Spațiul pseudo-euclidian

Un spațiu pseudo-euclidian este un vector real de dimensiuni finite sau un spațiu afin cu un produs scalar nedefinit nedegenerat , care se mai numește și metrică nedefinită . O metrică nedefinită nu este o metrică în sensul definiției unui spațiu metric , ci este un caz special al unui tensor metric .

Un spațiu pseudo-euclidian este definit de o pereche de parametri întregi - dimensiunea maximă a unui subspațiu cu metrici definite pozitive și negative; perechea se numește semnătura spațiului. Spațiile de semnătură sunt de obicei notate cu sau . Cel mai important exemplu de spațiu pseudo-euclidian este spațiul Minkowski . $(m,n)$ $(m,n)$ $(m,n)$ $\mathbb {E} ^{m,n)$ $\mathbb {R} ^{m,n)$ $\mathbb {E} ^{m,1}$

Semnătură spațială pseudo-euclidiană

Alegând o bază adecvată pentru un spațiu vectorial pseudo-euclidian , se poate asigura întotdeauna că produsul scalar nedefinit al acestui spațiu are forma $L$

\langle x,y\rangle =x_{1}y_{1}+\ldots +x_{m}y_{m}-x_{{m+1}}y_{{m+1}}-\ldots -x_ {n}y_{n},

unde și sunt vectori spațiali . În special, pătratul scalar al unui vector are forma $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $y=(y_{1},\ldots, y_{n})$ $L$

\langle x,x\rangle =x_{1}^{2}+\ldots +x_{m}^{2}-x_{{m+1}}^{2}-\ldots -x_{n}^ {2},

și poate fi atât un număr pozitiv, cât și negativ, precum și zero (chiar și pentru un vector diferit de zero ). În consecință, lungimea vectorului este definită de egalitate $X$ $X$

\|x\|={\sqrt {\langle x,\;x\rangle )),

este fie un număr real pozitiv, fie un număr pur imaginar , fie zero.

În mod similar, prin alegerea unui cadru se poate întotdeauna asigura că distanța dintre punctele spațiului pseudo-euclidian afine n-dimensional cu coordonate și este scrisă ca $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $(y_{1},\ldots, y_{n})$

d(x,y)={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+\ldots +(x_{m}-y_{m})^{2}-(x_{{ m+1}}-y_{{m+1}})^{2}-\ldots -(x_{n}-y_{n})^{2}}}.

Bazele și cadrele cu această proprietate sunt numite ortonormale .

O pereche de numere (care specifică numărul de vectori de bază de lungime reală și, respectiv, pur imaginară) nu depinde de alegerea unei baze ortonormale sau a unui cadru (legea inerției lui Sylvester) și este numită semnătura spațiului pseudo-euclidian . $(m, nm)$

Spațiile pseudo-euclidiene cu semnături diferite nu sunt izometrice între ele. Cu toate acestea, un spațiu cu o semnătură poate fi transformat într-un spațiu cu o semnătură prin schimbarea semnului produsului scalar și, prin urmare, de obicei nu există nicio distincție între astfel de spații: în special, spațiul Minkowski este definit în diferite surse ca și semnătură. spațiu și spațiu de semnătură . Astfel, fiecare dimensiune corespunde (unde parantezele directe înseamnă luarea părții întregi) diferite spații pseudo-euclidiene -dimensionale. $(m, nm)$ $(nm,m)$ $(1,3)$ $(3.1)$ $n$ $\stânga[n/2\dreapta]$ $n$

Vectori izotropi, direcții, conuri

O caracteristică importantă a spațiilor cu o metrică nedefinită este prezența vectorilor nenuli de lungime zero. Astfel de vectori (precum și liniile cărora sunt vectori direcționați) se numesc izotropi sau asemănător luminii (cel din urmă nume este mai des folosit în fizică, este asociat cu spațiul Minkowski ). Un subspațiu al unui spațiu vectorial pseudo-euclidian se numește izotrop dacă este format în întregime din vectori izotropi.

Mulțimea tuturor vectorilor izotropi ai unui spațiu vectorial pseudo-euclidian se numește conul izotrop (sau conul de lumină ) al spațiului respectiv. Conul de lumină al spațiului de semnătură nu conține „fețe”, adică subspații izotrope de dimensiune mai mare de 1 [1] . $(1,n-1)$

Mulțimea tuturor vectorilor izotropi ai unui spațiu afin pseudo-euclidian, reprezentați grafic dintr-un punct fix arbitrar, se numește con izotrop (sau con de lumină ) a acelui spațiu în punctul dat. Această mulțime este într-adevăr un con (în sensul generalizat al acestui concept) cu un vârf într-un punct dat. Conurile izotrope ale unui spațiu afin pseudo-euclidian cu vârfuri în puncte diferite sunt obținute unul de celălalt folosind translația paralelă .

În special, un plan vectorial pseudo-euclidian are exact două direcții izotrope. Într-o bază ortonormală, unde pătratul scalar al vectorului ia forma unor direcții izotrope - drepte și un con izotrop constă din unirea acestor două drepte. $\langle x,x\rangle =x_{1}^{2}-x_{2}^{2},$ $x_{1}\pm x_{2}=0,$

Un spațiu vectorial pseudo-euclidian tridimensional are un număr infinit de direcții izotrope. Într-o bază ortonormală, în care pătratul scalar al unui vector ia forma unor direcții izotrope, acestea sunt toate liniile posibile situate pe un con izotrop care în acest caz este un con real . $\langle x,x\rangle =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2},$ $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=0,$

Subspații ale unui spațiu pseudo-euclidian

Un subspațiu al unui spațiu pseudo-euclidian cu o semnătură nu este neapărat un spațiu pseudo-euclidian cu același număr de ; mai mult, poate fi și un spațiu euclidian. De exemplu, într-un spațiu pseudo-euclidian tridimensional cu semnătură , planul poate fi fie pseudo-euclidian cu semnătură , fie euclidiană, fie are un produs scalar degenerat. Geometric, aceste trei cazuri sunt determinate de locația planului în raport cu conul izotrop (vezi figura). Și anume, un plan este pseudo-euclidian dacă intersectează un con izotrop în două drepte diferite (direcții izotrope); restrângerea produsului scalar la plan este degenerată dacă atinge un con izotrop, adică se intersectează cu acesta de-a lungul unei singure drepte; În cele din urmă, un plan este euclidian dacă are un singur punct în comun cu un con izotrop (vârful conului). $(nm,m)$ $m$ $(2.1)$ $\Pi$ $(1,1)$ $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$

Cercuri și sfere

Din punctul de vedere al geometriei planului pseudo-euclidian, cercurile cu rază arbitrară diferită de zero (reala sau pur imaginară) sunt hiperbole . În mod similar, în spațiul pseudo-euclidian tridimensional al semnăturii, sferele cu rază reală diferită de zero sunt hiperboloizi cu o singură foaie , iar sferele cu rază pur imaginară diferită de zero sunt hiperboloizi cu două foi . În mod similar, în spații de mai multe dimensiuni, de exemplu, în semnătura cu patru dimensiuni (3,1). $(2.1)$

În ceea ce privește proprietățile sale geometrice, fiecare dintre cele două „jumătăți” ale unei hipersfere cu rază imaginară din spațiul pseudo-euclidian al semnăturii este un spațiu Lobaciovsky -dimensional . Subspațiile dimensionale (de la până la ) în acest spațiu Lobachevsky corespund subspațiilor dimensionale ale spațiului pseudo-euclidian original care trec prin origine și intersectează hipersfera razei imaginare, iar mișcările sale corespund transformărilor Lorentz . $n+1$ $(n,1)$ $n$ $k$ $0$ $n-1$ $k+1$

Inegalitatea inversă Cauci-Bunyakovsky

Într-un spațiu pseudo-euclidian cu o semnătură pentru toți vectorii de lungime imaginară, este valabilă următoarea inegalitate : [1] $(n-1,1)$

\langle x,x\rangle <0,\ \langle y,y\rangle <0\ \Rightarrow \ \langle x,y\rangle ^{2}\geqslant \langle x,x\rangle \cdot \ langle y,y\rangle .

Aplicații în fizică

Cel mai important caz special al unui spațiu pseudo-euclidian este spațiul Minkowski , folosit în relativitate specială ca spațiu -timp , în care metrica semnăturii (1,3) este invariantă de Lorentz (doar o metrică pseudo-euclidiană poate fi invariantă de Lorentz). ), iar pentru asemănarea în timp a unei perechi de evenimente, lungimea (în sensul unei astfel de metrici) a curbei care leagă aceste evenimente și este, de asemenea, peste tot asemănătoare timpului, există timpul dintre ele, măsurat de ceas, a cărei mișcare este descrisă în spațiul-timp al acestei curbe. Direcțiile izotrope sunt direcțiile de propagare a luminii și sunt numite și nule sau asemănătoare luminii.

Spațiul Hilbert cu metrică nedefinită este folosit în electrodinamica cuantică pentru descrierea matematică a cuantizării oscilațiilor longitudinale și scalare ale câmpului electromagnetic [2] .

Fizica teoretică ia în considerare spațiile pseudo-euclidiene și alte dimensiuni, totuși, de regulă, metrica din ele are semnătura , adică acestea sunt spații cu coordonate unice și n spațiale. $(1,n)$

Vezi și

Note

↑ 1 2 Shafarevici I. R., Remizov A. O. Algebră liniară și geometrie, cap. VII, alin. 7, - Fizmatlit, Moscova, 2009.
↑ Akhiezer A.I. , Berestetsky V.B. Electrodinamică cuantică. - M., Nauka, 1969. - p. 63

Literatură

Walter Noll (1964) „Geometrie euclidiană și cronometrie Minkowskian”, American Mathematical Monthly 71:129-44.
Poincaré , Science and Hypothesis 1906, la care se face referire în cartea B. A. Rosenfeld, A History of Non-Euclidean Geometry Springer 1988 (traducere în engleză) p.266.
Szekeres, Peter. Un curs de fizică matematică modernă : grupuri, spațiu Hilbert și geometrie diferențială . - Cambridge University Press , 2004. - ISBN 0521829607 .
Alexandrov P. S., Markushevich A. I., Khinchin A. Ya. — Enciclopedia matematicii elementare. Volumul V. Geometrie
Rashevsky PK Riemann geometrie și analiză tensorială. - Orice ediție.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Algebră liniară și geometrie. — M.: Fizmatlit, 2009.
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Geometrie modernă (metode și aplicații). - Orice ediție.
Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. Prelegeri despre geometria diferențială clasică. — M.: Logos, 2009.

Vectori și matrici

Vectori

Noțiuni de bază	Vector în geometrie Bază Baza ortogonala Coordonatele vectoriale Coliniaritate Ortogonalitatea Dependență liniară Spațiu coloane
Tipuri de vectori	Vector unitar Vector axial vector izotrop Normal Coliniaritate Vector zero Vector rază Vector propriu
Operații pe vectori	Produs scalar produs vectorial produs mixt Produs pseudoscalar Produs dublu cruce
Tipuri de spațiu	spațiu vectorial spatiu afin Spațiul euclidian Spațiul pseudo-euclidian Spațiu normat Spațiul Minkowski

matrici

Noțiuni de bază	Înmulțirea matricei Matrice transpusă Matricea conjugată hermitiană Matricea simetrică matrice inversă Valoare proprie Polinom caracteristic al unei matrice
Matrici speciale	Matrice de identitate Matrice zero Matricea diagonală matricea lambda
Descompuneri de matrice	descompunerea LU Descompunerea Cholesky Descompunerea QR Descompunerea LUP descompunerea unei valori singulare Descompunerea spectrală a unei matrice

Alte