Transformarea Laplace

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 18 aprilie 2022; verificarea necesită 1 editare .

Transformarea Laplace (ℒ) este o transformare integrală care conectează o funcție a unei variabile complexe ( imagine ) cu o funcție a unei variabile reale ( original ). Cu ajutorul acestuia, sunt investigate proprietățile sistemelor dinamice și sunt rezolvate ecuațiile diferențiale și integrale . $\F(e)$ $\f(x)$

Una dintre caracteristicile transformării Laplace, care a predeterminat utilizarea sa pe scară largă în calculele științifice și de inginerie, este că multe rapoarte și operații pe originale corespund unor rapoarte mai simple pe imaginile lor. Astfel, convoluția a două funcții în spațiul imaginilor se reduce la operația de înmulțire, iar ecuațiile diferențiale liniare devin algebrice.

Definiție

Transformă directă Laplace

Transformarea Laplace a unei funcții a unei variabile reale este o funcție a unei variabile complexe [1] , astfel încât: $\f(t)$ $\F(e)$ $s=\sigma +i\omega$

F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int \limits _{0}^{\infty }e^{{-st}}f(t) \,dt.

Partea dreaptă a acestei expresii se numește integrala Laplace .

Funcția se numește originală în transformarea Laplace, iar funcția se numește imaginea funcției . $f(t)$ $F(e)$ $f(t)$

În literatură, relația dintre original și imagine este adesea desemnată după cum urmează: și , iar imaginea este de obicei scrisă cu majuscule. $f(t)\risingdotseq F(s)$ $F(s)\fallingdotseq f(t)$

Transformarea Laplace inversă

Transformarea Laplace inversă a unei funcții a unei variabile complexe este o funcție a unei variabile reale astfel încât: $F(s)\$ $f(t)\$

f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{\omega \rightarrow \infty }\int \limits _{\sigma _{1}-i\omega }^{\sigma _{1}+i\omega }e^{st}F(s)\,ds,

unde este un număr real (vezi condițiile de existență ). Partea dreaptă a acestei expresii se numește integrala Bromwich [2] . $\sigma _{1}\$

Transformare Laplace bidirecțională

Transformarea Laplace cu două fețe este o generalizare pentru cazul problemelor în care sunt implicate valorile funcției . $f(x)\$ $x<0$

Transformarea Laplace cu două fețe este definită după cum urmează:

F(s)={\mathcal {L}}\{f(x)\}=\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-sx}}f (x)\,dx.

Transformă Laplace discretă

Este utilizat în domeniul sistemelor de control computerizat. Transformarea Laplace discretă poate fi aplicată funcțiilor rețelei.

Distinge între -transformare și -transformare. $D\$ $Z\$

$D\$ -conversie

Fie o funcție de rețea, adică valorile acestei funcții sunt determinate numai la momente discrete , unde este un număr întreg și este perioada de eșantionare. $x_{d}(t)=\sum \limits _{{n=0}}^{\infty }x(nT)\cdot \delta (t-nT)$ $nT\$ $n\$ $T\$

Apoi, aplicând transformarea Laplace, obținem:

{\mathcal {D}}\{x_{d}(t)\}=\sum \limits _{{n=0}}^{\infty }x(nT)\cdot e^{{-snT}} .

$Z\$ -conversie

Dacă aplicăm următoarea modificare de variabile:

z=e^{{sT}},

obținem -transformare: $Z$

{\mathcal {Z}}\{x_{d}(t)\}=\sum \limits _{{n=0}}^{\infty }x(nT)\cdot z^{{-n}} .

Proprietăți și teoreme

Convergență absolută

Dacă integrala Laplace converge absolut la , adică există o limită $\sigma=\sigma_{0}$

\lim _{{b\to \infty }}\int \limits _{0}^{b}|f(x)|e^{{-\sigma _{0}x}}\,dx=\int \limits _{0}^{\infty }|f(x)|e^{{-\sigma _{0}x}}\,dx,

atunci converge absolut și uniform pentru și este o funcție analitică pentru ( este partea reală a variabilei complexe ). Infimumul exact al mulțimii de numere , sub care această condiție este îndeplinită, se numește abscisa convergenței absolute a transformării Laplace pentru funcția . $\sigma \geqslant \sigma _{0}$ $F(e)$ $\sigma \geqslant \sigma _{0}$ $\sigma ={\mathrm {Re}}\,s$ $s$ $\sigma _{a}$ $\sigma$ $f(x)$

Condiții de existență a transformării directe Laplace

Transformarea Laplace există în sensul convergenței absolute în următoarele cazuri: ${\mathcal {L}}\{f(x)\}$

$\sigma \geqslant 0$ : transformata Laplace există dacă integrala există ; $\int \limits _{0}^{\infty }|f(x)|\,dx$
$\sigma >\sigma _{a}$ : transformata Laplace există dacă integrala există pentru fiecare finit și pentru ; $\int \limits _{0}^{{x_{1}}}|f(x)|\,dx$ $x_{1}>0$ $|f(x)|\leqslant Ke^{{\sigma _{a}x}}$ $x>x_{2}\geqslant 0$
$\sigma >0$ sau (oricare legătură este mai mare): există o transformată Laplace dacă există o transformată Laplace pentru funcția ( derivată a lui ) pentru . $\sigma >\sigma _{a}$ $f'(x)$ $f(x)$ $\sigma >\sigma _{a}$

Notă : acestea sunt condiții suficiente pentru existență.

Condiții de existență a transformării Laplace inverse

Pentru existența transformării Laplace inverse, este suficient ca următoarele condiții să fie îndeplinite:

Dacă imaginea este o funcție analitică pentru și are un ordin mai mic decât −1, atunci transformarea inversă pentru aceasta există și este continuă pentru toate valorile argumentului și pentru . $F(e)$ $\sigma \geqslant \sigma _{a}$ ${\mathcal {L}}^{{-1}}\{F(s)\}=0$ $t\leqslant 0$
Fie , astfel încât este analitică în raport cu fiecare și este egal cu zero pentru , și , atunci transformarea inversă există și transformarea directă corespunzătoare are o abscisă de convergență absolută. $F(s)=\varphi [F_{1}(s),\;F_{2}(s),\;\ldots ,\;F_{n}(s)]$ $\varphi (z_{1},\;z_{2},\;\ldots ,\;z_{n})$ $z_{k}$ $z_{1}=z_{2}=\ldots =z_{n}=0$ $F_{k}(s)={\mathcal {L}}\{f_{k}(x)\}\;\;(\sigma >\sigma _{{ak}}\colon k=1,\; 2,\;\ldots ,\;n)$

Notă : acestea sunt condiții suficiente pentru existență.

Teorema de convoluție

Transformarea Laplace a unei convoluții a două originale este produsul imaginilor acestor originale:

{\mathcal {L}}\{f(x)*g(x)\}={\mathcal {L}}\{f(x)\}\cdot {\mathcal {L}}\{g(x )\}.

Dovada

Pentru convoluție

(f*g)(x)=\int _{0}^{\infty }dy\,f(xy)g(y)

Transformarea Laplace:

{\mathcal {L}}\left\{(f*g)(x)\right\}=\int _{0}^{\infty }dx\,e^{-sx}\int _ {0}^{\infty }dy\,f(xy)g(y)

Pentru o nouă variabilă $t=xy,\;x=t+y$

{\mathcal {L}}\left\{(f*g)(x)\right\}=\int _{0}^{\infty }dt\,e^{-s(t+y )}\int _{0}^{\infty }dy\,f(t)g(y)=\int _{0}^{\infty }dt\,e^{-st}f(t)\ int _{0}^{\infty }dy\,e^{-sy}g(y)={\mathcal {L}}\left\{f(x)\right\}\cdot {\mathcal {L }}\stânga\{g(x)\dreapta\}

■

Înmulțirea imaginilor

f(x)g(0)+\int \limits _{0}^{x}f(x-\tau )g'(\tau )\,d\tau =sF(s)G(s).

Partea stângă a acestei expresii se numește integrala Duhamel , care joacă un rol important în teoria sistemelor dinamice .

Diferențierea și integrarea originalului

Imaginea conform lui Laplace a primei derivate a originalului în raport cu argumentul este produsul imaginii și argumentul acestuia din urmă minus originalul la zero din dreapta:

{\mathcal {L}}\{f'(x)\}=s\cdot F(s)-f(0^{+}).

Într-un caz mai general ( derivată de ordinul al-lea) : $n$

{\mathcal {L}}\{f^{(n)}(x)\}=s^{n}\cdot F(s)-s^{n-1}f(0^{+ })-s^{n-2}f^{(1)}(0^{+})-\ldots -sf^{(n-2)}(0^{+})-f^{(n -1)}(0^{+}).

Imaginea Laplace a integralei originalului în raport cu argumentul este imaginea originalului împărțită la argumentul său:

{\mathcal {L}}\left\{\int \limits _{0}^{x}f(t)\,dt\right\}={\frac {F(s)}{s}}.

Diferențierea și integrarea imaginii

Transformarea Laplace inversă a derivatei imaginii în raport cu argumentul este produsul originalului și argumentul său, luat cu semnul opus:

{\mathcal {L}}^{{-1}}\{F'(s)\}=-xf(x).

Transformarea Laplace inversă a integralei imaginii peste argument este originalul acestei imagini împărțit la argumentul său:

{\mathcal {L}}^{{-1}}\left\{\int \limits _{s}^{{+\infty }}F(s)\,ds\right\}={\frac { f(x)}{x}}.

Întârzierea originalelor și imaginilor. Teoreme limită

Întârziere imagine:

{\mathcal {L}}\{e^{{ax}}f(x)\}=F(sa);

{\mathcal {L}}^{{-1}}\{F(sa)\}=e^{{ax}}f(x).

Lag original:

{\mathcal {L}}\{f(ta)H(ta)\}=e^{{-as}}F(s);

{\mathcal {L}}^{{-1}}\{e^{{-as}}F(s)\}=f(xa)H(xa).

unde este funcția Heaviside . $H(x)$

Teoreme ale valorii inițiale și finale (teoreme limită):

f(\infty )=\lim _{{s\to 0}}sF(s)

dacă toți polii funcției sunt în semiplanul stâng.

sF(s)

Teorema valorii finite este foarte utilă deoarece descrie comportamentul originalului la infinit cu o relație simplă. Acesta este, de exemplu, utilizat pentru a analiza stabilitatea traiectoriei unui sistem dinamic.

Alte proprietăți

Liniaritate :

{\mathcal {L}}\{af(x)+bg(x)\}=aF(s)+bG(s).

Înmulțiți cu număr:

{\mathcal {L}}\{f(ax)\}={\frac {1}{a}}F\left({\frac {s}{a}}\dreapta).

Transformarea Laplace directă și inversă a unor funcții

Mai jos este tabelul de transformare Laplace pentru unele funcții.

Nu.	Funcţie	Domeniul timpului $x(t)={\mathcal {L}}^{{-1}}\{X(s)\}$	domeniul de frecventa $X(s)={\mathcal {L}}\{x(t)\}$	Domeniul de convergență pentru sistemele cauzale
unu	funcția delta	$\delta (t)\$	$unu\$	$\forall s\$
1a	funcţie delta întârziată	$\delta (t-\tau )\$	$e^{{-\tau s}}\$
2	-a întârziere de ordine cu schimbarea frecvenței $n$	${\frac {(t-\tau )^{n}}{n!}}e^{{-\alpha (t-\tau )))\cdot H(t-\tau )$	${\frac {e^{{-\tau s}}}{(s+\alpha )^{{n+1))))$	$s>0$
2a	putere --lea ordin $n$	${\frac {t^{n}}{n!}}\cdot H(t)$	${\frac {1}{s^{{n+1))))$	$s>0$
2a.1	putere --lea ordin $q$	${\frac {t^{q}}{\Gamma (q+1)}}\cdot H(t)$	${\frac {1}{s^{{q+1))))$	$s>0$
2a.2	Funcția Heaviside	$H(t)\$	${\frac {1}{s))$	$s>0$
2b	funcția Heaviside întârziată	$H(t-\tau )\$	${\frac {e^{{-\tau s}}}{s}}$	$s>0$
2c	"pas de viteza"	$t\cdot H(t)\$	${\frac {1}{s^{2}}}$	$s>0$
2d	$n$ -a ordine cu schimbare de frecvență	${\frac {t^{n}}{n!}}e^{{-\alpha t}}\cdot H(t)$	${\frac {1}{(s+\alpha )^{{n+1))))$	$s>-\alpha$
2d.1	decăderea exponenţială	$e^{{-\alpha t}}\cdot H(t)\$	${\frac {1}{s+\alpha ))$	$s>-\alpha\$
3	aproximare exponenţială	$(1-e^{{-\alpha t}})\cdot H(t)\$	${\frac {\alpha }{s(s+\alpha )))$	$s>0\$
patru	sinusurilor	$\sin(\omega t)\cdot H(t)\$	${\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2))}$	$s>0\$
5	cosinus	$\cos(\omega t)\cdot H(t)\$	${\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2))}$	$s>0\$
6	sinus hiperbolic	${\mathrm {sh}}\,(\alpha t)\cdot H(t)\$	${\frac {\alpha }{s^{2}-\alpha ^{2))}$	$s>\|\alpha \|\$
7	cosinus hiperbolic	${\mathrm {ch}}\,(\alpha t)\cdot H(t)\$	${\frac {s}{s^{2}-\alpha ^{2}}}$	$s>\|\alpha \|\$
opt	sinus în descompunere exponențială	$e^{{-\alpha t}}\sin(\omega t)\cdot H(t)\$	${\frac {\omega }{(s+\alpha )^{2}+\omega ^{2))}$	$s>-\alpha\$
9	cosinus în descompunere exponențială	$e^{{-\alpha t}}\cos(\omega t)\cdot H(t)\$	${\frac {s+\alpha }{(s+\alpha )^{2}+\omega ^{2))}$	$s>-\alpha\$
zece	a rădăcină $n$	${\sqrt[ {n}]{t}}\cdot H(t)$	$s^{{-(n+1)/n}}\cdot \Gamma \left(1+{\frac {1}{n}}\right)$	$s>0$
unsprezece	logaritmul natural	$\ln \left({\frac {t}{t_{0))}\right)\cdot H(t)$	$-{\frac {t_{0}}{s}}[\ln(t_{0}s)+\gamma ]$	$s>0$
12	Funcția Bessel a primului fel de ordin $n$	$J_{n}(\omega t)\cdot H(t)$	${\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2))}\right)^{{-n))}{{\sqrt {s^ {2}+\omega ^{2}}}}}$	$s>0\$ $(n>-1)\$
13	funcţia Bessel modificată a primului fel de ordin $n$	$I_{n}(\omega t)\cdot H(t)$	${\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2))}\right)^{{-n))}{{\sqrt {s^ {2}-\omega ^{2}}}}}$	$s>\|\omega \|\$
paisprezece	funcția Bessel de ordinul zero de al doilea fel	$Y_{0}(\alpha t)\cdot H(t)\$	$-{\frac {2{\mathrm {arsh}}(s/\alpha )}{\pi {\sqrt {s^{2}+\alpha ^{2))))}$	$s>0\$
cincisprezece	funcția Bessel modificată de al doilea tip de ordin zero	$K_{0}(\alpha t)\cdot H(t)$
16	funcția de eroare	${\mathrm {erf}}(t)\cdot H(t)$	${\frac {e^{{s^{2}/4}}{\mathrm {erfc}}(s/2)}{s}}$	$s>0$
Note de tabel: $H(t)\$ este funcția Heaviside ; $\delta (t)\$ - functie delta ; $\Gamma (z)\$ - functia gamma ; $\gamma \$ este constanta Euler-Mascheroni ; $t\$ este o variabilă reală; $s\$ este o variabilă complexă; $\alfa\$ , , și sunt numere reale ; $\beta\$ $\tau\$ $\omega\$ $n\$ este un număr întreg . Un sistem cauzal este un sistem în care funcția de transfer de impuls este zero pentru orice moment în timp . $h(t)\$ $t<0\$

Aplicații ale transformării Laplace

Transformarea Laplace are o aplicație largă în multe domenii ale matematicii ( calcul operațional ), fizicii și ingineriei :

Rezolvarea sistemelor de ecuații diferențiale și integrale - folosind transformata Laplace, este ușor să treci de la concepte complexe de analiză matematică la relații algebrice simple. [3]
Calculul funcțiilor de transfer ale sistemelor dinamice, cum ar fi, de exemplu, filtre analogice .
Calculul semnalelor de ieșire ale sistemelor dinamice în teoria controlului și procesarea semnalului - deoarece semnalul de ieșire al unui sistem liniar staționar este egal cu convoluția răspunsului său la impuls cu semnalul de intrare, transformata Laplace vă permite să înlocuiți această operație cu o simplă multiplicare. .
Calculul circuitelor electrice. Este produs prin rezolvarea ecuațiilor diferențiale care descriu circuitul folosind metoda operatorului.
Rezolvarea problemelor nestaționare de fizică matematică .

Procedura de rezolvare a unei ecuații diferențiale folosind transformata Laplace este următoarea:

În funcție de efectul de intrare dat, o imagine este găsită folosind tabelele de corespondență.
Potrivit d.s. creați o funcție de transfer.
Găsiți imaginea mărimii punctelor 1 și 2.
Definiți originalul. [patru]

Relația cu alte transformări

Conexiuni fundamentale

Aproape toate transformările integrale sunt de natură similară și pot fi obținute una de la alta prin expresii de corespondență. Multe dintre ele sunt cazuri speciale de alte transformări. În plus, sunt date formule care leagă transformările Laplace cu alte transformări funcționale.

Transformarea Laplace-Carson

Transformarea Laplace-Carson (uneori numită doar transformarea Carson, uneori, nu tocmai corect, folosesc transformarea Carson, numind-o transformată Laplace) se obține din transformarea Laplace prin înmulțirea imaginii cu o variabilă complexă:

{\mathcal {L}}_{K}\{f(x)\}=sF(s).

Transformarea Carson este utilizată pe scară largă în teoria circuitelor electrice, deoarece cu o astfel de transformare dimensiunile imaginii și ale originalului coincid, astfel încât coeficienții funcțiilor de transfer au o semnificație fizică.

Transformare Laplace bidirecțională

Transformarea Laplace cu două fețe este legată de transformarea Laplace unilaterală folosind următoarea formulă: ${\mathcal {L}}_{B}$

{\mathcal {L}}_{B}\{f(x);\;s\}={\mathcal {L}}\{f(x);\;s\}+{\mathcal {L} }\{f(-x);\;-s\}.

transformata Fourier

Transformarea Fourier continuă este echivalentă cu transformarea Laplace cu două fețe cu un argument complex : $s=i\omega$

F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(x)\}={\mathcal {L}}\{f(x)\}{\Big |}_{{s=i\omega }}=F(s){\Big |}_{{s=i\omega }}=\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-i\ omega x}}f(x)\,dx.

Notă: Aceste expresii omit factorul de scalare , care este adesea inclus în definițiile transformării Fourier. ${\frac {1}{{\sqrt {2\pi ))))$

Relația dintre transformatele Fourier și Laplace este adesea folosită pentru a determina spectrul de frecvență al unui semnal sau al unui sistem dinamic .

Transformarea Mellin

Transformarea Mellin și transformarea inversă Mellin sunt legate de transformarea Laplace cu două fețe printr-o simplă schimbare a variabilelor. Dacă în transformarea Mellin

G(s)={\mathcal {M}}\left\{g(\theta )\right\}=\int \limits _{0}^{\infty }\theta ^{s}{\frac {g (\theta )}{\theta }}\,d\theta

setăm , apoi obținem transformata Laplace cu două fețe. $\theta =e^{{-x}}$

Z-transform

$Z$ -transformarea este transformata Laplace a unei funcții de rețea, efectuată folosind o schimbare de variabile:

z\equiv e^{{sT}},

unde este perioada de eșantionare și este frecvența de eșantionare a semnalului. $T=1/f_{s}\$ $f_{s}\$

Legătura este exprimată folosind următoarea relație:

X_{q}(s)=X(z){\Big |}_{{z=e^{{sT))))

Transformare Borel

Forma integrală a transformării Borel este identică cu transformarea Laplace, există și o transformată Borel generalizată , cu care utilizarea transformării Laplace este extinsă la o clasă mai largă de funcții.

Vezi și

Note

↑ În literatura rusă, este notat și cu . Vezi, de exemplu, Ditkin V. A., Kuznetsov P. I. Handbook of Operational Calculus: Fundamentals of Theory and Tables of Forms. - M . : Editura de stat de literatură tehnică şi teoretică, 1951. - 256 p. $\scriptstyle {p}$
↑ Zheverzheev V.F., Kalnitsky L.A., Sapogov N.A. Curs special de matematică superioară pentru instituțiile de învățământ superior. - M., Şcoala Superioară , 1970. - p. 231
↑ Vashchenko-Zakharchenko M.E. Calcul simbolic și aplicarea acestuia la integrarea ecuațiilor diferențiale liniare. - Kiev, 1862.
↑ Arhitectura sistemului de control automat pentru un grup de vehicule aeriene mici fără pilot // Tehnologii informaționale și sisteme de calcul. — 20.03.2018. — ISSN 2071-8632 . - doi : 10.14357/20718632180109 .

Literatură

Van der Pol B., Bremer H. . Calcul operațional bazat pe transformarea Laplace cu două fețe. - M . : Editura de literatură străină, 1952. - 507 p.
Ditkin V. A. , Prudnikov A. P. . Transformări integrale și calcul operațional. - M. : Ediția principală a literaturii fizice și matematice a editurii Nauka, 1974. - 544 p.
Ditkin V. A., Kuznetsov P. I. . Manual de calcul operațional: Fundamente ale teoriei și tabele de formule. - M . : Editura de stat de literatură tehnică şi teoretică, 1951. - 256 p.
Carslow H., Jaeger D. . Metode operaționale în matematică aplicată. - M . : Editura de literatură străină, 1948. - 294 p.
Kozhevnikov N. I., Krasnoshchekova T. I., Shishkin N. E. . Serii Fourier și integrale. Teoria câmpului. Funcții analitice și speciale. Transformări Laplace. — M .: Nauka, 1964. — 184 p.
Krasnov M. L., Makarenko G. I. . calcul operațional. Stabilitatea mișcării. — M .: Nauka, 1964. — 103 p.
Mikusinsky Ya . Calcul operator. - M . : Editura de literatură străină, 1956. - 367 p.
Romanovsky P.I. Seria Fourier. Teoria câmpului. Funcții analitice și speciale. Transformări Laplace. - M. : Nauka, 1980. - 336 p.

Link -uri

Transformări integrale
Abel transforma Bessel se transformă Transformarea Bushman Transformarea Gegenbauer Transformarea Hilbert Transformarea Kontorovich-Lebedev Transformarea Laplace Transformarea Meyer Transformarea Mehler-Fock Transformarea Mellin Transformarea Nerain Transformarea radonului Stieltjes transforma transformata Fourier Transformarea Hankel Transformarea Hartley

Dicționare și enciclopedii	mare chinezesc mare chinezesc Mare norvegian Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	BNF : 119531733 J9U : 987007555498105171 LCCN : sh85074666 NDL : 00567362 NKC : ph117703