Număr triunghiular pătrat

În teoria numerelor, un număr triunghiular pătrat (sau un număr pătrat triunghiular ) este un număr care este atât triunghiular , cât și pătrat . Există un număr infinit de numere triunghiulare pătrate.

De exemplu, numărul 36 este atât pătrat ( ) cât și triunghiular : $6\times 6$ $\left({\frac {9\times 8}{2}}\right)$

Numerele triunghiulare pătrate formează o succesiune:

0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, ... (secvența A001110 în OEIS ).

Formule

Vom scrie N k pentru k --lea număr triunghiular pătrat, s k și t k pentru laturile pătratului și respectiv triunghiului, atunci

N_{k}=s_{k}^{2}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2)).

Secvențele Nk , sk și tk sunt prezente în OEIS ( A001110 , A001109 și respectiv A001108 ) .

În 1778, Leonhard Euler a stabilit formula explicită [1] [2] :12—13

N_{k}=\left({\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{ 4{\sqrt {2}}}}\right)^{2}.

Alte formule echivalente care pot fi derivate din această formulă:

{\begin{aligned}N_{k}&={1 \over 32}\left((1+{\sqrt {2}})^{2k}-(1-{\sqrt {2}} )^{2k}\right)^{2}={1 \peste 32}\left((1+{\sqrt {2}})^{4k}-2+(1-{\sqrt {2}} )^{4k}\right)\\&={1 \over 32}\left((17+12{\sqrt {2}})^{k}-2+(17-12{\sqrt {2} })^{k}\dreapta).\end{aliniat}}

Formulele explicite corespunzătoare pentru s k și t k [2] :13 :

s_{k}={\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{4{\ sqrt {2}}}}

și

t_{k}={\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}+(3-2{\sqrt {2}})^{k}-2}{4 }}.

Ecuația lui Pell

Legătura numerelor triunghiulare pătrate cu ecuația lui Pell se poate obține astfel [3] :

orice număr triunghiular are forma t ( t + 1)/2, deci trebuie să găsim t și s astfel încât

{\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}.

Înmulțind părțile din stânga și din dreapta cu 8 și selectând un pătrat complet, obținem

(2t+1)^{2}=8s^{2}+1,

înlocuind acum x = 2 t + 1 și y = 2 s , obținem ecuația diofantină

x^{2}-2y^{2}=1,

care este ecuația lui Pell . Soluțiile acestei ecuații sunt numerele Pell P k [4]

x=P_{2k}+P_{2k-1},\quad y=P_{2k};

și de aceea toate soluțiile sunt date prin formule

s_{k}={\frac {P_{2k)}{2)),\quad t_{k}={\frac {P_{2k}+P_{2k-1}-1}{2} },\quad N_{k}=\left({\frac {P_{2k}}{2}}\right)^{2}.

Există multe identități asociate cu numerele Pell, iar formulele de mai sus le traduc în identități cu numere triunghiulare pătrate.

Relații recurente

Există relații de recurență pentru numerele triunghiulare pătrate, precum și pentru laturile pătratelor și triunghiurilor corespunzătoare. Avem [5] :(12)

N_{k}=34N_{k-1}-N_{k-2}+2,N_{0}=0,N_{1}=1.

N_{k}=\left(6{\sqrt {N_{k-1))}-{\sqrt {N_{k-2)}}\right)^{2},N_{0}= 1,N_{1}=36.

Și de asemenea [1] [2] :13

s_{k}=6s_{k-1}-s_{k-2},s_{0}=0,s_{1}=1;

t_{k}=6t_{k-1}-t_{k-2}+2,t_{0}=0,t_{1}=1.

Alte proprietăți

Toate numerele triunghiulare pătrate sunt de forma b 2 c 2 , unde b / c este valoarea convergentă a fracției continue a rădăcinii pătrate a lui 2 [6] .

AV Sylwester a dat o scurtă demonstrație a infinitului numărului de numere triunghiulare pătrate, și anume [7] :

Dacă numărul triunghiular n ( n + 1)/2 este un pătrat, atunci există un număr triunghiular mai mare:

{\frac {{\bigl (}4n(n+1){\bigr )}{\bigl (}4n(n+1)+1{\bigr )}}{2}}=2^{ 2}\,{\frac {n(n+1)}{2}}\,(2n+1)^{2}.

Și această valoare trebuie să fie un pătrat, deoarece este produsul a trei pătrate: (evident), (al n-lea număr triunghiular se presupune că este un pătrat) și (evident). $2^{2}$ $(n(n+1))/2$ $(2n+1)^{2}$

Funcția generatoare pentru numerele triunghiulare pătrate este [8] :

{\frac {1+z}{(1-z)(z^{2}-34z+1)))=1+36z+1225z^{2}+\cdots .

Valori numerice

Pe măsură ce k crește , raportul t k / s k tinde spre , iar raportul numerelor triunghiulare pătrate învecinate tinde spre . ${\sqrt {2}}\aproximativ 1,41421$ $17+12{\sqrt {2}}\aprox 33,97056$

{\begin{array}{rrrrll}k&N_{k}&s_{k}&t_{k}&t_{k}/s_{k}&N_{k}/N_{k-1}\\0&0&0&0&&\\1&1&1&1&1& \\2&36&6&8&1.33333&36\\3&1\,225&35&49&1.4&34.02778\\4&41\,616&204&288&1.41176&33.97224\\5&1\,714&\,4&41\,616&204&288&1.41176&33.97224\\5&1\,714&\\,714\\,714\\,714&\\\,714&\ 930&9\,800&1.41414&33.97056\\7&1\,631\,432\,881&40\,391&57\,121&1.41420&33.97056\\\end{array}}

Note

↑ 12 Leonard Eugene Dickson . Istoria teoriei numerelor (engleză) . - Providence: Societatea Americană de Matematică, 1999. - Vol. 2. - P. 16. - ISBN 978-0-8218-1935-7 .
↑ 1 2 3 Euler, Leonhard Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (O regulă ușoară pentru problemele diofantine care trebuie rezolvate rapid prin numere întregi) (lat.) // Memoires de l'academie des sciences de St.-Petersbourg. - 1813. - Vol. 4 . - P. 3-17 . . — „După înregistrări, a fost prezentat la Sf. Academia din Petersburg la 4 mai 1778.
↑ Barbeau, Edward. Ecuația lui Pell . - New York: Springer, 2003. - P. 16-17. — (Cărți cu probleme în matematică). - ISBN 978-0-387-95529-2 .
↑ Hardy, GH ; Wright, E.M. O introducere în teoria numerelor . — al 5-lea. - Oxford University Press , 1979. - P. 210. - ISBN 0-19-853171-0 . . - „Teorema 244”.
^ Weisstein , Eric W. Square Triangular Number pe site- ul Wolfram MathWorld .
↑ Ball, W.W. Rose ; Coxeter , HSM Recreeri și eseuri matematice . - New York: Dover Publications , 1987. - P. 59 . - ISBN 978-0-486-25357-2 .
↑ Pietenpol, JL; A. V. Sylwester, Erwin Just, R. M. Warten. Probleme și soluții elementare: E 1473, Numere triunghiulare pătrate // American Mathematical Monthly : jurnal . - Mathematical Association of America, 1962. - Februarie ( vol. 69 , nr. 2 ). - P. 168-169 . — ISSN 00029890 . — .
↑ Plouffe, Simon 1031 Generating Functions (PDF) A.129. Universitatea din Quebec, Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique (august 1992). Consultat la 11 mai 2009. Arhivat din original pe 6 februarie 2013. (nedefinit)

Link -uri

Numere triunghiulare care sunt, de asemenea, pătrate Arhivate la 27 aprilie 2006 la Wayback Machine la cut-the-knot
Weisstein, Eric W. Square Triangular Number (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Soluția lui Michael Dummett Arhivat 13 februarie 2021 la Wayback Machine

numere ondulate

apartament

Poligonală clasică	triunghiular Pătrat Pentagonal Hexagonal Heptagonal Octogonal Dodecagonal
Centrat	triunghiular Pătrat Pentagonal Hexagonal Heptagonal Octogonal În nouă unghiuri Decagonală

Piramidal	tetraedric Pătrat piramidal
cu mai multe fațete	cub octaedral Dodecaedral icosaedric Octaedral stelat

cu mai multe fațete	Pentatopic Bisquare