Vector de funcție

O funcție vectorială este o funcție ale cărei valori sunt vectori într-un spațiu vectorial de două, trei sau mai multe dimensiuni. Argumentele funcției pot fi: $\mathbb {V}$

o variabilă scalară - apoi valorile funcției vectoriale sunt determinate într- o curbă ; $\mathbb {V}$
m variabile scalare - atunci valorile funcției vectoriale formează , în general, o suprafață m -dimensională; $\mathbb {V}$
variabilă vectorială - în acest caz, funcția vectorială este de obicei considerată ca un câmp vectorial pe . $\mathbb {V}$

Funcția vectorială a unei variabile scalare

Pentru claritate, ne restrângem în continuare la cazul unui spațiu tridimensional, deși extinderea la cazul general nu este dificilă. O funcție vectorială a unei variabile scalare mapează un interval de numere reale într-un set de vectori spațiali (intervalul poate fi și infinit). ${\mathbf {r}}(t)$ $t_{1}\leqslant t\leqslant t_{2)$

După ce am ales vectorii de coordonate , putem descompune funcția vectorială în trei funcții de coordonate x ( t ), y ( t ), z ( t ): $\mathbf {\hat {i)} ,\mathbf {\hat {j)} ,\mathbf {\hat {k)}$

\mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {\hat {i)} +y(t)\mathbf {\hat {j)} +z(t)\mathbf {\hat { k}}

Considerate ca vectori cu rază , valorile funcției vectoriale formează o anumită curbă în spațiu, pentru care t este un parametru.

Se spune că o funcție vectorială are o limită într-un punct dacă (aici și mai jos notăm modulul vectorului ). Limita unei funcții vectoriale are proprietățile uzuale: ${\mathbf {r}}(t)$ $\mathbf {r_{0}}$ $t=t_{0}$ $\lim _{t\to t_{0}}|\mathbf {r} (t)-\mathbf {r_{0}} |=0$ $|\mathbf {v} |$ $\mathbf{v}$

Limita sumei funcțiilor vectoriale este egală cu suma limitelor termenilor (presupunând că acestea există).
Limita produsului scalar al funcțiilor vectoriale este egală cu produsul scalar al limitelor factorilor.
Limita produsului vectorial al funcțiilor vectoriale este egală cu produsul vectorial al limitelor factorilor.

Continuitatea unei funcții vectoriale este definită în mod tradițional.

Derivata unei functii vectoriale fata de un parametru

Să definim derivata funcției vectoriale în raport cu parametrul: ${\mathbf {r}}(t)$

{\frac {d}{dt}}{\mathbf {r}}(t)=\lim _{{h\la 0}}{\frac {{\mathbf {r}}(t+h)-{ \mathbf {r}}(t)}{h}}

Dacă o derivată există într-un punct, se spune că funcția vectorială este diferențiabilă în acel punct. Funcțiile de coordonate pentru derivată vor fi . $t$ $x'(t),\ y'(t),\z'(t)$

Proprietăți ale derivatei unei funcții vectoriale (pretutindeni se presupune că există derivate):

${\frac {d}{dt))({\mathbf {r_{1))}(t)+{\mathbf {r_{2))}(t))={\frac {d{\mathbf {r_ {1}}}(t)}{dt}}+{\frac {d{\mathbf {r_{2}}}(t)}{dt}}$ - derivata sumei este suma derivatelor
${\frac {d}{dt}}(f(t){\mathbf {r}}(t))={\frac {df(t)}{dt}}{\mathbf {r}}(t) +f(t){\frac {d{\mathbf {r}}(t)}{dt}}$ — aici f(t) este o funcție scalară diferențiabilă.
${\frac {d}{dt))({\mathbf {r_{1))}(t){\mathbf {r_{2))}(t))={\frac {d{\mathbf {r_{ 1}}}(t)}{dt}}{\mathbf {r_{2}}}(t)+{\mathbf {r_{1}}}(t){\frac {d{\mathbf {r_{ 2}}}(t)}{dt}}$ - diferenţierea produsului scalar .
${\frac {d}{dt))[{\mathbf {r_{1))}(t){\mathbf {r_{2))}(t)]=\left[{\frac {d{\mathbf {r_{1}}}(t)}{dt}}{\mathbf {r_{2}}}(t)\dreapta]+\stânga[{\mathbf {r_{1}}}(t){\ frac {d{\mathbf {r_{2}}}(t)}{dt}}\right]$ — diferențierea produsului vectorial .
${\frac {d}{dt}}({\mathbf {a}}(t),{\mathbf {b}}(t),{\mathbf {c}}(t))=\left({\ frac {d{\mathbf {a}}(t)}{dt}},{\mathbf {b}}(t),{\mathbf {c}}(t)\right)+\left({\mathbf {a}}(t),{\frac {d{\mathbf {b}}(t)}{dt}},{\mathbf {c}}(t)\dreapta)+\left({\mathbf { a}}(t),{\mathbf {b}}(t),{\frac {d{\mathbf {c}}(t)}{dt}}\dreapta)$ este diferenţierea produsului mixt .

Pentru aplicații ale funcțiilor vectoriale ale unei variabile scalare în geometrie, vezi: geometria diferențială a curbelor .

Funcția vectorială a mai multor variabile scalare

Pentru claritate, ne limităm la cazul a două variabile în spațiul tridimensional. Valorile funcției vectoriale ( hodograful lor ) formează, în general, o suprafață bidimensională, pe care argumentele u, v pot fi considerate coordonate interne ale punctelor de suprafață. $\mathbf {r} (u,v)$

În coordonate, ecuația arată astfel: $\mathbf{r} = \mathbf{r}(u,\v)$

x=x(u,\v);\y=y(u,\v);\z=z(u,\v)

Similar cu cazul unei variabile, putem defini derivatele funcției vectoriale, care vor fi acum două: . O secțiune a suprafeței va fi nedegenerată (adică, în cazul nostru, bidimensională) dacă nu dispare identic pe ea. $\frac{\partial\mathbf{r)) {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r)) {\partial v}$ $\left[{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u)), {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \mathbf {r} }{\partial u)), {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v))\right]$

Curbele de pe această suprafață sunt definite convenabil astfel:

u = u(t);\ v = v(t)

unde t este parametrul curbei. Se presupune că dependențele sunt diferențiabile, iar în regiunea luată în considerare, derivatele lor nu trebuie să dispară simultan. Un rol special îl au liniile de coordonate , care formează o grilă de coordonate pe suprafață: $u(t),\v(t)$

u=t;\v=const

- prima linie de coordonate.

u=const;\v=t

este a doua linie de coordonate.

Dacă nu există puncte singulare pe suprafață ( nu dispare nicăieri), atunci exact două linii de coordonate trec prin fiecare punct al suprafeței. $\left[{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u)), {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \mathbf {r} }{\partial u)), {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v))\right]$

Pentru mai multe despre aplicațiile geometrice ale funcțiilor vectoriale ale mai multor variabile scalare, consultați: Teoria suprafeței .

Literatură

Borisenko AI, Tarapov IE Analiza vectorială și principiile calculului tensor. a 3-a ed. Moscova: Școala superioară, 1966.
Krasnov M. L., Kisilev A. I., Makarenko G. I. Analiza vectoriala. Nauka, 1978, 160 p. (ed. a II-a URSS, 2002)
Kochin N. E. Calcul vectorial și începuturile calculului tensor. Arhivat la 14 noiembrie 2007 la Wayback Machine ediția a 9-a. Moscova: Nauka, 1965.

Vectori și matrici

Vectori

Noțiuni de bază	Vector în geometrie Bază Baza ortogonala Coordonatele vectoriale Coliniaritate Ortogonalitatea Dependență liniară Spațiu coloane
Tipuri de vectori	Vector unitar Vector axial vector izotrop Normal Coliniaritate Vector zero Vector rază Vector propriu
Operații pe vectori	Produs scalar produs vectorial produs mixt Produs pseudoscalar Produs dublu cruce
Tipuri de spațiu	spațiu vectorial spatiu afin Spațiul euclidian Spațiul pseudo-euclidian Spațiu normat Spațiul Minkowski

matrici

Noțiuni de bază	Înmulțirea matricei Matrice transpusă Matricea conjugată hermitiană Matricea simetrică matrice inversă Valoare proprie Polinom caracteristic al unei matrice
Matrici speciale	Matrice de identitate Matrice zero Matricea diagonală matricea lambda
Descompuneri de matrice	descompunerea LU Descompunerea Cholesky Descompunerea QR Descompunerea LUP descompunerea unei valori singulare Descompunerea spectrală a unei matrice

Alte