Sistem de coordonate sferice

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 25 decembrie 2020; verificarea necesită 1 editare .

Un sistem de coordonate sferice este un sistem de coordonate tridimensional în care fiecare punct din spațiu este definit de trei numere , unde este distanța până la origine (distanța radială) și și sunt unghiurile zenit și , respectiv, azimutal. $(r,\;\theta ,\;\varphi )$ $r$ $\theta$ $\varphi$

Conceptele de zenit și azimut sunt utilizate pe scară largă în astronomie . Zenit - direcția de ridicare verticală deasupra unui punct ales arbitrar (punct de observație) aparținând planului fundamental . Ca plan fundamental în astronomie, se poate alege planul în care se află ecuatorul, sau planul în care se află orizontul, sau planul eclipticii etc., care dă naștere la diferite sisteme de coordonate cerești. Azimutul este unghiul dintre o rază aleasă în mod arbitrar a planului fundamental cu originea în punctul de observație și o altă rază a acestui plan care are o origine comună cu primul.

Dacă luăm în considerare sistemul de coordonate sferice în raport cu sistemul cartezian , planul fundamental va fi planul , unghiul zenital al punctului dat de vectorul rază va fi unghiul dintre și axă , iar azimutul va fi unghiul dintre proiectia pe plan si axa . Aceasta explică numele unghiurilor și că sistemul de coordonate sferice poate servi ca o generalizare a multor tipuri de sisteme de coordonate cerești . $Oxyz$ $X y$ $P$ $P$ $z$ $P$ $X y$ $X$

Definiții

Poziția unui punct în sistemul de coordonate sferice este determinată de triplul , unde $P$ $(r,\;\theta ,\;\varphi )$

$r\geqslant 0$ este distanța de la originea coordonatelor până la punctul dat . $P$
$0^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 180^{\circ }$ este unghiul dintre axa și segmentul care leagă originea și punctul . $z$ $P$
$0^{\circ }\leqslant \varphi <360^{\circ }$ este unghiul dintre axa și proiecția segmentului care leagă originea coordonatelor cu punctul din plan (vezi Fig. 1). $X$ $P$ $X y$

Unghiul se numește zenit , sau polar , poate fi numit și înclinare , sau colatitudine , iar unghiul este azimut . Unghiurile și nu sunt definite la , iar unghiul la (adică la sau ) nu este definit nici. $\theta$ $\varphi$ $\theta$ $\varphi$ $r=0$ $\varphi$ $\sin(\theta)=0$ $\theta=0$ $\theta =180^{\circ }$

Un astfel de acord este stabilit în standard ( ISO 31-11 ). În plus, convenția poate fi folosită atunci când în locul unghiului zenit se folosește unghiul dintre vectorul rază al punctului și plan , egal cu . Se numește latitudine și poate fi notat cu aceeași literă . Latitudinea poate varia în . Conform acestei convenții, unghiurile și nu contează când , la fel ca în primul caz, dar nu contează când (adică când sau ). $\theta$ $P$ $X y$ $90^{\circ }-\theta$ $\theta$ $-90^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 90^{\circ }$ $\theta$ $\varphi$ $r=0$ $\varphi$ $\cos(\theta )=0$ $\theta =-90^{\circ }$ $\theta =90^{\circ }$

Trecerea la alte sisteme de coordonate

Sistemul de coordonate carteziene

Dacă sunt date coordonatele sferice ale punctului , atunci trecerea la carteziană se realizează conform formulelor: $(r,\;\theta ,\;\varphi )$

{\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \varphi ,\\y=r\sin \theta \sin \varphi ,\\z=r\cos \theta .\end{cases))

Invers, de la cartezian la sferic:

{\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\\theta =\arccos {\dfrac {z}{\ sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))=\mathrm {arctg} {\dfrac {\sqrt {x^{2}+y^{2))}{z )),\\\varphi =\mathrm {arctg} {\dfrac {y}{x}}.\end{cases}}

Jacobianul transformării în coordonate sferice este

{\begin{alignedat}{2}J&={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta,\varphi )))={\begin{vmatrix}\ sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \ theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{vmatrix}}=\\&=\cos \theta (r^{2}\cos \varphi ^{2}\cos \theta \sin \theta +r^{2}\sin ^{2}\varphi \cos \theta \sin \theta )+r\sin \theta (r\sin ^{2}\theta \cos ^{2 }\varphi +r\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varphi )=\\&=r^{2}\cos ^{2}\theta \sin \theta +r^{2} \sin ^{2}\theta \sin \theta =\\&=r^{2}\sin \theta .\end{alignedat}}

Astfel, elementul de volum în tranziția de la coordonatele carteziene la coordonatele sferice va arăta astfel:

\mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=J(r,\theta,\varphi)\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \, \mathrm {d} \varphi

Sistem de coordonate cilindric

Dacă sunt date coordonatele sferice ale punctului, atunci trecerea la cele cilindrice se realizează conform formulelor:

{\begin{cases}\rho =r\sin \theta ,\\\varphi =\varphi ,\\z=r\cos \theta .\end{cases))

Înapoi de la cilindric la sferic:

{\begin{cases}r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2)}},\\\theta =\mathrm {arctg} {\dfrac {\rho }{z} },\\\varphi =\varphi .\end{cases}}

Transformare iacobiană din sferic în cilindric . $J=r$

Caracteristici diferențiale

Vectorul desenat din punct în punct este egal cu $\mathrm {d} \mathbf {r}$ $(r,\theta,\varphi)$ $(r+\mathrm {d} r,\,\theta +\mathrm {d} \theta ,\,\varphi +\mathrm {d} \varphi )$

\mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} r\,{\boldsymbol {\hat {r}}}+r\,\mathrm {d} \theta \,{\boldsymbol {\hat { \theta ))}+r\sin {\theta }\,\mathrm {d} \varphi \,\mathbf {\boldsymbol {\hat {\varphi }}} ,

Unde

{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r)}}=\sin \theta \cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\sin \theta \sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath ))}+\cos \theta {\boldsymbol {\hat {k))))

{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\cos \theta \sin \varphi {\boldsymbol {\ pălărie {\jmath ))}-\sin \theta {\boldsymbol {\pălărie {k))))

{\boldsymbol {\hat {\varphi })}=-\sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}

vectori unitari ortogonali de coordonate sferice în direcția creșterii , respectiv, și sunt vectori unitari de coordonate carteziene. Coordonatele sferice sunt ortogonale, deci tensorul metric are o formă diagonală în ele: $r,\theta,\varphi$ ${\boldsymbol {\hat {\imath }}},{\boldsymbol {\hat {\jmath }}},{\boldsymbol {\hat {k}}}$

g_{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix)),\quad g^{ij}= {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\dfrac {1}{r^{2}}}&0\\0&0&{\dfrac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }} \end{pmatrix}}

$\det(g_{ij})=r^{4}\sin ^{2}\theta .\$
Diferenţial de lungime a arcului pătrat:

ds^{2}=dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}.

Coeficienți lame :

H_{r}=1,\quad H_{\theta }=r,\quad H_{\varphi }=r\sin \theta .

Simboluri Christoffel : $\{r,\;\theta ,\;\varphi \}$

\Gamma _{22}^{1}=-r,\quad \Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^{2}\theta ,

\Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac {1} {r}},

\Gamma _{33}^{2}=-\cos \theta \sin \theta ,\quad \Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}=\mathrm {ctg} \,\theta .

Restul sunt zero.

Modelarea matematică a Pământului

Sistem de coordonate geografice sferice

Sistemul de coordonate geografice sferice este construit după cum urmează [1] :

începutul său este plasat în centrul Pământului ;
axa polară este îndreptată de-a lungul axei de rotație a Pământului;
coordonatele se măsoară de-a lungul vectorului rază desenat din centrul Pământului; $r$
unghiul polar este colatitudinea (complementul latitudinii geografice la ); $\theta$ $90^{\circ }$
unghiul de azimut coincide cu longitudinea geografică (Est). $\varphi$

Vectorul de inducție magnetică a câmpului magnetic al Pământului are componente $\mathbf {B}$

B_{r}=-B\sin I,\;B_{\theta}=-B\cos I\cos D,\;B_{\varphi}=B\cos I\sin D,

unde este înclinarea magnetică ; - declinaţie magnetică . $eu$ $D$

Componentele vectorului de accelerație în cădere liberă sunt ${\mathbf {g}}$

g_{r}=-g,\;g_{\theta}=g_{\varphi }=0.

În cele din urmă, componentele vectorului viteză unghiulară al Pământului sunt: $\mathbf {\Omega}$

\Omega _{r}=\Omega \cos \theta ,\;\Omega _{\theta }=-\Omega \sin \theta ,\;\Omega _{\varphi }=0.

În coordonatele geografice sferice, este optim să se rezolve ecuații care descriu comportamentul particulelor neutre din spațiul apropiat Pământului [1] .

Sistem de coordonate geomagnetice sferice

Sistemul de coordonate geomagnetice sferice este construit după cum urmează [1] :

începutul său este plasat în centrul Pământului ;
axa polară este îndreptată de-a lungul axei dipolului magnetic al Pământului (axa geomagnetică), trecând prin polii magnetici ;
coordonatele se măsoară de-a lungul vectorului rază desenat din centrul Pământului; $r$
unghiul polar este colatitudinea geomagnetică (complementul latitudinii magnetice la ); $\Theta$ $\Phi$ $90^{\circ }\colon \;\Theta =\pi /2-\Phi$
unghiul de azimut coincide cu longitudinea geomagnetică măsurată la est de planul din emisfera vestică care conține polii geografici și geomagnetici. $\lambda$

Coordonatele geografice ale polului nord magnetic sunt

\theta _{0}=4,6^{\circ },\;\varphi _{0}=43,0^{\circ }\;(2012).

În sistemul de coordonate geomagnetice sferice, declinația și $D=0$

B_{r}=-B\sin I,\;B_{\Theta}=-B\cos I,\;B_{\Lambda}=0,

g_{r}=-g,\;g_{\Theta}=g_{\Lambda}=0.

\Omega _{r}=\Omega (\cos \theta _{0}\cos \Theta -\sin \theta _{0}\sin \Theta \cos \Lambda),

\Omega _{\Theta}=-\Omega (\cos \theta _{0}\sin \Theta +\sin \theta _{0}\cos \Theta \cos \Lambda),

\Omega _{\Lambda}=\Omega \sin \theta _{0}\sin \Lambda.

Formule care raportează coordonatele sferice geografice și geomagnetice [1] :

\cos \Theta =\cos \theta _{0}\cos \theta +\sin \theta _{0}\sin \theta \cos(\varphi -\varphi _{0}),

\cos \Lambda ={\frac {-\sin \theta _{0}\cos \theta +\cos \theta _{0}\sin \theta \cos(\varphi -\varphi _{0} )}{\sin \Theta )),

\cos \theta =\cos \theta _{0}\cos \Theta -\sin \theta _{0}\sin \Theta \cos \Lambda,

\cos(\varphi -\varphi _{0})={\frac {\sin \theta _{0}\cos \Theta +\cos \theta _{0}\sin \Theta \cos \Lambda }{\sin \theta )).

În coordonatele geomagnetice sferice, este mai ușor decât în coordonatele geografice sferice să descrie efectul câmpului geomagnetic asupra particulelor încărcate din spațiul apropiat de Pământ [1] .

Vezi și

Note

↑ 1 2 3 4 5 Bryunelli B. E., Namgaladze A. A. Fizica ionosferei. Moscova: Nauka, 1988. § 3.5, p. 172-173. ISBN 5-02-000716-1

Link -uri

Weisstein, Eric W. Coordonate sferice la Wolfram MathWorld .

Sisteme de coordonate
Numele coordonatelor	Abscisă Ordonată Aplicație
Tipuri de sisteme de coordonate	Sistem de coordonate rectiliniu Sistem de coordonate curbiliniu
Coordonate 2D	Coordonate biunghiulare Coordonate bicentrice Coordonate hiperbolice Coordonate polare Coordonate bipolare Coordonate parabolice Coordonate eliptice Coordonate tetraciclice Coordonate triliniare
Coordonatele 3D	Coordonate cilindrice Coordonate sferice Coordonatele bisferice Coordonatele toroidale Coordonate parabolice cilindrice Coordonate bicilindrice Coordonate elipsoidale Coordonate conice Coordonatele pentasferice Sistemul de coordonate dipolar
$n$ -coordonate dimensionale	coordonate carteziene Coordonate afine Coordonate proiective Coordonatele Plücker coordonate baricentrice
Coordonatele fizice	Coordonatele Rindler Coordonate născute Sistemul de coordonate ceresc Coordonatele geografice Sistemul de coordonate ortodomic principal
Definiții înrudite	Metoda coordonatelor Origine Axa de coordonate Vector Orth sistem de referință Benchmark Coeficienți lame Tensor metric

Mecanica cerească

Legi și sarcini	legile lui Newton Legea gravitației legile lui Kepler Problemă cu două corpuri Problemă cu trei corpuri Problemă gravitațională a N-corpilor problema lui Bertrand ecuația lui Kepler
Sfera celestiala	Sistemul de coordonate ceresc galactic orizontală ecuatorial ecliptic Sistemul internațional de coordonate cerești Sistem de coordonate sferice axa mondială Ecuatorul ceresc ascensiunea dreaptă declinaţie Ecliptic Echinocţiu Solstițiul plan fundamental
Parametrii orbitei	Elementele kepleriene ale orbitei excentricitate semi-axa mare înseamnă anomalie longitudinea nodului ascendent argument periapsis Apocentrul și periapsis Viteza orbitală Nodul orbital Epocă
Mișcarea corpurilor cerești	Mișcarea soarelui și a planetelor în sfera cerească Efemeride Configurații de planetă confruntare compus cuadratura elongaţie parada planetelor Eclipsă eclipsă de soare eclipsa de luna saros Ciclul metonic Strat Tutorial punct culminant perioada siderale perioada sinodica Perioada de rotație rezonanța orbitală Preludiul echinocțiului Apropiere librare Domeniul gravitației efectul Kozai Efectul Yarkovsky efectul Dzhanibekov

Astrodinamica

Zbor în spațiu	viteza spatiala primul (circular) al doilea (parabolic) al treilea Al patrulea formula lui Ciolkovski Manevra gravitațională traiectoria Hohmann Metoda elementelor osculatoare Accelerația mareelor Modificarea înclinației orbitale Rețeaua de transport interplanetar Andocare puncte Lagrange Efect de pionier
SC orbite	orbită geostaţionară Orbită heliocentrică orbită geosincronă orbita geocentrică orbita de geotransfer Orbită terestră joasă orbită polară Orbită „Tundra” Orbită sincronă cu Soarele Orbită „Fulger” Orbită osculatoare