Distribuție multinomială

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 16 aprilie 2018; verificările necesită 6 modificări .

Distribuția multinomială (polinomială) în teoria probabilității este o generalizare a distribuției binomiale în cazul n>1 încercări independente ale unui experiment aleator cu k>2 rezultate posibile.

Definiție

Fie variabile aleatoare independente distribuite identic , astfel încât distribuția lor este dată de funcția de probabilitate [1] : $X_{1},\ldots ,X_{n}$

\mathbb {P} (X_{i}=j)=p_{j},\;j=1,\ldots,k

Intuitiv , evenimentul înseamnă că procesul cu numărul a dus la rezultat . Fie variabila aleatoare egală cu numărul de încercări care au condus la rezultatul : $\{X_{i}=j\)$ $i$ $j$ $Y_{j)$ $j$

Y_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{\{X_{i}=j\}},\;j=1,\ldots,k

Atunci distribuția vectorială are o funcție de probabilitate $\mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots, Y_{k})^{\top )$

{\displaystyle p_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )=\left\{{\begin{matrix}{n \choose {y_{1}\ldots y_{k)}}p_{1} ^{y_{1}}\ldots p_{k}^{y_{k}},&\sum \limits _{j=1}^{k}y_{j}=n\\0,&\sum \ limite _{j=1}^{k}y_{j}\not =n\end{matrix}}\right.,\quad \mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{k} )^{\top }\in \mathbb {N} _{1}^{k))

Unde

{n \alegeți {y_{1}\ldots y_{k))}\equiv {\frac {n!}{y_{1}!\ldots y_{k}!))

este coeficientul multinomial .

Vectorul mediu și matricea de covarianță

Aşteptarea matematică a unei variabile aleatoare are forma [1] : . Elementele diagonale ale matricei de covarianță sunt varianțe ale variabilelor aleatoare binomiale și, prin urmare $Y_{j)$ $\mathbb {E} [Y_{j}]=np_{j)$ $\Sigma =(\sigma _{{ij}})$

\sigma _{jj}=\mathrm {D} [Y_{j}]=np_{j}(1-p_{j}),\;j=1,\ldots ,k

Pentru restul elementelor avem

\sigma _{ij}=\mathrm {cov} (Y_{i},Y_{j})=-np_{i}p_{j},\;i\not =j

Rangul matricei de covarianta a distributiei multinomiale este . $k-1$

Note

↑ 1 2 Groot, 1974 , p. 55-56.

Literatură

M. de Groot Optimal Statistical Decisions = Optimal Statistical Decisions. —M.: Mir, 1974. — 492 p.

Dicționare și enciclopedii	Rusă mare Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	GND : 4263656-5

Distribuții de probabilitate
Discret	Bernoulli Binom Geometric hipergeometrică Logaritmic Binom negativ Poisson Uniformă discretă Multinom
Absolut continuu	Beta Weibulla Gamma- hiperexponenţială Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gauss) Logistică Nakagami Pareto Pearson semicircular uniformă continuă Orez Rayleigh Student Tracey - Vidoma Pescar Chi-pătrat Exponenţial Varianta-gama Normal multivariat copulă