Setul Cantor

Mulțimea Cantor ( Cantor discontinuum , Cantor dust ) este unul dintre cei mai simpli fractali , o submulțime a segmentului unitar al dreptei reale , care este un exemplu clasic de discontinuu în analiza matematică .

Descris în 1883 de Georg Cantor . Cu aceasta el a răspuns la următoarea întrebare a lui Magnus Mittag-Leffler într-o scrisoare din 21 iunie 1882: [1]

Să notăm setul de puncte limită ale mulțimii . Există un set dens nicăieri, astfel încât intersecția

P'

P

P

P\cap P'\cap P''\cap \dots

nu este gol?

Definiții

Construcție clasică

Dintr-un singur segment , înlăturăm treimea mijlocie, adică intervalul . Punctul rămas setat va fi notat cu . Setul este format din două segmente; Să scoatem acum treimea sa mijlocie din fiecare segment și să notăm setul rămas cu . Repetând această procedură din nou, eliminând treimile mijlocii ale tuturor celor patru segmente, obținem . Mai departe, în același mod, obținem o succesiune de mulțimi închise . intersecție $C_0=[0,1]$ $(1/3,2/3)$ $C_{1}$ $C_1=[0,1/3]\cup[2/3,1]$ $C_{2}$ $C_{3}$ $C_0\supset C_1\supset C_2\supset\dots$

C=\bigcap_{i=0}^\infty C_i

se numeste setul Cantor .

Seturi

C_0,\ C_1,\ C_2,\ C_3,\ C_4,\ C_5,\ C_6

Cu notație ternară

Mulțimea Cantor poate fi definită și ca o mulțime de numere de la zero la unu care pot fi reprezentate în notație ternară folosind doar zerouri și doi (numerele cu o unitate în a n-a cifră sunt decupate la a n-a etapă de construcție). Un număr aparține mulțimii Cantor dacă are cel puțin o astfel de reprezentare, de exemplu , din moment ce . $0{,}1_{3}\în C$ ${\displaystyle 0{,}1_{3}=0{,}0(2)_{3))$

Într-o astfel de notație, este ușor de văzut continuitatea setului Cantor.

Ca atractor

Setul Cantor poate fi definit ca un atractor . Luați în considerare toate secvențele de puncte astfel încât pentru oricare $\{x_n\}$ $n$

x_{n+1}=x_n/3

sau .

x_{n+1}-1=(x_n-1)/3

Atunci setul de limite ale tuturor astfel de secvențe este un set Cantor.

Ca putere numărabilă a unui simplu două puncte

În literatura de topologie generală, o mulțime Cantor este definită ca o putere numărabilă a unui spațiu discret în două puncte - [2] ; un astfel de spațiu este homeomorf la o mulțime Cantor construită clasic (cu topologia euclidiană obișnuită) [3] [4] . $\{0;1\}^{\aleph_0}$

Proprietăți

Setul Cantor este un set perfect dens nicăieri .
Setul Cantor este continuu .
Mulțimea Cantor are dimensiunea topologică 0.
Mulțimea Cantor are o dimensiune Hausdorff intermediară (adică nu întreagă ) egală cu . În special, are zero măsură Lebesgue . $\ln 2/\ln 3\aprox 0{,}63$
Fiecare compact metrizabil cu dimensiuni zero fără puncte izolate este homeomorf pentru un set Cantor.
Fiecare compactă metrizabilă este imaginea unui set Cantor sub o mapare continuă .
Setul Cantor este universal pentru toate spațiile zero -dimensionale cu o bază numărabilă .

Variații și generalizări

Cubul Cantor ( generalizat Cantor discontinuum ) al greutății estea-lea putere a unui spațiu discret în două puncte. Cubul Cantor este universal pentru toate spațiile de greutate zero-dimensionale cel mult. Fiecarecompact de greutate Hausdorff este cel mult o imagine continuă a unui subspațiu al cubului Cantor. $\mathfrak{m}\geqslant \aleph_0$ $\mathfrak{m}$ $\{0;1\}^{\mathfrak{m}}$ $\mathfrak{m}$ $\mathfrak{m}$ $\{0;1\}^{\mathfrak{m}}$

Un set compact diadic este un set compact reprezentabil ca o imagine continuă a unui cub Cantor. Un spațiu diadic [5] este un spațiu topologic pentru care există o compactare care este o mulțime compactă diadic.

Vezi și

Note

↑ Moore, Gregory H. The emergence of open sets, closed sets, and limit points in analysis and topology // Historia Math. - 2008. - Vol. 35 , nr. 3 . — P. 220–241 .
↑ Engelking, 1986 , p. 136.
↑ Engelking, 1986 , p. 207-208.
↑ Cantor set - Encyclopedia of Mathematics articol . V. V. Fedorchuk
↑ Spațiul diadic - articol din Encyclopedia of Mathematics . V. A. Efimov

Literatură

Engelking R. . Topologie generală. — M .: Mir , 1986. — 752 p.

fractali
Caracteristici	dimensiune fractală dimensiunea Hausdorff Dimensiunea Lebesgue recursiunea autoasemănarea
Cei mai simpli fractali	Fern Barnsley Setul Cantor curba dragonului curba Koch Sponge Menger covor Sierpinski Triunghiul Sierpinski Curba de umplere a spațiului
atractor ciudat	Multifractal
Sistemul L	Curba de umplere a spațiului
Fractali de bifurcație	Julia a stabilit Fractal Lyapunov Set Mandelbrot bazinele lui Newton
Fractali aleatorii	Mișcarea browniană arbore brunian suprafata fractala Teoria percolarii
oameni	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexandru Lyapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
subiecte asemănătoare	Cât de lungă este coasta Marii Britanii? » Paradoxul litoralului