Sistem de coordonate

Un sistem de coordonate este un set de definiții care implementează metoda coordonatelor , adică o modalitate de a determina poziția și mișcarea unui punct sau corp folosind numere sau alte simboluri. Setul de numere care determină poziția unui anumit punct se numește coordonatele acestui punct.

În matematică , coordonatele sunt un set de numere asociate cu puncte ale unei varietăți dintr-o hartă a unui anumit atlas .

În geometria elementară , coordonatele sunt mărimi care determină poziția unui punct pe un plan și în spațiu. Pe un plan, poziția unui punct este determinată cel mai adesea de distanțele de la două drepte (axe de coordonate) care se intersectează într-un punct (originea) în unghi drept; una dintre coordonate se numește ordonată , iar cealaltă se numește abscisă . În spațiu, conform sistemului Descartes , poziția unui punct este determinată de distanțele de la trei plane de coordonate care se intersectează într-un punct în unghi drept unul față de celălalt, sau de coordonatele sferice , unde originea coordonatelor este în centrul sferă.

În geografie , coordonatele sunt alese ca sistem de coordonate ( aproximativ ) sferice - latitudine , longitudine și înălțime deasupra unui nivel comun cunoscut (cum ar fi oceanul). Vezi coordonatele geografice .

În astronomie , coordonatele cerești sunt o pereche ordonată de mărimi unghiulare (de exemplu, ascensiunea dreaptă și declinația ), care determină poziția luminilor și a punctelor auxiliare pe sfera cerească. În astronomie se folosesc diverse sisteme de coordonate cerești. Fiecare dintre ele este în esență un sistem de coordonate sferice (fără o coordonată radială) cu un plan fundamental și o origine alese corespunzător. În funcție de alegerea planului fundamental, sistemul de coordonate ceresc se numește orizontal (planul orizontului), ecuatorial (planul ecuatorial), ecliptic (planul ecliptic) sau galactic (planul galactic).

Cel mai des folosit sistem de coordonate este sistemul de coordonate dreptunghiular (cunoscut și sub denumirea de sistem de coordonate carteziene ).

Coordonatele din plan și din spațiu pot fi introduse într-un număr infinit de moduri diferite. Când rezolvați o anumită problemă matematică sau fizică prin metoda coordonatelor, puteți utiliza diferite sisteme de coordonate, alegând pe cel în care problema este rezolvată mai ușor sau mai convenabil în acest caz particular. O generalizare binecunoscută a sistemului de coordonate sunt cadrele de referință și sistemele de referință .

Sisteme de bază

Această secțiune oferă explicații pentru cele mai utilizate sisteme de coordonate în matematica elementară.

Coordonate carteziene

Locația punctului P pe plan este determinată de coordonatele carteziene folosind o pereche de numere $(X y):$

$X$ este distanța de la punctul P la axa y , ținând cont de semn
$y$ este distanța de la punctul P la axa x , ținând cont de semn

Sunt necesare trei coordonate în spațiu $(x,y,z):$

$X$ este distanța de la punctul P la planul yz
$y$ este distanța de la punctul P la planul xz
$z$ este distanța de la punctul P la planul xy

Coordonatele polare

În sistemul de coordonate polar aplicat pe plan, poziția punctului P este determinată de distanța acestuia până la origine r = |OP| iar unghiul φ al vectorului său de rază față de axa Ox .

În spațiu, se folosesc generalizări ale coordonatelor polare - sisteme de coordonate cilindrice și sferice .

Coordonate cilindrice

Coordonatele cilindrice sunt un analog tridimensional al coordonatelor polare, în care punctul P este reprezentat printr-un triplu ordonat În ceea ce privește un sistem de coordonate carteziene, $(r,\varphi ,z).$

$0\leqslant {r}$ ( raza ) este distanța de la axa z la punctul P ,
$0\leqslant \varphi <360^{\circ }$ ( azimut sau longitudine) - unghiul dintre partea pozitivă ("plus") a axei x și segmentul tras de la pol la punctul P și proiectat pe planul xy .
$z$ (înălțimea) este egală cu coordonata z carteziană a punctului P .

Notă: în literatură, pentru prima coordonată (radială) se folosește uneori denumirea ρ , pentru a doua (unghiulară sau azimut) - desemnarea θ , pentru a treia coordonată - desemnarea h .

Coordonatele polare au un dezavantaj: valoarea lui φ nu este definită la r = 0 .

Coordonatele cilindrice sunt utile pentru studierea sistemelor care sunt simetrice față de unele axe. De exemplu, un cilindru lung cu raza R în coordonate carteziene (cu axa z coincid cu axa cilindrului) are o ecuație, în timp ce în coordonatele cilindrice pare mult mai simplu ca r = R . $x^{2}+y^{2}=R^{2},$

Coordonate sferice

Coordonatele sferice sunt un analog tridimensional al celor polare.

Într-un sistem de coordonate sferice, locația unui punct P este definită de trei componente: în termenii unui sistem de coordonate carteziene, $(\rho ,\varphi ,\theta ).$

$0\leqslant\rho$ (raza) este distanța de la punctul P la pol,
$0\leqslant \varphi \leqslant 360^{\circ }$ (azimut sau longitudine) - unghiul dintre semiaxa pozitivă („plus”) x și proiecția segmentului trasat de la pol la punctul P din planul xy .
$0\leqslant \theta \leqslant 180^{\circ }$ (latitudine sau unghi polar) - unghiul dintre semiaxa pozitivă ("plus") z și segmentul trasat de la pol la punctul P.

Notă: În literatură, uneori azimutul este notat cu θ , iar unghiul polar cu φ . Uneori se folosește r în loc de ρ pentru coordonatele radiale . În plus, intervalul de unghiuri pentru azimut poate fi selectat ca (−180°, +180°] în loc de intervalul [0°, +360°). În cele din urmă, unghiul polar poate fi măsurat nu din direcția pozitivă a axei z , ci din planul xy ; în acest caz, se află în intervalul [−90°, +90°] și nu în intervalul [0°, 180°]. Uneori ordinea coordonatelor în triplu este aleasă diferită de cea descrisă; de exemplu, unghiurile polare și azimutale pot fi schimbate.

Sistemul de coordonate sferice are și un dezavantaj: φ și θ nu sunt definite dacă ρ = 0; unghiul φ nu este, de asemenea, definit pentru valorile limită θ = 0 și θ = 180° (sau pentru θ = ±90°, dacă este acceptat domeniul adecvat pentru acest unghi).

Pentru a construi un punct P în conformitate cu coordonatele sale sferice, este necesar să deosebim un segment egal cu ρ de la pol de-a lungul semiaxei pozitive z , să îl rotiți cu un unghi θ în jurul axei y în direcția pozitivă. semiaxa x și apoi rotiți-o cu un unghi θ în jurul axei z în direcția semiaxei pozitive y .

Coordonatele sferice sunt utile în studierea sistemelor care sunt simetrice în raport cu un punct. Deci, ecuația unei sfere cu raza R în coordonatele carteziene cu originea în centrul sferei arată ca în timp ce în coordonatele sferice devine mult mai simplă: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},$ $\rho=R.$

Alte sisteme de coordonate comune

Sistemul de coordonate afin (oblic) este un sistem de coordonate rectiliniu în spațiul afin . Pe plan este dat de punctul de origine O și doi vectori necoliniari ordonați , care reprezintă o bază afină . În acest caz, axele de coordonate sunt linii drepte care trec prin punctul de origine paralel cu vectorii de bază, care, la rândul lor, stabilesc direcția pozitivă a axelor. În spațiul tridimensional , respectiv, un sistem de coordonate afine este dat de un triplu de vectori liniar independenți și un punct de origine. Pentru a determina coordonatele unui punct M , se calculează coeficienții de expansiune a vectorului OM în ceea ce privește vectorii de bază [1] .

Coordonatele baricentrice au fost introduse pentru prima dată în 1827 de A. Möbius , care rezolva problema centrului de greutate al maselor situate la vârfurile unui triunghi . Sunt invariante afine, sunt un caz special de coordonate generale omogene . Un punct cu coordonate baricentrice este situat în spațiul vectorial n - dimensional E n , în timp ce coordonatele propriu-zise se referă la un sistem fix de puncte care nu se află în subspațiul ( n − 1)-dimensional. Coordonatele baricentrice sunt folosite și în topologia algebrică în raport cu punctele simplexului [2] .

Coordonatele bangulare sunt un caz special de coordonate bicentrice, un sistem de coordonate pe un plan, dat de două puncte fixe C 1 și C 2 , prin care se trasează o linie dreaptă, acționând ca axa absciselor. Poziția unui punct P care nu se află pe această dreaptă este determinată de unghiurile PC 1 C 2 și PC 2 C 1 .

Coordonatele bipolare [3] se caracterizează prin faptul că în acest caz două familii de cercuri cu poli A și B , precum și o familie de cercuri ortogonale față de acestea, acționează ca drepte de coordonate pe plan. Transformarea coordonatelor bipolare în coordonate carteziene dreptunghiulare se realizează prin intermediul unor formule speciale. Coordonatele bipolare din spațiu se numesc bisferice; în acest caz, suprafețele de coordonate sunt sfere , suprafețe formate prin rotirea arcelor de cerc, precum și semiplane care trec prin axa O z [4] .

Coordonate bicentrice - orice sistem de coordonate care se bazează pe două puncte fixe și în cadrul căruia poziția unui alt punct este determinată, de regulă, de gradul de îndepărtare a acestuia sau, în general, de poziția relativă la aceste două puncte principale. Sistemele de acest fel pot fi destul de utile în anumite domenii ale cercetării științifice [5] [6] .

Coordonate bicilindrice - un sistem de coordonate care se formează dacă sistemul de coordonate bipolar pe planul Oxy este transferat în paralel de-a lungul axei Oz . Suprafețele de coordonate în acest caz sunt o familie de perechi de cilindri circulari ale căror axe sunt paralele, o familie de cilindri circulari ortogonali față de ei și un plan. Formule speciale sunt de asemenea folosite pentru a converti coordonatele bicilindrice în cele carteziene dreptunghiulare pentru spațiul tridimensional [7] .

Coordonatele dipolare sunt un sistem de coordonate ortogonal curbiliniu tridimensional bazat pe un dipol punct (central), mai precis, pe invarianții săi de transformare a coordonatelor. Unul dintre invarianți este suprafața echipotențială , care servește ca suprafață de coordonate; un alt invariant este liniile de forță ale câmpului vectorial , care sunt perpendiculare pe suprafețele echipotențiale. Transformarea coordonatelor sferice sau carteziene în coordonate dipolare se realizează prin intermediul unor formule speciale.

Coordonatele conice sunt un sistem de coordonate ortogonal tridimensional format din sfere concentrice, care sunt descrise prin raza lor , și două familii de conuri perpendiculare , situate de-a lungul axelor x și z [8] .

Coordonatele lui Rindler sunt folosite în primul rând în cadrul teoriei relativității și descriu acea parte a spațiu-timp plat , care este denumită în mod obișnuit spațiul Minkowski . În teoria relativității speciale, o particulă care accelerează uniform se află în mișcare hiperbolică și pentru fiecare astfel de particule în coordonatele Rindler, un astfel de punct de referință poate fi ales în raport cu care se află în repaus.

Coordonatele parabolice sunt un sistem de coordonate ortogonal bidimensional în care liniile de coordonate sunt o colecție de parabole confocale . O modificare tridimensională a coordonatelor parabolice este construită prin rotirea unui sistem bidimensional în jurul axei de simetrie a acestor parabole. Coordonatele parabolice au, de asemenea, o serie de aplicații practice potențiale: în special, pot fi utilizate în legătură cu efectul Stark . Coordonatele parabolice sunt legate printr-o anumită relație cu cele carteziene dreptunghiulare [9] .

Coordonatele proiective există, după denumire, în spațiul proiectiv P n ( K ) și reprezintă o corespondență unu-la-unu între elementele sale și clasele de submulțimi finite de elemente ale corpului K , caracterizate prin proprietățile de echivalență și ordonare. . Pentru a determina coordonatele proiective ale subspațiilor proiective, este suficient să se determine coordonatele corespunzătoare ale punctelor din spațiul proiectiv. În cazul general, cu privire la unele baze, coordonatele proiective sunt introduse prin mijloace pur proiective [10] .

Un sistem de coordonate toroidal este un sistem de coordonate ortogonal tridimensional obținut prin rotirea unui sistem de coordonate bipolar bidimensional în jurul unei axe care separă cele două focare ale sale. Focarele sistemului bipolar, respectiv, se transformă într-un inel cu raza a situat pe planul xy al sistemului de coordonate toroidale, în timp ce axa z devine axa de rotație a sistemului. Inelul focal mai este numit uneori și cerc de bază [11] .

Coordonatele triliniare sunt unul dintre exemplele de coordonate omogene și se bazează pe un triunghi dat, astfel încât poziția unui punct este determinată în raport cu laturile acestui triunghi - în principal de gradul de distanță față de acestea, deși sunt posibile alte variații. Coordonatele triliniare pot fi relativ ușor convertite în baricentrice; în plus, ele sunt și convertibile în coordonate dreptunghiulare bidimensionale, pentru care se folosesc formulele corespunzătoare [12] .

Coordonatele parabolice cilindrice sunt un sistem de coordonate ortogonal tridimensional obținut ca urmare a unei transformări spațiale a unui sistem de coordonate parabolice bidimensionale. Suprafețele de coordonate, respectiv, sunt cilindri parabolici confocali. Coordonatele parabolice cilindrice sunt legate printr-o anumită relație cu cele dreptunghiulare și pot fi aplicate într-o serie de domenii ale cercetării științifice [13] .

Coordonatele elipsoidale sunt coordonate eliptice în spațiu. În acest caz, suprafețele de coordonate sunt elipsoizi , hiperboloizi cu o singură foaie, precum și hiperboloizi cu două foi, ai căror centre sunt situate la origine . Sistemul este ortogonal. Fiecare triplă de numere, care sunt coordonate elipsoidale, corespunde la opt puncte care suntsimetrice între ele în raport cu planurile sistemului O xyz [14] .

Trecerea de la un sistem de coordonate la altul

carteziană și polară

x=r\,\cos \varphi ,

y=r\,\sin \varphi ,

r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},

\varphi =\operatorname {arctg}{\frac {y}{x}}+\pi u_{0}(-x)\,\operatorname {sgn}y,

unde u 0 este funcția Heaviside cu și sgn este funcția signum . Aici funcțiile u 0 și sgn sunt folosite ca comutatoare „logice”, similare ca semnificație cu operatorii „dacă .. atunci” (dacă ... altfel) din limbaje de programare. Unele limbaje de programare au o funcție specială atan2 ( y , x ) care returnează φ corect în cadranul necesar definit de coordonatele x și y . $u_{0}(0)=0,$

carteziană și cilindrice

x=r\,\cos \varphi ,

y=r\,\sin \varphi ,

z=z.\quad

r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},

\varphi =\operatorname {arctg}{\frac {y}{x}}+\pi u_{0}(-x)\,\operatorname {sgn}y,

z=z.\quad

{\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\cos \varphi &-r\sin \varphi &0\\r\sin \varphi &r \cos \varphi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dz\end{pmatrix}},

{\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {x}({\sqrt {x^{2}+y^{2} }}}}&{\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&0\\{\frac {-y}{{\sqrt {x^{2 }+y^{2}}}}}&{\frac {x}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}.

carteziană și sferică

{x}=\rho \,\sin \theta \,\cos \varphi ,\quad

{y}=\rho \,\sin \theta \,\sin \varphi ,\quad

{z}=\rho \,\cos \theta ;\quad

{\rho }={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},

{\theta }=\arccos {\frac {z}{\rho }}=\operatorname {arctg}{\frac ({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}{z}} ,

{\varphi }=\operatorname {arctg}{\frac {y}{x}}+\pi \,u_{0}(-x)\,\operatorname {sgn}y.

{\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi &-\rho \ sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-\rho \ sin \theta &0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix}},

{\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix))={\begin{pmatrix}x/\rho &y/\rho &z/\rho \\{\frac { xz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2))))}&{\frac {yz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2 }+y^{2}}}}}&{\frac {-(x^{2}+y^{2})}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^ {2}}}}}\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}} }&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}.

Cilindrică și sferică

{r}=\rho \,\sin \theta ,

{\varphi }=\varphi ,\quad

{z}=\rho \,\cos \theta ;

{\rho }={\sqrt {r^{2}+z^{2}}},

{\theta }=\operatorname {arctg}{\frac {z}{r}}+\pi \,u_{0}(-r)\,\operatorname {sgn}z,

{\varphi }=\varphi .\quad

{\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dh\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sin \theta &\rho \cos \theta &0\\0&0&1\\\cos \theta & -\rho \sin \theta &0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix}},

{\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix))={\begin{pmatrix}{\frac {r}{{\sqrt {r^{2}+z ^{2)))))&0&{\frac {z}{{\sqrt {r^{2}+z^{2))))}\\{\frac {-z}{r^{2} +z^{2}}}&0&{\frac {r}{r^{2}+z^{2}}}\\0&1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dr\\d \varphi\\dz\end{pmatrix}}.

Sistemul de coordonate geografice

Sistemul de coordonate geografice oferă capacitatea de a identifica orice punct de pe suprafața globului printr -un set de desemnări alfanumerice. De regulă, coordonatele sunt alocate astfel încât unul dintre indicatori să indice poziția verticală , iar celălalt, sau o combinație a altora, poziția orizontală . Setul tradițional de coordonate geografice este latitudinea , longitudinea și altitudinea [15] . Sistemul de coordonate geografice care utilizează cei trei markeri enumerați este ortogonal.

Latitudinea unui punct de pe suprafața Pământului este definită ca unghiul dintre planul ecuatorial și linia dreaptă care trece prin acest punct ca o normală la suprafața elipsoidului de bază, care coincide aproximativ în formă cu Pământul. Această linie dreaptă trece de obicei la câțiva kilometri de centrul pământului, cu excepția a două cazuri: polii și ecuatorul (caz în care trece direct prin centru). Liniile care leagă puncte de aceeași latitudine se numesc paralele . Latitudinea 0° corespunde planului ecuatorului, Polul Nord al Pământului corespunde la 90° latitudine nordică, Polul Sud, respectiv, 90° latitudine sudică. La rândul său, longitudinea unui punct de pe suprafața Pământului este definită ca unghiul în direcția est sau vest de la meridianul principal la un alt meridian care trece prin acest punct. Meridianele care leagă punctele de aceeași longitudine sunt semielipse care converg la poli. Zero este meridianul care trece prin Observatorul Regal din Greenwich , langa Londra . În ceea ce privește înălțimea, aceasta se măsoară de la suprafața condiționată a geoidului , care este o reprezentare spațială abstractă a globului.

Vezi și

coordonatele galileene
coordonate gaussiene
Coordonate normale
Coordonatele riemanniene
Originea , axa de coordonate , ort
Standard local de odihnă (originea coordonatelor în astronomie)
Sistemul de coordonate ortodomic principal
Dimensiunea spațiului
Transformări afine

Note

↑ Parkhomenko A. S. Sistem de coordonate afine. — Enciclopedie matematică. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1977-1985.
↑ Sklyarenko E. G. Coordonatele baricentrice. — Enciclopedie matematică. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1977-1985.
↑ Weisstein, Eric W. Coordonate bipolare pe site- ul web Wolfram MathWorld .
↑ Dolgachev I.V., Pskovskikh V.A. Coordonate bipolare. — Enciclopedie matematică. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1977-1985.
↑ R. Price, The Periodic Standing Wave Approximation: Coordonate adaptate și metode spectrale. . Preluat la 11 mai 2013. Arhivat din original la 4 martie 2016. (nedefinit)
↑ Aproximarea periodică a undelor staţionare: câmpuri scalare neliniare, coordonate adaptate şi metoda spectrale proprii. . Preluat la 11 mai 2013. Arhivat din original la 2 aprilie 2019. (nedefinit)
↑ Sokolov D. D. Coordonate bicilindrice. — Enciclopedie matematică. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1977-1985.
↑ Descrierea MathWorld a coordonatelor conice . Preluat la 11 mai 2013. Arhivat din original la 6 octombrie 2013. (nedefinit)
↑ Descrierea MathWorld a coordonatelor parabolice . Consultat la 11 mai 2013. Arhivat din original pe 2 iunie 2013. (nedefinit)
↑ Voitsekhovsky M. I. Coordonate proiective. — Enciclopedie matematică. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1977-1985.
↑ Descrierea MathWorld a coordonatelor toroidale . Preluat la 11 mai 2013. Arhivat din original la 20 mai 2021. (nedefinit)
^ Weisstein, Eric W. Trilinear Coordinates pe site- ul Wolfram MathWorld .
↑ Descrierea MathWorld a coordonatelor cilindrice parabolice . Preluat la 11 mai 2013. Arhivat din original la 11 noiembrie 2020. (nedefinit)
↑ Sokolov D. D. Coordonate elipsoidale. — Enciclopedie matematică. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1977-1985.
↑ A Guide to coordonate systems in Great Britain Arhivat 22 aprilie 2008. v1.7 octombrie 2007

Literatură

Gel'fand I. M., Glagoleva E. G., Kirillov A. A. Metoda coordonatelor. (link inaccesibil) Ediția a cincea, stereotipă. Seria: Biblioteca Școlii de Fizică și Matematică. Matematica. Numărul 1. M.: Nauka, 1973.
Delaunay N. B. Coordonate, la matematică // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.

Link -uri

Lecție opțională de matematică pe tema: „Diferite sisteme de coordonate”