațiile de derivate, funcții, variabile independente, ecuațiile diferențiale se împart în liniare și neliniare, cu coeficienți constanți sau variabili, omogene sau neomogene. Datorită importanței aplicațiilor, ecuațiile cu diferențe parțiale cvasiliniare (liniare în raport cu derivatele superioare) sunt evidențiate într-o clasă separată [3] .
Cea mai importantă întrebare pentru ecuațiile diferențiale este existența și unicitatea soluțiilor lor. Rezolvarea acestei întrebări este dată de teoremele de existență și unicitate, care indică condițiile necesare și suficiente pentru aceasta. Pentru ecuațiile diferențiale obișnuite astfel de condiții au fost formulate de Rudolf Lipschitz (1864). Pentru ecuațiile cu diferențe parțiale, teorema corespunzătoare a fost demonstrată de Sophia Kovalevskaya (1874).
Soluțiile ecuațiilor diferențiale sunt împărțite în soluții generale și soluții particulare. Soluțiile generale includ constante nedefinite, iar pentru ecuațiile diferențiale parțiale, funcții arbitrare ale variabilelor independente care pot fi rafinate din condiții de integrare suplimentare (condiții inițiale pentru ecuațiile diferențiale obișnuite, condiții inițiale și la limită pentru ecuațiile diferențiale parțiale). După determinarea formei funcțiilor constante și nedefinite indicate, soluțiile devin particulare.
Căutarea de soluții la ecuații diferențiale obișnuite a condus la stabilirea unei clase de funcții speciale - funcții care sunt adesea întâlnite în aplicații și nu pot fi exprimate în termeni de funcții elementare cunoscute. Proprietățile lor au fost studiate în detaliu, au fost compilate tabele de valori, au fost determinate relații reciproce și așa mai departe.
Dezvoltarea teoriei ecuațiilor diferențiale a făcut posibilă într-o serie de cazuri renunțarea la cerința de continuitate a funcțiilor studiate și introducerea soluțiilor generalizate ale ecuațiilor diferențiale.
Inițial, ecuațiile diferențiale au apărut din problemele mecanicii , în care se cerea să se determine coordonatele corpurilor , vitezele și accelerațiile acestora , considerate ca funcții ale timpului sub diferite influențe. Unele dintre problemele geometrice luate în considerare la acel moment au condus și la ecuații diferențiale.
La baza teoriei ecuațiilor diferențiale a fost calculul diferențial creat de Leibniz și Newton (1642-1727). Termenul „ecuație diferențială” în sine a fost propus în 1676 de Leibniz.
Din numărul imens de lucrări ale secolului al XVIII-lea despre ecuații diferențiale se remarcă lucrările lui Euler (1707-1783) și Lagrange (1736-1813). În aceste lucrări a fost dezvoltată mai întâi teoria oscilațiilor mici și, în consecință, teoria sistemelor liniare de ecuații diferențiale; pe parcurs, au apărut conceptele de bază ale algebrei liniare (valori proprii și vectori în cazul n - dimensional). După Newton , Laplace și Lagrange, și mai târziu Gauss (1777-1855), au dezvoltat și metodele teoriei perturbațiilor.
Când s-a dovedit imposibilitatea de rezolvare a ecuațiilor algebrice în radicali, Joseph Liouville (1809-1882) a construit o teorie similară pentru ecuațiile diferențiale, stabilind imposibilitatea rezolvării unui număr de ecuații (în special, a celor clasice precum ecuațiile liniare de ordinul doi) în funcţii elementare şi cuadratura. Mai târziu, Sophus Lie (1842-1899), analizând problema integrării ecuațiilor în cuadraturi, a ajuns la necesitatea studierii în detaliu a grupurilor de difeomorfisme (numite mai târziu grupuri Lie ) - așa a apărut una dintre cele mai fructuoase domenii ale matematicii moderne. în teoria ecuațiilor diferențiale, a cărei dezvoltare ulterioară a fost strâns legată de întrebări complet diferite (algebrele Lie au fost luate în considerare chiar mai devreme de Simeon-Denis Poisson (1781-1840) și, mai ales, de Carl Gustav Jacobi (1804-1851) ).
O nouă etapă în dezvoltarea teoriei ecuațiilor diferențiale începe cu lucrarea lui Henri Poincare (1854-1912), „teoria calitativă a ecuațiilor diferențiale” pe care a creat-o, împreună cu teoria funcțiilor variabilelor complexe, a stat la baza topologie modernă . Teoria calitativă a ecuațiilor diferențiale sau, așa cum se numește acum mai frecvent, teoria sistemelor dinamice , se dezvoltă acum activ și are aplicații importante în știința naturii.
Ecuațiile diferențiale ordinare (ODE) sunt ecuații care depind de o variabilă independentă; arata ca
sauunde este o funcție necunoscută (posibil o funcție vectorială ; în acest caz, se vorbește adesea de un sistem de ecuații diferențiale), în funcție de variabila independentă prim înseamnă diferențiere față de Numărul se numește ordinea ecuației diferențiale. Cele mai importante în practică sunt ecuațiile diferențiale de ordinul întâi și al doilea.
Cele mai simple ecuații diferențiale de ordinul întâi sunt o clasă de ecuații diferențiale de ordinul întâi care sunt cel mai ușor de rezolvat și studiat. Include ecuații în diferențiale totale , ecuații cu variabile separabile, ecuații omogene de ordinul întâi și ecuații liniare de ordinul întâi. Toate aceste ecuații pot fi integrate în forma finală.
Punctul de plecare al prezentării va fi o ecuație diferențială de ordinul întâi, scrisă în așa-numita. forma simetrica:
unde funcţiile şi sunt definite şi continue într-un anumit domeniu .
Ecuațiile cu diferențe parțiale (PDE) sunt ecuații care conțin funcții necunoscute ale mai multor variabile și derivatele lor parțiale . Forma generală a unor astfel de ecuații poate fi reprezentată ca:
unde sunt variabile independente și este o funcție a acestor variabile. Ordinea ecuațiilor diferențiale parțiale poate fi determinată în același mod ca și pentru ecuațiile diferențiale obișnuite. O altă clasificare importantă a ecuațiilor cu diferențe parțiale este împărțirea lor în ecuații de tipuri eliptice, parabolice și hiperbolice, în special pentru ecuațiile de ordinul doi.
Atât ecuațiile diferențiale obișnuite, cât și ecuațiile diferențiale parțiale pot fi împărțite în liniare și neliniare . O ecuație diferențială este liniară dacă funcția necunoscută și derivatele ei intră în ecuație doar la prima putere (și nu se înmulțesc între ele). Pentru astfel de ecuații, soluțiile formează un subspațiu afin al spațiului funcțiilor. Teoria ecuațiilor diferențiale liniare a fost dezvoltată mult mai profund decât teoria ecuațiilor neliniare. Forma generală a unei ecuații diferențiale liniare de ordinul al n -lea :
unde p i ( x ) sunt funcții cunoscute ale variabilei independente, numite coeficienți ai ecuației. Funcția r ( x ) din partea dreaptă se numește interceptare (singurul termen care nu depinde de funcția necunoscută). O clasă particulară importantă de ecuații liniare sunt ecuațiile diferențiale liniare cu coeficienți constanți .
O subclasă de ecuații liniare sunt ecuații diferențiale omogene - ecuații care nu conțin un termen liber: r ( x ) = 0 . Pentru ecuațiile diferențiale omogene, principiul suprapunerii este valabil : o combinație liniară de soluții parțiale ale unei astfel de ecuații va fi, de asemenea, soluția ei. Toate celelalte ecuații diferențiale liniare sunt numite ecuații diferențiale neomogene .
Ecuațiile diferențiale neliniare în cazul general nu au metode de rezolvare dezvoltate, cu excepția unor clase particulare. În unele cazuri (cu utilizarea anumitor aproximări) acestea pot fi reduse la unele liniare. De exemplu, ecuația neliniară a unui pendul matematic în cazul unor amplitudini mici, când sin y ≈ y , poate fi considerată ca o ecuație liniară a unui oscilator armonic
În următorul grup de exemple, funcția necunoscută u depinde de două variabile x și t sau x și y .
![]() |
| |||
---|---|---|---|---|
|
Ramuri ale matematicii | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Portalul „Știință” | ||||||||||
Bazele matematicii teoria multimilor logica matematica algebra logicii | ||||||||||
Teoria numerelor ( aritmetică ) | ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||
|
Calcul diferenţial | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Principal | |||||||
vederi private | |||||||
Operatori diferențiali ( în diferite coordonate ) |
| ||||||
subiecte asemănătoare |
ecuațiilor diferențiale | Metode de rezolvare a|||||
---|---|---|---|---|---|
Metode grilă |
| ||||
Metode non-grilă |