Mers la întâmplare

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 6 octombrie 2022; verificarea necesită 1 editare .

O mers aleatoriu este un obiect matematic cunoscut sub numele de proces stocastic sau aleator care descrie o cale constând dintr-o succesiune de pași aleatori într-un anumit spațiu matematic (de exemplu, pe o mulțime de numere întregi ).

Cel mai simplu exemplu de mers aleatoriu este o plimbare aleatoare de-a lungul liniei numerice a numerelor întregi , , care începe la punctul 0 și se deplasează cu +1 sau -1 la fiecare pas cu probabilitate egală . Alte exemple sunt traiectoria unei molecule într-un lichid sau gaz ( mișcarea browniană ), identificarea căii la animale în timpul căutării hranei , fluctuațiile prețului acțiunilor pe bursă , starea financiară a unui jucător : toate cazurile descrise pot fi aproximate prin mers aleatoriu. modele, chiar dacă s-ar putea să nu fie complet aleatorii în viața reală. $\mathbb {Z}$

După cum puteți vedea din exemple, modelul de mers aleatoriu este utilizat în inginerie și în multe domenii științifice, inclusiv ecologie, psihologie, informatică, fizică, chimie, biologie, economie și sociologie. Mersul aleatoriu explică comportamentul observat al multor procese în aceste regiuni și, astfel, servește ca model fundamental pentru activitatea stocastică înregistrată. Deci, în matematică, valoarea lui π poate fi aproximată folosind o mers aleatorie și o modelare bazată pe agenți. [1] [2] Conceptul de mers aleatoriu a fost introdus pentru prima dată de Karl Pearson în 1905. [3]

Tipurile de plimbări aleatorii pot fi de diferite tipuri de interes. Termenul în sine se referă cel mai adesea la o categorie specială de lanțuri Markov sau procese Markov, iar multe procese dependente de timp sunt denumite plimbări aleatorii cu un modificator care indică proprietățile lor speciale. Mersurile aleatoare (Markov sau nu) pot apărea și într-o varietate de domenii: cele studiate în mod obișnuit includ grafice , linia numerică a numerelor întregi sau reale , spații vectoriale , suprafețe curbe , varietăți riemanniene multidimensionale și grupuri finite , generate finit, grupuri Lie . Parametrul de timp poate fi, de asemenea, diferit. În cel mai simplu caz, mersul are loc în timp discret și este o succesiune de variabile aleatoare ( X
t) = ( X
unu, X
2, ...) , indexate după numere naturale. Cu toate acestea, există și plimbări aleatorii în care pașii apar la un moment arbitrar în timp, și în acest caz poziția X
ttrebuie definit pentru toți timpii t ∈ [0,+∞) . Cazuri speciale de mers aleatoriu sunt modelele de zbor și difuzie Levy, cum ar fi mișcarea browniană .

Mersul aleatoriu este un subiect fundamental în discuțiile despre procesul Markov, iar studiul său matematic este foarte amplu.

Mers aleatoriu pe o zăbrele

Un model binecunoscut de mers aleatoriu este o plimbare pe o rețea obișnuită, unde la fiecare pas locația se deplasează într-un punct diferit în conformitate cu o anumită distribuție a probabilității.

Într -o simplă plimbare aleatorie , o locație se poate deplasa numai către punctele de grilă învecinate, formând o cale de grilă. Într -o simplă mers aleatorie simetrică pe o rețea delimitată local, probabilitățile ca un punct să ajungă la fiecare dintre vecinii săi imediati sunt egale. Cel mai bine studiat exemplu este mersul aleator pe o rețea d - dimensională de numere întregi (uneori numită rețea hipercubică) . [patru] $\mathbb {Z} ^{d)$

Dacă spațiul de stare este limitat la un număr finit de dimensiuni, atunci un astfel de model de mers aleatoriu se numește mers aleatoriu simetric și mărginit simplu , iar probabilitățile de tranziție depind de locația punctului, deoarece mișcarea este limitată la punctele de limită și de colț. . [5]

Mers aleatoriu unidimensional

Cel mai simplu exemplu de mers aleatoriu este o plimbare aleatoare de-a lungul liniei numerice a numerelor întregi , , care începe la punctul 0 și se mișcă +1 sau -1 cu probabilitate egală la fiecare pas. $\mathbb {Z}$

Această rătăcire poate fi ilustrată după cum urmează. Semnul este plasat pe zero al liniei numerice și se aruncă o monedă „corectă”. Dacă apare capete, eticheta mută o unitate la dreapta, iar dacă apare cozi, se deplasează cu o unitate la stânga. După cinci aruncări, nota poate fi la -5, -3, -1, 1, 3, 5. Pentru cinci aruncări, inclusiv trei capete și două cozi, în orice secvență, nota va fi la 1. Există 10 moduri pentru a ajunge la punctul 1 (prin rostogolire a trei capete și două cozi), 10 moduri de a ajunge la punctul −1 (trei cozi și două capete), 5 moduri de a ajunge la punctul 3 (patru capete) și una "cozi"), 5 moduri de a ajunge la punctul -3 (patru „cozi” și un „vultur”), 1 mod de a ajunge la punctul 5 (cinci „capete”) și 1 cale de a ajunge la punctul -5 (cinci „cozi”). ") . Rezultatele posibile ale celor cinci role sunt ilustrate mai jos.

Pentru a defini formal această mers, luăm variabile aleatoare independente , unde fiecare variabilă este fie 1, fie -1, cu o probabilitate egală cu 50% pentru fiecare valoare, mulțimea și seria sunt numite o simplă mers aleatoare pe . Această serie (suma secvenței -1 și 1) înseamnă distanța parcursă dacă fiecare parte a mersului are o lungime egală cu unu. Așteptările matematice ale seriei sunt zero. Adică, valoarea medie a tuturor aruncărilor de monede tinde spre zero pe măsură ce numărul de aruncări crește. Aceasta rezultă din proprietatea de aditivitate finită a așteptării: $Z_{1},Z_{2},\dots$ $S_{0}=0\,\!$ $S_{n}=\sum _{j=1}^{n}Z_{j}.$ $\{S_{n}\}\,\!$ $\mathbb {Z}$ $E(S_{n})\,\!$ $S_{n}\,\!$

E(S_{n})=\sum _{j=1}^{n}E(Z_{j})=0.

Argumentând în mod similar, folosim independența variabilelor aleatoare și faptul că , vedem: $E(Z_{n}^{2})=1$

E(S_{n}^{2})=\sum _{i=1}^{n}E(Z_{i}^{2})+2\sum _{1\leq i<j \leq n}E(Z_{i}Z_{j})=n.

Acest lucru face clar că , distanța așteptată după deplasarea n pași, ar trebui să fie de ordinul . De fapt, [6] $E(|S_{n}|)\,\!$ ${\sqrt n}$

\lim _{n\to \infty }{\frac {E(|S_{n}|)}{\sqrt {n}}}={\sqrt {\frac {2}{\pi }} }.

De câte ori mersul aleatoriu va trece granița dacă este posibil să rătăcim la infinit? Cea mai simplă mers aleatorie va intersecta fiecare punct de un număr infinit de ori. Efectul rezultat are multe nume: fenomenul de trecere a nivelului , recurența sau problema ruinării jucătorului . Motivul pentru care denumirea ultimului caz este următorul: un jucător cu o sumă finită de bani va pierde mai devreme sau mai târziu dacă joacă un joc corect împotriva unui pot cu o sumă nelimitată de bani. Banii jucătorului sunt o plimbare aleatorie și, la un moment dat, vor ajunge la zero și jocul se va termina. $\mathbb {Z}$

Fie a și b numere întregi pozitive, apoi numărul așteptat de pași atunci când o simplă mers aleatoare unidimensională care începe la 0 ajunge mai întâi la b sau −a este ab . Probabilitatea ca o plimbare dată să ajungă la b înainte de a ajunge la −a este , ceea ce rezultă din faptul că o simplă plimbare aleatorie este o martingală . $a/(a+b)$

Unele dintre rezultatele menționate mai sus pot fi derivate din proprietățile triunghiului lui Pascal . Numărul tuturor plimbărilor distincte peste n

pași, unde fiecare pas este fie +1, fie -1 este egal cu 2 n . Pentru o simplă plimbare aleatorie, fiecare dintre acești pași este echiprobabil. Pentru a egala numărul k , este necesar și suficient ca numărul de pași cu +1 în mers să le depășească pe cei cu −1 cu numărul k . Prin urmare, un pas pe +1 trebuie să apară (n + k)/2 ori între n mers, prin urmare, numărul de mers care satisfac condiția este egal cu numărul de moduri de a selecta (n + k)/2 elemente dintr-un n -mulțime de elemente. [7] Acesta este notat ca . Pentru ca această expresie să aibă sens, este necesar ca suma n + k să fie un număr par, ceea ce înseamnă că numerele n și k trebuie să fie pare sau impare în același timp. Prin urmare, probabilitatea care va fi egală cu . Reprezentând intrările triunghiului lui Pascal în termeni de factoriali și folosind formula lui Stirling , se pot obține estimări bune ale acestor probabilități pentru valori mari de . $S_{n}\,\!$ $S_{n}=k$ $n \alegeți (n+k)/2$ $S_{n}=k$ $2^{-n}{n \alegeți (n+k)/2)$ $n$

Dacă spațiul este limitat la + pentru concizie, atunci numărul de moduri în care mersul aleator se oprește la un anumit număr după cinci pași poate fi afișat ca {0,5,0,4,0,1}. $\mathbb {Z}$

Să demonstrăm această corespondență cu triunghiul lui Pascal pentru valori mici ale lui n . La pasul zero, singura posibilitate este să rămâneți la zero. Cu toate acestea, deja la prima mutare, există posibilitatea de a ajunge fie la -1, fie la 1. La a doua mișcare, de la 1, puteți trece la punctul 2, sau înapoi la zero. Puteți trece de la -1 la -2 sau înapoi la zero. Prin urmare, există un caz când suntem în punctul −2, două cazuri când suntem la zero și un caz când suntem în punctul 2.

k	−5	−4	−3	−2	−1	0	unu	2	3	patru	5
$P[S_{0}=k]$						unu
$2P[S_{1}=k]$					unu		unu
$2^{2}P[S_{2}=k]$				unu		2		unu
$2^{3}P[S_{3}=k]$			unu		3		3		unu
$2^{4}P[S_{4}=k]$		unu		patru		6		patru		unu
$2^{5}P[S_{5}=k]$	unu		5		zece		zece		5		unu

Teorema limitei centrale și legea logaritmului iterat descriu aspecte importante ale comportamentului unei simple mers aleatoare pe . În special, pe măsură ce n crește, probabilitățile (proporțional cu numerele din fiecare rând) tind spre o distribuție normală . $\mathbb {Z}$

Plimbările aleatoare pe rețelele cristaline (infinit mai multe grafice de acoperire abeliene ale graficelor finite) pot fi considerate ca o generalizare directă. De fapt, în astfel de condiții este chiar posibil să se afirme teorema limitei centrale și teorema deviației mari. [8] [9]

Ca un lanț Markov

O mers aleatoare discretă unidimensională este un lanț Markov cu stare întregă a cărui distribuție inițială este dată de funcția de probabilitate a variabilei aleatoare , iar matricea probabilității de tranziție este $X_{0}$

P\equiv (p_{{ij}})_{{i,j\in {\mathbb {Z}}}}=\left({\begin{matrix}\ddots &\ddots &\ddots &\\&q_ {{-1}}&0&p_{{-1}}&\\&&q_{0}&0&p_{0}\\&&&q_{1}&0&p_{1}\\&&&&\ddots &\ddots &\ddots \end{matrix} }\dreapta)

acesta este

p_{{i,i+1}}\equiv {\mathbb {P}}(X_{{n+1}}=i+1\mid X_{n}=i)=p_{i},

p_{{i,i-1}}\equiv {\mathbb {P}}(X_{{n+1}}=i-1\mid X_{n}=i)=q_{i},\quad i \in {\mathbb {Z}),

p_{{ij}}\equiv {\mathbb {P}}(X_{{n+1}}=j\mid X_{n}=i)=0,\quad |ij|\not =1.

Dimensiuni ridicate

La dimensiuni mai mari, setul de puncte aleatoare de mers are proprietăți geometrice destul de interesante. De fapt, obținem un fractal discret , adică un set care arată auto-asemănarea stocastică atunci când este mărit. La scară mică, puteți observa „crețul” pe grila pe care se desfășoară plimbarea. Cele două cărți ale lui Lawler citate sunt surse bune de material pe acest subiect. Traiectoria unei plimbări aleatorii este o colecție de puncte vizitate, considerate ca o configurație până la momentul în care mersul a ajuns la punctul respectiv. Într-o dimensiune, traiectoria este pur și simplu toate punctele dintre înălțimea minimă și înălțimea maximă pe care a atins-o rătăcirea (ambele, în medie, de ordinul ). ${\sqrt {n}}$

Pentru a vizualiza un caz bidimensional, ne putem imagina o persoană care se plimbă aleatoriu prin oraș. Acest oraș este practic nesfârșit și este așezat într-o rețea pătrată de trotuare. La fiecare intersecție, o persoană alege aleatoriu una dintre cele patru rute posibile (inclusiv cea din care a venit). În mod formal, aceasta este o plimbare aleatorie peste mulțimea tuturor punctelor din plan cu coordonate întregi .

Se va întoarce această persoană vreodată la punctul de plecare al rătăcirii? Acest caz este echivalentul 2D al problemei trecerii la nivel discutată mai sus. În 1921 , György Pólya a demonstrat că o persoană s-ar întoarce aproape sigur în cazul unei plimbări aleatorii bidimensionale, dar pentru trei dimensiuni sau mai multe, probabilitatea de a se întoarce scade pe măsură ce numărul de dimensiuni crește. În cazul tridimensional, probabilitatea scade la aproximativ 34%. [10] Matematicianul Shizuo Kakutani este renumit pentru citatul său referitor la acest rezultat: „Un bețiv își va găsi mai devreme sau mai târziu drumul spre casă, dar o pasăre beată poate fi pierdută pentru totdeauna”. [unsprezece]

O altă versiune a acestei întrebări, care a fost pusă și de Poya, este: dacă doi oameni părăsesc același punct de plecare, se vor întâlni vreodată? [12] Se poate argumenta că diferența dintre locațiile lor (două plimbări aleatorii independente) este, de asemenea, o simplă plimbare aleatoare, așa că aproape sigur se vor întâlni într-o plimbare bidimensională, dar pentru trei dimensiuni sau mai multe, probabilitatea de întoarcere este la fel ca și în cazul precedent, scade odată cu creșterea numărului de măsurători. Pal Erdős și Samuel James Taylor au mai arătat în 1960 că, pentru dimensiuni mai mici sau egale cu 4, două mersuri aleatorii independente, începând din oricare două puncte date, au aproape sigur un număr infinit de intersecții, dar pentru dimensiunile mai mari de 5, aproape sigur ele se intersectează doar de un număr finit de ori. [13]

Funcția asimptotică pentru o plimbare aleatoare 2D pe măsură ce numărul de pași crește este dată de distribuția Rayleigh . Distribuția probabilității este o funcție a razei de la origine, iar pentru fiecare pas lungimea pasului este constantă.

P(r)={\frac {2r}{N}}e^{-r^{2}/N}

Relația cu procesul Wiener

Procesul Wiener este un proces stocastic care este similar în comportament cu mișcarea browniană , un fenomen fizic de difuzie a particulelor mici într-un lichid. (Uneori , un proces Wiener este numit mișcare browniană, deși strict vorbind un proces Wiener este un model, iar o mișcare browniană este un fenomen modelat.)

Procesul Wiener este limita scalabilă a unei plimbări aleatorii unidimensionale. Aceasta înseamnă că, dacă faci o plimbare aleatorie cu pași foarte mici, atunci poți obține o aproximare a procesului Wiener (și, cu mai puțină precizie, a mișcării browniene). Mai precis, dacă lungimea pasului este ε, trebuie să facem o plimbare de lungime L /ε 2 pentru a aproxima calea Wiener L . Pe măsură ce lungimea pasului se apropie de zero (și numărul de pași crește proporțional), mersul aleator acoperă procesul Wiener într-un sens adecvat. Formal, dacă B este spațiul tuturor căilor de lungime L cu topologia maximă și dacă M este spațiul măsurilor peste B cu topologia normală, atunci convergența este în spațiul M . Prin analogie, un proces Wiener în mai multe dimensiuni este limita scalabilă a unei plimbări aleatorii în același număr de dimensiuni.

O mers aleatoriu este un fractal discret (o funcție cu un număr întreg de dimensiuni; 1, 2, ...), în timp ce traiectoria procesului Wiener este un fractal real și există o anumită legătură între cele două. De exemplu, să facem o plimbare aleatorie și vom „mergi” până când trecem de un cerc cu raza r ori lungimea pasului. Atunci numărul mediu de pași necesari pentru a parcurge mersul va fi egal cu r 2 . Acest fapt este o versiune discretă a faptului că mersul procesului Wiener este un fractal al dimensiunii Hausdorff 2.

În spațiul bidimensional, numărul mediu de puncte pe care le trece o plimbare aleatorie la limita traiectoriei sale este r 4/3 . Acest lucru este în concordanță cu faptul că granița traiectoriei unui proces Wiener este un fractal de 4/3, care a fost sugerat de Mandelbrot prin utilizarea simulărilor, dar a fost dovedit abia în 2000 de Lawler, Schramm și Werner . [paisprezece]

Procesul Wiener are multe simetrii , spre deosebire de mersul aleator. De exemplu, un proces Wiener este invariant la rotație, dar un mers aleatoriu nu este, deoarece grila sa nu este invariant la rotație (mersul aleator este invariant la rotație cu 90 de grade, în timp ce procesele Wiener sunt invariante la rotație cu, să zicem, alte 17 grade). ). Aceasta înseamnă că, în multe cazuri, problemele date la o plimbare aleatorie sunt mai ușor de rezolvat în următorul mod: transferați problema în procesul Wiener, rezolvați problema acolo și apoi transferați-o înapoi. Pe de altă parte, unele probleme sunt mai ușor de rezolvat pe o plimbare aleatorie datorită naturii sale discrete.

Convergența unei mers aleatoare la un proces Wiener se face folosind teorema limitei centrale și teorema lui Donsker. Pentru o particulă aflată într-o poziție fixă cunoscută la t = 0, teorema limită centrală ne spune că după un număr mare de pași de mers aleatoriu independenți, poziția rătăcitorului va fi distribuită conform distribuției normale a varianței :

\sigma ^{2}={\frac {t}{\delta t}}\,\varepsilon ^{2},

unde t este timpul scurs de la începutul mersului aleatoriu, este dimensiunea pasului de mers și este timpul scurs între doi pași succesivi. $\varepsilon$ $\delta t$

Acest caz corespunde funcției lui Green a ecuației de difuzie , care descrie procesul Wiener, ceea ce sugerează că după un număr suficient de mare de pași, mersul aleator converge către procesul Wiener.

În cazul 3D, varianța corespunzătoare funcției lui Green a ecuației de difuzie este:

\sigma ^{2}=6\,D\,t.

Echivalând această valoare cu varianța asociată cu poziția mersului aleator, se poate obține coeficientul de difuzie echivalent, considerat pentru un proces Wiener asimptotic către care converge mersul aleator după un număr suficient de mare de pași:

D={\frac {\varepsilon ^{2}}{6\delta t}}

(are sens doar în cazul trei dimensiuni).

Notă: Cele două expresii de varianță de mai sus corespund unei distribuții asociate cu un vector care conectează cele două capete ale unei plimbări aleatorii în trei dimensiuni. Diferența asociată cu fiecare componentă, sau , este doar o treime din valoarea totală (încă 3D). $\vec R$ $R_{x}$ $R_{y}$ $R_{z}$

Pentru 2D: [15]

D={\frac {\varepsilon ^{2}}{4\delta t}}.

Pentru 1D: [16]

D={\frac {\varepsilon ^{2}}{2\delta t}}.

Teorema lui Donsker

Luați în considerare o plimbare aleatorie , unde . $Y_{n}=\sum \limits _{{i=1}}^{{n}}{X_{i}}$ $EX_{i}=0,DX_{i}=\sigma ^{2}<\infty$

Teorema limitei centrale afirmă că prin distribuția la . ${\frac {Y_{n}}{\sigma {\sqrt {n}}}}\rightarrow N(0,1)$ $n\rightarrow\infty$

Cu toate acestea, pentru plimbări aleatorii, această afirmație poate fi întărită semnificativ.

Construim un proces aleatoriu în raport cu , definindu-l astfel: , iar în rest, definim procesul printr-o continuare liniară: $Y_{n}$ $S_{n}(t),t\în [0,1]$ $S_{n}\left({\frac {k}{n}}\right)={\frac {Y_{{k}}}{\sigma {\sqrt {n}}}}$ $t$

$S_{n}(t)=(k+1-nt)S_{n}\stanga({\frac {k}{n}}\dreapta)+(nt-k)S_{n}\stanga({\ frac {k+1}{n}}\dreapta),t\în \left({\frac {k}{n));{\frac {k+1}{n}}\dreapta)$

Din teorema centrală a limitei privind distribuția pentru $\forall t$ $S_{n}(t)\rightarrow N(0,t)$ $n\rightarrow\infty$

Aceasta înseamnă convergența distribuțiilor unidimensionale ale procesului cu distribuțiile unidimensionale ale procesului Wiener . Teorema lui Donsker, numită și principiul invarianței, afirmă că există o convergență slabă a proceselor, $S_{n}(t)$ $S_{n}(t)\rightarrow W(t),n\rightarrow \infty$

Convergența slabă a proceselor înseamnă convergența funcționalelor care sunt continue față de măsura Wiener, adică permite calcularea valorilor funcționalelor din mișcarea browniană (de exemplu, maxim, minim, ultimul zero, momentul primei atingeri). nivelul, și altele) prin trecerea la limită dintr-o simplă plimbare aleatorie.

mers aleatoriu gaussian

O plimbare aleatorie cu o lungime de pas care variază cu o distribuție normală este utilizată ca date din seria temporală din lumea reală, cum ar fi piețele financiare. Formula Black-Schools , de exemplu, folosește o mers aleatorie gaussiană ca ipoteză de bază.

În acest caz, dimensiunea pasului este distribuția normală cumulativă inversă, unde 0 ≤ z ≤ 1 și este un număr aleator distribuit uniform, iar μ și σ sunt media și, respectiv, abaterea standard a distribuției normale. $\Phi ^{-1}(z,\mu ,\sigma )$

Dacă μ este diferit de zero, mersul aleator va urma o tendință liniară. Dacă v s este valoarea inițială a mersului aleatoriu, atunci valoarea așteptată după n pași este v s + n μ.

Pentru cazul special în care μ este zero, după n pași, distribuția de probabilitate a distanței parcurse este definită ca N (0, n σ 2 ), unde N () este notația pentru distribuția normală, n este numărul de pași , iar σ este luat din distribuția normală cumulativă inversă de mai sus.

Dovada: O mers aleator gaussian poate fi reprezentat ca suma unei secvențe de variabile aleatoare independente și distribuite identic, X i dintr-o distribuție normală cumulativă inversă, unde media este zero și σ este luat din distribuția normală cumulativă inversă inițială:

Z = ,

\sum _{i=0}^{n}{X_{i)}

dar avem o distribuție pentru suma a două variabile aleatoare independente distribuite normal, Z = X + Y, obținută datorită

\mathcal{N}

(μ X + μ Y , σ 2 X + σ 2 Y )

În cazul nostru, μ X = μ Y = 0 și σ 2 X = σ 2 Y = σ 2 dau:

\mathcal{N}

(0, 2σ 2 )

Prin inducție, pentru n pași avem:

Z ~ (0, n σ 2 ).

\mathcal{N}

Pentru pașii distribuiți conform oricărei distribuții cu medie zero și varianță finită (nu neapărat doar o distribuție normală), rădăcina medie pătrată a distanței parcurse după n pași este dată de:

{\sqrt {E|S_{n}^{2}|}}=\sigma {\sqrt {n)).

Dar pentru un mers aleatoriu gaussian, aceasta este doar abaterea standard a distribuției distanței parcurse după n pași. Prin urmare, dacă μ este zero și dacă distanța efectivă acoperită este o abatere standard, există o șansă de 68,27% ca distanța efectivă acoperită după n pași să fie între ± σ . De asemenea, există o șansă de 50% ca distanța parcursă după n pași să fie între ± 0,6745σ . ${\sqrt {n}}$ ${\sqrt {n}}$

Difuzare anormală

În sistemele dezordonate, cum ar fi mediile poroase și fractalii, acesta poate fi proporțional nu cu , ci cu . Exponentul se numește exponent de difuzie anormală și poate fi mai mare sau mai mic decât 2. [17] Difuzia anormală poate fi exprimată și ca σ r 2 ~ Dt α unde α este parametrul anomaliei. Unele difuzii într-un mediu aleatoriu sunt chiar proporționale cu puterea logaritmului timpului, cum ar fi mersul lui Sinai sau difuzia lui Brox. $\sigma ^{2}$ $t$ $t^{2/d_{w)}$ $d_{w}$

Numărul de locații diferite

Numărul de locații distincte vizitate de un singur mers aleatoriu a fost studiat pe larg pentru rețelele pătrate și cubice și fractali. [18] [19] Această valoare este utilă pentru analiza problemelor de blocaj (în engleză trapping ) și a reacțiilor cinetice. De asemenea, este legată de densitatea vibrațională a stărilor, [20] [21] reacțiile de difuzie ale proceselor [22] , și distribuția populațiilor în ecologie. [23] [24] O generalizare a acestei probleme la numărul de locuri distincte vizitate de către cei care merg la întâmplare, notate ca , a fost recent studiată pentru rețele euclidiene d -dimensionale. [25] Numărul de locuri diferite vizitate de N trecători nu este legat doar de numărul de locuri diferite vizitate de fiecare plimbător. $Sf)$ $N$ $S_{N}(t)$

Estimarea cantității de informații

Estimarea cantității de informații a unui mers aleatoriu gaussian în raport cu pătratul distanței de eroare, adică funcția sa de distorsiune pătratică, dată parametric: [26]

R(D_{\theta })={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\max\{0,\log _{2}\left(S(\ varphi )/\theta \right)\}\,d\varphi ,

D_{\theta}=\int _{0}^{1}\min\{S(\varphi),\theta \}\,d\varphi,

unde . Prin urmare, nu este posibilă codificarea binară cu un număr mai mic de biți și apoi decodarea cu o eroare RMS așteptată mai mică de . Pe de altă parte, pentru orice , există un cod suficient de mare și binar cu nu mai mult de elemente, astfel încât eroarea pătratică medie așteptată la recuperarea din acest cod să nu fie mai mare de . $S(\varphi)=\left(2\sin(\pi\varphi /2)\right)^{-2)$ ${\{Z_{n}\}_{n=1}^{N))$ $NR(D_{\theta})$ $D_{\theta }$ $\varepsilon >0$ $N\in \mathbb {N}$ $2^{NR(D_{\theta ))))$ ${\{Z_{n}\}_{n=1}^{N))$ $D_{\theta}-\varepsilon$

Aplicații

După cum sa menționat deja, gama de fenomene naturale pe care unele soiuri de plimbări aleatorii au încercat să le descrie este semnificativă. În special, în fizică, [27] [28] chimie, [29] știința materialelor , [30] [31] biologie [32] și alte diverse științe. [33] [34] Iată câteva aplicații ale mersului aleatoriu:

În economia financiară, „ipoteza mersului aleatoriu” este folosită pentru a modela prețurile acțiunilor și alți factori. Dar studiile empirice au descoperit discrepanțe cu modelul teoretic, mai ales în relațiile pe termen scurt și lung.
În genetica populației , mersul aleatoriu descrie proprietățile statistice ale derivării genetice .
În fizică , mersurile aleatorii sunt folosite ca modele simplificate ale mișcării și difuziei browniene, cum ar fi mișcarea aleatoare a moleculelor din lichide și gaze. De exemplu, agregare limitată difuz. De asemenea, în fizică, plimbările aleatoare și unele dintre plimbările cu auto-interacțiune joacă un rol important în teoria câmpului cuantic .
În ecologia matematică, plimbările aleatorii sunt folosite pentru a descrie mișcările individuale ale animalelor, pentru a sprijini empiric procesele de biodifuzie și, uneori, pentru a modela dinamica populației .
În fizica polimerilor , o plimbare aleatorie descrie un lanț ideal, cel mai simplu model pentru studierea polimerilor . [35]
În alte domenii ale matematicii, mersul aleator este folosit pentru a găsi soluții la ecuația lui Laplace , pentru a estima măsura armonică și la diferite construcții în analiză și combinatorică .
În informatică , plimbările aleatorii sunt folosite pentru a estima dimensiunea Internetului . [36]
În segmentarea imaginilor , mersurile aleatorii sunt folosite pentru a determina etichete (cum ar fi „obiect” sau „fond”) care să fie asociate fiecărui pixel. [37] Acest algoritm este denumit în mod obișnuit algoritmul de segmentare „aleatoriu”.

În toate aceste cazuri, mersul aleator este adesea înlocuit cu mișcarea browniană:

În cercetarea creierului , plimbările aleatorii sunt folosite pentru a modela cascadele de declanșare neuronale.
În știința vederii, deriva oculară tinde să se comporte ca o plimbare aleatorie. [38] Potrivit unor autori, mișcările oculare de fixare sunt, în general, descrise și printr-o plimbare aleatorie. [39]
În psihologie , plimbările aleatorii explică cu exactitate relația dintre timpul necesar pentru a lua o decizie și probabilitatea ca o anumită decizie să fie luată.. [40]
Plimbările aleatorii pot fi folosite pentru a eșantiona dintr-un spațiu de stat foarte mare sau necunoscut, cum ar fi pentru a selecta o pagină aleatorie de pe Internet sau pentru a investiga condițiile de muncă ale unui lucrător aleatoriu într-o țară dată.

Când este utilizată în informatică, cea din urmă abordare este cunoscută sub numele de lanțul Markov Monte Carlo (MCMC). Adesea, eșantionarea dintr-un spațiu de stare complex oferă, de asemenea, o estimare probabilistică a dimensiunii spațiului. Estimarea permanentului unei matrice mari de zerouri și unu a fost prima mare problemă asociată cu utilizarea acestei abordări.

Plimbările aleatorii sunt adesea folosite pentru a eșantiona grafice online masive, cum ar fi rețelele sociale .
În rețelele de calculatoare fără fir , mersul aleator este folosit pentru a modela mișcarea unui nod.
Bacteriile mobile efectuează plimbări aleatorii părtinitoare . [41]
Plimbările aleatorii sunt folosite pentru modelarea jocurilor de noroc .
În fizică, plimbările aleatoare sunt în centrul metodei de estimare Fermi.
Twitter folosește plimbări aleatorii pentru a sugera cine ar putea merita urmărit [42]
Dave Byer și Percy Diaconis au demonstrat că 7 amestecări sunt suficiente pentru a amesteca un pachet de cărți (consultați secțiunea Amestecare pentru mai multe ). Acest rezultat se traduce într-o afirmație despre o plimbare aleatorie într-un grup simetric, ceea ce dovedesc ei, cu o utilizare decisivă a structurii grupului folosind analiza Fourier.
Cu utilizarea mersurilor aleatorii, este posibilă organizarea traiectoriei de mișcare în spațiul parametrilor funcției obiectiv optimizate , care este utilizată în rezolvarea problemelor de optimizare [43] . Când se utilizează o lege specială de distribuție a variabilelor aleatoare se poate obține o modificare a de mers aleatoriu, numită zboruri Levy
Folosind plimbări aleatorii, se poate rezolva problema valorii la limită pentru ecuațiile lui Maxwell în formă integrală. Integrala este calculată folosind metoda Monte Carlo, în timp ce integrandul este eșantionat folosind o mers aleatorie. Astfel, este posibilă găsirea capacităților reciproce ale conductoarelor din circuitele integrate, ocolind cerințele metodelor cu elemente finite și de limită pentru discretizarea spațiului, care joacă un rol decisiv în alegerea unei metode, ținând cont de creșterea numărului de porți în circuite integrate moderne. Spre deosebire de metodele cu elemente finite și de limită, metoda de mers aleatoriu găsește imediat integrala câmpului, și nu câmpul în fiecare punct, care este apoi integrat pentru a găsi capacitatea. [44] Metodele de mers aleatoriu au devenit standardul de facto la începutul secolului 21 în găsirea capacităților parazitare în circuitele integrate.
Folosit la rezolvarea ecuației transferului de radiație optică într-un mediu folosind metoda Monte Carlo.h*

Opțiuni

S-a descoperit că mai multe tipuri de procese aleatorii sunt similare cu mersurile aleatoare pure, dar în care structura simplă poate fi mai generalizată. O structură pură poate fi caracterizată prin pași definiți de variabile aleatoare independente și distribuite identic .

Pe grafice

O mers aleatoriu de lungime k pe un grafic posibil infinit G cu rădăcina 0 este un proces stocastic cu variabile aleatoare astfel încât , iar acesta este un vârf ales uniform aleatoriu între vecini . Atunci numărul este probabilitatea ca o plimbare aleatorie de lungime k să înceapă de la v și să se termine la w . În special, dacă G este un grafic înrădăcinat la 0 , este probabilitatea ca mersul aleator în trepte să revină la 0 . $X_{1},X_{2},\dots,X_{k)$ $X_{1}=0$ ${X_{i+1)}$ $X_{i}$ $p_{v,w,k}(G)$ $p_{0,0,2k}$ $2k$

Prin analogie cu secțiunea descrisă anterior (dimensiuni mărite), să presupunem că acum orașul nostru nu mai este o rețea pătrată perfectă. Când persoana noastră ajunge la o anumită intersecție, alege cu aceeași probabilitate între diferitele drumuri disponibile. Astfel, dacă există șapte ieșiri la intersecție, o persoană va merge la fiecare cu o probabilitate de o șapte. Astfel, obținem o plimbare aleatorie pe grafic. Va ajunge omul nostru acasă? Se dovedește că, în condiții destul de bune, răspunsul rămâne da, [45] dar, în funcție de grafic, pentru următoarea întrebare („Se vor întâlni doi oameni?’) răspunsul „la infinit de des” poate să nu mai fie un aproape anumit eveniment. [46]

Un exemplu în care o persoană va ajunge aproape sigur la casă este atunci când lungimile tuturor blocurilor sunt în intervalul de la a la b (unde a și b sunt două numere pozitive finite). Important: nu presupunem că graficul este plan , adică pot exista tuneluri și poduri în oraș. O modalitate de a demonstra acest rezultat este conectarea la rețelele electrice . Luați o hartă a orașului și plasați o rezistență de 1 ohm pe fiecare bloc. Acum să măsurăm „rezistența dintre punct și infinit”. Cu alte cuvinte, să alegem un număr R și să luăm toate punctele din rețeaua electrică cu o distanță între ele și punctul nostru mai mare decât R și să le conectăm împreună. Obținem o rețea electrică finită în care putem măsura rezistența dintre punctul nostru și alte puncte din rețea. Fie R tinde spre infinit. Limita rezultată se numește rezistența dintre punct și infinit .

Se pare că următoarea presupunere este adevărată (o dovadă elementară poate fi găsită în cartea lui Doyle și Snell):

Teoremă : Un grafic este tranzitoriu dacă și numai dacă rezistența dintre punct și infinit este finită. Mai mult, alegerea unui punct este lipsită de importanță dacă graficul este conectat.

Cu alte cuvinte, într-un sistem tranzitoriu, trebuie doar să depășim rezistența finită pentru a ajunge la infinit din orice punct. Într-un sistem recurent, rezistența dintre orice punct și infinit este infinită.

O plimbare aleatorie pe un grafic este un caz special al unui lanț Markov . Spre deosebire de un lanț general Markov, o mers aleatorie pe un grafic are o proprietate numită simetrie în timp sau reversibilitate . În linii mari, această proprietate, numită și principiul echilibrului detaliat , înseamnă că probabilitățile de a traversa o cale dată într-o direcție sau alta au o relație foarte simplă între ele (dacă graficul este regulat , atunci ele sunt egale). Această proprietate are implicații importante.

Începând cu anii 1980, s-au făcut o mulțime de cercetări pentru a lega proprietățile graficului cu plimbările aleatorii. Pe lângă rețeaua electrică descrisă mai sus, există și conexiuni cu inegalitățile izoperimetrice, inegalități funcționale precum inegalitățile Sobolev și Poincaré și cu proprietățile soluțiilor ecuației Laplace . O mare parte din această cercetare s-a concentrat pe graficele Cayley ale grupurilor generate finit. În multe cazuri, aceste rezultate discrete sunt transferate sau sunt derivate din varietăți și grupuri Lie .

Vorbind despre grafice aleatorii , în special despre modelul Erdős-Rényi , s-au obținut rezultate analitice pentru unele proprietăți ale celor care merg la întâmplare. Acestea includ distribuția primelor [47] și ultimelor [48] lovituri (ing. timpul de lovire) ale mersului, unde prima lovitură este prima dată când mersătorul pășește pentru prima dată pe un loc vizitat anterior, iar ultima coincide cu cazul în care plimbătorul nu are unde să meargă, cu excepția locului vizitat anterior.

O referință bună pentru o plimbare aleatorie pe un grafic este această carte online. Pentru studiul grupurilor sunt potrivite cărțile lui Wöss. Dacă nucleul de tranziție în sine este aleatoriu (pe baza mediului ), atunci mersul aleator se numește „mers aleatoriu într-un mediu aleatoriu”. Atunci când legea de mers aleatoriu include aleatorietatea , legea se numește recoaptă (ing. annealed ); pe de altă parte, dacă este considerată fixă, legea se numește temperat (ing. stins ). $p(x,y)$ $\omega$ $\omega$ $\omega$

Putem alege fiecare margine posibilă a graficului cu aceeași probabilitate ca maximul local de incertitudine (entropie). Putem face acest lucru și la nivel global - într-o plimbare aleatorie cu entropie maximă (ing. maximal entropy random walk, MERW ) este necesar ca toate căile să fie la fel de probabile sau, cu alte cuvinte, pentru oricare două vârfuri, fiecare cale de o lungime dată este la fel de probabil. [49] O astfel de plimbare are proprietăți de localizare mult mai puternice.

Plimbări aleatorii cu interacțiune automată

Există un tip separat de mers aleatoriu în care fiecare pas depinde de cel anterior într-un mod complex. Ele sunt mai greu de rezolvat analitic decât plimbările obișnuite aleatorii; cu toate acestea, comportamentul oricărui model de mers aleatoriu poate fi obținut folosind computere. De exemplu:

Rătăcirea autoevită. [cincizeci]

O plimbare autoevitabilă de lungime n este o cale aleatorie de lungime n pași, începând de la origine, care trece doar prin punctele învecinate și nu trece niciodată prin același punct de două ori. În cazul bidimensional, o astfel de cale este de obicei foarte scurtă [51] , în timp ce în dimensiunea ridicată crește fără limită. Acest model este adesea folosit în fizica polimerilor (din anii 1960). $\mathbb {Z} ^{d)$ $\mathbb {Z} ^{d)$

Mers aleatoriu cu ștergerea bicicletei. [52] [53]
Mers aleator consolidat. [54]
Proces de cercetare.
Plimbare aleatorie cu mai mulți agenți. [55]

Plimbări corelate pe termen lung

Serii temporale corelate pe termen lung se găsesc în multe sisteme biologice, climatologice și economice:

Înregistrarea bătăilor inimii [56]
Secvențe ADN necodante [57]
Serii cronologice ale volatilității stocurilor [58]
Înregistrări de temperatură în întreaga lume [59]

Corelarea plimbărilor aleatorii

Plimbări aleatorii în care direcția de mișcare la un moment dat în timp se corelează cu direcția de mișcare la următorul moment în timp. Folosit pentru a simula mișcarea animalelor. [60] [61]

Vezi și

Note

↑ Wirth, E.; Szabó, G.; Czinkóczky, A. Măsurați diversitatea peisajului cu agenții cercetași logici // ISPRS – Arhivele Internaționale de Fotogrammetrie, Teledetecție și Științe ale Informației Spațiale : jurnal. - 2016. - 8 iunie ( vol. XLI-B2 ). - P. 491-495 . - doi : 10.5194/isprs-archives-xli-b2-491-2016 . - Cod .
↑ Wirth E. (2015). Pi de la agentul de trecere a frontierei prin pachetul NetLogo . Arhiva Bibliotecii Wolfram
↑ Pearson, K. The Problem of the Random Walk // Nature . - 1905. - Vol. 72 , nr. 1865 . — P. 294 . - doi : 10.1038/072294b0 . — Cod .
↑ Pal, Révész (1990) Random walk in random and nonrandom environments , World Scientific
↑ Kohls, Moritz; Hernandez, Tanja. Acoperire așteptată a algoritmului de mobilitate pe jos aleatoriu (engleză) : jurnal. - 2016. - Cod . - arXiv : 1611.02861 .
↑ Random Walk-1-Dimensional - de la Wolfram MathWorld . Mathworld.wolfram.com (26 aprilie 2000). Preluat: 2 noiembrie 2016. (nedefinit)
↑ Edward A. Colding și colab., Random walk models in biology, Journal of the Royal Society Interface, 2008
↑ Kotani, M. și Sunada, T. Spectral geometry of crystal lattices. — Contemporan. Matematică. - 2003. - T. 338. - S. 271-305. — (Matematică contemporană). — ISBN 9780821833834 . - doi : 10.1090/conm/338/06077 .
↑ Kotani, M. și Sunada, T. Deviația mare și conul tangent la infinitul unei rețele cristaline , Math . Z. : jurnal. - 2006. - Vol. 254 , nr. 4 . - P. 837-870 . - doi : 10.1007/s00209-006-0951-9 .
↑ Polia's Random Walk Constantes . Mathworld.wolfram.com. Preluat: 2 noiembrie 2016. (nedefinit)
↑ Durrett, Rick. Probabilitate: teorie și exemple . - Cambridge University Press , 2010. - P. 191 . — ISBN 9781139491136 .
↑ Polya, George. Probabilitate; combinatorii; Predarea și învățarea la matematică (engleză) . — Cambridge, Mass.: MIT Press , 1984. — P. 582–585 . — ISBN 0-262-16097-8 .
↑ Erdős, P.; Taylor, SJ Unele proprietăți de intersecție ale căilor de mers aleatoare // Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae : journal . - 1960. - Vol. 11 , nr. 3-4 . - P. 231-248 . — ISSN 0001-5954 . - doi : 10.1007/BF02020942 .
↑ MacKenzie, D. MATHEMATICS: Taking the Measure of the Wildest Dance on Earth // Science : journal. - 2000. - Vol. 290 , nr. 5498 . - P. 1883-1884 . doi : 10.1126 / science.290.5498.1883 . — PMID 17742050 .
↑ Capitolul 2 DIFFUSION Arhivat pe 9 februarie 2015 la Wayback Machine . dartmouth.edu.
↑ Ecuația de difuzie pentru mersul aleator Arhivat 21 aprilie 2015 la Wayback Machine . fizica.uakron.edu.
^ D. Ben-Avraham și S. Havlin, Diffusion and Reactions in Fractals and Disordered Systems Arhivat la 4 octombrie 2011 la Wayback Machine , Cambridge University Press, 2000.
↑ Weiss, George H.; Rubin, Robert J. Random Walks: Teorie și aplicații selectate // Advances in Chemical Physics. - 1982. - T. 52. - S. 363-505. — ISBN 9780470142769 . - doi : 10.1002/9780470142769.ch5 .
↑ Blumen, A.; Klafter, J.; Zumofen, G. Modele pentru dinamica reacției în ochelari // Spectroscopie optică a ochelarilor. - 1986. - T. 1. - S. 199-265. - (Fizica și Chimia Materialelor cu Structuri Joase). - ISBN 978-94-010-8566-3 . - doi : 10.1007/978-94-009-4650-7_5 .
↑ Alexandru, S.; Orbach, R. Density of states on fractals : "fractons" // Journal de Physique Lettres. - 1982. - T. 43 , nr 17 . - S. 625-631 . doi : 10.1051/jphyslet : 019820043017062500 .
↑ Rammal, R.; Toulouse, G. Random walks on fractal structures and percolation clusters (engleză) // Journal de Physique Lettres : journal. - 1983. - Vol. 44 , nr. 1 . - P. 13-22 . - doi : 10.1051/jphyslet:0198300440101300 .
↑ Smoluchowski, MV Versuch einer mathematischen Theorie der Koagulationskinetik kolloider Lösungen (germană) // Z. Phys. Chim. : magazin. - 1917. - S. 129-168 . , Rice, SA Reacții limitate de difuzie . - Elsevier , 1985. - V. 25. - (Comprehensive Chemical Kinetics). — ISBN 978-0-444-42354-2 .
↑ Skellam, JG Random Dispersal in Theoretical Populations // Biometrika : journal. - 1951. - Vol. 38 , nr. 1/2 . - P. 196-218 . - doi : 10.2307/2332328 . — PMID 14848123 . — .
↑ Skellam, JG Studies in Statistical Ecology: I. Spatial Pattern (engleză) // Biometrika : journal. - 1952. - Vol. 39 , nr. 3/4 . - P. 346-362 . - doi : 10.2307/2334030 . — .
↑ Larralde, Hernan; Trunfio, Paul; Havlin, Shlomo; Stanley, H. Eugene; Weiss, George H. Teritoriul acoperit de particule care difuzează N // Natura . - 1992. - Vol. 355 , nr. 6359 . - P. 423-426 . - doi : 10.1038/355423a0 . - . , Larralde, Hernan; Trunfio, Paul; Havlin, Shlomo; Stanley, H.; Weiss, George. Numărul de site-uri distincte vizitate de N trecători aleatoriu // Revista fizică A : jurnal . - 1992. - Vol. 45 , nr. 10 . - P. 7128-7138 . - doi : 10.1103/PhysRevA.45.7128 . - Cod . — PMID 9906785 . ; pentru insights cu privire la problema N random walkers, vezi Shlesinger, Michael F. New paths for random walkers // Nature . - 1992. - Vol. 355 , nr. 6359 . - P. 396-397 . - doi : 10.1038/355396a0 . — Cod . și ilustrația color care ilustrează articolul.
↑ Berger, T. Ratele de informare ale proceselor Wiener // IEEE Transactions on Information Theory : jurnal. - 1970. - Vol. 16 , nr. 2 . - P. 134-139 . - doi : 10.1109/TIT.1970.1054423 .
↑ Risken H. (1984) Ecuația Fokker–Planck . Springer, Berlin.
↑ De Gennes PG (1979) Scaling Concepts in Polymer Physics . Cornell University Press, Ithaca și Londra.
↑ Van Kampen NG (1992) Stochastic Processes in Physics and Chemistry , ediție revizuită și extinsă. Olanda de Nord, Amsterdam.
↑ Weiss, George H.Aspecte și aplicații ale mersului aleatoriu . - North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1994. - (Random Materials and Processes). - ISBN 978-0-444-81606-1 .
↑ Doi M. și Edwards SF (1986) The Theory of Polymer Dynamics . Clarendon Press, Oxford
↑ Goel NW și Richter-Dyn N. (1974) Stochastic Models in Biology . Academic Press, New York.
↑ Redner S. (2001) A Guide to the First-Passage Process . Cambridge University Press, Cambridge, Marea Britanie.
↑ Cox D. R. (1962) Teoria reînnoirii . Methuen, Londra.
↑ Jones , RAL Materie moale condensată . — Reprint.. — Oxford [ua]: Oxford University Press , 2004. — P. 77–78 . — ISBN 978-0-19-850589-1 .
↑ Bar-Yossef, Ziv; Gurevici, Maxim. Eșantionare aleatorie din indexul unui motor de căutare // Jurnalul ACM : jurnal. - Asociația pentru Mașini de Calcul (ACM), 2008. - Vol. 55 , nr. 5 . - P. 1-74 . — ISSN 0004-5411 . - doi : 10.1145/1411509.1411514 .
↑ Grady, L. Random walks for image segmentation // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence : jurnal. - 2006. - Vol. 28 , nr. 11 . - P. 1768-1783 . - doi : 10.1109/TPAMI.2006.233 . — PMID 17063682 .
↑ Rucci, M; Victor, JD Ochiul instabil: o etapă de procesare a informațiilor, nu o eroare // Tendințe în neuroștiințe : jurnal. - Cell Press , 2015. - Vol. 38 , nr. 4 . - P. 195-206 . - doi : 10.1016/j.tins.2015.01.005 . — PMID 25698649 .
↑ Engbert, R.; Mergenthaler, K.; Sinn, P.; Pikovsky, A. Un model integrat de mișcări oculare de fixare și microsacade (engleză) // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America : journal. - 2011. - Vol. 108 , nr. 39 . - P. E765-70 . - doi : 10.1073/pnas.1102730108 . - Cod . — PMID 21873243 .
↑ Nosofsky, R.M.; Palmeri, TJ Un model de clasificare accelerată bazat pe un model de mers aleatoriu // Psychological Review : jurnal. - 1997. - Vol. 104 , nr. 2 . - P. 266-300 . - doi : 10.1037/0033-295x.104.2.266 . — PMID 9127583 . Arhivat din original pe 10 decembrie 2004.
↑ Codling, E. A; Plank, M. J; Benhamou, S. Modele aleatorii de mers în biologie // Journal of the Royal Society Interface : jurnal. - 2008. - 6 august ( vol. 5 , nr. 25 ). - P. 813-834 . - doi : 10.1098/rsif.2008.0014 . — PMID 18426776 .
↑ Gupta, Pankaj și colab. WTF: The who-to-follow system at Twitter , Proceedings of the 22nd international Conference on World Wide Web
↑ Karpenko A.P. Algoritmi moderni de optimizare a motoarelor de căutare. Algoritmi inspirați din natură. M.: editura MSTU im. N. E. Bauman, 2014. 446 p.
↑ Un algoritm stocastic pentru extracția capacității de mare viteză în circuite integrate // Fiabilitatea microelectronică. — 1993-07. - T. 33 , nr. 9 . - S. 1420-1421 . — ISSN 0026-2714 . - doi : 10.1016/0026-2714(93)90150-w .
↑ Este interesant de remarcat că într-un grafic general întâlnirea a doi mergători independenți nu se reduce întotdeauna la problema revenirii unei singure plimbări aleatorii la punctul său de plecare.
↑ Krishnapur, Manjunath; Peres, Yuval. Grafice recurente în care două plimbări aleatorii independente se ciocnesc finit adesea // Comunicații electronice în probabilitate : jurnal. - 2004. - Vol. 9 . - P. 72-81 . — ISSN 1083-589X . - doi : 10.1214/ECP.v9-1111 . - Cod biblic . — arXiv : math/0406487 .
↑ Tishby, Ido; Biham, Ofer; Katzav, Eytan. Distribuția primelor timpi de lovire ai deplasărilor aleatorii pe rețelele Erdős–Rényi // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical : jurnal. - 2017. - Vol. 50 , nr. 11 . — P. 115001 . - doi : 10.1088/1751-8121/aa5af3 . — Cod biblic . - arXiv : 1606.01560 .
↑ Tishby, Ido; Biham, Ofer; Katzav, Eytan. Distribuția lungimii căilor de autoevitare a plimbărilor pe rețelele Erdős–Rényi // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical : jurnal. - 2016. - Vol. 49 , nr. 28 . — P. 285002 . - doi : 10.1088/1751-8113/49/28/285002 . - Cod biblic . - arXiv : 1603.06613 .
↑ Burda, Z.; Duda, J.; Noroc, JM; Waclaw, B. Localizarea Entropiei Maximale Random Walk // Scrisori de revizuire fizică : jurnal . - 2009. - Vol. 102 , nr. 16 . - P. 160602 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.102.160602 . - Cod . - arXiv : 0810.4113 . — PMID 19518691 .
↑ Madras, Neal și Slade, Gordon (1996) The Self-Avoiding Walk , Birkhäuser Boston. ISBN 0-8176-3891-1 .
↑ Hemmer, S.; Hemmer, PC O plimbare medie aleatorie care se autoevita pe rețeaua pătrată durează 71 de pași // Journal of Chemical Physics : journal. - 1984. - Vol. 81 , nr. 1 . - P. 584-585 . - doi : 10.1063/1.447349 . - Cod .
↑ Lawler, Gregory (1996). Intersecția de plimbări aleatorii , Birkhäuser Boston. ISBN 0-8176-3892-X .
↑ Lawler, Gregory Procesele conform invariante în plan , book.ps.
↑ Pemantle, Robin. Un studiu al proceselor aleatorii cu consolidare // Anchete de probabilitate : jurnal. - 2007. - Vol. 4 . - P. 1-79 . - doi : 10.1214/07-PS094 . — arXiv : math/0610076 .
↑ Alamgir, M și von Luxburg, U (2010). „Multi-agent random walks for local clustering on graphs” , IEEE a 10-a Conferință Internațională despre Data Mining (ICDM) , pp. 18-27.
↑ Peng, C.-K.; Mietus, J; Hausdorff, JM; Havlin, S; Stanley, H.E.; Goldberger, A.L. Anticorelații pe distanță lungă și comportament non-gauss al bătăilor inimii // Phys . Rev. Lett. : jurnal. - 1993. - Vol. 70 , nr. 9 . - P. 1343-1346 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.70.1343 . - Cod . — PMID 10054352 .
↑ Peng, CK; Buldyrev, SV; Goldberger, A.L.; Havlin, S; Sciortino, F; Simons, M; Stanley, H.E. Corelații pe distanță lungă în secvențele de nucleotide // Nature . - 1992. - Vol. 356 , nr. 6365 . - P. 168-170 . - doi : 10.1038/356168a0 . — Cod . — PMID 1301010 .
↑ Liu, Yanhui; Cizeau, Pierre; Meyer, Martin; Peng, C.-K.; Eugene Stanley, H. Corelations in economic time series // Physica A : jurnal. - 1997. - Vol. 245 , nr. 3-4 . - P. 437 . - doi : 10.1016/S0378-4371(97)00368-3 . — Cod . - arXiv : cond-mat/9706021 .
↑ Koscielny-Bunde, Eva; Bunde, Armin; Havlin, Shlomo; Roman, H. Eduardo; Goldreich, Yair; Schellnhuber, Hans-Joachim. Indicarea unei legi de persistență universală care guvernează variabilitatea atmosferică // Fiz . Rev. Lett. : jurnal. - 1998. - Vol. 81 , nr. 3 . — P. 729 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.81.729 . — Cod .
↑ Bovet, Pierre; Benhamou, Simon. Analiza spațială a mișcărilor animalelor folosind un model de mers aleatoriu corelat // Journal of Theoretical Biology : jurnal. - 1988. - Vol. 131 , nr. 4 . - P. 419-433 . - doi : 10.1016/S0022-5193(88)80038-9 .
↑ Kareiva, PM; Shigesada, N. Analizarea mișcării insectelor ca o plimbare aleatorie corelată (engleză) // Oecologia : journal. - 1983. - Vol. 56 , nr. 2-3 . - P. 234-238 . - doi : 10.1007/BF00379695 . — Cod . — PMID 28310199 .

Literatură

Aldous, David; Umple, James Allen. Lanțuri Markov reversibile și plimbări aleatorii pe grafice . — 2002.
Ben-Avraham D.; Havlin S. , Diffusion and Reactions in Fractals and Disordered Systems Arhivat la 4 octombrie 2011 la Wayback Machine , Cambridge University Press, 2000.
Doyle, Peter G.; Snell, J. Laurie. Plimbări aleatorii și rețele electrice. - Mathematical Association of America , 1984. - Vol. 22. - (Carus Mathematical Monografii). - ISBN 978-0-88385-024-4 .
Feller, William (1968), O introducere în teoria probabilității și aplicațiile sale (volumul 1). ISBN 0-471-25708-7
Hughes, Barry D. (1996), Random Walks and Random Environments , Oxford University Press. ISBN 0-19-853789-1
Norris, James (1998), Markov Chains , Cambridge University Press. ISBN 0-521-63396-6
Pólya G.(1921), „Über eine Aufgabe der Wahrscheinlichkeitsrechnung betreffend die Irrfahrt im Strassennetz” Arhivat la 4 martie 2016 la Wayback Machine , Mathematische Annalen , 84(1-2):149-160, martie 1921.
Révész, Pal (2013), Random Walk in Random and Non-random Environments (Ediția a treia) , World Scientific Pub Co. ISBN 978-981-4447-50-8
Sunada, ToshikazuCristalografia topologică: cu o viziune către analiza geometrică discretă . - Springer, 2012. - Vol. 6. - (Sondaje și Tutoriale în Științe Matematice Aplicate). — ISBN 978-4-431-54177-6 .
Weiss G. Aspecte și aplicații ale mersului aleatoriu , Olanda de Nord, 1994.
Woess, Wolfgang (2000), Random Walks on Infinite Graphs and Groups , Cambridge tracts in mathematics 138, Cambridge University Press. ISBN 0-521-55292-3

Link -uri

Constantele de mers aleatoare ale Polyei
Mers aleatoriu în Applet Java Arhivat la 31 august 2007 la Wayback Machine
Mers aleator cuantic
Estimator gaussian de mers aleator
Modele de conductanță electronică utilizând entropia maximă Random Walks Wolfram Demonstrations Project

Dicționare și enciclopedii	mare danez Rusă mare Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	BNF : 119358404 J9U : 987007563128805171 LCCN : sh85111357 NDL : 00571555