Rotor (operator diferențial)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 5 octombrie 2021; verificarea necesită 21 de modificări .

Rotor , rotație sau vârtej este un operator diferenţial vectorial peste un câmp vectorial .

Indicat în diferite moduri:

$\operatorname{rot}$ (cel mai frecvent în literatura rusă [1] ),
$\operatorname{curl}$ (în literatura de limba engleză, sugerată de Maxwell [2] ),
$\mathbf {\nabla } \times$ — ca operator diferenţial nabla , înmulţit vectorial cu un câmp vectorial, adică pentru un câmp vectorial, rezultatul acţiunii operatorului rotor, scris sub această formă, va fi produsul vectorial al operatorului nabla şi acest câmp: . $\mathbf {F}$ $\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F}$

Rezultatul acțiunii operatorului rotor asupra unui câmp vectorial specific se numește rotor de câmp sau pur și simplu rotor și este un câmp vectorial nou [3] : $\mathbf {F}$ $\mathbf {F}$ $\mathbf {F}$

\operatorname {putrecerea} \mathbf {F} \equiv \mathbf {\nabla } \times \mathbf {F}

Câmpul (lungimea și direcția vectorului în fiecare punct din spațiu) caracterizează într-un anumit sens ( vezi mai jos ) componenta de rotație a câmpului în punctele corespunzătoare. $\operatorname {putrezire} \mathbf {F}$ $\operatorname {putrezire} \mathbf {F}$ $\mathbf {F}$

Definiție

Rotorul unui câmp vectorial este un vector a cărui proiecție pe fiecare direcție este limita raportului dintre circulația câmpului vectorial de -a lungul conturului , care este marginea unei zone plane , perpendiculară pe această direcție, la valoarea acestui zonă (zonă), când dimensiunea zonei tinde spre zero, iar zona în sine se contractă în punctul [4] : $\operatorname {putrezire} \mathbf {a}$ $\mathbf {a}$ $\operatorname {putrecerea} _{\mathbf {n} }\mathbf {a}$ $\mathbf n$ $L$ $\Delta S$

\operatorname {putrezire} _{\mathbf {n} }\mathbf {a} =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\oint \limits _{L}\mathbf {a\ cdot \,dr} }{\Delta S))

Direcția de parcurgere a conturului este aleasă astfel încât atunci când este privit în direcția , conturul să fie parcurs în sensul acelor de ceasornic [5] . $\mathbf n$ $L$

Operația astfel definită există, strict vorbind, doar pentru câmpuri vectoriale peste spațiu tridimensional. Pentru generalizări la alte dimensiuni, vezi mai jos .

O definiție alternativă poate fi o definiție computațională directă a unui operator diferenţial, care se reduce la

\operatorname {putrezire} \mathbf {a} =\nabla \times \mathbf {a}

care poate fi scris în coordonate specifice, așa cum se arată mai jos .

Uneori poți întâlni o astfel de alternativă [6] definiție [7]

\operatorname {putrezire} \mathbf {a} {\Big |}_{O}=\lim _{S\to O}{\frac {\oint \limits _{S}[\mathbf {a} \times d\mathbf {S} ]}{V}}

, unde este punctul în care este determinat rotorul câmpului ,

O

\mathbf {a}

S

- o suprafață închisă care conține un punct în interior și care se micșorează la el în limită,

O

d\mathbf {S}

este vectorul unui element al acestei suprafețe, a cărui lungime este egală cu aria elementului de suprafață, ortogonală cu suprafața într-un punct dat, semnul denotă un produs vectorial,

\times

V

este volumul din interiorul suprafeței .

S

Această ultimă definiție este de așa natură încât dă imediat vectorul rotorului, fără a fi nevoie să se definească separat proiecțiile pe cele trei axe.

Imagine intuitivă

Dacă este câmpul de viteză al gazului (sau al curgerii lichidului), atunci este un vector proporțional cu vectorul viteză unghiulară a unui grăunte foarte mic și ușor de praf (sau bilă) în flux (și antrenat de mișcarea gazului sau a lichidului; deși centrul mingii poate fi fixat dacă se dorește, doar astfel încât să se poată roti liber în jurul ei). $\mathbf {v} (x,y,z)$ $\operatorname {putrezire} \mathbf {v}$

Mai exact , unde este această viteză unghiulară. $\operatorname {putrezire} \mathbf {v} =2{\boldsymbol {\omega }}$ ${\boldsymbol {\omega ))$

Pentru o ilustrare simplă a acestui fapt, vezi mai jos .

Această analogie poate fi trasă destul de riguros ( vezi mai jos ). Definiția de bază prin circulație dată mai sus poate fi considerată echivalentă cu cea astfel obținută.

Exprimarea în coordonate specifice

Formula rotorului în coordonate carteziene

Într-un sistem de coordonate carteziene tridimensional, rotorul (conform definiției de mai sus) se calculează după cum urmează (aici , notat printr-un câmp vectorial cu componente carteziene și sunt orte de coordonate carteziene): $\mathbf {F}$ $(F_{x}, F_{y}, F_{z})$ $\mathbf e_x, \mathbf e_y, \mathbf e_z$

\operatorname {putrecerea} (F_{x}\mathbf {e} _{x}+F_{y}\,\mathbf {e} _{y}+F_{z}\mathbf {e} _{ z})={}

= \left( \partial_y F_z - \partial_z F_y \right) \mathbf e_x+ \left( \partial_z F_x - \partial_x F_z \right) \mathbf e_y+ \left( \partial_x F_y - \partial_y F_x \right e) \zth echiv

\equiv \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {e } _{x}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf { e} _{y}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {e}_{z}

(\operatorname {rot} \mathbf {F} )_{x}=\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\equiv {\frac {\partial F_ {z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}

(\operatorname {putrezire} \mathbf {F} )_{y}=\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\equiv {\frac {\partial F_ {x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}

(\operatorname {putrezire} \mathbf {F} )_{z}=\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\equiv {\frac {\partial F_ {y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}

(care poate fi considerată o definiție alternativă, coincizând în esență cu definiția de la începutul secțiunii, cel puțin cu condiția ca componentele câmpului să fie diferențiabile).

Pentru comoditate, putem reprezenta formal rotorul ca produsul vectorial al operatorului nabla (în stânga) și câmpul vectorial:

\operatorname {putrezire} \mathbf {F} =\mathbf {\nabla} \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\partial _{x}\\\partial _{y}\\ \partial _{z}\end{pmatrix}}\times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e } _{z}\\\partial _{x}&\partial _{y}&\partial _{z}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}

(ultima egalitate reprezintă în mod formal produsul vectorial ca determinant ).

Formula rotorului în coordonate curbilinie

O expresie generală convenabilă pentru un rotor, potrivită pentru coordonate curbilinii arbitrare în spațiul 3D, este utilizarea tensorului Levi-Civita (folosind superscripte, indice și regula de însumare a lui Einstein ):

(\operatorname {putrezire} \mathbf {v} )_{i}=\varepsilon _{ijk}g^{jm}\nabla _{m}v^{k)

unde este notația de coordonate a tensorului Levi-Civita, inclusiv factorul , este tensorul metric în reprezentarea cu superscripte, , și sunt derivatele covariante ale coordonatelor contravariante ale vectorului . $\varepsilon_{ijk}$ ${\sqrt {g)}$ $g^{jm}$ $g\equiv \det(g_{rs})$ $\nabla _{m}v^{k)$ ${\mathbf v}$

Această expresie poate fi rescrisă și ca:

{\displaystyle (\operatorname {putrezire} \mathbf {v} )^{n}=g^{ni}\varepsilon _{ijk}g^{jm}\nabla _{m}v^{k))

Formula rotorului în coordonate curbilinii ortogonale

\operatorname {putrecerea} \mathbf {A} =\operatorname {putrecerea} (\mathbf {q_{1}} A_{1}+\mathbf {q_{2}} A_{2}+\mathbf {q_ {3}}A_{3})=

{}={\frac {1}{H_{2}H_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(A_{3}H_{3 })-{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(A_{2}H_{2})\right]\mathbf {q_{1}} \ +

{}+{\frac {1}{H_{3}H_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(A_{1}H_{1 })-{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(A_{3}H_{3})\right]\mathbf {q_{2}} \ +

{}+{\frac {1}{H_{1}H_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(A_{2}H_{2 })-{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(A_{1}H_{1})\right]\mathbf {q_{3}}

{}={\frac {1}{H_{1}H_{2}H_{3}}}{\begin{vmatrix}\mathbf {(} H_{1}{e}_{1}) &\mathbf {(} H_{2}{e}_{2})&\mathbf {(} H_{3}{e}_{3})\\{\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} _{1))}&{\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} _{2))}&{\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} _{3 }}}\\(A_{1}H_{1})&(A_{2}H_{2})&(A_{3}H_{3})\end{vmatrix}}

unde sunt coeficienţii Lame . $Bună$

Generalizări

O generalizare a buclei aplicată câmpurilor vectoriale (și pseudovectorale) pe spații de dimensiune arbitrară (cu condiția ca dimensiunea spațiului să coincidă cu dimensiunea vectorului câmpului) este un câmp tensor antisimetric de valență doi, ale cărui componente sunt egal:

(\operatorname {rot} \mathbf {F} )_{ij}=\partial _{i}F_{j}-\partial _{j}F_{i}\equiv {\frac {\partial F_ {j}}{\partial x_{i}}}}-{\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}

Aceeași formulă poate fi scrisă în ceea ce privește produsul exterior cu operatorul nabla:

\operatorname {putrezire} \mathbf {F} =\nabla \wedge \mathbf {F}

Pentru un plan bidimensional, se poate folosi o formulă similară cu un produs pseudoscalar (o astfel de buclă va fi un pseudoscalar, iar valoarea sa coincide cu proiecția produsului vectorial tradițional pe normala acestui plan, dacă este încorporată în un spaţiu euclidian tridimensional).

Dacă structura unui spațiu complex (cu coordonată ) este introdusă pe un spațiu real bidimensional (cu coordonate și ) și câmpurile vectoriale bidimensionale sunt scrise ca funcții cu valori complexe , atunci folosind diferențierea față de o variabilă complexă $X$ $y$ $z=x+iy$ $f(z)$

{\frac {\partial {}}{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {}}{\partial x}}-i{ \frac {\partial {}}{\partial y}}\right)

rotorul și divergența (și vor rămâne numere reale) pot fi scrise după cum urmează:

\operatorname {putrezire} f=2\operatorname {Im} {\frac {\partial f}{\partial z)}

\operatorname {div} f=2\operatorname {Re} {\frac {\partial f}{\partial z)}

Proprietăți de bază

Operația rotorului este liniară peste câmpul de constante: pentru orice câmp vectorial și și pentru orice numere (constante) și $\mathbf {F}$ $\mathbf {G}$ $A$ $b$

\operatorname {putrecerea} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\operatorname {putrecerea} \mathbf {F} +b\operatorname {putrecerea} \mathbf {G}

Dacă este un câmp scalar (funcție) și este vector, atunci: $\varphi$ $\mathbf {F}$

\operatorname {putrecerea} (\varphi \mathbf {F} )=\operatorname {grad} \varphi \times \mathbf {F} +\varphi \operatorname {putrezirea} \mathbf {F}

\nabla \times (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\times \mathbf {F} +\varphi (\nabla \times \mathbf {F} )

Dacă câmpul este potențial , rotorul său este egal cu zero (câmpul este irrotațional): $\mathbf {F}$ $\mathbf {F}$

\mathbf {F} =\operatorname {grad} \varphi \implies \operatorname {putrezire} \mathbf {F} = {\boldsymbol {0)}

Reversul este adevărat local [8] : dacă câmpul este irrotațional, atunci local (în zone suficient de mici) este potențial (adică există un astfel de câmp scalar care va fi gradientul lui): $\varphi$ $\mathbf {F}$

\operatorname {putrezire} \mathbf {F} = {\boldsymbol {0}}\implies \mathbf {F} =\operatorname {grad} \varphi

Astfel, câmpuri vectoriale diferite pot avea același rotor. În acest caz, ele vor diferi în mod necesar printr-un câmp irotațional (adică, local, prin gradientul unui câmp scalar).

Divergența rotorului este zero (câmpul rotorului este fără divergență):

\operatorname {div} \operatorname {putrezire} \mathbf {F} =0

\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0

Proprietatea inversă este valabilă și local - dacă câmpul este lipsit de divergențe, local este rotorul unui câmp , numit potențialul său vectorial : $\mathbf {F}$ $\mathbf {G}$

\operatorname {div} \mathbf {F} =0\implies \mathbf {F} =\operatorname {putrezire} \mathbf {G}

Divergența produsului încrucișat a două câmpuri vectoriale este exprimată în termenii rotorilor lor prin formula:

\operatorname {div} (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\operatorname {putrecerea} \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot \operatorname {putrezire} \mathbf {G}

Astfel, dacă și sunt câmpuri vectoriale irotaționale, produsul lor vectorial va fi lipsit de divergențe și va avea local un potențial vectorial. De exemplu, dacă , și , este ușor de găsit potențialul vectorial pentru :

F

G

\mathbf {F} =\nabla f

\mathbf {G} =\nabla g

\mathbf {F} \times \mathbf {G}

\mathbf {F} \times \mathbf {G} =\operatorname {putrecerea} (f\nabla g)

. La nivel local, fiecare câmp vectorial fără divergențe dintr-un domeniu 3D este produsul încrucișat a doi gradienți.

Curba rotorului este egală cu gradientul de divergență minus laplacianul:

\operatorname {putrecerea} \operatorname {putrecerea} \mathbf {F} =\operatorname {grad} \operatorname {div} \mathbf {F} -\Delta \mathbf {F}

Rotorul produsului vectorial al câmpurilor este egal cu:

\operatorname {putrezire} (\mathbf {F\times G} )=(\operatorname {div} \mathbf {G} )\mathbf {F} -(\operatorname {div} \mathbf {F} )\ mathbf {G} +\nabla _{\mathbf {G} }\mathbf {F} -\nabla _{\mathbf {F} }\mathbf {G}

Interpretare fizică

Când un mediu continuu se mișcă , distribuția vitezelor sale (adică câmpul vitezei curgerii fluidului) în apropierea punctului O este dată de formula Cauchy-Helmholtz:

\mathbf {v} (\mathbf {r} )=\mathbf {v} _{O}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} +\nabla \varphi +o(\ mathbf {r} )

unde este vectorul de rotație unghiulară a elementului mediului în punctul , și este forma pătratică a coordonatelor, este potențialul de deformare al elementului mediului. ${\boldsymbol {\omega ))$ $O$ $\varphi$

Astfel, mișcarea unui mediu continuu în apropierea unui punct constă din mișcare de translație (vector ), mișcare de rotație (vector ) și mișcare potențială - deformare (vector ). Aplicând operația rotorului la formula Cauchy-Helmholtz, obținem că în punctul în care elementul mediu de egalitate $O$ $\mathbf {v} _{O}$ ${\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$ $\nabla\varphi$ $O$ $\operatorname {putrezire} \mathbf {v} =2{\boldsymbol {\omega }}$

Ca imagine intuitivă, așa cum este descrisă mai sus, aici puteți folosi ideea de rotație a unei mici bucăți de praf aruncate în flux (antrenată de flux cu sine însuși, fără perturbarea sa notabilă) sau de rotație a unui mic praf. una plasată în flux cu axă fixă (fără inerție, rotită de curgere, vizibil fără a-l deforma) roți cu palete drepte (nu elicoidale). Dacă unul sau altul, când se uită la el, se rotește în sens invers acelor de ceasornic, atunci aceasta înseamnă că vectorul rotor al câmpului vitezei curgerii în acest punct are o proiecție pozitivă către noi.

Formula Kelvin-Stokes

Circulația unui vector de-a lungul unui contur închis, care este limita unei anumite suprafețe, este egală cu fluxul rotorului acestui vector prin această suprafață:

\oint \limits _{\partial S}\mathbf {F} \cdot \,\mathbf {dl} =\int \limits _{S}(\operatorname {rot} ~\mathbf {F} )\ cdot \mathbf {dS}

Un caz special al formulei Kelvin-Stokes pentru o suprafață plană este conținutul teoremei lui Green .

Exemple

În acest capitol, pentru vectorii unitari de-a lungul axelor coordonatelor carteziene (dreptunghiulare), vom folosi notația $\mathbf e_x, \mathbf e_y, \mathbf e_z.$

Un exemplu simplu

Luați în considerare un câmp vectorial în funcție de coordonate și astfel: $\mathbf {F}$ $X$ $y$

\mathbf{F}(x,y)=y\mathbf e_x - x \mathbf e_y

În raport cu acest exemplu, este ușor de observat că , unde este vectorul rază și , adică câmpul poate fi considerat ca câmpul de viteze al punctelor unui corp rigid care se rotește cu o viteză unghiulară de unitate în mărime , îndreptat în direcția negativă a axei (adică în sensul acelor de ceasornic, dacă priviți „de sus” - împotriva axei ). Intuitiv, este mai mult sau mai puțin evident că câmpul este răsucit în sensul acelor de ceasornic. Dacă plasăm o roată cu lame într-un lichid care curge la astfel de viteze (adică se rotește în întregime în sensul acelor de ceasornic), în orice loc, vom vedea că va începe să se rotească în sensul acelor de ceasornic. (Pentru a determina direcțiile, folosim, ca de obicei, regula mâinii drepte sau șurubul drept ). $\mathbf {F} = {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$ $\mathbf {r}$ ${\boldsymbol {\omega }}=-1\mathbf {e} _{z}$ $\mathbf {F}$ $z$ $z$
$z$ -componenta câmpului se va presupune a fi egală cu zero. Totuși, dacă este diferit de zero, dar constant (sau chiar depinde doar de ) - rezultatul pentru rotorul obținut mai jos va fi același. $\mathbf {F}$ $z$

Să calculăm rotorul:

\mathbf{\nabla} \times \mathbf{F} =0 \mathbf e_x + 0 \mathbf e_y+ \left[ {\frac{\partial}{\partial x))(-x) -{\frac{\partial }{\partial y)) y \right] \mathbf e_z = -2\mathbf e_z

După cum era de așteptat, direcția a coincis cu direcția negativă a axei . În acest caz, rotorul sa dovedit a fi o constantă, adică câmpul sa dovedit a fi omogen, independent de coordonate (ceea ce este natural pentru rotația unui corp rigid). Ce este minunat $z$ $\mathbf{\nabla} \times \mathbf{F}$

viteza unghiulară de rotație a lichidului, calculată de la rotor și găsită a fi exact egală , se potrivea exact cu ceea ce este indicat în paragraful Interpretare fizică , adică acest exemplu este o ilustrare bună a faptului dat acolo $\operatorname {rot}{\mathbf F}/2$ . (Desigur, calculele care repetă complet cele de mai sus, dar numai pentru viteze unghiulare neunitare, dau același rezultat ). $\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} =2{\boldsymbol {\omega }}$

Viteza unghiulară de rotație din acest exemplu este aceeași în orice punct din spațiu (unghiul de rotație al unui bob de praf lipit de un corp solid nu depinde de locul în care este lipit boabele de praf). Prin urmare, diagrama rotorului nu este prea interesantă: $\mathbf {F}$

Un exemplu mai complex

Acum luați în considerare un câmp vectorial puțin mai complex [9] :

\mathbf {F} (x,y)=-x^{2}\mathbf {e} _{y)

Programul lui:

S-ar putea să nu vedem nicio rotație, dar privind mai aproape spre dreapta, vedem un câmp mai mare în, să zicem, punct decât în punctul . Dacă ar fi să instalăm acolo o mică roată cu zbaturi, debitul mai mare pe partea dreaptă ar face ca roata să se rotească în sensul acelor de ceasornic, corespunzătoare înșurubarii în direcția . Dacă ar fi să poziționăm roata pe partea stângă a câmpului, debitul mai mare pe partea stângă ar face ca roata să se rotească în sens invers acelor de ceasornic, corespunzătoare înșurubarii în direcția . Să ne verificăm presupunerea cu un calcul: $x=4$ $x=3$ $-z$ $+z$

\mathbf{\nabla} \times \mathbf{F} = 0 \mathbf e_x + 0 \mathbf e_y + {\frac{\partial}{\partial x))(-x^2) \mathbf e_z = -2x \ mathbf e_z

Într-adevăr, înșurubarea are loc în direcția pentru negativ și pentru pozitiv , așa cum era de așteptat. Deoarece acest rotor nu este același în fiecare punct, graficul său pare puțin mai interesant: $+z$ $X$ $-z$ $X$

Se poate observa că graficul acestui rotor nu depinde de sau (cum ar trebui să fie) și este direcționat de-a lungul pentru pozitiv și în direcția pentru negativ . $y$ $z$ $-z$ $X$ $+z$ $X$

Exemple explicative

Într -o tornadă , vânturile se rotesc în jurul centrului, iar câmpul vectorial al vitezelor vântului are un rotor diferit de zero (undeva) în regiunea centrală. (vezi mișcarea vortexului ). (Adevărat, mai aproape de margine undeva, rotorul poate lua și o valoare zero, vezi mai jos ).
Pentru câmpul vectorial al vitezelor de mișcare a punctelor unui corp rigid rotativ (absolut rigid), acesta este același pe tot volumul acestui corp și este egal cu (vector) de două ori viteza unghiulară de rotație ( pentru detalii, vezi mai sus ) . În cazul particular al mișcării pur translaționale sau al repausului, acest rotor poate fi egal cu zero, precum și viteza unghiulară, de asemenea, pentru toate punctele corpului. ${\mathbf v}$ $\operatorname {putrezire} \mathbf {v}$
Dacă vitezele mașinilor de pe pistă ar fi descrise printr-un câmp vectorial și diferite benzi ar avea limite de viteză diferite, rotorul de la granița dintre benzi ar fi diferit de zero.
Legea inducției electromagnetice a lui Faraday , una dintre ecuațiile lui Maxwell , este pur și simplu scrisă (în formă diferențială) prin rotor: rotorul câmpului electric este egal cu viteza de modificare a câmpului magnetic (în timp) luată cu semnul opus.
A patra ecuație a lui Maxwell - legea Ampère-Maxwell - este scrisă și în formă diferențială folosind un rotor: rotorul intensității câmpului magnetic este egal cu suma densităților de curent convenționale și a curentului de deplasare [10] .

Un exemplu contraintuitiv important

Trebuie avut în vedere că direcția rotorului poate să nu corespundă cu direcția de rotație a câmpului (să fie câmpul vitezelor fluidului), ceea ce pare evident, corespunzătoare direcției de curgere. Poate avea o direcție opusă curgerii și, în special, rotorul se poate dovedi a fi egal cu zero, deși liniile de curgere sunt îndoite sau chiar reprezintă cercuri exacte). Cu alte cuvinte, direcția de curbură a liniilor vectoriale ale unui câmp vectorial nu este în nici un fel legată de direcția vectorului rotorului acestui câmp.

Să luăm în considerare un astfel de exemplu. Fie câmpul vitezei curgerii fluidului să fie definit prin formula: ${\mathbf v}$

\mathbf {v} =-f(y)\mathbf {e} _{x)

\operatorname {putrecerea} \mathbf {v} =f'(y)\mathbf {e} _{z)

Dacă , fluxul transportă particula de la dreapta la stânga (adică în sens invers acelor de ceasornic pentru un observator de sus de-a lungul axei ) , totuși, dacă și este o funcție descrescătoare, atunci rotorul este îndreptat în jos peste tot, ceea ce înseamnă că fiecare particulă de fluid este răsucit în sensul acelor de ceasornic (în timp ce de asemenea și deformat). $f'(y)>0$ $z$ $f'(y)<0$ $f(y)$

Cele de mai sus înseamnă că mediul în ansamblu se poate roti în jurul observatorului într-o direcție, iar fiecare dintre volumele sale mici se poate roti în direcția opusă sau nu se poate roti deloc.

Note

↑ Tot în germană, de unde, se pare, această denumire a ajuns în rusă și aproape peste tot în Europa, cu excepția Angliei, unde o astfel de denumire este considerată „alternativă” (poate din cauza disonanței: engleză putregai - putregai, putregai) .
↑ O. Heaviside . Relațiile dintre forța magnetică și curentul electric Arhivat 22 iulie 2016 la Wayback Machine . // Electricianul, 1882.
↑ Mai precis - dacă - un câmp pseudo -vector , atunci - un câmp vectorial obișnuit (vector - polar), și invers, dacă câmpul este un câmp al unui vector obișnuit (polar), atunci - un câmp pseudo-vector. $\mathbf {F}$ $\operatorname {putrezire} \mathbf {F}$ $\operatorname {putrezire} \mathbf {F}$ $\mathbf {F}$ $\operatorname {putrezire} \mathbf {F}$
↑ Contracția la un punct este o condiție prealabilă, doar tendința spre zero nu este suficientă, deoarece dorim să obținem caracteristica câmpului într-un anumit punct. $\Delta S$
↑ Convenția obișnuită, în concordanță cu definiția prin produsul vectorial cu operatorul nabla.
↑ Echivalența acestor definiții, dacă limita există și nu depinde de metoda de contracție la un punct, este vizibilă dacă alegem suprafața celei de-a doua definiții sub forma unei suprafețe cilindrice cu baze obținute prin transfer paralel al locul primei definiții cu o distanță foarte mică în două direcții opuse ortogonal față de . În limită, ar trebui să se apropie mai repede decât dimensiunea . Apoi, expresia celei de-a doua definiții este împărțită în doi termeni, unul care conține integrala peste suprafața laterală coincide cu prima definiție, iar al doilea dă zero în proiecția pe normala la baze, deoarece ea însăși este ortogonală cu aceasta pe bazele. În schimb, puteți considera doar un mic paralelipiped ca suprafață, atunci nu este atât de ușor să faceți imediat strictul, dar, în general, analogia este clară. $S$ $\Delta S$ $\Delta S$ $\Delta S$ $\Delta S$ $d\mathbf {S}$
↑ Formal similar cu definiția divergenței prin curgerea printr-o suprafață: $\operatorname {putrezire} \mathbf {a} {\Big |}_{O}=\lim _{S\to O}{\frac {\oint \limits _{S}(\mathbf {a} \cdot d\mathbf {S} )}{V}}$ .
↑ Clauza de localitate este importantă pentru cazul general când câmpurile luate în considerare aici și pot fi definite pe un spațiu (varietate) sau domeniu de topologie non-trivială și când condițiile sunt îndeplinite în general și pe un spațiu sau domeniu de non- topologie banala. Pentru cazul unui spațiu euclidian sau al regiunii sale pur și simplu conectate, nu este necesară clauza de localitate; Adică, atunci există un astfel de câmp scalar care va fi adevărat peste tot în acest spațiu sau în această regiune. $\mathbf {F}$ $\varphi$ $\operatorname {putrezire} \mathbf {F} ={\boldsymbol {0}}$ $\varphi$ $\mathbf {F} =\operatorname {grad} \varphi$
↑ Cea mai simplă implementare fizică a unui astfel de câmp (până la o constantă aditivă care nu afectează calculul rotorului, deoarece ; în plus, dacă se dorește, această constantă poate fi setată la zero prin trecerea la un cadru de referință asociat cu cel mai rapid curgerea apei în centrul jetului) - flux laminar (vâscos) fluid între două plane solide paralele perpendiculare pe axa , sub influența unui câmp de forță uniform (gravitație) sau a diferenței de presiune. Debitul de lichid într-o țeavă cu secțiune transversală circulară oferă aceeași dependență , prin urmare calculul rotorului de mai jos este aplicabil și în acest caz (cel mai ușor este să luați axa care coincide cu axa țevii și deși dependența nu va mai fi o constantă, va fi zero la , ca în exemplul principal, adică calculul și răspunsul pentru orice plan care trece prin axa conductei este același, iar acest lucru rezolvă problema). $\operatorname {putrezire} \mathrm {const} ={\boldsymbol {0}}$ $X$ $v_y(x)$ $y$ $\mathbf v (z)$ $\partial v_y/\partial z$ $z=0$
↑ Dicționar matematic al învățământului superior. V. T. Vodnev, A. F. Naumovich, N. F. Naumovich

Vezi și

Calcul diferenţial

Principal

vederi private

Operatori diferențiali
( în diferite coordonate )

Prima comanda	Operator Nabla Gradient Divergenţă Rotor Helmholtzian
a doua comanda	Operator eliptic operator Laplace Operator vectorial Laplace operator D'Alembert Operator Laplace-Beltrami
ordine superioare	Operator hipoeliptic

subiecte asemănătoare