Descompunerea Ricci

Descompunerea Ricci este descompunerea tensorului de curbură Riemann în părți tensorale care sunt ireductibile în raport cu grupul ortogonal . Această descompunere joacă un rol important în geometria riemanniană și pseudo-riemanniană.

Componentele tensorului Riemann

Defalcarea arată astfel:

R_{abcd}=\,S_{abcd}+E_{abcd}+C_{abcd}.

Elementele sale sunt:

parte scalară , $S_{abcd)$
parte semi-urme , $E_{abcd)$
partea complet fără urme , care poartă denumirea specială a tensorului Weyl , . $C_{{abcd}}$

Fiecare element are aceleași simetrii ca și tensorul de curbură, dar are și proprietăți algebrice specifice.

Parte scalară

S_{abcd}={\frac {R}{(n-1)\,(n-2)))\,H_{abcd)

depinde numai de curbura scalară (unde este tensorul Ricci ) și de tensorul metric , care este combinat astfel încât să dea un tensor cu simetrie tensorală de curbură: $R={R^{m}}_{m}$ $R_{ab}={R^{c}}_{acb}$ $g_{{ab}}$ $H_{abcd)$

H_{abcd}=g_{ad}\,g_{cb}-g_{ac}\,g_{db}=2g_{a[d}\,g_{c]b}.

Partea semi-urme

E_{abcd}={\frac {1}{n-2}}\,\left(g_{ac}\,R_{bd}-g_{ad}\,R_{bc}+g_{bd }\,R_{ac}-g_{bc}\,R_{ad}\right)={\frac {2}{n-2}}\,\left(g_{a[c}\,R_{d ]b}-g_{b[c}\,R_{d]a}\right)

se obține în mod similar din partea fără urme a tensorului Ricci

S_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{n}}\,g_{ab}\,R

iar tensorul metric . $g_{{ab}}$

Tensorul Weil este complet fără urme, în sensul că contracția lui peste orice pereche de indici dă zero. Hermann Weyl a arătat că acest tensor măsoară abaterea unei varietăți pseudo-riemanniene de la o varietate conform plană: la dimensiunile 4 și mai sus, transformarea acestuia la zero implică faptul că varietatea este echivalentă local conform cu o varietate plată.

Această descompunere este pur algebrică și nu include nicio derivație.

În cazul unei varietăți cu 4 dimensiuni lorentziane (de exemplu, spațiu -timp ) , tensorul Einstein are o urmă egală cu curbura scalară inversă, astfel încât părțile fără urme ale tensorului Einstein și ale tensorului Ricci sunt aceleași $G_{ab}=R_{ab}-1/2\,g_{ab}R$

S_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{4}}\,g_{ab}\,R=G_{ab}-{\frac {1}{4}}\, g_{ab}\,G.

O notă despre terminologie: notația este standard, este utilizată pe scară largă, dar nu este general acceptată, iar tensorii nu au notații stabilite. $R_{abcd},\,C_{abcd)$ $S_{ab},\,E_{abcd)$ $S_{abcd)$ $H_{abcd)$

Ca o reprezentare ireductibilă

Expansiunea Ricci este o descompunere a spațiului tuturor tensorilor cu simetrie tensorală de curbură în reprezentări ireductibile ale grupului ortogonal [1] . Fie V un spațiu vectorial n - dimensional cu o metrică introdusă pe el (posibil de semnătură mixtă). Dacă este un spațiu tangent într-un punct al varietății, atunci tensorul de curbură R cu indici covarianți este un element al produsului tensor V ⊗ V ⊗ V ⊗ V astfel încât este antisimetric în perechea de primul și ultimul element:

R(x,y,z,w)=-R(y,x,z,w)=-R(x,y,w,z)

și este simetric în raport cu permutarea lor

R(x,y,z,w)=R(z,w,x,y),

pentru toate x , y , z , w ∈ V ∗ . Atunci R aparține subspațiului formelor pătratice pe bivectorii spațiului V . În afară de aceasta, tensorul de curbură trebuie să satisfacă și identitatea Bianchi , ceea ce înseamnă că aparține nucleului mapării liniare de antisimetrizare. $S^{2}\Lambda ^{2}V$ $b\colon S^{2}\Lambda ^{2}V\la \Lambda ^{4}V$

b\colon R(x,y,z,w)\mapsto {\tfrac {1}{3})\cdot [R(x,y,z,w)+R(y,z,x, w)+R(z,x,y,w)].

Nucleul este spațiul tensorilor de curbură algebrică. Descompunerea Ricci este descompunerea acestui spațiu în componente ireductibile. Afișaj de convoluție Ricci $\mathop {\rm {Ker}} b\subset S^{2}\Lambda ^{2}V$

c:S^{2}\Lambda ^{2}V\la S^{2}V

este definit de egalitate

c(R)(x,y)=\operatorname {tr} R(x,\cdot,y,\cdot).

Această mapare ne permite să asociem fiecare tensor de curbură algebrică cu o formă de 2 simetrică. În schimb, pentru orice formă simetrică 2 , produsul Kulkarni-Nomizu $h$ $k$

h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\bigcirc ~}k(x,y,z,w)=h(x,z)k(y,w)+h( y,w)k(x,z)-h(x,w)k(y,z)-h(y,z)k(x,w)

definește tensorul de curbură algebrică.

Pentru , există o descompunere ortogonală (unica) în subspații ireductibile: $n\geq 4$

R V = S V ⊕ E V ⊕ C V ,

Unde

\mathbf {S} V=\mathbb {R} g\circ g;

\mathbf {E} V=g\circ S_{0}^{2}V,

unde S20
_V este spațiul de 2-forme simetrice cu urmă zero ;

\mathbf {C} V=\ker c\cap \ker b.

Componentele S , E și C ale descompunerii Ricci a unui tensor Riemann dat R sunt proiecții ortogonale ale lui R pe subspații invariante. În special,

R=S+E+C

și

|R|^{2}=|S|^{2}+|E|^{2}+|C|^{2}.

Expansiunea Ricci exprimă spațiul tensorilor cu simetria tensorială Riemann ca o sumă directă a unui submodul scalar, a unui submodul Ricci și a unui submodul Weil. Fiecare dintre aceste module este o reprezentare ireductibilă a grupului ortogonal și, prin urmare, această descompunere este un caz special de descompunere a modulului unui grup semisimplu Lie în factori ireductibili.

În cazul 4-dimensional, modulul Weil este descompus în continuare într-o pereche de factori ireductibili într -un grup ortogonal special : părțile auto-duale și anti - auto -duale W + și W − .

Interpretare fizică

Expansiunea Ricci are semnificație fizică în cadrul relativității generale și al altor teorii metrice ale gravitației, unde uneori este denumită expansiunea Géhéniau-Debever . În această teorie , ecuațiile lui Einstein

G^{ab}=8\pi \,T^{ab},

unde este tensorul energie-impuls , care conține densitățile și fluxurile de energie și de impuls ale tuturor materiei negravitaționale, se argumentează că tensorul Ritchie (sau, în mod echivalent, tensorul Einstein) descrie acea parte a câmpului gravitațional care este direct generate de energie și impuls negravitațional. Tensorul Weyl este o parte a câmpului gravitațional care se propagă chiar și prin regiuni ale spațiului care nu conțin materie sau câmpuri de natură negravitațională - de exemplu, sub formă de unde gravitaționale sau forțe de maree [2] . Regiunile spațiu-timp în care dispare tensorul Weyl nu conțin unde gravitaționale și sunt conform plane, ceea ce implică, de exemplu, absența deviației gravitaționale a luminii în astfel de regiuni. $T^{ab}$

Note

↑ Besse, 1987 , capitolul 1, §G.
↑ John Baez. Tensorii Ricci și Weyl . Tutorial de Relativitate Generală . Data accesului: 4 iunie 2016. Arhivat din original pe 19 martie 2016.

Link -uri

Besse, Arthur L. (1987), Einstein manifolds , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Rezultatele în matematică și domenii conexe (3)], voi. 10, Berlin, New York: Springer-Verlag , p. xii+510, ISBN 978-3-540-15279-8 .

Hawking, SW; și Ellis, G.F.R. Structura la scară largă a spațiului-timp (nedefinită) . - Cambridge: Cambridge University Press, 1973. - ISBN 0-521-09906-4 . Vezi secțiunea 2.6 pentru descompunere. Această carte folosește semnătura opusă, dar aceeași convenție de semne spațiale Landau-Lifshitz folosită în Wikipedia.

Weinberg, Steven. Gravitația și cosmologia: principii și aplicații ale teoriei generale a relativității (engleză) . - New York: John Wiley & Sons, 1972. - ISBN 0-471-92567-5 . Consultați secțiunea 6.7 pentru o discuție despre descompunere (dar rețineți diferitele convenții ale semnelor).

Wald, Robert M. Relativitatea generală (neopr.) . - The University of Chicago Press , 1984. - ISBN 0-226-87033-2 . Vezi secțiunea 3.2 pentru o discuție despre descompunere.

Sharpe, R.W. (1997), Geometrie diferențială: Generalizarea lui Cartan a programului Erlangen al lui Klein , Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-94732-9 . Secțiunea 6.1 discută descompunerea. Versiuni ale descompunerii intră și în discuția despre geometriile conformale și proiective, în capitolele 7 și 8.

Singer, I.M. & Thorpe, JA (1969), Curbura spațiilor Einstein 4-dimensionale, Analiză globală (Lucrări în onoarea lui K. Kodaira) , Univ. Tokyo Press, p. 355–365 .