Notatie matematica

Notația matematică („limbajul matematicii”) este o notație grafică folosită pentru a exprima idei și judecăți matematice abstracte într-o formă care poate fi citită de om. El alcătuiește (în complexitatea și diversitatea sa) o proporție semnificativă a sistemelor de semne non-vorbire utilizate de omenire. Acest articol descrie notația internațională general acceptată, deși diferite culturi din trecut au avut propria lor, iar unele dintre ele au chiar o utilizare limitată până în prezent.

Rețineți că notația matematică, de regulă, este folosită împreună cu forma scrisă a unora dintre limbile naturale .

Pe lângă matematica fundamentală și aplicată, notația matematică este utilizată pe scară largă în fizică , precum și (în domeniul său incomplet) în inginerie , informatică , economie și, într-adevăr, în toate domeniile activității umane în care sunt utilizate modele matematice . Diferențele dintre stilul propriu de notare matematic și aplicat vor fi discutate pe parcursul textului.

Informații generale

Sistemul a evoluat, ca și limbile naturale, din punct de vedere istoric (vezi istoria notației matematice ) și este organizat ca scrierea limbilor naturale, împrumutând de acolo și multe simboluri (în primul rând din alfabetul latin și grecesc ). Simbolurile, precum și în scrisul obișnuit, sunt reprezentate cu linii contrastante pe un fundal uniform (negru pe hârtie albă, lumină pe o tablă întunecată, contrast pe un monitor etc.), iar semnificația lor este determinată în primul rând de formă și relativă. poziţie. Culoarea nu este luată în considerare și de obicei nu este folosită, dar atunci când se utilizează litere , caracteristicile lor, cum ar fi stilul și chiar tipul de literă , care nu afectează semnificația în scrierea obișnuită, pot juca un rol semantic în notația matematică.

Structura

Notațiile matematice obișnuite (în special, așa-numitele formule matematice ) sunt scrise în general pe o linie de la stânga la dreapta, dar nu constituie neapărat un șir de caractere secvenţial. Blocuri separate de caractere pot fi amplasate în jumătatea superioară sau inferioară a liniei, chiar și în cazul în care caracterele nu se suprapun pe verticală. De asemenea, unele părți sunt situate în întregime deasupra sau sub linie. Pe partea gramaticală , aproape orice „formulă” poate fi considerată o structură de tip arbore organizată ierarhic .

Standardizare

Notațiile matematice reprezintă un sistem în sensul interconexiunii componentelor lor, dar, în general, nu constituie un sistem formal (în înțelegerea matematicii în sine). Ele, în orice caz dificil, nici măcar nu pot fi dezasamblate programatic . Ca orice limbaj natural, „limbajul matematicii” este plin de denumiri inconsistente, omografii , interpretări diferite (dintre vorbitorii săi) a ceea ce este considerat corect etc. Nu există nici măcar un alfabet previzibil al simbolurilor matematice, și în special pentru că întrebarea nu este întotdeauna rezolvată fără ambiguitate dacă să considerăm două denumiri ca caractere diferite sau ca ortografii diferite ale unui caracter.

Unele dintre notațiile matematice (în principal legate de măsurători ) sunt standardizate în ISO 31-11 , dar, în general, nu există mai degrabă o standardizare a notației.

Elemente de notație matematică

Numere

Pentru a scrie numere întregi, de regulă, se folosește sistemul numeric zecimal cu cifre arabe . Un șir de cifre scrise într-un rând este interpretat ca un număr; posibilele excepții sunt enumerate mai jos .

Dacă este necesar, se aplică un sistem numeric cu o bază mai mică de zece, baza se scrie în indice: 20003 8 . Sistemele numerice cu baze mai mari de zece nu sunt folosite în notația matematică general acceptată (deși, desigur, sunt studiate chiar de știință), deoarece nu există suficiente numere pentru ele. În legătură cu dezvoltarea informaticii , a devenit relevant sistemul numeric hexazecimal , în care numerele de la 10 la 15 sunt indicate prin primele șase litere latine de la A la F. Mai multe abordări diferite sunt folosite pentru a desemna astfel de numere în informatică. , dar nu sunt transferate la matematică.

Fracția zecimală este folosită pentru a desemna numere reale în zonele aplicate (adică, de regulă, o valoare aproximativă, care nu este specificată în mod specific). În matematică, dacă un număr rațional neîntreg se întâmplă să fie un multiplu al unei puteri negative de zece , atunci poate fi scris și ca zecimală . Tipul de separator dintre părțile întregi și fracționale ( punct sau virgulă ) depinde de tradiția adoptată în limbajul folosit.

În aplicații, foarte mari sau foarte mici (în valoare absolută ) sunt adesea scrise în notație exponențială : . Uneori (în special calculatoarele ) în loc de „înmulțire cu zece la putere” scriu litera „E”, adică , dar în majoritatea domeniilor (inclusiv matematica „pură”) o astfel de notație nu este folosită. $1{,}6\cdot 10^{3}$ $1{,}6\cdot 10^{3}=1{,}6E3$

Matematica, pe de altă parte, se străduiește mai mult pentru precizie decât pentru ușurință de notare și, prin urmare, numărul necesar, pe cât posibil, va fi scris mai degrabă sub forma unei expresii decât aproximativ.

Simboluri atomice

Dintre caracterele alfabetice , sunt folosite în principal litere latine și grecești. Înregistrarea este importantă. Literele latine „ I ” (majusculă „și”) și „ l ” (minuscule „el”) în stilul direct sunt scrise cu serif , pentru a nu fi confundate cu bara verticală „|” și unul cu celălalt și, în general, depuneți eforturi pentru a utiliza stiluri care sunt cât mai puțin asemănătoare cu alte caractere folosite. Literele gotice sunt considerate litere separate. În principiu, nu există restricții cu privire la alfabetele utilizate.

De asemenea, puteți lua în considerare cuvintele atomice scrise cu litere latine - desemnările general acceptate ale unor funcții și operatori, de exemplu „log” (în scris nu sunt rupte de spații, nu sunt transferate etc.); vezi lista de abrevieri matematice . Astfel de cuvinte sunt scrise în scriere romană (nu italic ) cu litere mici (cu posibila excepție a primei litere, care poate fi majuscule ). Există și digrafe care constau din caractere non-latine.

Nu folosiți caractere precum „Ȉ” (în engleză „ai” cu puncte), deoarece astfel de caractere pot fi ușor confundate cu derivate ( vezi mai jos ).

Caractere superscript și indice

Paranteze, simboluri și delimitatori similare

Parantezele „()” sunt folosite:

pentru grupare (adică pentru a indica succesiunea operațiilor) (pentru mai multe detalii, consultați articolul despre precedența operațiilor );
în sintaxa funcției ;
in alte cazuri.

Parantezele pătrate „[]” sunt adesea folosite în sensurile de grupare atunci când trebuie să folosiți mai multe perechi de paranteze. În acest caz, acestea sunt plasate în exterior și (cu tipografie îngrijită ) au o înălțime mai mare decât parantezele din interior.

Pătratul „[]” și parantezele „()” sunt folosite pentru a desemna spațiile închise și , respectiv, deschise.

Acoladele „{}” sunt în general folosite pentru a defini seturile , deși pentru acestea se aplică aceeași avertizare ca și pentru paranteze drepte. Parantezele din stânga „{” și din dreapta „}” pot fi folosite separat; scopul lor este descris mai jos .

Caracterele paranteze unghiulare „ ” în tipografia îngrijită ar trebui să aibă unghiuri obtuze și, prin urmare, să difere de caracterele de inegalitate similare care au un unghi drept sau ascuțit. În practică, nu trebuie să sperăm la acest lucru (mai ales atunci când scrieți manual formule) și trebuie să distingem între ele cu ajutorul intuiției. $\langle \;\rangle$

Perechile de simboluri simetrice (față de axa verticală), inclusiv cele altele decât cele enumerate, sunt adesea folosite pentru a evidenția o parte dintr-o formulă. Scopul parantezelor pereche este descris mai jos .

Virgula „,” este folosită ca separator. Când se folosește o virgulă ca separator într-o fracție zecimală (de exemplu, în tradiția rusă ), spațiile în jurul virgulei nu sunt puse. În toate celelalte cazuri (de exemplu, când se folosește o virgulă ca separator de argumente de funcție ), un spațiu mic este plasat la dreapta virgulei, dar un spațiu nu este de obicei pus la stânga.

Simbolul barei verticale „|” joacă un rol dublu . În funcție de context, poate fi fie o paranteză (de exemplu, valoare absolută , determinant de matrice ), fie un separator în diferite construcții, fie o desemnare a începutului / sfârșitului unei matrice . $|x|$ $|M|$

Indici

În funcție de locație, se disting indicele și indicele . Superscriptul poate (dar nu înseamnă neapărat) exponențiere , vezi mai jos pentru alte utilizări .

Spre deosebire de tipografia obișnuită , în matematică, întreaga expresie acționează adesea ca un „indice”, conținând adesea fracții și indici proprii, ceea ce duce la rafinarea caracterelor și în general complică recunoașterea vizuală a formulelor.

Aranjamentul reciproc al simbolurilor

Deci, principalele modele de aranjare a caracterelor:

la o linie;
în mai multe rânduri înrudite (vezi exemplu );
paranteze interioare (pot exista cazuri de aranjare atât pe un rând, cât și pe mai multe);
un șir de caractere deasupra sau sub caracterul situat în șir (de obicei o dimensiune mărită);
o linie de caractere de o înălțime mai mică ( point size ) este scrisă în dreapta deasupra sau în dreapta sub un caracter de o înălțime mai mare (vezi mai sus );
două subșiruri unul deasupra celuilalt, separate printr-un segment de linie dreaptă orizontală - vezi acest articol pentru semnificație ).

Sintaxă

Constante

Constantele sunt valori fixate deja la momentul scrierii formulei, în special cele numerice. Scrierea numerelor întregi a fost menționată mai sus , însă, dacă conține prea multe cifre, atunci poate fi reprezentată ca o expresie aritmetică, de exemplu ,. $2^{{127}}-1$

Dacă numărul care se scrie este evident rațional , atunci în matematică în marea majoritate a cazurilor se va scrie exact, adică, de regulă, sub forma unei fracții simple (dacă numărul nu este întreg).

Numărul algebric , dacă este posibil, va fi scris prin rădăcini. La fel, orice alt număr poate fi scris ca o expresie care dă valoarea exactă a acestuia.

Un număr complex poate fi scris ca , unde a și b sunt constante reale, dar poate fi scris în termenii argumentului și modulului numărului complex. $a+ib$

Dacă este necesar, parantezele sunt plasate în jurul notației constante și, în general, scrierea constantelor ca expresii în matematică pură nu este diferită de scrierea oricăror alte expresii.

Un număr de constante matematice au nume de litere - vezi numărul Pi ( ), numărul Euler e și o serie de altele . În științele care folosesc aparatul matematic, există multe dintre ele denumite și notate cu litere de constante. De exemplu, consultați Constante fizice fundamentale . $\pi$

Variabile

În științe, există seturi de cantități, iar oricare dintre ele poate lua fie un set de valori și poate fi numită variabilă (variantă), fie o singură valoare și poate fi numită constantă. În matematică, cantitățile sunt adesea abstrase din semnificația fizică, iar apoi variabila se transformă într-o variabilă abstractă (sau numerică), notată cu un simbol care nu este ocupat de notația specială menționată mai sus.

Variabila X este considerată dată dacă se specifică setul de valori {x} pe care îl acceptă . Este convenabil să se considere o mărime constantă ca o variabilă a cărei mulțime corespunzătoare {x} constă dintr-un element. [unu]

Funcții și operatori

În matematică, nu există nicio diferență esențială între un operator ( unar ), o mapare și o funcție . [2]

Totuși, se înțelege că dacă trebuie specificate paranteze pentru a înregistra valoarea mapării din argumentele date , atunci simbolul acestei mapări denotă o funcție, în alte cazuri se vorbește mai degrabă de un operator. Simbolurile unor funcții ale unui argument sunt folosite cu și fără paranteze. Multe funcții elementare precum sau , dar funcțiile elementare sunt întotdeauna numite funcții . $\sin x$ $\sin(x)$

Operatori și relații (unare și binare)

Operatorii binari și relațiile sunt scrise în formă infixă, cu excepția cazului în care folosesc sintaxa funcției. Operatorii unari sunt scrisi la întâmplare; în algebră, semnul operatorului este de obicei plasat la stânga argumentului (notația prefixului). Operatorul de diferențiere este scris cu un prim (de obicei înseamnă diferențiere față de variabila x sau pur și simplu cu un singur argument de funcție) sau un punct în partea de sus (de obicei înseamnă diferențiere față de variabila t - timp ). $f'$ ${\punct f}$

Pentru utilizarea operațiilor aritmetice și elementare , precum și a altor funcții „standard”, consultați articolul „ formula matematică ”.

Funcții

O funcție poate fi menționată în două sensuri: ca o expresie a valorii sale cu argumente date (scrise , etc.) sau ca o funcție în sine. În acest din urmă caz, se pune doar simbolul funcției, fără paranteze (deși adesea îl scriu la întâmplare). $f(x),\ f(x,y)$

Există multe notații pentru funcțiile comune utilizate în lucrările matematice fără explicații suplimentare. În caz contrar, funcția trebuie descrisă cumva, iar în matematica fundamentală nu diferă fundamental de o variabilă și se notează, de asemenea, printr-o literă arbitrară în același mod. Litera f este cea mai populară pentru funcțiile variabile , g și majoritatea greacă sunt, de asemenea, adesea folosite .

Denumiri predefinite (rezervate)

Cu toate acestea, denumirile cu o singură literă pot primi, dacă se dorește, un sens diferit. De exemplu, litera i este adesea folosită ca notație de index în contexte în care numerele complexe nu se aplică, iar litera π poate fi folosită ca variabilă, cum ar fi în combinatorică . De asemenea, simbolurile teoriei mulțimilor (cum ar fi „ ” și „ ”) și calculului propozițional (cum ar fi „ ” și „ ”) pot fi utilizate în alte sensuri, de obicei ca relații de ordine și , respectiv , operații binare . $\subset$ $\supset$ $\pană$ $\vee$

Indexare

Indexarea este reprezentată grafic prin indici (de obicei indice, uneori super-indice) și este, într-un sens, o modalitate de a extinde conținutul unei variabile. Cu toate acestea, este folosit în trei sensuri ușor diferite (deși suprapuse).

Numerele reale

Este posibil să aveți mai multe variabile diferite notându-le cu o singură literă, similar cu utilizarea accentelor . De exemplu: . De obicei, acestea sunt conectate printr-o anumită caracteristică comună, dar în general acest lucru nu este necesar. $x_{1},\ x_{2},\ x_{3}\ldots$

Mai mult, ca „indexuri” puteți folosi nu numai numere, ci și orice caractere. Cu toate acestea, atunci când o altă variabilă și expresie este scrisă ca index, această intrare este interpretată ca „o variabilă cu un număr determinat de valoarea expresiei indexului”.

În analiza tensorială

În algebra liniară , analiza tensorială , geometria diferențială cu indici (sub formă de variabile), se scriu mărimi tensorale , iar numărul acestora indică rangul tensorului. Se folosesc și superscripte.

În scrierea produsului mărimilor tensorale, interpretarea depinde de coincidența variabilelor de indice utilizate. Dacă toate sunt distincte, atunci este implicit un produs tensor . Dacă o variabilă apare de două ori (de exemplu: ), atunci convoluția este efectuată pe ea . De asemenea, este posibil să scrieți tipul - urma matricei . Această notație este denumită în mod tradițional „ sumare peste indici repeți ”, deoarece într-o bază fixă, acesta este exact ceea ce arată. $A_{l}^{k}B_{m}^{l}$ $A_{k}^{k}$

Opțiuni

Construcții care folosesc caractere în oglindă (pereche)

Valorile parantezelor , altele decât indicarea secvenței operațiilor (grupare). În cazul mai multor argumente (mai mult de unul), caracterul delimitator este o virgulă "," dacă nu se specifică altfel.

Paranteze rotunde „()”:

produs punctual (2 argumente);
pereche ordonată (2 argumente), etc. (mai multe argumente).

Paranteza patrata "[]":

comutare (2 argumente) și operații similare.

În absența caracterelor speciale, parantezele „ ” pot fi folosite pentru a indica partea întreagă a unui număr . $\lfloor \ \rfloor$

Paranteze „{}”:

seturi (un număr arbitrar de argumente separate prin virgule, sau „{ expresie | condiție }”);
anticomutator (2 argumente).

Paranteze unghiulare „<>”:

bra și ket (2 sau 3 argumente; separator — bară verticală „|” ), formă hermitiană (2 argumente);
tuplu (în logica matematică etc.; există câte argumente doriți, cel puțin 0).

Stick „||” și bastoane duble " ": $||\ ||$

valoare absolută („modul”), normă (1 argument).

Seturi și clase

O mulțime sau o clasă pot fi notate, ca și alte obiecte, sub forma unei notații predefinite, a unei variabile (un simbol atomic), ca rezultat al unei operații pe mulțimi etc. $\{$ $\mid$ $\}$ toate valorile expresiei pentru care condiția este adevarat. Variabilele utilizate într-o anumită expresie pot fi locale.

De asemenea, este posibil să scrieți „ condiție ” $\{x\în M\mid$ $\}$ , unde

x este o variabilă locală (ale cărei valori formează setul necesar);
M este o mulțime predeterminată prin care trece variabila x .

Un set sau o clasă poate fi scrisă și ca enumerare: „{element}”, „{element, element}” , „{element, element, element}” etc.

Simbolurile pentru operațiile pe seturi sunt descrise în articolul „ Operații pe seturi ”.

Construcții ale logicii matematice

Conexiuni logice

Pentru a scrie expresii logice alcătuite din valori ale predicatelor , relații binare etc., se folosesc conexiuni logice. Conectivele binare sunt scrise în formă infixă . In general acceptat:

conjuncția „&” (de asemenea „ „, mai ales în logica booleană ); $\pană$
disjuncția " " (simbolul " | ", spre deosebire de programare, nu este folosită în acest sens); $\vee$
implicație : " " (ca o afirmație semnificativă), "→" (judecarea unei teorii formale); în cazul în care, contrar obiceiului, premisa este în dreapta, iar consecința este în stânga, direcția săgeții se schimbă: " ", " "; $\Sageata dreapta$ $\Sageata stanga$ $\sageata stanga$
negație „¬” (conjunctiv unar, folosit sub forma de prefix ; multe simboluri de relație binară, în special simbolul de egalitate și simbolul de ordine, au o varietate cu o negație încorporată, obținută de obicei prin tăierea simbolului).

Constantele propoziționale, precum și alte tipuri de conjunctive logice, nu au denumiri general acceptate (cu excepția, poate, a zonei, de fapt, a logicii matematice).

„ Și ” și „ sau ” atunci când scrieți ecuații

Aceeași conjuncție la scrierea așa-zisului. sistemul de ecuații este de obicei notat printr-o acoladă cu deschidere nepereche „{”.

În mod similar, o disjuncție poate fi notată printr-o paranteză pătrată de deschidere nepereche „[”.

Există, de asemenea, un construct similar cu operația condițională ternară în unele limbaje de programare:

\vartheta (x)={\begin{cases}0,&x<0\\1,&x\geqslant 0\end{cases}}

Cuantificatori

Cuantificatorul universal „∀” (deseori omis la scrierea identităților și implicat peste toate variabilele )
Cuantificatorul existențial este „∃”, există și o formă cu o negație încorporată „ ”. $\nu exista$
Existența și unicitatea lui „∃!” ( digraf ).

Concluzie

Notație informală

Traducere în formă negrafică

Lectură orală

Codare electronică

Cel mai comun sistem al acestuia este TeX și extensiile sale. [3]

Vezi și

Note

↑ Fikhtengolts G.M. Capitolul unu: Teoria limitelor. // Curs de calcul diferenţial şi integral. - Ed. a VII-a - „Nauka”, 1969. - T. 1. - S. 43. - 608 p. — 100.000 de exemplare.
↑ Dicţionar Enciclopedic Matematic / Cap. ed. Iu. V. Prohorov . - " Enciclopedia Sovietică ", 1988. - S. 431 . — 847 p. — 150.000 de exemplare.
↑ Wikipedia folosește LaTeX pentru notație matematică , a cărei utilizare este documentată pe pagina Wikipedia:Formule .

Tapografia

Casă de marcat

comun	Alfabet Ligaturi Litere mari Litere mici cifre arabe Semne de punctuatie Diacritice Semne tipografice
Special	Simboluri astronomice Semne valutare Simboluri matematice Semne muzicale Font pentru caractere Ornament încrustat fleuron Politip
Material	Pătrat Marzan Reglet spaţiu Fateta dentara

Set text solid

Tipuri speciale de cadran

set de blocuri
Recrutare
Set de coloane
Set de masă

microtipografie

Metode de apelare

Compozitori

Intertype
Kastenbein
Linotip
Monoline
Monotip
Compozitorul paginii
Mașină de turnare în linie Ludlow
tipograf
Electrotipograf
procesor de cuvinte
Publicare desktop

Vezi si Editura tipografie tipografie font aspect imprimare