Un poligon spațial [1] este un poligon ale cărui vârfuri nu sunt coplanare . Poligoanele spațiale trebuie să aibă cel puțin 4 vârfuri . Suprafața interioară a unor astfel de poligoane nu este definită în mod unic.
Infinitățile spațiale (apeirogons) au vârfuri, nu toate sunt coliniare.
Un poligon în zig -zag sau poligon antiprismatic [2] , are vârfuri care sunt alternativ pe două plane paralele și, prin urmare, trebuie să aibă un număr par de laturi.
Un poligon spațial regulat în spațiul 3D (și spațiul regulat infinit în spațiul 2D) sunt întotdeauna poligoane în zig-zag.
Un poligon spațial obișnuit este o figură izogonală cu laturi egale. În spațiul tridimensional, poligoanele spațiale regulate sunt poligoane în zig-zag (poligoane antirpismatice ) ale căror vârfuri aparțin alternativ la două plane paralele. Laturile unei n - antiprisme pot defini un 2n - gon spațial regulat.
Un n-gon spațial regulat poate primi denumirea {p}#{ } ca un amestec al denumirilor unui poligon regulat {p} și a unui segment ortogonal { } [3] . Simetria dintre vârfurile succesive este alunecătoare .
Exemplele de mai jos prezintă antiprisme pătrate și pentagonale uniforme. Antiprismele stelare formează, de asemenea, poligoane spațiale regulate cu diferite moduri de conectare a vârfurilor stelelor de sus și de jos.
Pătrat spațial |
Hexagon spațial |
Octogon spațial |
| {2}#{ } | {3}#{ } | {patru}#{ } |
| sr{2,2} | sr{2,3} | sr{2,4} |
| Decagonul spațial | ||
| {5}#{ } | {5/2}#{ } | {5/3}#{ } |
| sr{2,5} | sr{2,5/2 | sr{2,5/3 |
Un 2 n -gon spațial complex regulat poate fi construit prin adăugarea unui al doilea 2 n -gon spațial obținut prin rotirea primului. În acest caz, vârfurile fiecăruia dintre cele 2 n -goni constitutive se află în vârfurile combinației prismatice de antiprisme .
Pătrate spațiale |
Hexagoane spațiale |
Decagoane spațiale | |
| Două {2}#{ } | Trei {3}#{ } | Două {3}#{ } | Două {5/3}#{ } |
Poligoanele Petrie sunt poligoane spațiale regulate definite în interiorul poliedrelor și politopurilor regulate . De exemplu, cele 5 solide platonice conțin poligoane spațiale regulate cu 4, 6 și 10 laturi, așa cum se vede din aceste proiecții ortogonale ( învelișul proiectiv este afișat în linii roșii ). Tetraedrul și octaedrul includ toate vârfurile dintr-un poligon în zig-zag și pot fi considerate ca antiprisme ale segmentelor de dreaptă și, respectiv, triunghiurilor.
Un poligon oblic are fețe regulate sau figuri de vârfuri sub formă de poligoane spațiale regulate. Există infinit de multe poligoane oblice obișnuite de umplere a spațiului în 3-spații și există poligoane oblice în 4-spații, unele sub forma unui 4-politop uniform .
| {4,6|4} | {6,4|4} | {6,6|3} |
|---|---|---|
Hexagon oblic regulat {3}#{ } |
Pătrat oblic regulat {2}#{ } |
Hexagon oblic regulat {3}#{ } |
Un poligon 3D izogonal este un poligon 3D cu un tip de vârf conectat prin două tipuri de laturi. Poligoanele spațiale izogonale cu lungimea laturilor egale pot fi considerate semiregulate. Ele sunt similare cu poligoanele în zig-zag pe două planuri, cu excepția faptului că laturile au voie să se deplaseze ambele într-un alt plan și să rămână pe același plan.
Poligoane spațiale izogonale pot fi obținute pe prisme n-gonale cu un număr par de laturi, deplasându-se alternativ de-a lungul laturilor poligonului și între poligoane. De exemplu, de-a lungul vârfurilor unui cub - trecem vârfurile vertical de-a lungul marginilor roșii și de-a lungul marginilor albastre de-a lungul laturilor pătratelor de bază.
Cub , pătrat-diagonală |
Prismă răsucită |
cub |
cub încrucișat |
Prismă hexagonală |
Prismă hexagonală |
Prismă hexagonală |
În spațiul cu 4 dimensiuni, poligoanele spațiale regulate pot avea vârfuri pe torul Clifford și sunt conectate prin deplasarea Clifford . Spre deosebire de poligoane în zig-zag, poligoanele 3D cu rotație dublă pot avea un număr impar de laturi.
Poligoanele Petrie ale unui 4-politop regulat definesc poligoane spațiale regulate. Numărul Coxeter pentru fiecare grup de simetrie Coxeter exprimă câte laturi are poligonul Petri. Deci, va fi un poligon cu 5 laturi pentru o celulă cu 5 laturi, cu 8 laturi pentru un tesseract și o celulă cu 16 , 12 laturi pentru o celulă cu 24 și 30 de laturi pentru o celulă cu 120 și o celulă 600 .
Dacă proiectăm ortogonal aceste poligoane spațiale regulate pe planul Coxeter , ele se transformă în poligoane de anvelopă regulate pe plan.
| A 4 , [3,3,3] | B 4 , [4,3,3] | F 4 , [3,4,3] | H4 , [ 5,3,3 ] | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Pentagon , Pentagramă | Octogon | Dodecagonul | Tridecagon | ||
cinci celule {3,3,3} |
tesseract {4,3,3} |
celulă hexagonală {3,3,4} |
douăzeci și patru de celule {3,4,3} |
120 de celule { 5,3,3 } |
șase sute de celule {3,3,5} |
Duoprismul n - n și duopiramida duală au, de asemenea, poligoane Petri cu 2 laturi. ( Teseractul este un duoprism 4-4, iar celula de șaisprezece este o duopiramidă 4-4.)
| Hexagon | Decagon | Dodecagonul | |||
|---|---|---|---|---|---|
3-3 duoprism |
3-3 duopiramide |
5,5-duoprism |
5-5 duopyramid |
6-6 duoprism |
6-6 duopiramida |