Matricea simetrică

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 22 noiembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Simetrică (simetrică) se numește o matrice pătrată , ale cărei elemente sunt simetrice față de diagonala principală . Mai formal, o matrice se numește simetrică dacă . $A$ $\forall i,j:a_{{ij}}=a_{{ji}}$

Aceasta înseamnă că este egal cu matricea sa transpusă :

A=A^{T}

Exemple

{\begin{pmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{pmatrix)),{\begin{pmatrix}1&3&0\\3&2&6\\0&6&5\end{pmatrix)),{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0 \\0&0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&5\\5&7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}}

Proprietăți

O matrice simetrică este întotdeauna pătrată .

Pentru orice matrice simetrică A cu elemente reale , este adevărat:

are valori proprii reale
vectorii săi proprii corespunzători diferitelor valori proprii sunt ortogonali unul față de celălalt:

Av=\lambda _{1}v,\ Aw=\lambda _{2}w,\ \lambda _{1}\neq \lambda _{2}\implies v^{T}w=0

vectorii săi proprii pot forma întotdeauna o bază ortonormală
matricea A poate fi redusă la o formă diagonală: , unde este o matrice ortogonală , ale cărei coloane conțin o bază ortonormală de vectori proprii, iar D este o matrice diagonală cu valori proprii ale matricei A pe diagonală. $A=QDQ^{{T}}$ $Q$
Dacă o matrice simetrică A are o singură valoare proprie , atunci are o formă diagonală: , unde este matricea de identitate , în orice bază. $\lambda$ $A=\lambda E$ $E$
Pentru o matrice simetrică, orice matrice congruentă este, de asemenea, simetrică, adică.

${\textstyle A=A^{\mathrm {T} }\quad \Longrightarrow \quad X^{\mathrm {T} }AX=(X^{\mathrm {T} }AX)^{\mathrm {T} }.}$

Matrici definite pozitive (negative)

Se spune că o matrice de dimensiune simetrică este definită pozitivă dacă condiția pentru o matrice definită negativă, nepozitivă și nenegativă este formulată în mod similar cu o modificare corespunzătoare a semnului de inegalitate. Pentru a clarifica natura certitudinii matricei, poate fi utilizat criteriul Sylvester . $A$ $k\ ori k$ $\forall z\in \mathbb {R} ^{k}\setminus \{\mathbf {0} \)$ $z^{T}Az>0.$

Vezi și

Literatură

Bellman R. Introducere în teoria matricelor . — M .: Mir, 1969 (djvu).
Gantmakher F. R. Teoria matricei. - a 5-a ed. - M. : Fizmatlit, 2004. - 560 p. - ISBN 5-9221-0524-8 .; (ed. a II-a). — M. : Nauka, 1966 (djvu) .
Golub J. (Gene H. Golub), Van Lone Ch. (Charles F. Van Loan) Calcule matrice. — M .: Mir, 1999. — 548 p. — ISBN 5-03-002406-9
Kurosh A. G. Curs de algebră superioară. - Ed. a 9-a. - M . : Nauka, 1968. - 432 p.

Vectori și matrici

Vectori

Noțiuni de bază	Vector în geometrie Bază Baza ortogonala Coordonatele vectoriale Coliniaritate Ortogonalitatea Dependență liniară Spațiu coloane
Tipuri de vectori	Vector unitar Vector axial vector izotrop Normal Coliniaritate Vector zero Vector rază Vector propriu
Operații pe vectori	Produs scalar produs vectorial produs mixt Produs pseudoscalar Produs dublu cruce
Tipuri de spațiu	spațiu vectorial spatiu afin Spațiul euclidian Spațiul pseudo-euclidian Spațiu normat Spațiul Minkowski

matrici

Noțiuni de bază	Înmulțirea matricei Matrice transpusă Matricea conjugată hermitiană Matricea simetrică matrice inversă Valoare proprie Polinom caracteristic al unei matrice
Matrici speciale	Matrice de identitate Matrice zero Matricea diagonală matricea lambda
Descompuneri de matrice	descompunerea LU Descompunerea Cholesky Descompunerea QR Descompunerea LUP descompunerea unei valori singulare Descompunerea spectrală a unei matrice

Alte