Simplex

Un tetraedru simplex sau n - dimensional (din latinescul simplex „simplu”) este o figură geometrică , care este o generalizare n - dimensională a unui triunghi .

Definiție

Un simplex (mai precis, un n -simplex , unde numărul n se numește dimensiunea simplexului ) este corpul convex de n  + 1 puncte dintr- un spațiu afin (de dimensiunea n sau mai mare) care se presupune că sunt afine independente (adică nu se află într-un subspațiu de dimensiune n  - 1). Aceste puncte sunt numite vârfuri ale simplexului [1] [2] .

Un simplex poate fi caracterizat ca mulțimea tuturor combinațiilor convexe posibile ale vârfurilor sale : $A_{i}$

\Delta =\left\{\sum _{i=0}^{n}t_{i}A_{i}:\left(\sum _{i=0}^{n}t_{i} =1\right)\wedge (\forall i\;t_{i}\geqslant 0)\right\}.

Definiții înrudite

Un simplex deschis este un set de combinații baricentrice posibile ale vârfurilor sale cu coeficienți pozitivi (în acest caz, un simplex cu aceleași vârfuri care satisface definiția din secțiunea anterioară este numit și simplex închis ; în conformitate cu terminologia generală ). topologie , un simplex închis este închiderea simplexului deschis corespunzător, iar acest un simplex deschis este un nucleu deschis al unui simplex închis) [1] [3] .
Scheletul unui simplex este mulțimea tuturor vârfurilor sale [4] .
Muchiile unui simplex sunt segmentele care leagă vârfurile acestuia [5] .
Fețele de dimensiunea s ale unui simplex sunt numite simplexuri s -dimensionale, ale căror schelete sunt submulțimi ale scheletului simplexului original [6] .
Se spune că un simplex este orientat dacă miezul său este o mulțime bine ordonată ; se presupune că ordinele care diferă unele de altele printr -o permutare uniformă a vârfurilor definesc aceeași orientare (un 0-simplex orientat este un punct căruia i se atribuie un semn: „plus” sau „minus”) [6] [7 ]. ] .
Un simplex aflat în spațiul euclidian se numește regulat dacă toate muchiile sale au aceeași lungime [8] .

Simplex standard

Standardul n - simplex este o submulțime a spațiului aritmetic , definit ca [9] $\mathbb {R} ^{n+1}$

\Delta ^{n}=\left\{(t_{0},\dots, t_{n}):\left(\sum _{i=0}^{n}t_{i}=1 \right)\wedge (\forall i\;t_{i}\geqslant 0)\right\}.

Vârfurile sale sunt puncte [9]

e 0 = (1, 0, …, 0), e 1 = (0, 1, …, 0), … e n = (0, 0, …, 1).

Există o mapare canonică unu-la-unu de la un standard n - simplex la orice alt n - simplex Δ cu coordonate de vârf : $(v_{0},v_{1},\dots,v_{n})$

(t_{0},\dots,t_{n})\mapsto \sum _{i}t_{i}v_{i}.

Valorile pentru un punct dat al simplexului Δ se numesc coordonatele sale baricentrice [3] . $t_{i}$

Proprietăți

Un simplex n -dimensional are vârfuri, oricare dintre ele formează o față k -dimensională. $n+1$ $k+1$
- În special, numărul de fețe k -dimensionale într-un n - simplex este egal cu coeficientul binomial ${\tbinom {n+1}{k+1)).$
- În special, numărul de fețe de cea mai mare dimensiune coincide cu numărul de vârfuri și este egal cu . $n+1$
Volumul orientat al unui n - simplex într-un spațiu euclidian n - dimensional poate fi determinat prin formula $V={\frac {1}{n!}}\det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{0},\dots ,v_{n}-v_{0 }).$
- Determinantul Cayley-Menger vă permite să calculați volumul unui simplex, cunoscând lungimile marginilor sale: $V^{2}={\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}(n!)^{2}}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&\dots &1 \\1&0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&\dots &d_{0n}^{2}\\1&d_{10}^{2}&0&d_{12}^{2}&\dots &d_{1n}^{2}\\1&d_{20}^{2}&d_{21}^{2}&0&\dots &d_{2n}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&d_{n0}^{2}&d_{n1}^{2}&d_{n2}^{2}&\dots &0\\\end{vmatrix}},$

unde este distanța dintre vârfurile i -lea și j -lea, n este dimensiunea spațiului . Această formulă este o generalizare a formulei lui Heron pentru triunghiuri.

d_{ij}=|v_{i}-v_{j}|

Volumul unui n -simplex obișnuit cu latura unitară este . ${\frac {\sqrt {n+1}}{n!\cdot 2^{n/2}}}$

Raza sferei n -dimensionale descrise satisface relația $R$ $(R\cdot V)^{2}=T,$

unde este volumul simplexului și

V

T={\frac {(-1)^{n}}{2^{n+1}{(n!)}^{2}}}{\begin{vmatrix}0&d_{01}^{ 2}&d_{02}^{2}&\dots &d_{0n}^{2}\\d_{10}^{2}&0&d_{12}^{2}&\dots &d_{1n}^{2} \\d_{20}^{2}&d_{21}^{2}&\dots &d_{2n}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\d_{n0 }^{2}&d_{n1}^{2}&d_{n2}^{2}&\puncte &0\\\end{vmatrix}}.

Clădire

Dacă dimensiunea unui spațiu este n , atunci un hiperplan poate fi desenat prin oricare din punctele sale și există seturi de n +  1 puncte prin care hiperplanul nu poate fi trasat. Astfel, n  + 1 este numărul minim de astfel de puncte din spațiul n - dimensional care nu se află în același hiperplan; aceste puncte pot servi ca vârfuri ale unui poliedru n - dimensional [10] .

Cel mai simplu poliedru n - dimensional cu n  + 1 vârfuri se numește simplex ( este acceptat și numele de „ tetraedru n - dimensional ”). În spațiile de dimensiuni inferioare, această definiție corespunde următoarelor figuri [11] :

0-simplex ( punct ) — 1 vârf;
1-simplex ( segment ) — 2 vârfuri;
2-simplex ( triunghi ) - 3 vârfuri;
3-simplex ( tetraedru ) - 4 vârfuri.

Toate aceste cifre au trei proprietăți comune.

Conform definiției, numărul de vârfuri pentru fiecare figură este cu unul mai mult decât dimensiunea spațiului.
Există o regulă generală pentru transformarea simplexurilor de dimensiuni inferioare în simplexuri de dimensiuni superioare. Constă în faptul că dintr-un punct al simplexului se desenează o rază care nu se află în învelișul afin al acestui simplex, iar pe această rază se alege un nou vârf, care este legat prin muchii de toate vârfurile originalului. simplex.
După cum rezultă din procedura descrisă în paragraful 2, orice vârf al simplexului este conectat prin muchii la toate celelalte vârfuri.

Sfera descrisă

O n - sferă poate fi descrisă în jurul oricărui n - simplex din spațiul euclidian .

Dovada

Pentru un 1-simplex această afirmație este evidentă. 1-sferă descrisă va fi la două puncte echidistante de centrul segmentului, coincizând cu capetele segmentului, iar raza sa va fi R = a /2. Să mai adăugăm un punct la 1-simplex și să încercăm să descriem o 2-sferă în jurul lor.

Construim o sferă de 2 s 0 cu raza a /2 în așa fel încât segmentul AB să fie diametrul său . Dacă punctul C este în afara cercului s 0 , atunci prin creșterea razei cercului și deplasarea acestuia către punctul C , vă puteți asigura că toate cele trei puncte sunt pe cerc. Dacă punctul C se află în interiorul cercului s 0 , atunci puteți potrivi cercul sub acest punct prin creșterea razei sale și deplasarea în direcția opusă punctului C. După cum se poate observa din figură, acest lucru se poate face în orice caz când punctul C nu se află pe aceeași linie cu punctele A și B. Nici locația asimetrică a punctului C față de segmentul AB nu este o piedică .

Având în vedere cazul general, să presupunem că există o ( n  − 1)-sferă S n −1 de rază r circumscrisă în jurul unei figuri ( n −1)-dimensionale. Plasați centrul sferei la originea coordonatelor. Ecuația sferei va arăta ca

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\dots +x_{n-1}^{2}=r^{2}. \qquad(1)

Să construim o n -sferă centrată în punctul (0, 0, 0, ... 0, h S ) și raza R , și

R^{2}=r^{2}+h_{S}^{2}.

Ecuația acestei sfere

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\dots +x_{n-1}^{2}+(x_{n}- h_{S})^{2}=r^{2}+h_{S}^{2},

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\dots +x_{n-1}^{2}=r^{2}- x_{n}^{2}+2x_{n}h_{S}.\qquad (2)

Înlocuind x n = 0 în ecuația (2), obținem ecuația (1). Astfel, pentru orice h S , sfera S n −1 este o submulțime a sferei S n , și anume, secțiunea ei de către planul x n = 0.

Să presupunem că punctul C are coordonate ( x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n ). Să transformăm ecuația (2) în forma

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\dots +x_{n-1}^{2}+x_{n}^{ 2}=r^{2}+2x_{n}h_{S}

și înlocuiți coordonatele punctului C în el :

X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}+\dots +X_{n-1}^{2}+X_{n}^{ 2}=r^{2}+2X_{n}h_{S}.

Expresia din partea stângă este pătratul distanței RC de la origine la punctul C , ceea ce ne permite să aducem ultima ecuație la forma

R_{C}^{2}=r^{2}+2X_{n}h_{S},

de unde putem exprima parametrul h S :

h_{S}={\frac {R_{C}^{2}-r^{2}}{2X_{n}}}.

În mod evident, h S există pentru orice R C , X n și r , cu excepția X n = 0. Aceasta înseamnă că dacă punctul С nu se află în planul sferei S n −1 , se poate găsi întotdeauna un parametru h S astfel încât pe sfera S n cu centru (0, 0, 0, ..., h S ) se vor afla atât sfera S n −1 cât și punctul C . Astfel, o n -sferă poate fi descrisă în jurul oricăror n  + 1 puncte dacă n dintre aceste puncte se află pe aceeași ( n  - 1) - sferă, iar ultimul punct nu se află cu ele în aceeași ( n  - 1) - avion.

Argumentând prin inducție , se poate argumenta că o n -sferă poate fi descrisă în jurul oricăror n  + 1 puncte, atâta timp cât acestea nu se află în același ( n  - 1)-plan.

Numărul de fețe ale unui simplex

Un simplex are n  + 1 vârfuri, fiecare dintre acestea fiind conectat prin muchii la toate celelalte vârfuri.

Deoarece toate vârfurile unui simplex sunt interconectate, orice submulțime a vârfurilor sale are aceeași proprietate. Aceasta înseamnă că orice submulțime de L  + 1 vârfuri ale unui simplex își definește fața L -dimensională, iar această față este ea însăși un L -simplex. Atunci pentru un simplex numărul de fețe L -dimensionale este egal cu numărul de moduri de a alege L  + 1 vârf din mulțimea totală de n  + 1 vârfuri.

Notăm prin simbolul K ( L , n ) numărul de fețe L -dimensionale dintr-un n - politop; apoi pentru n - simplex

K(L,n)=C_{n+1}^{L+1},

unde este numărul de combinații de la n la k . $C_{n}^{k)$

În special, numărul de fețe de cea mai mare dimensiune este egal cu numărul de vârfuri și este egal cu n  + 1:

K(0,n)=K(n-1,n)=n+1.

Relații în simplexul obișnuit

Pentru un simplex n -dimensional obișnuit notăm:

$A$ - Lungime laterală;
$H_n$ - inaltimea;
$V_{n}$ - volum;
$R_n$ este raza sferei circumscrise;
$r_{n}$ este raza sferei înscrise;
$\alpha_{n}$ - unghi diedru .

Apoi

$H_{n}=a{\sqrt {\frac {n+1}{2n}}}=R_{n}{\frac {n+1}{n}}$
$V_{n}={\frac {a^{n}}{n!}}{\sqrt {\frac {n+1}{2^{n}}}}={\frac {R_{n}^ {n}}{n!}}{\sqrt {\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n}}}$
$R_{n}=a{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)))}$
$r_{n}={\frac {a}{\sqrt {2n(n+1)}}}={\frac {R_{n}}{n}}$
$\cos \alpha ={\frac {1}{n}}$ [opt]
$R_{n}=H_{n}{\frac {n}{n-1}}$
$a^{2}=H_{n}^{2}+R_{n-1}^{2}$
$V_{n}={\frac {1}{n}}V_{n-1}H_{n}$
$r_{n}^{2}=R_{n}^{2}-R_{n-1}^{2}$

Formule pentru un simplex obișnuit

Numărul de fețe L-dimensionale	$K(L,n)={\tbinom {n+1}{L+1}}$
Înălţime	$H_{n}=a{\sqrt {\frac {n+1}{2n))}$	$H_{n}=R_{n}{\frac {n+1}{n}}$	$H_{2}=a{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$H_{3}=a{\frac {\sqrt {6}}{3}}$	$H_{4}=a{\frac {\sqrt {10}}{4}}$
Volum	$V_{n}={\frac {a^{n}}{n!}}{\sqrt {\frac {n+1}{2^{n}}}}$	$V_{n}={\frac {R_{n}^{n}}{n!)}}{\sqrt {\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n} } }$	$V_{2}=a^{2}{\frac {\sqrt {3}}{4}}$	$V_{3}=a^{3}{\frac {\sqrt {2}}{12}}$	$V_{4}=a^{4}{\frac {\sqrt {5}}{96}}$
Raza sferei circumscrise	$R_{n}=a{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)))}$	$a=R_{n}{\sqrt {\frac {2(n+1)}{n))}$	$R_{2}=a{\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$R_{3}=a{\frac {\sqrt {6}}{4}}$	$R_{4}=a{\frac {\sqrt {10}}{5}}$
Raza sferei înscrise	$r_{n}={\frac {a}{\sqrt {2n(n+1)))}$	$r_{n}={\frac {R_{n}}{n}}$	$r_{2}=a{\frac {\sqrt {3}}{6}}$	$r_{3}=a{\frac {\sqrt {6}}{12}}$	$r_{4}=a{\frac {\sqrt {10}}{20}}$
Unghi diedru	$\cos \alpha ={\frac {1}{n}}$

Simplexuri în topologie

Un simplex topologic este un subset al unui spațiu topologic care este homeomorf la un simplex al unui spațiu afin (sau, echivalent, la un simplex standard al dimensiunii corespunzătoare). Conceptul de simplex topologic stă la baza teoriei complexelor simpliciale (un complex simplicial este un spațiu topologic reprezentat ca o uniune de simplexuri topologice care formează o triangulare a unui spațiu dat) [12] .

Vezi și

Note

↑ 1 2 Aleksandrov și Pasynkov, 1973 , p. 197-198.
↑ Zalgaller V. A. . Simplex // Enciclopedie matematică. T. 4 / Ch. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Enciclopedia sovietică , 1984. Copie de arhivă din 21 ianuarie 2022 la Wayback Machine - 1216 stb. - Stb. 1151.
↑ 1 2 Aleksandrov, 1968 , p. 355.
↑ Alexandrov și Pasynkov, 1973 , p. 198.
↑ Boltyansky, 1973 , p. 211.
↑ 1 2 Baladze D. O. . Complex // Enciclopedie matematică. Vol. 2 / Cap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Enciclopedia sovietică , 1984. Copie de arhivă din 20 noiembrie 2012 la Wayback Machine - 1104 stb. - Stb. 995-1101.
↑ Rudin U. . Fundamentele analizei matematice. a 2-a ed. — M .: Mir , 1976. — 319 p. - S. 257-258.
↑ 1 2 Parks H. R., Wills D. C. . An Elementary Calculation of the Diedral Angle of the Regular n -Simplex // The American Mathematical Monthly , 2002, 109 (8). - P. 756-758. - doi : 10.2307/3072403 .
↑ 1 2 Kostrikin și Manin, 1986 , p. 200-201.
↑ Aleksandrov, 1968 , p. 353-355.
↑ Kostrikin și Manin, 1986 , p. 201.
↑ Hokhlov A. V. . Simplicial space // Enciclopedie matematică. T. 4 / Ch. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Enciclopedia sovietică , 1984. Copie de arhivă din 21 ianuarie 2022 la Wayback Machine - 1216 stb. - Stb. 1168.

Literatură

P. S. Alexandrov . topologie combinatorie. - M. - L .: GITTL , 1947. - 660 p.
P. S. Alexandrov . Prelegeri despre geometrie analitică. — M .: Nauka , 1968. — 912 p.
P. S. Aleksandrov , B. A. Pasynkov. Introducere în teoria dimensiunilor. Introducere în teoria spațiilor topologice și teoria generală a dimensiunii. — M .: Nauka , 1973. — 576 p.
V. G. Boltyansky . Controlul optim al sistemelor discrete. — M .: Nauka , 1973. — 448 p.
A. I. Kostrikin , Yu. I. Manin . Algebră liniară și geometrie. a 2-a ed. — M .: Nauka , 1986. — 304 p.
L. S. Pontryagin . Fundamentele topologiei combinatorii. - M. - L .: GITTL , 1947. - 142 p. - S. 23-31.

Link -uri

Simplex - articol din Marea Enciclopedie Sovietică .

Dicționare și enciclopedii	Rusă mare

Dimensiunea spațiului
Spații după dimensiune	Zero-dimensionale unidimensional 2D 3D patru dimensionale cinci dimensiuni În șase dimensiuni Șapte-dimensionale octal Nouă-dimensionale n-dimensională Dimensiunea negativă
Politopuri și figuri	Simplex hipercub tesseract Hiperdreptunghi (ortotop) Semihipercub Cross-politope hipersferă
Tipuri de spații	spațiu finit-dimensional Spațiul euclidian spatiu afin spațiu proiectiv Modul gratuit Manifold Dimensiunea unei variabile algebrice spațiu timp
Alte concepte dimensionale	dimensiunea Krull Dimensiunea Lebesgue Dimensiunea inductivă Dimensiunea fracțională ( dimensiunea Minkowski , dimensiunea Hausdorff ) dimensiune fractală Grade de libertate
Matematica