Valorea estimata

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 1 octombrie 2021; verificările necesită 3 modificări .

Așteptarea matematică este un concept în teoria probabilității , adică valoarea medie (ponderată cu probabilitățile valorilor posibile) a unei variabile aleatoare [1] . În cazul unei variabile aleatoare continue, ponderea densității este implicită (a se vedea mai jos pentru definiții mai riguroase). Așteptările matematice ale unui vector aleator este egală cu un vector ale cărui componente sunt egale cu așteptările matematice ale componentelor vectorului aleator.

Notat cu [2] (de exemplu, din engleză Expected value sau germană Erwartungswert ); în literatura de limbă rusă, se găsește și o desemnare (posibil din engleză Mean value sau germană Mittelwert , și posibil din „Mathematical expectation”). În statistică, notația este adesea folosită . ${\mathbb {E}}[X]$ $M[X]$ $\mu$

Pentru o variabilă aleatorie care ia valori doar 0 sau 1, așteptarea matematică este egală cu p - probabilitatea de „unu”. Așteptarea matematică a sumei unor astfel de variabile aleatoare este np , unde n este numărul acestor variabile aleatoare. În acest caz, probabilitățile de apariție a unui anumit număr de unități sunt calculate în funcție de distribuția binomială . Prin urmare, în literatură, cel mai probabil, este mai ușor să găsești o înregistrare care se împerechează. așteptarea distribuției binomiale este np [3] .

Unele variabile aleatoare nu au o valoare așteptată, cum ar fi variabilele aleatoare care au o distribuție Cauchy .

În practică, așteptarea matematică este de obicei estimată ca media aritmetică a valorilor observate ale unei variabile aleatoare (media eșantionului, medie eșantionului). Se dovedește că în anumite condiții slabe (în special, dacă eșantionul este aleatoriu, adică observațiile sunt independente), media eșantionului tinde către valoarea adevărată a așteptării matematice a unei variabile aleatoare atunci când dimensiunea eșantionului (numărul de observatii, teste, masuratori) tinde spre infinit.

Definiție

Definiție generală în termenii integralei Lebesgue

Să fie date un spațiu de probabilitate și o variabilă aleatoare definite pe acesta . Adică, prin definiție, este o funcție măsurabilă . Dacă există o integrală Lebesgue a peste spațiu , atunci se numește așteptare matematică sau valoarea medie (așteptată) și se notează cu sau . $(\Omega,\mathfrak{A},\mathbb{P})$ $X$ $X\colon \Omega \to \mathbb {R}$ $X$ $\Omega$ $M[X]$ ${\mathbb {E}}[X]$

\mathbb {E} [X]=\int \limits _{\Omega }\!X(\omega )\,\mathbb {P} (d\omega).

Definirea prin funcția de distribuție a unei variabile aleatoare

Dacă este funcția de distribuție a unei variabile aleatoare, atunci așteptarea sa matematică este dată de integrala Lebesgue-Stieltjes : $F_{X}(x)$

\mathbb {E} [X]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!x\,dF_{X}(x)

, .

x\in \mathbb {R}

Definiție pentru o variabilă aleatoare absolut continuă (prin densitatea distribuției)

Aşteptarea matematică a unei variabile aleatoare absolut continue , a cărei distribuţie este dată de densitate , este egală cu $f_{X}(x)$

\mathbb {E} [X]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!xf_{X}(x)\,dx

Definiția unei variabile aleatoare discrete

If este o variabilă aleatoare discretă cu distribuție $X$

\mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i}

. .

\sum \limits _{i=1}^{\infty }p_{i}=1

atunci rezultă direct din definiţia integralei Lebesgue că

\mathbb {E} [X]=\sum \limits _{i=1}^{\infty}x_{i}\,p_{i)

. Așteptările matematice ale unei valori întregi

If este o variabilă aleatorie întreagă pozitivă (un caz special al uneia discrete) cu o distribuție de probabilitate $X$

\mathbb {P} (X=j)=p_{j)

. . .

j=0,1,\dotsc

\sum \limits _{j=0}^{\infty }p_{j}=1

atunci așteptarea sa matematică poate fi exprimată în termenii funcției generatoare a șirului $\{p_{i}\}$

P(s)=\sum _{{k=0}}^{\infty }\;p_{k}s^{k}

ca valoare a primei derivate la unitate: . Dacă așteptarea matematică este infinită, atunci vom scrie $\mathbb {E} [X]=P'(1)$ $X$ $\lim _{{s\to 1}}P'(s)=\infty$ $P'(1)=\mathbb {E} [X]=\infty$

Acum luăm funcția generatoare a secvenței de „cozi” ale distribuției $Q(e)$ $\{q_{k}\}$

q_{k}=\mathbb {P} (X>k)=\sum _{j=k+1}^{\infty {p_{j)}

Q(s)=\sum _{k=0}^{\infty }q_{k}s^{k}.

Această funcție generatoare este legată de funcția definită anterior prin proprietatea: at . Din aceasta, conform teoremei valorii medii , rezultă că așteptarea matematică este pur și simplu valoarea acestei funcție la unitate: $P(e)$ $Q(s)={\frac {1-P(s)}{1-s}}$ $|s|<1$

\mathbb {E} [X]=P'(1)=Q(1)

Așteptările matematice ale unui vector aleatoriu

Fie un vector aleatoriu. Apoi, prin definiție $X=(X_{1},\dots ,X_{n})^{{\top }}\colon \Omega \to {\mathbb {R}}^{n}$

\mathbb {E} [X]=(\mathbb {E} [X_{1}],\dots ,\mathbb {E} [X_{n}])^{\top }

adică așteptarea matematică a unui vector este determinată componentă cu componentă.

Așteptarea matematică a transformării unei variabile aleatoare

Fie o funcție Borel astfel încât variabila aleatoare să aibă o așteptare matematică finită. Atunci formula este valabilă pentru ea $g\colon {\mathbb {R}}\la {\mathbb {R}}$ $Y = g(X)$

\mathbb {E} \left[g(X)\right]=\sum \limits _{i=1}^{\infty}g(x_{i})p_{i},

dacă are o distribuție discretă; $X$

\mathbb {E} \left[g(X)\right]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!g(x)f_{X}(x)\,dx ,

dacă are o distribuţie absolut continuă. $X$

Dacă distribuția unei variabile aleatoare generale , atunci $\mathbb {P} ^{X}$ $X$

\mathbb {E} \left[g(X)\right]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!g(x)\,\mathbb {P} ^{X }(dx).

În cazul special când , așteptarea matematică se numește al-lea moment al variabilei aleatoare. $g(X)=X^{k)$ $\mathbb {E} [g(X)]=\mathbb {E} [X^{k}]$ $k$

Proprietăți ale așteptării matematice

Așteptarea matematică a unui număr (nu o valoare aleatorie, fixă, constantă) este numărul în sine.

\mathbb {E} [a]=a

a\în {\mathbb {R}}

este o constantă;

Aşteptarea matematică este liniară [4] , i.e.

\mathbb {E} [aX+bY]=a\mathbb {E} [X]+b\mathbb {E} [Y]

, unde sunt variabile aleatoare cu așteptări matematice finite și sunt constante arbitrare;

X Y

a,b\în \mathbb{R}

În special, așteptarea matematică a sumei (diferenței) variabilelor aleatoare este egală cu suma (respectiv, diferența) așteptărilor lor matematice.

Așteptarea matematică păstrează inegalitățile, adică dacă aproape sigur , și este o variabilă aleatoare cu o așteptare matematică finită, atunci așteptarea matematică a variabilei aleatoare este, de asemenea, finită și, mai mult, $0\leqslant X\leqslant Y$ $Y$ $X$

0\leqslant \mathbb {E} [X]\leqslant \mathbb {E} [Y]

Așteptarea matematică nu depinde de comportamentul variabilei aleatoare la evenimentul probabilității zero, adică dacă aproape sigur , atunci $X=Y$

\mathbb {E} [X]=\mathbb {E} [Y]

Așteptările matematice ale produsului a două variabile aleatoare independente sau necorelate [5] este egală cu produsul așteptărilor lor matematice $X Y$

\mathbb {E} [XY]=\mathbb {E} [X]\cdot \mathbb {E} [Y]

Inegalități de așteptare

Inegalitatea lui Markov - pentru o variabilă aleatoare nenegativă definită într-un spațiu de probabilitate cu o așteptare matematică finită , este valabilă următoarea inegalitate: $X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{+)$ $(\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathbb {P}})$ $\mathbb {E} (X)$

\mathbb {P} \left(X\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} (X)}{a)}

, unde .

a>0

Inegalitatea lui Jensen pentru așteptarea matematică a unei funcții convexe a unei variabile aleatoare. Fie un spațiu de probabilitate, fie o variabilă aleatoare definită pe acesta, fie o funcție Borel convexă , astfel încât , atunci $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $X\colon \Omega \to \mathbb {R}$ $\varphi \colon {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ $X,\varphi (X)\in L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F)),{\mathbb {P)))$

\varphi (\mathbb {E} (X))\leqslant \mathbb {E} (\varphi (X))

Teoreme legate de așteptare

Teorema lui Levy privind convergența monotonă .
Teorema de convergență majorizată a lui Lebesgue : Să fie o succesiune de variabile aleatoare care converg aproape peste tot : . Să existe, în plus, o variabilă aleatoare integrabilă astfel încât aproape sigur. Atunci variabilele aleatoare sunt integrabile și $X_{n}\la X$ $Y$ $\forall n\in \mathbb{N} \quad |X_{n}|\leqslant Y$ $X_{n},\;X$

\lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {E} (X_{n})=\mathbb {E} (X)

Identitatea lui Wald : pentru variabile aleatoare independente distribuite identic , unde este o variabilă aleatoare întreagă pozitivă independentă de , cu condiția ca și să aibă o așteptare matematică finită, următoarea egalitate va fi valabilă: $X_{1},...,X_{N}$ $N$ $X_{i}$ $X_{i}$ $N$

\mathbb {E} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)=\mathbb {E} (N)\mathbb {E} (X)

Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare este egală cu valoarea primei derivate a funcției sale generatoare de momente în punctul 0: $X$ $G(u)$

\mathbb {E} (X)=G'(0)

Exemple

Fie ca variabila aleatoare să aibă o distribuție uniformă discretă , adică atunci așteptarea sa matematică $\mathbb {P} (X=x_{i})={\frac {1}{n)),\;i=1,\ldots ,n.$

\mathbb {E} [X]={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}

este egală cu media aritmetică a tuturor valorilor primite.

Fie ca o variabilă aleatorie să aibă o distribuție uniformă continuă pe interval , unde . Atunci densitatea sa are forma și așteptarea matematică este egală cu $[a,b]$ $a<b$ $f_{X}(x)={\frac {1}{ba}}\mathbf {1} _{[a,b]}(x)$

\mathbb {E} [X]=\int \limits _{a}^{b}\!{\frac {x}{ba}}\,dx={\frac {a+b}{2 }}

Fie ca variabila aleatoare să aibă distribuția standard Cauchy . Apoi $X$

\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!xf_{X}(x)\,dx=\infty

adică așteptarea matematică nu este definită. $X$

Vezi și

Note

↑ „ Enciclopedia matematică ” / Redactor șef I. M. Vinogradov. - M . : „Enciclopedia Sovietică”, 1979. - 1104 p. - (51 [03] M34). - 148.800 de exemplare.
↑ A. N. Shiryaev. 1 // „Probabilitate”. - M. : MTSNMO, 2007. - 968 p. - ISBN 978-5-94057-036-3 , 978-5-94057-106-3, 978-5-94057-105-6.
↑ V.E. Gmurman. Partea a doua. variabile aleatoare. -> Capitolul 4. Variabile aleatoare discrete. -> Punctul 3. // [ http://elenagavrile.narod.ru/ms/gmurman.pdf UN GHID PENTRU REZOLVAREA PROBLEMELOR ÎN TEORIA PROBABILITĂȚII ȘI STATISTICA MATEMATICĂ]. - 1979. - S. 63. - 400 p. Arhivat pe 21 ianuarie 2022 la Wayback Machine
↑ Pytiev Yu. P. , Shishmarev I. A., Teoria probabilității, statistică matematică și elemente de teoria posibilităților pentru fizicieni. - M .: Facultatea de Fizică a Universității de Stat din Moscova, 2010.
↑ Teoria probabilității: 10.2. Teoreme asupra caracteristicilor numerice . sernam.ru. Preluat la 10 ianuarie 2018. Arhivat din original la 10 ianuarie 2018. (nedefinit)

Literatură

Feller W. Capitolul XI. Valori întregi. Funcții generatoare // Introduction to probability theory and its applications = An introduction to probability theory and its applications, Volumul I ediția a doua / Tradus din engleză. R. L. Dobrushin, A. A. Yushkevich, S. A. Molchanov Ed. E. B. Dynkina cu o prefață de A. N. Kolmogorov. - Ed. a II-a. - M . : Mir, 1964. - S. 270-272.

Link -uri

Așteptările matematice și proprietățile sale la http://www.toehelp.ru

Dicționare și enciclopedii	Rusă mare Marele Soviet (1 ed.) Britannica (online) Ucraina modernă
În cataloagele bibliografice	GND : 4152930-3

Rău
Matematica	Puterea medie ( ponderată ) medie armonică ponderat medie geometrică ponderat In medie ponderat rădăcină medie pătrată Cubic mediu medie mobilă Media aritmetică-geometrică Funcție medie Kolmogorov înseamnă
Geometrie	centru geometric Barycenter
Teoria probabilității și statistica matematică	Winsorized înseamnă eșantion mediu Valorea estimata Median Modă deviație standard Medie trunchiată Așteptarea condiționată
Tehnologia de informație	Medoid metoda k-mediană
Teoreme	Prima teoremă medie A doua teoremă medie Inegalitatea cu privire la media aritmetică, geometrică și armonică
Alte	Valorile centrului de distribuție