Suprafaţă

O suprafață în geometrie și topologie este o varietate topologică bidimensională . Cele mai cunoscute exemple de suprafețe sunt limitele corpurilor geometrice din spațiul euclidian tridimensional obișnuit. Pe de altă parte, există suprafețe (cum ar fi sticla Klein ) care nu pot fi încorporate în spațiul euclidian tridimensional fără a implica o singularitate sau auto-intersecție.

„Bidimensionalitatea” unei suprafețe implică posibilitatea implementării metodei coordonatelor pe aceasta , deși nu neapărat pentru toate punctele. Deci, suprafața Pământului (în mod ideal) este o sferă bidimensională , a cărei latitudine și longitudine ale fiecărui punct sunt coordonatele sale (cu excepția polilor și a meridianului 180 ).

Conceptul de suprafață este aplicat în fizică , inginerie , grafică pe computer și în alte domenii în studiul obiectelor fizice. De exemplu, analiza calităților aerodinamice ale unei aeronave se bazează pe fluxul de aer în jurul suprafeței sale.

Metode de căutare

O suprafață este definită ca un set de puncte ale căror coordonate satisfac un anumit tip de ecuație:

F(x,\,y,\,z)=0\qquad (1)

Dacă o funcție este continuă într-un punct și are derivate parțiale continue, dintre care cel puțin una nu dispare, atunci în vecinătatea acestui punct suprafața dată de ecuația (1) va fi o suprafață regulată . $F(x,\,y,\,z)$

În plus față de modul implicit de specificare de mai sus , o suprafață poate fi definită în mod explicit dacă una dintre variabile, de exemplu, z, poate fi exprimată în termenii celorlalte:

z=f(x,y)\qquad (1')

Există, de asemenea, o modalitate parametrică de setare. În acest caz, suprafața este determinată de sistemul de ecuații:

\left\{ \begin{array}{ccc} x &=& x(u,v) \\ y &=& y(u,v) \\ z &=& z(u,v) \end{array }\dreapta.\qquad (1'')

Conceptul de suprafață simplă

Intuitiv, o suprafață simplă poate fi gândită ca o bucată de plan supusă unor deformații continue ( tensiuni, compresii și îndoiri ).

Mai strict, o suprafață simplă este imaginea unei mapări homeomorfe (adică o mapare unu-la-unu și reciproc continuă) a interiorului pătratului unității. Această definiție poate primi o expresie analitică .

Să fie dat un pătrat pe un plan cu coordonatele dreptunghiulare u și v , ale căror coordonate ale punctelor interioare satisfac inegalitățile 0 < u < 1, 0 < v < 1. Imaginea homeomorfă a unui pătrat în spațiu cu coordonatele dreptunghiulare x , y, z este dat folosind formulele x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) ( specificarea parametrilor suprafeței ). Mai mult, funcțiile x(u, v), y(u, v) și z(u, v) trebuie să fie continue și pentru puncte diferite (u, v) și (u', v') să aibă corespondente diferite. punctele (x, y, z) și (x', y', z').

Un exemplu de suprafață simplă este o emisferă. Întreaga sferă nu este o simplă suprafață . Acest lucru necesită o generalizare suplimentară a conceptului de suprafață.

Un subset de spațiu, al cărui punct are o vecinătate care este o suprafață simplă , se numește suprafață regulată .

Suprafață în geometrie diferențială

În geometria diferențială , suprafețele studiate sunt de obicei supuse unor condiții legate de posibilitatea aplicării metodelor de calcul diferențial. De regulă, acestea sunt condițiile pentru netezimea suprafeței, adică existența în fiecare punct al suprafeței a unui anumit plan tangent , curbură etc. Aceste cerințe se rezumă la faptul că funcțiile care definesc suprafața sunt presupuse o dată, de două ori, de trei ori și în unele întrebări - un număr nelimitat de ori funcții diferențiabile sau chiar analitice . În acest caz, se impune suplimentar condiția de regularitate.

Cazul atribuirii implicite . Suprafața dată de ecuație este o suprafață regulată netedă dacă , funcția este continuu diferențiabilă în domeniul ei de definiție , iar derivatele sale parțiale nu dispar simultan (condiția de corectitudine) pe întreaga mulțime : $F(x,\,y,\,z)=0,\; F:\Omega\to\mathbb{R}^3$ $\exist P_0(x_0,\,y_0,\,z_0):\;F(x_0,\,y_0,\,z_0)=0$ $F$ $\Omega$ $\Omega$

\left( \frac{\partial F}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial y}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial z}\right)^2>0

Cazul unei sarcini parametrice . Definim suprafața printr-o ecuație vectorială sau, ceea ce este același, prin trei ecuații în coordonate: $\mathbf{r} = \mathbf{r}(u,\v)$

\left\{ \begin{array}{ccc} x &=& x(u,v) \\ y &=& y(u,v) \\ z &=& z(u,v) \end{array }\dreapta.\quad (u,\,v)\in\Omega

Acest sistem de ecuații definește o suprafață regulată netedă dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:

sistemul stabilește o corespondență unu-la-unu între imagine și prototip ; $\Omega$
funcţiile sunt diferenţiabile continuu în ; $x(u,v),\,y(u,v),\,z(u,v)$ $\Omega$
condiția de nondegenerare este îndeplinită:

\begin{vmatrix}x'_u & x'_v \\ y'_u & y'_v \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}y'_u & y'_v \\ z'_u & z'_v \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}z'_u și z'_v \\ x'_u și x'_v \end{vmatrix}^2>0

Din punct de vedere geometric, ultima condiție înseamnă că vectorii nu sunt nicăieri paraleli. $\frac{\partial\mathbf{r)) {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r)) {\partial v}$

Parametrii u, v pot fi considerați coordonate interne ale punctelor de suprafață. Fixând una dintre coordonate, obținem două familii de curbe de coordonate care acoperă suprafața cu o grilă de coordonate.

Caz explicit . O suprafață poate fi definită ca graficul unei funcții ; este atunci o suprafață regulată netedă dacă funcția este diferențiabilă. Această opțiune poate fi considerată ca un caz special al unei sarcini parametrice: . $S$ $z=f(x,y)$ $S$ $f$ $x=u;\ y=v;\ z=f(u,v)$

Plan tangent

Planul tangent într-un punct de pe o suprafață netedă este planul care are ordinul maxim de contact cu suprafața în acel punct. O definiție echivalentă: un plan tangent este un plan care conține tangente la toate curbele netede care trec prin acel punct.

Să fie dată o curbă netedă pe o suprafață definită parametric sub forma: $\mathbf{r} = \mathbf{r}(u,\v)$

u = u(t);\ v = v(t)

Direcția tangentei la o astfel de curbă dă un vector: $\mathbf{v}$

\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u} \frac{du}{dt} + \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \frac{dv}{dt}

Aceasta arată că toate tangentele la toate curbele dintr-un punct dat se află în același plan care conține vectorii , pe care i-am presupus mai sus ca fiind independenți. $\frac{\partial\mathbf{r)) {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r)) {\partial v}$

Ecuația planului tangent într-un punct are forma: $\mathbf{r_0}=(x_0, y_0, z_0)$

\left(\mathbf{r} - \mathbf{r_0}, \frac{\partial\mathbf{r)) {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r)) {\partial v}\right ) = 0\quad

( produs mixt al vectorilor).

În coordonate, ecuațiile planului tangent pentru diferite moduri de specificare a suprafeței sunt date în tabel:

	plan tangent la suprafata intr-un punct $(x_{0},y_{0},z_{0})$
atribuire implicită	$\frac{\partial F}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial F}{\partial y}(y-y_0)+\frac{\partial F}{\partial z}(z -z_0)=0$
atribuire explicită	$\frac{\partial f}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(y-y_0)=(z-z_0)$
sarcină parametrică	$\begin{vmatrix} x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \\ x_u' & y_u' & z_u' \\ x_v' & y_v' & z_v' \end{vmatrix} = 0$

Toate derivatele sunt luate la punctul . $(x_{0},y_{0},z_{0})$

Metrica și geometrie intrinsecă

Luați în considerare din nou o curbă netedă:

u = u(t);\ v = v(t)

Elementul lungimii sale este determinat din raportul:

ds^{2}=|d\mathbf {r} |^{2}=\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u))du+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}dv\right)^{2}=E\,du^{2}+2F\,du\,dv+G\,dv^{2}

unde . $E=\mathbf{r'_u}\mathbf{r'_u};\ F=\mathbf{r'_u}\mathbf{r'_v};\ G=\mathbf{r'_v}\mathbf{r' _v}$

Această formă pătratică se numește prima formă pătratică și este o versiune bidimensională a metricii de suprafață . Pentru o suprafață obișnuită, este discriminant în toate punctele. Coeficient într-un punct de pe suprafață dacă și numai dacă curbele de coordonate în acel punct sunt ortogonale. În special, se obține o metrică pe un plan cu coordonate carteziene ( teorema lui Pitagora ). $EG-F^2>0$ $F=0$ $u,\v$ $ds^2 = du^2 + dv^2$

Metrica nu determină în mod unic forma suprafeței. De exemplu, metrica unui elicoid și a unui catenoid , parametrizați corespunzător, sunt aceleași, adică există o corespondență între regiunile lor care păstrează toate lungimile ( izometrie ). Proprietățile care se păstrează sub transformări izometrice se numesc geometria intrinsecă a suprafeței. Geometria internă nu depinde de poziția suprafeței în spațiu și nu se modifică atunci când este îndoită fără tensiune și compresie (de exemplu, când un cilindru este îndoit într-un con ) [1] .

Coeficienții metrici determină nu numai lungimile tuturor curbelor, ci, în general, rezultatele tuturor măsurătorilor în interiorul suprafeței (unghiuri, zone, curbură etc.). Prin urmare, tot ceea ce depinde doar de metrică se referă la geometria internă. $E,\F,\G$

Secțiune normală și normală

Una dintre caracteristicile principale ale unei suprafețe este normala ei - un vector unitar perpendicular pe planul tangent într-un punct dat:

\mathbf{m} = \frac{[\mathbf{r'_u}, \mathbf{r'_v}]} {|[\mathbf{r'_u}, \mathbf{r'_v}]|}

Semnul normalului depinde de alegerea coordonatelor.

Secțiunea unei suprafețe de către un plan care conține normala suprafeței într-un punct dat formează o anumită curbă, care se numește secțiune normală a suprafeței. Normala principală pentru o secțiune normală coincide cu normala la suprafață (până la un semn).

Dacă curba de pe suprafață nu este o secțiune normală, atunci normala sa principală formează un unghi cu normala suprafeței . Apoi curbura curbei este legată de curbura secțiunii normale (cu aceeași tangentă) prin formula lui Meunier : $\theta$ $k$ $k_n$

k_n = \pm k\,\cos\,\theta

Coordonatele vectorului normal pentru diferite moduri de specificare a suprafeței sunt date în tabel:

	Coordonate normale la un punct de suprafață
atribuire implicită	$\frac{\left(\frac{\partial F}{\partial x};\,\frac{\partial F}{\partial y};\,\frac{\partial F}{\partial z}\right )}{\sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial y}\right)^2+\left ( \frac{\partial F}{\partial z}\right)^2}}$
atribuire explicită	$\frac{\left(-\frac{\partial f}{\partial x};\,-\frac{\partial f}{\partial y};\,1\right)}{\sqrt{\left( \frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial f}{\partial y}\right)^2+1))$
sarcină parametrică	$\frac{\left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)};\,\frac{D(z,x)}{D(u,v)};\,\frac {D(x,y)}{D(u,v)}\right)}{\sqrt{\left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)}\right)^2 +\left(\frac{D(z,x)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\ dreapta)^2}}$

Aici . ${\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}y'_{u}&y'_{v}\\z'_{u}&z'_ {v}\end{vmatrix)),\quad {\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}z'_{u}&z'_{v }\\x'_{u}&x'_{v}\end{vmatrix)),\quad {\frac {D(x,y)}{D(u,v)))={\begin{vmatrix ) }x'_{u}&x'_{v}\\y'_{u}&y'_{v}\end{vmatrix}}$

Toate derivatele sunt luate la punctul . $(x_{0},y_{0},z_{0})$

Curbură

Pentru direcții diferite la un punct dat de pe suprafață, se obține o curbură diferită a secțiunii normale, care se numește curbură normală ; i se atribuie un semn plus dacă normala principală a curbei merge în aceeași direcție cu normala la suprafață sau un semn minus dacă direcțiile normalelor sunt opuse.

În general, în fiecare punct al suprafeței există două direcții perpendiculare și , în care curbura normală capătă o valoare minimă și o valoare maximă; aceste direcţii se numesc principale . O excepție este cazul când curbura normală este aceeași în toate direcțiile (de exemplu, lângă o sferă sau la sfârșitul unui elipsoid de revoluție), atunci toate direcțiile dintr-un punct sunt principale. $e_{1}$ $e_{2}$

Curbururile normale în direcțiile principale se numesc curburi principale ; să le notăm și . Mărimea: $\kappa_{1}$ $\kappa_{2}$

K=\kappa_{1}\kappa_{2}

numită curbură Gaussiană , curbura totală sau pur și simplu curbura suprafeței. Există, de asemenea, termenul de curbură scalar , care implică rezultatul convoluției tensorului de curbură ; în acest caz, curbura scalară este de două ori mai mare decât curbura gaussiană.

Curbura gaussiană poate fi calculată în termeni de metrică și, prin urmare, este un obiect al geometriei intrinseci a suprafețelor (rețineți că curburele principale nu aparțin geometriei intrinseci). După semnul curburii, puteți clasifica punctele suprafeței (vezi figura). Curbura planului este zero. Curbura unei sfere cu raza R este peste tot egală cu . Există, de asemenea, o suprafață de curbură negativă constantă - pseudosferă . ${\frac {1}{R^{2}}}$

Linii geodezice, curbură geodezică

O curbă pe o suprafață se numește linie geodezică sau pur și simplu geodezică , dacă în toate punctele sale normala principală la curbă coincide cu normala la suprafață. Exemplu: pe un plan, geodezicele vor fi drepte și segmente de linie, pe o sferă, cercuri mari și segmentele acestora.

Definiție echivalentă: pentru o linie geodezică, proiecția normalei sale principale pe planul tangent este vectorul zero. Dacă curba nu este o geodezică, atunci proiecția specificată este diferită de zero; lungimea sa se numește curbura geodezică a curbei de pe suprafață. Exista o relatie: $kg}$

k^2 = k_g^2 + k_n^2

unde este curbura curbei date, este curbura secțiunii normale a suprafeței cu aceeași tangentă. $k$ $k_n$

Liniile geodezice se referă la geometria internă. Enumerăm principalele lor proprietăți.

Una și o singură geodezică trece printr-un punct dat de pe suprafață într-o direcție dată.
Pe o zonă suficient de mică a suprafeței, două puncte pot fi întotdeauna conectate printr-o geodezică și, în plus, doar unul. Explicație: pe o sferă, polii opuși sunt legați printr-un număr infinit de meridiane, iar două puncte apropiate pot fi conectate nu numai printr-un segment dintr-un cerc mare, ci și prin adăugarea acestuia la un cerc complet, astfel încât unicitatea este observată numai într-una mică.
Geodezicul este cel mai scurt. Mai strict: pe o bucată mică de suprafață, cea mai scurtă cale între puncte date se află de-a lungul geodezicei.

Zona

Un alt atribut important al unei suprafețe este aria sa , care este calculată prin formula:

S=\iint\,|[\mathbf{r}'_u\times\mathbf{r}'_v]|\;\mathrm{d}\,u\,\mathrm{d}\,v

Aici . $\mathbf{r}'_u=\left\{\frac{\partial x}{\partial u},\,\frac{\partial y}{\partial u},\,\frac{\partial z}{ \partial u}\right\},\ \mathbf{r}'_v=\left\{\frac{\partial x}{\partial v},\,\frac{\partial y}{\partial v}, \,\frac{\partial z}{\partial v}\right\}$

În coordonate obținem:

	atribuire explicită	sarcină parametrică
expresia zonei	$\iint\,\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial f}{\partial y}\right)^2+1 }\;\mathrm{d}\,x\,\mathrm{d}\,y$	$\iint\,\sqrt{\left(\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(y,z)}{D( u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(z,x)}{D(u,v)}\right)^2}\;\mathrm{d}\,u\, \mathrm{d}\,v$

Topologie de suprafață

Orientare

O altă caracteristică importantă a unei suprafețe este orientarea acesteia .

O suprafață se numește cu două fețe dacă are un vector normal continuu pe toată lungimea sa. În caz contrar, suprafața se numește unilaterală .

O suprafață orientată este o suprafață cu două fețe cu o direcție aleasă a normalei.

Exemple de suprafețe unilaterale și, prin urmare, neorientabile sunt sticla Klein sau banda Möbius .

Tipuri de suprafață

O suprafață închisă este o suprafață compactă fără limită.
O suprafață deschisă este o suprafață completă, necompactă, fără limită; în cazul unei suprafețe încorporate, se presupune în plus că formează un set închis în spațiul ambiental.
suprafete orientabile si neorientabile

Exemple

Suprafețe de revoluție

O suprafață de revoluție poate fi obținută prin rotirea unei curbe în planul xz în jurul axei z , presupunând că curba nu intersectează axa z . Să presupunem că curba este dată de expresia

x=\varphi (t),\,\,z=\psi (t)

cu t situat în ( a , b ) și parametrizat după lungimea arcului, astfel încât

{\dot {\varphi }}^{2}+{\dot {\psi }}^{2}=1.

Atunci suprafața de revoluție este un set de puncte

M=\{(\varphi (t)\cos \theta,\varphi (t)\sin \theta,\psi (t))\colon t\in (a,b),\theta \in [ 0,2\pi )\}.

Curbura gaussiană și curbura medie sunt date de expresiile [2]

K=-{{\ddot {\varphi }} \over \varphi},\,\,K_{m}={-{\dot {\psi }}+\varphi ({\dot {\psi }}{\ddot {\varphi }}-{\ddot {\psi }}{\dot {\varphi }}) \over 2\varphi }.

Geodezice pe suprafața de rotație sunt definite de relația Clairaut .

Suprafață de ordinul doi

Să considerăm suprafața de ordinul doi dată de expresia [3]

{x^{2} \over a}+{y^{2} \over b}+{z^{2} \over c}=1.

Această suprafață permite parametrizarea

x={\sqrt {a(au)(av) \over (ab)(ac)))),\,\,y={\sqrt {b(bu)(bv) \over (ba) ( bc))),\,\,z={\sqrt {c(cu)(cv) \over (cb)(ca)))).

Curbura gaussiana si curbura medie sunt date de

K={abc \over u^{2}v^{2)),\,\,K_{m}=-(u+v){\sqrt {abc \over u^{3}v^ {3}}}.

Suprafețe riglate

O suprafață riglată este o suprafață care poate fi obținută prin deplasarea unei linii drepte în [4] [5] . Prin alegerea unei directrice pe suprafață, adică o curbă unitară netedă de viteză c ( t ) ortogonală cu liniile drepte, și apoi alegând ca vectori unitari de-a lungul curbei în direcția liniilor drepte, pentru vectorul viteză și u , $\mathbb{E}^3$ $u(t)$ $v=c_{t)$

u\cdot v=0,\,\,\|u\|=1,\,\,\|v\|=1.

Suprafața este formată din puncte

c(t)+s\cdot u(t)

la schimbarea s și t .

Atunci dacă

a=\|u_{t}\|,\,\,b=u_{t}\cdot v,\,\,\alpha =-{\frac {b}{a^{2}}} ,\,\,\beta ={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a^{2}}},

Curbura gaussiană și medie sunt date de expresii

K=-{\beta ^{2} \over ((s-\alpha )^{2}+\beta ^{2})^{2)),\,\,K_{m}=- {r[(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2})]+\beta _{t}(s-\alpha )+\beta \alpha _{t} \over [(s- \alpha )^{2}+\beta ^{2}]^{\frac {3}{2}}}.

Curbura gaussiană a unei suprafețe reglate dispare dacă și numai dacă și v sunt proporționale [6] . Această condiție este echivalentă cu faptul că suprafața este o anvelopă de plane de-a lungul unei curbe care conține un vector tangent v și un vector ortogonal u , adică suprafața se desfășoară de-a lungul curbei [7] . Mai general, o suprafață în are curbură gaussiană zero în apropierea unui punct dacă și numai dacă se dezvoltă în apropierea acestui punct [8] (O condiție echivalentă este dată mai jos în termeni de metrică.) $tu_{t}$ $\mathbb{E}^3$

Suprafețe minime

În 1760 Lagrange a extins rezultatele lui Euler ale calculului variațiilor cu integrale într-o variabilă la integrale în două variabile [9] [10] . El a luat în considerare următoarea problemă:

O astfel de suprafață se numește suprafață minimă .

În 1776, Jean Baptiste Meunier a arătat că ecuația diferențială derivată de Lagrange este echivalentă cu curbura medie a unei suprafețe care dispare:

Suprafețele minime au o interpretare simplă în viața reală - ele iau forma unei pelicule de săpun dacă cadrul de sârmă este scufundat în apă cu săpun și îndepărtat cu grijă. Întrebarea dacă există o suprafață minimă cu o anumită limită se numește problema Platoului , după fizicianul belgian Joseph Plato , care a experimentat cu filme de săpun la mijlocul secolului al XIX-lea. În 1930, Jesse Douglas și Tibor Rado au dat un răspuns pozitiv problemei Plateau (Douglas a primit unul dintre primele premii Fields pentru această lucrare în 1936) [11] .

Sunt cunoscute multe exemple de suprafețe minime, cum ar fi catenoidul , elicoidul , suprafața Scherk și suprafața Enneper . În acest domeniu au fost efectuate cercetări intense, ale căror rezultate sunt rezumate în cartea lui Osserman [12] . În special, rezultatul lui Osserman arată că, dacă suprafața minimă nu este plană, atunci imaginea sa sub harta Gaussiană este densă în . $S^{2}$

Suprafețe de curbură Gaussiană constantă

Dacă o suprafață are o curbură constantă Gaussiană, se numește suprafață cu curbură constantă [13] [14] [15] .

Sfera unității în are o curbură Gaussiană constantă de +1. $\mathbb{E}^3$
Planul euclidian și cilindrul au o curbură Gaussiană constantă de 0.
Suprafața revoluției c are o curbură Gaussiană constantă -1. Un caz special se obține luând , și [14] [16] [17] . Ultimul caz este pseudosfera clasică formată prin rotația tractricei în jurul axei centrale. În 1868, Eugenio Beltrami a arătat că geometria pseudosferei de apă era direct legată de geometria planului hiperbolic , descoperită independent de Lobaciovski (1830) și Bolyai (1832). Deja în 1840, F. Minding, student al lui Gauss, a obținut formule trigonometrice pentru pseudosferă, identice cu cele pentru planul hiperbolic [18] . Această suprafață de curbură constantă este acum mai bine înțeleasă în ceea ce privește metrica Poincaré pe semiplanul superior sau cercul unitar și poate fi descrisă de alte modele, precum modelul Klein sau modelul hiperboloid obținut prin luarea în considerare a unui hiperboloid cu două foi în spațiul Minkowski tridimensional , unde [19] . $\varphi _{tt}=\varphi$ $\varphi (t)=C\mathrm {ch} \,t$ $C\mathrm {sh} \,t$ $Ce^{t)$ $q(x,y,z)=-1$ $q(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}$

Fiecare dintre aceste suprafețe cu curbură constantă are un grup Lie tranzitiv de simetrii. Acest fapt teoretic de grup are consecințe de amploare, care sunt deosebit de remarcabile prin prisma rolului central jucat de aceste suprafețe speciale în geometria suprafețelor, conform teoremei de uniformizare Poincaré (vezi mai jos).

Alte exemple de suprafețe cu curbură gaussiană 0 includ conuri , suprafețe tangente dezvoltabile și mai general, orice suprafață dezvoltabilă .

Generalizare

Pentru analogii multidimensionali ai teoriei, vezi:

Literatură

Ilyin V. A., Poznyak E. G. Geometrie analitică. - M. : FIZMATLIT, 2002. - 240 p.
Kudryavtsev L. D. Curs de analiză matematică. - M . : Gutardă. — 570 p.
Pogorelov AI Geometrie diferențială . — ediția a VI-a. — M .: Nauka, 1974.
Rashevsky PK Un curs de geometrie diferenţială . — ediția a 3-a. — M .: GITTL, 1950.
Suprafață // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.

Note

↑ Rashevsky P.K., 1950 , capitolul 7.
↑ do Carmo, 1976 , p. 161–162.
↑ Eisenhart, 2004 , p. 228–229.
↑ Eisenhart, 2004 , p. 241–250.
↑ do Carmo, 1976 , p. 188–197.
↑ do Carmo, 1976 , p. 194.
↑ Eisenhart, 2004 , p. 61–65.
↑ Eisenhart, 2004 .
↑ Eisenhart, 2004 , p. 250–269.
↑ do Carmo, 1976 , p. 197–213.
↑ Soluția lui Douglas este descrisă în lucrarea lui Courant (( Courant 1950 )).
↑ Osserman, 2002 .
↑ Eisenhart, 2004 , p. 270–291.
↑ 1 2 O'Neill, 1997 , p. 249–251.
↑ Hilbert, Cohn-Vossen, 1952 .
↑ do Carmo, 1976 , p. 168–170.
↑ Gray, Abbena, Salamon, 2006 .
↑ Stillwell, 1996 , p. 1–5.
^ Wilson, 2008 .

Link -uri

Formarea suprafețelor prin mișcarea curbelor, videoclip Arhivat 23 septembrie 2016 la Wayback Machine