Dimensiunea inductivă

Dimensiunea inductivă este un tip de definire a dimensiunii unui spațiu topologic , bazat pe observația că sferele din spațiul euclidian au o dimensiune mai mică.

Există două opțiuni pentru definirea dimensiunii inductive, așa-numitele dimensiuni inductive mari și mici ; pentru spațiu , acestea sunt de obicei notate și respectiv. În majoritatea spațiilor topologice întâlnite în aplicații, ambele dimensiuni sunt aceleași și sunt, de asemenea, egale cu dimensiunea Lebesgue . $X$ $\mathrm {Ind} \,X$ $\mathrm {ind} \,X$

Definiție

Prin definiție, dimensiunea unei mulțimi goale este considerată egală cu ; acesta este $-unu$

\mathrm {ind} \,\varnothing =\mathrm {Ind} \,\varnothing =-1

$\mathrm {ind} \,X$ — dimensiunea inductivă mică a spațiului topologic , este definită ca cel mai mic număr astfel încât pentru orice punct și oricare dintre vecinătățile sale deschise , există o mulțime deschisă astfel încât , adică dimensiunea inductivă mică a graniței să nu depășească și $X$ $n$ $x\în X$ $U$ $W$ $\mathrm {ind} \,\partial W\leq n-1$ $W$ $n-1$

x\in W\subset {\bar {W}}\subset U,

unde denotă o închidere . ${\bar {W}}$ $W$

$\mathrm {Ind} \,X$ - o dimensiune inductivă mare este definită într-un mod similar: ca cel mai mic număr astfel încât pentru orice mulțime închisă și oricare dintre vecinătățile sale deschise , există o mulțime deschisă , care și $n$ $K\subset X$ $U$ $W$ $\mathrm {Ind} \,\partial W\leq n-1$

K\subset W\subset {\bar {W}}\subset U.

Note

Dimensiunea Lebesgue este o altă modalitate de definire a dimensiunii unui spațiu topologic; termenul „dimensiune topologică” este de obicei folosit în mod specific pentru dimensiunea Lebesgue; pentru spațiu, este de obicei notat cu . $X$ $\dim X$

Proprietăți

$\dim X=0$ dacă și numai dacă $\operatorname {Ind} X=0.$
(teorema lui Urysohn) pentru un spațiu normal cu o bază numărabilă , egalitatea $X$ $\dim X=\operatorname {Ind} X=\operatorname {ind} X.$

Cu alte cuvinte, pentru spațiile separabile și metrizabile , ambele dimensiuni inductive coincid cu dimensiunea Lebesgue .

Pentru spațiile metrizabile , sunt valabile următoarele ( Miroslav Katetov ) $X$ $\dim X=\operatorname {Ind} X\geq \operatorname {ind} X.$
Dacă spațiul este compact și Hausdorff atunci ( P. S. Aleksandrov ) $X$ $\operatorname {Ind} X\geq \operatorname {ind} X\geq \dim X.$
- Ambele aceste inegalități pot fi stricte (V. V. Filippov)

Un spațiu metric separabil satisface inegalitatea dacă și numai dacă, pentru fiecare subspațiu închis al spațiului , fiecare hartă continuă admite o extensie continuă . $X$ $\operatorname {Ind} X\leq n$ $A$ $X$ $f:A\to \mathbb {S} ^{n}$ $F:X\la \mathbb {S} ^{n}$

Literatură

Alexandrov P. S., Pasynkov B. A. Introducere în teoria dimensiunii. Moscova: Nauka, 1973
Crilly, Tony, 2005, „Paul Urysohn și Karl Menger: lucrări despre teoria dimensiunii” în Grattan-Guinness, I., ed., Landmark Writings in Western Mathematics . Elsevier : 844-55.
R. Engelking, Teoria dimensiunilor. Finit și infinit , Heldermann Verlag (1995), ISBN 3-88538-010-2 .

ISBNunu3-88538-010-2

VV Fedorchuk, Fundamentele teoriei dimensiunii , care apar în Encyclopaedia of Mathematical Sciences, volumul 17, Topologie generală I , (1993) AV Arkhangel'skii și LS Pontryagin (eds.), Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-18178- 4 .

ISBNunu3-540-18178-4

VV Filippov, Despre dimensiunea inductivă a produsului de bicompacta , Soviet. Matematică. Dokl. 13 (1972), nr.1, 250-254.
A.R. Pears, Teoria dimensiunii spațiilor generale , Cambridge University Press (1975).

fractali
Caracteristici	dimensiune fractală dimensiunea Hausdorff Dimensiunea Lebesgue recursiunea autoasemănarea
Cei mai simpli fractali	Fern Barnsley Setul Cantor curba dragonului curba Koch Sponge Menger covor Sierpinski triunghiul Sierpinski Curba de umplere a spațiului
atractor ciudat	Multifractal
Sistemul L	Curba de umplere a spațiului
Fractali de bifurcație	Julia a stabilit Fractal Lyapunov Set Mandelbrot bazinele lui Newton
Fractali aleatorii	Mișcarea browniană arbore brunian suprafata fractala Teoria percolarii
oameni	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexandru Lyapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
subiecte asemănătoare	Cât de lungă este coasta Marii Britanii? » Paradoxul litoralului

Dimensiunea spațiului
Spații după dimensiune	Zero-dimensionale unidimensional 2D 3D patru dimensionale cinci-dimensional În șase dimensiuni Șapte-dimensionale octal Nouă-dimensionale n-dimensională Dimensiunea negativă
Politopuri și figuri	Simplex hipercub tesseract Hiperdreptunghi (ortotop) Semihipercub Cross-politope hipersferă
Tipuri de spații	spațiu finit-dimensional Spațiul euclidian spatiu afin spațiu proiectiv Modul gratuit Manifold Dimensiunea unei variabile algebrice spațiu timp
Alte concepte dimensionale	dimensiunea Krull Dimensiunea Lebesgue Dimensiunea inductivă Dimensiunea fracțională ( dimensiunea Minkowski , dimensiunea Hausdorff ) dimensiune fractală Grade de libertate
Matematica