Testul integral Cauchy-Maclaurin

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 11 mai 2019; verificările necesită 13 modificări .

Testul integral Cauchy-Maclaurin este un test pentru convergența unei serii numerice pozitive descrescătoare . Testul Cauchy-Maclaurin face posibilă reducerea verificării convergenței unei serii la verificarea convergenței integralei improprii a funcției corespunzătoare pe , aceasta din urmă putând fi adesea găsită în mod explicit. $[1,\infty )$

Enunțul teoremei

Lăsați funcția să îndeplinească: $f(x)$

$\forall x\geqslant 1\quad f(x)>0$ , adică funcția ia valori pozitive pe interval ; $[1,+\infty )$
$\forall x_{1},x_{2}\geqslant 1\qquad x_{1}<x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\geqslant f(x_{2})$ , adică funcția este monoton necrescătoare pe ; $[1,+\infty )$
$\forall n\in \mathbb {N} \quad f(n)=a_{n)$ (corespondența valorii funcției cu un membru al seriei).

Apoi seria și integrala improprie converg sau diverg simultan. $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\int \limits _{1}^{\infty }\!f(x)\,dx$

Schița dovezii

Să construim cifre în trepte pe diagramă, așa cum se arată în figură. $f(x)$
Aria figurii mai mari este . $S_{b}=f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n-1)$
Aria figurii mai mici este . $S_{s}=f(2)+f(3)+f(4)+...+f(n)$
Aria trapezului curbiliniu sub graficul funcției este $S_{{tr}}=\int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx$
Primim $S_{s}\leqslant S_{{tr}}\leqslant S_{b}\;\Rightarrow \;S_{n}-a_{1}\leqslant \int \limits _{1}^{n}f(x )\,dx\leqslant S_{{n-1}}$
Mai departe se dovedește cu ajutorul criteriului de convergență a seriei semn-pozitive .

Dovada completă

$\forall b>1$ $f(x)$ este monoton pe , deci există. $[1,b]$ $\int \limits _{1}^{b}f(x)dx$

$\forall x\in [n,n+1]$ $f(n)\geqslant f(x)\geqslant f(n+1)$ , Prin urmare

$\forall n\in \mathbb {N} \qquad$ $\int \limits _{n}^{n+1}f(n)dx=f(n)\geqslant \int \limits _{n}^{n+1}f(x)dx\geqslant f(n+1)$ .
Prin urmare, dacă converge, atunci $\int \limits _{1}^{+\infty }f(x)\,dx$

$S_{n}-f(1)=f(2)+...+f(n)\leqslant \int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx\leqslant \ int \limits _{1}^{+\infty }f(x)\,dx<+\infty$ .
Prin urmare, este limitat. Și din moment ce nu este în scădere, converge. $S_{n}$

Dacă diverge, adică , atunci $\int \limits _{1}^{+\infty }f(x)\,dx$ $\lim _{n\to \infty }\int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx=+\infty$

$S_{n}=f(1)+...+f(n)\geqslant \int \limits _{1}^{n+1}f(x)\,dx\to +\infty ,$ deci seria diverge.

Teorema a fost demonstrată.

Exemple (seria de referință)

Seria armonică generalizată converge la și diverge la , deoarece $\sum {\frac {1}{n^{p}})$ $p>1$ $p\leqslant 1$

$\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}dx=\ln x|_{1}^{+\infty }=+\infty$ (caz ), $p=1$

$\int \limits _{1}^{+\infty }{\frac {1}{x^{p}}}dx=\left.{\frac {1}{1-p}}x^ {1-p}\right|_{1}^{+\infty }={\frac {1}{p-1}}$ la , $p>1$

$\int \limits _{1}^{+\infty }{\frac {1}{x^{p}}}dx=\left.{\frac {1}{1-p}}x^ {1-p}\right|_{1}^{+\infty }=+\infty$ la . $p<1$

$\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{x\ln ^{q}x)}$ converge la si diverge la . Justificarea trebuie luată în considerare . $q>1$ $q\leqslant 1$ $\int \limits _{2}^{+\infty }{\frac {1}{x\ln ^{q}x}}dx$
Pe baza comparației cu aceste serii, se bazează semnele lui Raabe, Gauss, Bertrand și alții. Seria de serii „de referință” poate fi continuată și, pe baza acestora, se poate construi o familie de caracteristici din ce în ce mai fine pentru serii care converg lent.

Estimarea restului seriei

Criteriul Cauchy integral ne permite să estimăm restul seriei cu semne pozitive. Din expresia obtinuta in dovada $r_{n}$

S_{n}-a_{1}\leqslant \int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx\leqslant S_{{n-1}}

Cu ajutorul unor transformări simple, obținem:

\int \limits _{{n+1}}^{\infty }f(x)\,dx\leqslant r_{n}\leqslant \int \limits _{n}^{\infty }f(x)\ ,dx\leqslant a_{n}+\int \limits _{{n+1}}^{\infty }f(x)\,dx

Vezi și

Semne de convergență a seriei
Pentru toate rândurile	Stare necesară Criteriul Cauchy	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Pentru serii cu semn pozitiv	Criteriul principal Semn de comparație semn Kummer semnul Gauss Semnul radical al lui Cauchy Caracteristica integrală Semnul lui D'Alembert semn de putere semn logaritmic Semnul lui Raabe semn Bertrand Semnul lui Jamet Semnul lui Schlömilch Semnul lui Ermakov Semnul lui Lobaciovski semn telescopic Semnul lui Sapogov
Pentru serii alternate	semnul Leibniz
Pentru rândurile formularului $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	semnul Abel Semnul lui Dedekind semn Dubois-Reymond Semnul Dirichlet
Pentru serii funcționale	semn Weierstrass
Pentru seria Fourier	semn Dini Semnul lui de la Vallée Poussin semn Iordan Semnul Jung Semnul Salem Semnul Lebesgue Semnul Lebesgue-Gergen Semnul lui Martsinkevich