Ecuația

Ecuație - egalitatea formei

f\left(x_{1},x_{2}\dots \right)=g\left(x_{1},x_{2}\dots \right)

unde cel mai adesea funcțiile numerice acționează ca , deși în practică există cazuri mai complexe - de exemplu, ecuații pentru funcții vectoriale , ecuații funcționale și altele. $f, g$

Rezolvarea ecuației

Rezolvarea ecuației este sarcina de a găsi astfel de valori ale argumentelor pentru care se realizează această egalitate. Condiții suplimentare (întreg, real etc.) pot fi impuse valorilor posibile ale argumentelor.

Argumentele funcțiilor date (numite uneori „variabile”) în cazul unei ecuații se numesc „necunoscute”.

Valorile necunoscutelor la care se realizează această egalitate se numesc soluții sau rădăcini ale ecuației date .

Se spune că rădăcinile satisfac o ecuație dată.

A rezolva o ecuație înseamnă a găsi mulțimea tuturor soluțiilor (rădăcinilor) ei sau a demonstra că nu există deloc rădăcini (sau nu există nici una care să îndeplinească condițiile date).

Ecuații echivalente

Echivalentul sau echivalentul se numește ecuații, ale căror seturi de rădăcini coincid. Echivalente sunt considerate și ecuații care nu au rădăcini.

Echivalența ecuațiilor are proprietatea de simetrie : dacă o ecuație este echivalentă cu alta, atunci a doua ecuație este echivalentă cu prima.

Echivalența ecuațiilor are proprietatea tranzitivității : dacă o ecuație este echivalentă cu alta și a doua este echivalentă cu o a treia, atunci prima ecuație este echivalentă cu a treia. Proprietatea de echivalență a ecuațiilor face posibilă efectuarea transformărilor cu ele, pe care se bazează metodele de rezolvare a acestora.

A treia proprietate importantă este dată de teoremă: dacă funcțiile sunt definite pe domeniul integrității , atunci ecuația $f,g$

f(x)\cdot g(x)=0

este echivalentă cu setul de ecuații

f(x)=0,\qquad g(x)=0

Aceasta înseamnă că toate rădăcinile primei ecuații sunt rădăcinile uneia dintre celelalte două ecuații și vă permite să găsiți rădăcinile primei ecuații în doi pași, rezolvând de fiecare dată ecuații mai simple.

Proprietăți de bază

Cu expresii algebrice incluse în ecuații, puteți efectua operații care nu îi schimbă rădăcinile, în special:

parantezele pot fi deschise în orice parte a ecuației;
în orice parte a ecuației, puteți aduce termeni similari;
aceeași expresie poate fi adăugată sau scăzută la ambele părți ale ecuației;
orice termen al ecuației poate fi transferat dintr-o parte în alta prin schimbarea semnului său în opus (aceasta este doar o altă formulare a paragrafului anterior);
ambele părți ale ecuației pot fi înmulțite sau împărțite cu același număr diferit de zero .

Ecuațiile care rezultă din aceste operații sunt echivalente cu ecuația inițială. Cu toate acestea, există o limitare pentru proprietatea 3: în cazul adunării sau scăderii din ambele părți ale ecuației aceeași expresie care conține necunoscutul și își pierde sensul cu necunoscutul luând valorile rădăcinilor acestei ecuații, o ecuație se va obtine care nu este echivalent cu originalul (initial). Dar dacă adunăm sau scădem aceeași expresie la ambele părți ale ecuației, care conține necunoscutul și își pierde sensul numai atunci când valorile necunoscutului nu sunt rădăcinile acestei ecuații, atunci obținem o ecuație echivalentă cu inițialul. unu.

Înmulțirea sau împărțirea ambelor părți ale unei ecuații cu o expresie care conține o necunoscută poate duce la apariția rădăcinilor străine sau, respectiv, la pierderea rădăcinilor.

Pătratarea ambelor părți ale unei ecuații poate duce la rădăcini străine.

Consecința ecuației și a rădăcinilor străine

Ecuația

F\left(x\right)=G\left(x\right)

se numește o consecință a ecuației

f\left(x\right)=g\left(x\right)

dacă toate rădăcinile celei de-a doua ecuații sunt rădăcinile primei. Prima ecuație poate avea rădăcini suplimentare, care pentru a doua ecuație sunt numite străine. Rădăcinile străine pot apărea în timpul transformărilor necesare găsirii rădăcinilor ecuațiilor. Pentru a le detecta, este necesar să se verifice rădăcina prin substituție în ecuația originală. Dacă, la înlocuire, ecuația devine o identitate, atunci rădăcina este reală, dacă nu, este un outsider.

Exemplu

Ecuația la pătratul ambelor părți dă ecuația sau . Ambele ecuații sunt o consecință a celei originale. Ultimul dintre acestea este ușor de rezolvat; are două rădăcini și . ${\sqrt {2x^{2}-1}}=x$ $2x^{2}-1=x^{2}$ $x^{2}=1$ $x=1$ $x=-1$

Când înlocuiți prima rădăcină în ecuația originală, se formează o identitate . Înlocuirea unei alte rădăcini are ca rezultat o declarație incorectă . Astfel, a doua rădăcină trebuie aruncată ca un outsider. ${\sqrt {1}}=1$ ${\sqrt {1}}=-1$

Tipuri de ecuații

Există ecuații algebrice , ecuații cu parametri , ecuații transcendentale , funcționale , diferențiale și alte tipuri de ecuații.

Unele clase de ecuații au soluții analitice, care sunt convenabile prin faptul că nu numai că dau valoarea exactă a rădăcinii, dar vă permit să scrieți soluția sub forma unei formule, care poate include parametri. Expresiile analitice permit nu numai calcularea rădăcinilor, ci și analizarea existenței și numărului de rădăcini în funcție de valorile parametrilor, ceea ce este adesea chiar mai important pentru utilizare practică decât valorile specifice ale rădăcinilor.

Ecuațiile pentru care se cunosc soluții analitice includ ecuații algebrice nu mai mari de gradul al patrulea: ecuații liniare , pătratice , cubice și ecuația de gradul patru . Ecuațiile algebrice de grade superioare nu au în general o soluție analitică, deși unele dintre ele pot fi reduse la ecuații de grade inferioare.

Ecuațiile care includ funcții transcendentale sunt numite transcendentale. Dintre acestea, soluțiile analitice sunt cunoscute pentru unele ecuații trigonometrice, deoarece zerourile funcțiilor trigonometrice sunt bine cunoscute.

În cazul general, când nu poate fi găsită o soluție analitică, se folosesc metode computaționale (numerice) . Metodele numerice nu dau o soluție exactă, ci permit doar îngustarea intervalului în care se află rădăcina la o anumită valoare prestabilită.

Ecuații algebrice

O ecuație algebrică este o ecuație de formă

P\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)=0,

unde este un polinom în variabile , care se numesc necunoscute. $P$ $x_{1},\ldots ,x_{n}$

Coeficienții unui polinom sunt de obicei preluați dintr-un câmp , iar apoi ecuația se numește ecuație algebrică peste un câmp . Gradul unei ecuații algebrice se numește gradul unui polinom . $P$ $F$ $P\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)=0$ $F$ $P$

De exemplu, ecuația

y^{4}+{\frac {xy}{2}}+y^{2}z^{5}+x^{3}-xy^{2}+{\sqrt {3}}x^{ 2}-\sin{1}=0

este o ecuație algebrică de gradul al șaptelea în trei variabile (cu trei necunoscute) peste câmpul numerelor reale .

Ecuații liniare

în formă generală: $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}+b=0$
în formă canonică: $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}=b$

Ecuații cuadratice

ax^{2}+bx+c=0,\quad a\neq 0

unde este o variabilă liberă, , , sunt coeficienți și . $X$ $A$ $b$ $c$ $a\neq 0$

Expresia se numește trinom pătrat . Rădăcina unei astfel de ecuații (rădăcina unui trinom pătrat) este valoarea variabilei care transformă trinomul pătrat la zero, adică valoarea care transformă ecuația pătratică într-o identitate. Coeficienții unei ecuații pătratice au propriile nume: coeficientul se numește primul sau senior , coeficientul se numește al doilea sau coeficientul la , se numește membrul liber al acestei ecuații. Se numește o ecuație pătratică redusă, în care coeficientul principal este egal cu unu. O astfel de ecuație poate fi obținută prin împărțirea întregii expresii la coeficientul principal : , unde , și . O ecuație pătratică completă este una în care toți coeficienții sunt nenuli. O ecuație pătratică incompletă este una în care cel puțin unul dintre coeficienți, cu excepția celui mai mare (fie al doilea coeficient, fie termenul liber) este egal cu zero. $ax^{2}+bx+c$ $X$ $A$ $b$ $X$ $c$ $A$ $x^{2}+px+q=0$ $p={\frac {b}{a}}$ $q={\frac {c}{a}}$

Pentru a găsi rădăcinile unei ecuații pătratice în cazul general, ar trebui să utilizați algoritmul de mai jos: $ax^{2}+bx+c=0$

Calculați valoarea discriminantului ecuației pătratice: aceasta este expresia acesteia .

D=b^{2}-4ac

1) dacă $D>0$	2) dacă $D=0$	3) dacă $D<0$
atunci există două rădăcini și pentru a le găsi, folosiți formula $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}(1)$	atunci rădăcina este una (în unele contexte se vorbește și despre două rădăcini egale sau coincidente, sau o rădăcină a multiplicității 2 ), și este egală cu $-{\frac {b}{2a)}$	atunci nu există rădăcini în mulțimea numerelor reale.

Graficul unei funcții pătratice în coordonate dreptunghiulare este o parabolă. Intersectează axa x în punctele corespunzătoare rădăcinilor ecuației pătratice . $f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c$ $f\left(x\right)=0$

Ecuații cubice

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,\quad a\neq 0

Pentru analiza grafică a unei ecuații cubice în coordonate dreptunghiulare , se folosește o parabolă cubică .

Orice ecuație canonică cubică poate fi redusă la o formă mai simplă

y^{3}+py+q=0

împărţindu-l prin şi substituind în el înlocuitorul . În acest caz, coeficienții vor fi egali: $A$ $x=y-{\tfrac {b}{3a)}$

{\displaystyle q={\frac {2b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {d}{a}}= {\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3))))

p={\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}={\frac {3ac-b^{2}}{3a^ {2}}}

. Ecuația gradului al patrulea

f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,\quad a\neq 0.

Al patrulea grad pentru ecuațiile algebrice este cel mai înalt pentru care există o soluție analitică în radicali în formă generală (adică pentru orice valoare a coeficienților).

Deoarece este un polinom de grad par, are aceeași limită cu care tinde spre plus și minus infinit. Dacă , atunci funcția crește la plus infinit pe ambele părți și, prin urmare, are un minim global. În mod similar, dacă , atunci funcția scade la minus infinit pe ambele părți și, prin urmare, are un maxim global. $f\stânga(x\dreapta)$ $a>0$ $a<0$

Ecuații iraționale și raționale

O ecuație rațională este un fel de ecuație în care părțile din stânga și din dreapta sunt expresii raționale. În înregistrarea ecuației, există doar adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea, precum și creșterea la puterea unui număr întreg.
O ecuație irațională este o ecuație care conține o necunoscută sub semnul rădăcinii. sau ridicat la o putere care nu poate fi redusă la un număr întreg.

Sisteme de ecuații algebrice liniare

Sistem de ecuații de forma:

\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2\\ \dots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \\ \end{cases}

(unu)

Aici este numărul de ecuații și este numărul de necunoscute. x 1 , x 2 , …, x n sunt necunoscute care trebuie determinate. a 11 , a 12 , …, a mn — coeficienții sistemului — și b 1 , b 2 , … b m — membri liberi — se presupune că sunt cunoscuți. Indicii coeficienților ( a ij ) ai sistemului denotă numerele ecuației ( i ) și necunoscutul ( j ) la care se află acest coeficient, respectiv [1] . $m$ $n$

Sistemul se numește omogen dacă toți membrii săi liberi sunt egali cu zero ( b 1 = b 2 = ... = b m = 0), în caz contrar - eterogen. Un sistem se numește pătratic dacă numărul m de ecuații este egal cu numărul n de necunoscute. Soluția sistemului este o mulțime de n numere c 1 , c 2 , …, c n , astfel încât înlocuirea fiecărui c i în loc de x i în sistem transformă toate ecuațiile sale în identități . Un sistem se numește compatibil dacă are cel puțin o soluție și inconsecvent dacă nu are soluții. Soluțiile c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n (1) și c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n (2) ale unui sistem de îmbinare sunt numite diferite dacă cel puțin unul din egalități:

c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

Un sistem de îmbinări se numește definit dacă are o soluție unică; dacă are cel puțin două soluții diferite, atunci se numește nedefinit. Dacă există mai multe ecuații decât necunoscute, se numește supradeterminat .

Ecuații cu parametri

O ecuație cu parametri este o ecuație matematică, a cărei aspect și soluție depind de valorile unuia sau mai multor parametri. Rezolvarea unei ecuații cu un parametru înseamnă:

Găsiți toate sistemele de valori ale parametrilor pentru care ecuația dată are o soluție.
Găsiți toate soluțiile pentru fiecare sistem găsit de valori ale parametrilor, adică pentru necunoscut și parametru, intervalele lor de valori acceptabile trebuie indicate.

Ecuațiile cu un parametru pot fi atât liniare, cât și neliniare.

Un exemplu de ecuație liniară cu un parametru:

a\,x+1=4,

Un exemplu de ecuație neliniară cu un parametru:

{\mbox{log}}_{{x^{2}}}{\frac {a+3}{7-x}}=5,

unde este o variabilă independentă, este un parametru. $X$ $A$

Ecuații transcendentale

O ecuație transcendentală este o ecuație care nu este algebrică . De obicei, acestea sunt ecuații care conțin funcții exponențiale, logaritmice, trigonometrice, trigonometrice inverse, de exemplu:

$\cos x=x$ - ecuația trigonometrică;
$\lg x=x-5$ - ecuația logaritmică;
$2^{x}=\lg x+x^{5}+40$ - ecuația exponențială.

O definiție mai riguroasă este aceasta: o ecuație transcendentală este o ecuație de forma în care funcțiile și sunt funcții analitice și cel puțin una dintre ele nu este algebrică . $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ $f$ $g$

Ecuații funcționale

O ecuație funcțională este o ecuație care exprimă relația dintre valoarea unei funcții (sau funcții) într-un punct cu valorile acesteia în alte puncte. Multe proprietăți ale funcțiilor pot fi determinate examinând ecuațiile funcționale pe care aceste funcții le satisfac. Termenul „ecuație funcțională” este de obicei folosit pentru ecuații care nu pot fi reduse în moduri simple la ecuații algebrice. Această ireductibilitate se datorează cel mai adesea faptului că argumentele funcției necunoscute din ecuație nu sunt variabilele independente în sine, ci unele date ale funcției din acestea. De exemplu:

ecuație funcțională

f\left(s\right)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2)}\right)\Gamma \left( 1-s\dreapta)f\stanga(1-s\dreapta)

unde este funcția gamma Euler , satisface funcția zeta Riemann ζ.

\Gamma(z)

Următoarele trei ecuații sunt satisfăcute de funcția gamma ; este singura soluție a acestui sistem de trei ecuații:

f\left(x\right)={f\left(x+1\right)\peste x)

f\left(y\right)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2y-1}} }f\stanga(2y\dreapta)

f\left(z\right)f\left(1-z\right)={\pi\peste \sin \left(\pi z\right))

( formula complementului lui Euler ).

Ecuația funcțională

f\left({az+b\over cz+d}\right)=\left(cz+d\right)^{k}f\left(z\right)

unde , , , sunt numere întregi care satisfac egalitatea , adică se definesc ca o formă modulară de ordin k .

A

b

c

d

ad-bc=1

{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=1

f

Ecuații diferențiale

O ecuație diferențială este o ecuație care leagă valoarea unei funcții necunoscute la un moment dat și valoarea derivatelor sale de ordine diferite în același punct. Ecuația diferențială conține în înregistrarea sa o funcție necunoscută, derivatele sale și variabilele independente. Ordinea unei ecuații diferențiale este cea mai mare ordine a derivatelor incluse în ea. O soluție a unei ecuații diferențiale de ordinul n este o funcție care are derivate de până la ordinul n inclusiv pe un anumit interval (a, b) și satisface această ecuație. Procesul de rezolvare a unei ecuații diferențiale se numește integrare . $y\stanga(x\dreapta)$ $y'\left(x\dreapta), y''\left(x\right),\dots, y^{\left(n\right)}\left(x\right)$

Toate ecuațiile diferențiale pot fi împărțite în

ecuații diferențiale obișnuite (ODE), care includ numai funcții (și derivatele lor) ale unui argument :

F\left(x,y,y',y'',...,y^{(n)}\right)=0

sau ,

F\left(x,y,{\frac {{\mathrm {d}}y}{{\mathrm {d}}x}},{\frac {{\mathrm {d}}^{{2}} y}{{\mathrm {d}}x^{2}}},...,{\frac {{\mathrm {d}}^{{n}}y}{{\mathrm {d}}x ^{n}}}\right)=0

unde este o funcție necunoscută (eventual o funcție vectorială ; în acest caz se vorbește adesea despre un sistem de ecuații diferențiale) în funcție de variabila independentă ; prim înseamnă diferențiere față de .

y=y\stanga(x\dreapta)

X

X

și ecuații cu diferențe parțiale , în care funcțiile de intrare depind de multe variabile :

F\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m},z,{\frac {\partial z}{\partial x_{1))},{\frac {\partial z} {\partial x_{2))},\dots ,{\frac {\partial z}{\partial x_{m))},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{1} ^{2}}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{1}\partial x_{2}}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{2}^{2))),\dots ,{\frac {\partial ^{n}z}{\partial x_{m}^{n))}\right)=0

, unde sunt variabile independente și este o funcție a acestor variabile.

x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}

z=z\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{m}\right)

Inițial, ecuațiile diferențiale au apărut din problemele mecanicii , la care au participat coordonatele corpurilor , vitezele și accelerațiile lor , considerate funcții de timp .

Exemple de ecuații

$x+3=2x$
$x^{2}+1=0$
$e^{{x+y}}=x+y$
$a^{n}+b^{n}=c^{n}$ , unde sunt numerele naturale $a,b,c,n$

Vezi și

Note

↑ Ilyin V. A., Poznyak E. G. Linear algebra: Textbook for universities. - Ed. a VI-a, șters. — M.: FIZMATLIT, 2004. — 280 p.

Literatură

Bekarevich A. N. Ecuații în cursul școlar de matematică. - Minsk: Nar. Asveta, 1968. - 152 p.
Vygodsky M. Ya. Manual de matematică elementară . — M .: Nauka, 1978.
- Reeditare: Ed. AST, 2003, ISBN 5-17-009554-6 .
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Matematică elementară. Repetă cursul. - Ediția a treia, stereotipă. — M .: Nauka, 1976. — 591 p.
Markushevich, L. A. Ecuații și inegalități în repetarea finală a cursului de algebră de liceu / L. A. Markushevich, R. S. Cherkasov. / Matematica la scoala. - 2004. - Nr. 1.

Link -uri

Ecuație - articol din Marea Enciclopedie Sovietică .
Ecuații // Enciclopedia lui Collier. — Societate deschisă. 2000.
Ecuație // Enciclopedia în jurul lumii
Ecuație // Enciclopedie matematică. — M.: Enciclopedia sovietică. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
EqWorld - Lumea ecuațiilor matematice - conține informații extinse despre ecuații și sisteme de ecuații matematice.