Integrale de suprafață

Ca și în cazul integralelor curbilinii , există două tipuri de integrale de suprafață.

Integrală de suprafață de primul fel

Definiție

Să fie o suprafață completă netedă, mărginită . Fie mai departe dată o funcție . Luați în considerare o împărțire a acestei suprafețe în părți prin curbe netede pe bucăți și alegeți un punct arbitrar pe fiecare astfel de părți . După ce am calculat valoarea funcției în acest punct și, luând pentru aria suprafeței , luați în considerare suma $\Phi$ $\Phi$ $f(M)=f(x,y,z)$ $T$ $\Phi _{i}\ (i=1,\dots, n)$ $M_{i}(x_{i},y_{i},z_{i})$ $f(M_{i})=f(x_{i},y_{i},z_{i})$ $\sigma_i$ $\Phi _{i)$

I\{\Phi _{i},M_{i}\}=\sum _{i}f(M_{i})\sigma _{i}.

Atunci numărul se numește limita sumelor , dacă $eu$ $I\{\Phi _{i},M_{i}\}$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall T:d(T)<\delta \ \forall \{M_{i}\}\ {\bigl |}I\{\Phi _{i},M_{i}\}-I{\bigr |}<\varepsilon .

Limita sumelor la se numește integrala de suprafață a primului tip de funcție peste suprafață și se notează după cum urmează: $eu$ $I\{\Phi _{i},M_{i}\}$ $d(T)\la 0$ $f(M)$ $\Phi$

I=\iint \limits _{\Phi}f(M)\,d\sigma.

Forma parametrică

Să fie posibilă introducerea unei parametrizări unificate la suprafață prin intermediul funcțiilor $\Phi$

x=x(u,v),\quad y=y(u,v),\quad z=z(u,v),

dat într-o regiune închisă mărginită a planului și aparținând unei clase din această regiune. Dacă funcția este continuă pe suprafață , atunci integrala de suprafață a primului tip al acestei funcții pe suprafață există și poate fi calculată prin formula $\Omega$ $(u,v)$ $C^1$ $f(M)=f(x,y,z)$ $\Phi$ $\Phi$

I=\iint \limits _{\Phi}f(M)\,d\sigma =\iint \limits _{\Omega}f{\big (}x(u,v),y(u, v),z(u,v){\big )}{\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv,

Unde:

E=(x_{u}')^{2}+(y_{u}')^{2}+(z_{u}')^{2},

F=x_{u}'x_{v}'+y_{u}'y_{v}'+z_{u}'z_{v}',

G=(x_{v}')^{2}+(y_{v}')^{2}+(z_{v}')^{2}.

Proprietăți

Din definiția unei integrale de suprafață de primul fel rezultă că această integrală este independentă de alegerea orientării câmpului vectorial al normalelor unitare la suprafață sau, după cum se spune, de alegerea laturii suprafeței. Lăsați funcțiile și să fie integrabile peste domenii . Apoi: $f$ $g$ $\Phi ,\Phi _{1},\Phi _{2}$

Liniaritate: pentru orice numere reale . $\iint \limits _{\Phi}(\alpha f+\beta g)\,d\sigma =\alpha \iint \limits _{\Phi}f\,d\sigma +\beta \iint \limits _{\Phi }g\,d\sigma$ $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$
Aditivitate : cu condiția ca și să nu aibă puncte interioare comune . $\iint \limits _{\Phi _{1}}f\,d\sigma +\iint \limits _{\Phi _{2}}f\,d\sigma =\iint \limits _{\ Phi _{1}\cup \Phi _{2}}f\,d\sigma$ $\Phi _{1}$ $\Phi _{2}$
Monotonie :
- dacă , atunci ; $f\geqslant g$ $\iint \limits _{\Phi}f\,d\sigma \geqslant \iint \limits _{\Phi}g\,d\sigma$
- pentru , dacă , atunci . $f \geqslant 0$ $\Phi _{1}\subset \Phi _{2)$ $\iint \limits _{\Phi _{1}}f\,d\sigma <\iint \limits _{\Phi _{2}}f\,d\sigma$
Teorema valorii medii pentru o funcție continuă și o suprafață mărginită închisă : $f$ $\Phi$ $\iint \limits _{\Phi}f\,d\sigma =f(\xi)\iint \limits _{\Phi}d\sigma =f(\xi)\mu (\Phi)$ , unde , și este aria regiunii . $\xi \in \Phi$ $\mu (\Phi)$ $\Phi$

Integrală de suprafață de al doilea fel

Definiție

Luați în considerare o suprafață cu două fețe , netedă sau netedă în bucăți și fixați una dintre cele două laturi ale acesteia, ceea ce este echivalent cu alegerea unei anumite orientări pe suprafață. $\Phi$

Pentru certitudine, presupunem mai întâi că suprafața este dată de o ecuație explicită, iar punctul se modifică într-o regiune din planul delimitat de un contur neted pe bucăți. $z=z(x,y)$ $(X y)$ $(D)$ $X y$

Să fie acum definită o anumită funcție în punctele suprafeței date . După ce am împărțit suprafața într-o rețea de curbe netede pe bucăți în părți și alegând un punct pe fiecare astfel de părți , calculăm valoarea funcției într-un punct dat și o înmulțim cu aria proiecției pe planul elementului , dotat cu un anumit semn. Să facem o sumă integrală $\Phi$ $f(M)=f(x,y,z)$ $\Phi _{i}\ (i=1,\dots, n)$ $M_{i}(x_{i},y_{i},z_{i})$ $f(M_{i})=f(x_{i},y_{i},z_{i})$ $D_{i}$ $X y$ $\Phi _{i)$

\sum _{i=1}^{n}f(M_{i})D_{i}=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i},y_{i} ,z_{i})D_{i}.

Limita finală a acestei sume integrale, deoarece diametrele tuturor pieselor tind spre zero, se numește integrala de suprafață a celui de-al doilea tip de

f(M)\,dx\,dy=f(x,y,z)\,dx\,dy,

extins la partea selectată a suprafeței și notat cu simbolul $\Phi$

I=\iint \limits _{\Phi}f(M)\,dx\,dy=\iint \limits _{\Phi}f(x,y,z)\,dx\,dy

(aici amintește de zona de proiecție a unui element de suprafață pe un plan ). $dx\,dy$ $X y$

Dacă, în loc de un plan , proiectăm elementele de suprafață pe un plan sau , atunci obținem alte două integrale de suprafață de al doilea tip: $X y$ $yz$ $zx$

\iint \limits _{\Phi}f(x,y,z)\,dy\,dz

\iint \limits _{\Phi}f(x,y,z)\,dz\,dx.

În aplicații, cele mai comune combinații de integrale de toate aceste tipuri sunt:

\iint \limits _{\Phi }P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy,

unde sunt funcţiile lui , definite în punctele suprafeţei . $P,Q,R$ $(x,y,z)$ $\Phi$

Relația dintre integralele de suprafață de al doilea și primul fel

\iint \limits _{\Sigma +}f(x,y,z)\,dy\,dz=\iint \limits _{\Sigma}f(x,y,z)\cos(\nu \wedge i)\,d\sigma ,

unde este vectorul normal unitar al suprafeței , este ort. $\nu$ $\Sigma$ $i$

Proprietăți

Linearitate: . $\iint \limits _{\Phi}(\alpha f+\beta g)\,dx\,dy=\alpha \iint \limits _{\Phi}f\,dx\,dy+\beta \iint \ limite _{\Phi }g\,dx\,dy$
Aditivitate: . $\iint \limits _{\Phi _{1}}f\,dx\,dy+\iint \limits _{\Phi _{2}}f\,dx\,dy=\iint \limits _{ \Phi _{1}+\Phi _{2}}f\,dx\,dy$
Când se schimbă orientarea suprafeței, integrala suprafeței își schimbă semnul.

Vezi și

Literatură

Fikhtengolts, G. M. Capitolul 17. Integrale de suprafață // [Curs de calcul diferențial și integral]. - T. 3.
Ilyin, V. A., Poznyak, E. G. Capitolul 5. Integrale de suprafață // Fundamentele analizei matematice. - V. 2. - (Curs de matematică superioară şi fizică matematică).

Link -uri

The World of Mathematical Equations Arhivat 21 noiembrie 2019 la Wayback Machine .

Dicționare și enciclopedii	Rusă mare Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	NKC : ph124123

Calcul integral

Principal

Generalizări
ale integralei Riemann

Transformări integrale

Integrare numerică

teoria măsurării

subiecte asemănătoare

Liste de integrale