Soluția ecuației

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 22 iulie 2018; controalele necesită 55 de modificări .

În matematică , rezolvarea unei ecuații este sarcina de a găsi toate valorile argumentelor ( numere , funcții , mulțimi etc.) pentru care este valabilă egalitatea (expresiile din stânga și dreapta semnului egal devin echivalente ). Valorile variabilelor necunoscute la care se realizează această egalitate se numesc soluții sau rădăcini ale ecuației date. A rezolva o ecuație înseamnă a găsi mulțimea tuturor soluțiilor (rădăcinilor) ei sau a demonstra că nu există deloc rădăcini (sau nu există care să îndeplinească condițiile date).

De exemplu, ecuația este rezolvată pentru necunoscută folosind o înlocuire , deoarece înlocuirea unei variabile cu o expresie transformă ecuația într-o identitate : În plus, dacă punem o variabilă necunoscută, atunci ecuația se rezolvă folosind o înlocuire . Înlocuirea unei variabile cu o expresie transformă ecuația într-o identitate : De asemenea , și poate fi considerată simultan ca variabile necunoscute. Există multe soluții ale ecuației pentru un astfel de caz, de exemplu, - adică și , în general, pentru toate valorile posibile. $x+y=2x-1$ $X$ $x=y+1,$ $X$ $y+1$ $(y+1)+y=2(y+1)-1.$ $y,$ $y=x-1$ $y$ $x-1$ $x+(x-1)=2x-1.$ $X$ $y$ $(x,y)=(1,0)$ $x=1$ $y=0,$ $(x,y)=(a+1,{\text{ }}a)$

În funcție de problemă, poate fi necesar să găsiți o soluție (orice soluție adecvată) sau toate soluțiile ecuației. Toate soluțiile unei ecuații se numesc mulțime de soluții . Pe lângă simpla găsire a unei soluții, se poate pune sarcina de a găsi cea mai bună soluție a unei ecuații în raport cu orice parametru . Problemele de acest fel se numesc probleme de optimizare . Soluțiile la problemele de optimizare nu sunt, în general, numite „soluții ale ecuației”.

Metode analitice de rezolvare a ecuației

Metoda de rezolvare a unei probleme (inclusiv ecuații) este înțeleasă în primul rând ca un algoritm pas cu pas .

O metodă de soluție analitică (în caz contrar, doar o soluție analitică ) este o expresie în formă închisă care poate fi calculată într-un număr finit de operații [1] . Cu toate acestea, există formule (expresii) care conțin funcții necalculabile (sau nereprezentabile) în acest stadiu de dezvoltare a teoriei și tehnologiei. Mai departe, prin soluția analitică , înțelegem orice soluție scrisă sub formă de formulă, care conține funcții cunoscute sau anumite ale parametrilor (în cazul ecuațiilor numerice) sau variabilelor (în cazul ecuațiilor funcționale ). Mai jos sunt principalele metode analitice pentru rezolvarea diferitelor tipuri de ecuații.

Metoda de selectare a valorii

Cea mai simplă metodă ilogică (pentru că nu necesită nicio supunere față de legile logicii matematice ) de rezolvare a unei ecuații, care constă în ghicirea valorii corecte a rădăcinii . Cu această metodă, învățarea să rezolve ecuații mai complexe decât cele liniare (de exemplu, pătrat și cubic ) începe în clasele a V-a-7 ale unei școli de învățământ secundar din Rusia.

Un exemplu de rezolvare a unei ecuații prin metoda de selecție: $x^{2}-2x+1=0$

Este ușor de ghicit că una dintre rădăcinile ecuației va fi Pentru a verifica corectitudinea valorii alese, este necesar să o înlocuiți în ecuația originală în locul variabilei . $unu.$ $x:{\text{ }}1^{2}-2\cdot 1+1=0\Longleftrightarrow 0=0.$

După cum puteți vedea, egalitatea identică necesară este satisfăcută, ceea ce înseamnă că valoarea găsită este corectă (adică este inclusă în setul de soluții ale ecuației).

Dezavantajele metodei de selecție:

Cel mai adesea, rădăcinile ecuației sunt numere iraționale (iraționale algebric sau chiar transcendentale ), care sunt aproape imposibil de ghicit;
Metoda de selecție nu poate indica absența unei soluții sub nicio restricție privind valoarea soluțiilor;
În cazul unui set infinit de soluții (de exemplu, în ecuații cu două sau mai multe variabile), această metodă este complet nepotrivită, totuși, poate fi utilă atunci când se utilizează o valoare corectă selectată prin orice altă metodă cunoscută, puteți obține restul soluțiilor fezabile [2] ;
Nu toate ecuațiile sunt prezentate ca funcții simple ale unei variabile, astfel încât metoda de selecție nu poate rezolva astfel de ecuații;
Aplicabilitatea acestei metode este limitată nu numai de complexitatea ecuațiilor, tipul și gama de soluții fezabile ale acestora , ci și de prezența unor bune abilități de calcul, cunoașterea celor mai comune valori și corespondența acestora cu un anumit tip de ecuații [3] .

Avantajele metodei de selecție:

Ușurință în utilizare (aplicarea metodei de selecție nu necesită aproape nicio acțiune logică , cu excepția verificării);
Viteza de obținere a unei soluții (de obicei, acolo unde necesitatea utilizării metodei de selecție este indicată în context, soluțiile sunt selectate destul de repede);
Accesibilitate în aplicare (la urma urmei, uneori se întâmplă să nu existe deloc o soluție analitică a niciunui tip de ecuație, dar valoarea este încă ușor de ales într-un caz anume, de exemplu, ecuația nu poate fi încă rezolvată analitic [4] , dar, cu toate acestea, obținerea a cel puțin o rădăcină folosind metoda de selecție este destul de simplă: $2^{x}-x^{2}-1=0$ $x=1\longrightarrow 2^{1}-1^{2}-1=0\Longrightarrow 0=0).$

Enumerarea completă

Un caz special al metodei de selecție este metoda de enumerare completă - adică căutarea unei soluții prin epuizarea tuturor opțiunilor posibile. Folosit atunci când mulțimea tuturor soluțiilor (sau a tuturor soluțiilor care îndeplinesc anumite condiții) este finită.

Metoda de operare inversă

Această metodă de rezolvare a ecuațiilor, denumită altfel metoda de construire a unei funcții inverse , se bazează pe proprietatea funcției inverse de a nivela influența funcției asupra valorii variabilei [5] :

$f^{-1}(f(x))=x$ sau, care este în esență același, $f(f^{-1}(x))=x.$

Metoda este de obicei folosită ca parte a altor metode de decizie și este utilizată independent numai atunci când variabilele și constantele sunt pe părțile opuse ale semnului egal: $f(x)=g(a_{0},a_{1},...a_{i}),a_{i}=const.$

Cel mai simplu exemplu este o ecuație liniară : Aici înseamnă și obținem: acum același lucru trebuie făcut cu cealaltă parte a ecuației: de aici Verificați: $5x=10.$ $f(x)=5x,{\text{ }}g(a_{i})=10,$ $f^{-1}(x)={\frac {x}{5)),$ $f^{-1}(f(x))={\frac {5x}{5}}=x,$ $f^{-1}(g(a_{i}))={\frac {10}{5}}=2,$ $x=2.$ $5\cdot 2=10\Longleftrightarrow 10=10.$

Alt exemplu: $x^{2}=4\Longftrightarrow x=\pm {\sqrt {4))\Longftrightarrow x_{1,2}=2;-2.$

Dezavantajele metodei de operare inversă:

Uneori, funcția inversă a unei variabile ca parte a altor metode de soluție conduce la mai multe rezultate, datorită cărora apar rădăcini străine în soluție , care au fost obținute într-un mod logic, dar nu se încadrează în ecuație (încalcă egalitatea identică) [ 6] [7] , care se dovedește doar la verificare;
Operațiile inverse, cel mai adesea, par mult mai complicate decât cele obișnuite (de exemplu, copiii de școală primară percep împărțirea ca o operație mai complexă decât înmulțirea la care sunt „obișnuiți”; elevii de liceu se adaptează adesea la integrare pentru o lungă perioadă de timp , deoarece diferențierea le este, de asemenea, foarte familiară, percepută ca mai ușoară)
Cazurile sunt rare, dar au loc și atunci când una sau alta operație este inversă față de ea însăși (de exemplu, ca funcție liniară sau integrală și derivată a unei funcții exponențiale [8] ); $f(x)=x,$ $f(x)=e^{x}$
Nu toate funcțiile inverse pot fi reprezentate ca compoziții ale altor funcții cunoscute (cel mai adesea, acestea sunt integrale - integrale Fresnel , funcția Laplace , sinus și cosinus integral , exponent integral sau, de exemplu, neelementare, cum ar fi Lambert W- funcţia , tetratium şi superroot ) ;
Nu orice operație inversă oferă o soluție validă sau chiar orice soluție (de exemplu, funcția dă un număr real pentru orice valoare a variabilei, cu toate acestea, această valoare este întotdeauna nenegativă [9] , motiv pentru care găsirea funcției inverse este limitată la non-negativitatea argumentului; de asemenea, de exemplu, există funcții neintegrabile [10] sau nediferențiabile [11] , cum ar fi funcția Dirichlet , funcția Weierstrass etc.); $f(x)=x^{2}$
Pentru unele operații inverse, încă nu există un algoritm de calcul, astfel încât valorile acestor funcții, ca soluții la orice ecuație, rămân sub formă de formule (de exemplu, superlogaritmul , funcția Riemann ζ etc.).

Avantajele metodei operațiilor inverse:

Spre deosebire de metoda de selecție, utilizarea funcțiilor inverse, de cele mai multe ori, vă permite să nu ratați soluții fezabile suplimentare existente, chiar dacă setul lor este infinit;
Operațiile inverse sunt una dintre componentele principale ale aproape oricăror metode logice de rezolvare a ecuațiilor, sunt folosite mult mai des și, prin exemplul lor, ajută la înțelegerea mai bună a conceptelor de aria valorilor admisibile , aria de definiția și zona de modificare a valorii argumentului (argumentelor) ;
În cele mai multe cazuri, valorile funcțiilor inverse pot fi calculate folosind diferite tipuri de calculatoare sau, dimpotrivă, pot fi lăsate într-o expresie de formulă pentru comoditate în utilizare ulterioară.

Metoda grafică

Această metodă de rezolvare a problemelor (inclusiv ecuații) se bazează pe proprietatea de bază a graficelor de funcții - o afișare sigură și (ideal) precisă a valorilor argumentelor și a valorilor funcțiilor din aceste argumente în spațiul de coordonate , drept urmare fiecare punct al graficului nu are mai mult de un set de aceste valori pentru fiecare funcție specifică (adică două valori din același argument nu pot fi atribuite aceluiași punct de coordonate).

Prin definiție, două funcții au un punct comun (punctul de intersecție al graficelor) atunci când valorile lor de la unul (lor) și aceeași valoare (e) a argumentului (e) sunt egale: $f(x_{1},x_{2},...,x_{i})=g(x_{1},x_{2},...,x_{i}).$

De exemplu, să rezolvăm ecuația grafic (vezi figura de mai jos): ${\frac {1}{2}}x^{2}-4x+10=x-2$

Aici graficul funcției este prezentat în negru cu albastru - graficul funcției Abscisele punctelor A și B formează un set de soluții la ecuația originală: care se găsește ușor prin proiecția punctelor pe axa absciselor ( axa ). Verificare: și Soluția este exhaustivă, deoarece dreapta nu poate intersecta parabola de mai mult de două ori (conform Teoremei Fundamentale a Algebrei ). $f(x)={\frac {1}{2}}x^{2}-4x+10,$ $g(x)=x-2.$ $x_{1}=4,x_{2}=6,$ $X$ ${\frac {1}{2}}\cdot 4^{2}-4\cdot 4+10=4-2\Longftrightarrow 2=2$ ${\frac {1}{2}}\cdot 6^{2}-4\cdot 6+10=6-2\Longftrightarrow 4=4.$

Dezavantajele metodei grafice:

Grafic, cu excepția cazurilor simple, se poate obține doar o soluție aproximativă;
Nu toate valorile și nu toate funcțiile sunt calculabile, deci graficele lor nu pot fi construite independent;
Fără a cunoaște proprietățile funcțiilor incluse în ecuație, este imposibil de spus cu siguranță dacă setul de soluții rezultat este exhaustiv;
Cel mai adesea, aplicabilitatea acestei metode este limitată la trasarea funcțiilor din vecinătatea centrului de coordonate;
Reproducerea graficelor de funcții, așa cum se spune, „în minte” poate fi destul de dificilă, în astfel de cazuri nu se poate face fără dispozitive suplimentare.

Avantajele metodei grafice:

Ușurință în utilizare (nivelul de liceu este suficient);
Disponibilitate în aplicare (de exemplu, atunci când soluția ecuației nu a fost încă studiată sau nu este disponibilă deloc);
Reprezentare vizuală (ajută la o mai bună înțelegere a ce este o soluție și cum poate fi descrisă) [12] .

Pe lângă metoda descrisă, există metode grafice speciale modificate, cum ar fi metoda Lily .

Metoda de estimare a SSM

Metoda de estimare a ODZ (interval de valori acceptabile) constă în tăierea unei părți a valorilor din intervalul de valori ale funcției în care funcția dată nu există (în caz contrar, tăierea valorilor că nu poate lua).

De exemplu, să rezolvăm următorul sistem de ecuații folosind metoda de estimare ODZ:

${\begin{cases}{\frac {1}{x+1}}+x+1=2\\\sin ^{2}(x)=x\end{cases}}$

Să începem cu ecuația superioară, bazată pe următoarea proprietate a sumei numerelor reciproce : Este derivată direct dintr-un caz special al unei inegalități de putere nestrictă [14] . Mai mult, egalitatea cu doi se realizează numai dacă aceste numere sunt egale: ca rezultat, obținem un set de soluții: ${\frac {1}{n}}+n\geqslant 2,n>0.$ ${\frac {1}{x+1}}=x+1\Longleftrightarrow (x+1)^{2}=1\Longleftrightarrow x+1=\pm 1.$ $x_{1}=0,{\text{ }}x_{2}=-2.$

În ecuația inferioară, există o funcție de pătrat nenegativă ale cărei valori ale funcției se află în intervalul $f(x)=\sin(x),$ $\{-1;{\text{ }}1\}.$

După cum puteți vedea, a doua soluție nu îndeplinește ambele criterii, ceea ce ne scutește de necesitatea unei a doua verificări. Rămâne să verificați prima rădăcină: Prin urmare, singura soluție a sistemului original de ecuații este $\sin(0)=0\Longleftrightarrow \sin ^{2}(0)=0\Longleftrightarrow 0=0.$ $x_{1}=0.$

Dezavantajele metodei de estimare DHS:

Există funcții, al căror studiu este extrem de dificil, motiv pentru care proprietățile lor rămân necunoscute mult timp, de exemplu, funcția propusă de Riemann [15] ${\displaystyle {\biggl ())$ $f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(n^{2}x)}{n^{2)))$ ${\biggr }};$
Adesea metoda de estimare conduce la un interval în care se află posibile soluții, iar apoi acestea trebuie găsite prin metoda de selecție, ținând cont de constrângerea obținută;
Evaluarea valorilor funcțiilor se bazează pe cunoașterea proprietăților acestora, care, așa cum se întâmplă adesea, din cauza diversității funcțiilor în sine, nu sunt colectate într-o singură sursă.

Beneficiile metodei de evaluare LHS:

Această metodă este utilă atunci când este necesar să se dovedească absența unei soluții fezabile, dar nu este posibil să se facă acest lucru prin alte metode;
Prin metoda de estimare a ODZ, spre deosebire de metoda grafică și metoda de selecție, este posibil să se obțină un număr infinit de soluții fezabile;
După cum se arată în exemplu, aplicarea corectă a metodei de evaluare evită verificări suplimentare;
Unele ecuații sunt mult mai ușor de rezolvat în acest fel (de exemplu, cazuri speciale de ecuații iraționale ).

Metoda de factoring

Metoda factorizării ecuațiilor (adică factorizarea lor) este utilizată pentru a le reprezenta ca un produs al mai multor ecuații mai puțin complexe, mai des, de același tip [16] . Expansiunea se bazează pe proprietatea produsului mai multor factori de a fi egal cu zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre acești factori este, de asemenea, egal cu zero [17] .

Această metodă de rezolvare precisă a ecuațiilor polinomiale a fost o ramură separată a algebrei de multe secole [18] și este o combinație de mai mulți algoritmi pentru obținerea unei soluții simultan. Relevanța și semnificația sa este o consecință a teoremei fundamentale a algebrei , conform căreia orice polinom de orice grad finit diferit de zero are cel puțin o rădăcină complexă .

Cea mai simplă dintre toate metodele de descompunere este probabil împărțirea unui polinom cu un polinom .

Dezavantajele metodei de factorizare polinomială:

Specializarea relativ îngustă a metodei (de exemplu, ecuația nu poate fi factorizată, deoarece produsul formulelor rădăcinii nu poate ajunge la ecuația originală [19] ); $2^{x}-3x+2=0$
Metoda de descompunere conține mai multe metode de factorizare simultan și nu este aplicabilă tuturor polinoamelor, cu alte cuvinte, nu este universală (unele ecuații iraționale încă nu pot fi rezolvate analitic sau descompuse - un exemplu simplu:) . $x^{\pi }-x+1=0$

Avantajele metodei de factorizare polinomială:

Unele cazuri particulare de ecuații pentru care un algoritm de soluție generală nu a fost găsit sau este prea complicat pot fi rezolvate numai prin expansiune (de exemplu, ecuații de gradul șase și superior, algoritmii pentru soluția viitoare a cărora sunt prea greoaie, dificile). iar calculul necesită timp, în urma căruia dezvoltarea lor devine nepractică [20] );
Toate metodele de descompunere au fost dezvoltate de mult timp, sunt disponibile în surse deschise, nu depășesc domeniul de aplicare al curriculum-ului școlar și, în afară de un calculator obișnuit, cunoștințe și dispozitive suplimentare (inclusiv produse software speciale), de regulă , nu necesită.

Metode de transformare

Aceste metode includ seturi de acțiuni efectuate pe ambele părți ale ecuației (înainte și după semnul egal), conducând la ecuații corolare sau ecuații echivalente, care sunt mult mai ușor de rezolvat datorită prezenței unui algoritm de soluție cunoscut sau prezentându-le într-un formă mai convenabilă care vă permite să le corelați rapid cu unul sau altul algoritm de soluție binecunoscut. Mai jos este o listă a principalelor transformări.

Transfer de termeni

Orice parte a ecuației poate fi „transferată în cealaltă parte, dincolo de semnul egal” prin adăugarea acesteia în altă parte a ecuației și doar schimbând semnul (!) în cel opus [21] .

De exemplu, să rezolvăm ecuația în numere reale : $x^{2}-2x+4=2x.$

Pentru a face acest lucru, transferăm partea dreaptă a ecuației în partea stângă, schimbând semnul părții drepte în opus: $x^{2}-2x+4-2x=0.$

În plus, datorită asociativității funcției de înmulțire cu o constantă, adăugăm termeni similari: $x^{2}-4x+4=0.$

Acum este ușor de observat că partea stângă rezultată seamănă cu formula pătratului perfect : $(x-2)^{2}=x^{2}-4x+4.$

De aici găsim rădăcinile: Verificați: $\pm (x-2)=0\longrightarrow x_{1}=x_{2}=2.$ $2^{2}-2\cdot 2+4=2\cdot 2\Longftrightarrow 4=4.$

Transferul de termeni poate fi efectuat în orice caz (fără a elimina argumentul de sub funcție), în timp ce ecuațiile rezultate sunt echivalente.

Adăugarea (scăderea) constantelor (expresiilor)

Această tehnică de transformare a ecuațiilor se bazează pe proprietatea egalității numerice - invarianța sa față de adunare (egalitatea numerică va rămâne așa chiar dacă orice număr, inclusiv negativ, este adăugat la ambele părți). La rândul său, această proprietate a egalității numerice este doar un caz special al unei proprietăți similare a inegalităților numerice nestrictive [22] . Deoarece cele mai multe dintre ecuațiile care sunt rezolvate sunt efectuate pe un câmp de orice numere (există ecuații nenumerice, de exemplu, cele funcționale, în care funcțiile acționează ca o variabilă necunoscută), atunci aceleași proprietăți numerice se aplică ecuațiilor.

Esența transformării este că același număr sau expresie cu o funcție numerică poate fi adăugat la ambele părți ale ecuației, a cărei ODZ nu este mai îngustă decât ODZ a funcțiilor din ecuația originală. Transferul de termeni este doar un caz special de adunare (scădere) expresii. În special, „anihilarea reciprocă” a termenilor identici de pe părțile opuse ale semnului egal este o consecință a posibilității de transfer.

Adăugarea unei expresii numerice este întotdeauna posibilă, cu toate acestea, duce la o ecuație echivalentă numai atunci când aria ODZ a funcției din expresie nu este mai îngustă decât ODZ a funcțiilor ecuației originale. De exemplu, prin adăugarea unei expresii la ambele părți, ajungem la o ecuație corolară în care non-negativitatea unei variabile poate elimina rădăcinile negative existente, motiv pentru care va trebui să luăm în considerare această limitare mai târziu. $\sqrt{x}$ $X$

De asemenea, poate fi util să folosiți o tehnică oarecum inversă - selectarea unui termen, de exemplu: ${\frac {x^{2}+5x+6}{x+2}}=0\Longftrightarrow {\frac {(x^{2}+4x+4)+(x+2)}{ x+2}}=0\Longftrightarrow {\frac {(x+2)^{2}}{x+2}}+{\frac {x+2}{x+2}}=0\Longftrightarrow (x +2)+1=0\longrightarrow x_{1}=-3.$

Înmulțirea (împărțirea) cu o constantă (expresie) diferită de zero

Înmulțirea egalităților numerice (adică a ecuațiilor numerice) cu aceeași expresie numerică diferită de zero este o consecință a posibilității de a adăuga această expresie și, prin urmare, își extinde proprietățile la sine, adăugând, poate, restricția asupra -egalitatea variabilei la zero [21] .

Folosind exemplul anterior: $x^{2}+5x+6=0\Longleftrightarrow (x^{2}+4x+4)+(x+2)=0\Longleftrightarrow (x+2)^{2}+(x+ 2 )=0.$

Acum împărțim ambii termeni la $(x+2):{\frac {(x+2)^{2}}{x+2}}+{\frac {x+2}{x+2}}=0\Longftrightarrow x+ 2 +1=0\longrightarrow x_{1}=-3.$

Cu toate acestea, prin împărțirea la această expresie, setăm o constrângere - inegalitatea sa la zero: Prin urmare, acum este necesar să verificăm dacă această valoare este rădăcina ecuației originale, filtrată chiar de această constrângere: $x+2\neq 0\longrightarrow x\neq -2.$ $(-2)^{2}+5\cdot (-2)+6=4-10+6=0.$

După cum se poate observa, îngustarea ODZ chiar și cu un punct (număr) poate distorsiona foarte mult setul tuturor soluțiilor posibile fezabile.

Substituții de expresie

Înlocuirea identică a unei variabile cu o altă expresie care conține funcții ale unei variabile a cărei ODZ nu este mai îngustă decât ODZ a funcțiilor ecuației inițiale, de asemenea, duce întotdeauna la o ecuație echivalentă. Însăși posibilitatea și echivalența sa se bazează pe proprietatea tranzitivității numerelor (dacă într-un triplu de numere unele două numere sunt egale în perechi cu al treilea, prin urmare, toate cele trei numere sunt egale între ele [23] ).

Înlocuirea este foarte des folosită în rezolvarea ecuațiilor de orice fel și chiar mai mult (de exemplu, pentru o ecuație de gradul trei există o formulă trigonometrică Vieta , pentru găsirea antiderivatelor - substituție trigonometrică universală Weierstrass , pentru integrale ale funcțiilor raționale - substituții speciale Euler, etc.).

De fapt, orice formulă a rădăcinilor ecuației este un caz special de înlocuire, atunci când expresia care înlocuiește variabila nu conține deloc variabile (adică funcția din această expresie conține o constantă (e) ca argument ( s)).

Înlocuirea expresiei ajută și la obținerea unei ecuații mai ușoare. Cu toate acestea, mulți confundă adesea rădăcinile ecuației consecințelor cu rădăcinile ecuației originale, înlocuindu-le în mod eronat în ecuația greșită atunci când verifică. Deci, de exemplu, după ce a făcut o înlocuire și a primit o anumită valoare ca rădăcină a ecuației consecințelor cu o variabilă , pentru verificare, trebuie mai întâi să o înlocuiți în formula de înlocuire pentru a calcula , care va fi rădăcina originalului ecuația din variabilă și care trebuie înlocuită în ea pentru verificare. $x=a^{y)$ $y_0$ $y$ $y_0$ $x=a^{y},$ $x_{0}$ $X$

Cu toate acestea, există tipuri de ecuații pentru care nu se pot face anumite tipuri de substituții.

De exemplu, o ecuație de forma: unde este hiperoperatorul de comandă (pentru fiecare dintre ele există restricții suplimentare pentru ) $a^{(n)}x=x,{\text{ }}a\neq 0,$ $a^{(n)}x$ $n$ $A$

Dacă facem o înlocuire , obținem următoarea ecuație: $x=a^{(n+1)}y,$ $a^{(n)}{\bigl (}a^{(n+1)}y{\bigr )}=a^{(n+1)}y\Longleftrightarrow a^{(n+1) )}(y+1)=a^{(n+1)}y.$

Rezultă că fie nu există o soluție (ceea ce contrazice „practica teoretică”), fie hiperoperatorii sunt ambigui (ceea ce nu este adevărat pentru primii trei operatori - adunare , înmulțire și exponențiere ). $y+1=y$

Pentru claritate, să presupunem că : Să facem o schimbare de unde ajungem la o contradicție, deși soluția acestei ecuații inițiale există și se exprimă printr-o superrădăcină de gradul doi [24] . $n=3$ $a^{(3)}x=x\Longleftrightarrow a^{x}=x.$ $x=a^{(4)}y={}^{y}a:$ $a^{{}^{y}a}={}^{y}a\Longftrightarrow {}^{y+1}a={}^{y}a,$ $y+1=y,$

Exponentiation _

Datorită posibilității de înmulțire a unei expresii numerice cu o expresie numerică, devine posibilă ridicarea unei expresii numerice la o putere diferită de zero [21] , care este un caz special de înmulțire cu factori identici. Cu toate acestea, exponentiația este definită strict numai pentru numerele nenegative, prin urmare, atunci când ridicați o expresie cu o variabilă la o putere, este necesar să indicați restricția corespunzătoare și să o luați în considerare în viitor.

Dacă, totuși, este imposibil să faci fără ridicarea unei expresii negative la o putere, atunci exponentul trebuie să fie un întreg, altfel o astfel de transformare va duce la rezolvarea a două ecuații în loc de una și la o creștere a numărului de rădăcini străine. , pentru că: dar în același timp, situația cu exponenții iraționali este încă care nu este definită. $(-n)^{\frac {1}{k}}=-{\sqrt[{k}]{n)),{\frac {k+1}{2}}\in \mathbb { Z} ,$ ${\frac {1}{k}}={\frac {2}{2k}}\longrightarrow (-n)^{\frac {2}{2k}}={\sqrt[{2k}] {(-n)^{2))}={\sqrt[{2k}]{1\cdot n^{2))}={\sqrt[{k}]{n)),k\in \mathbb {Z} .$

Ridicarea zero (sau a unei expresii care poate lua zero) la puterea zero este, de asemenea, imposibilă (vezi Incertitudine ).

Chiar și exponenții dublează numărul de ecuații de rezolvat, deoarece funcțiile exponențiale ale exponenților pare sunt pare . Crește și numărul rădăcinilor străine [21] .

Logaritm

Conform proprietăților inegalităților numerice nestricte [22] , ambele părți ale ecuației pot fi logaritmizate . Cu toate acestea, există și limitări aici (pentru domeniul numerelor reale):

Dacă logaritmul este efectuat pe un număr de bază pozitiv, atunci expresia logaritmului (numărul) trebuie să fie și ea pozitivă;
Dacă logaritmul se realizează conform unui număr de bază negativ, atunci expresia logaritmului (numărul) trebuie să fie și ea negativă (în acest caz, trebuie explicată extensia logaritmului);
Logaritmul expresiilor cu valori care sunt opuse în semn valorilor bazei nu este posibil.

De aceea, logaritmul, de regulă, nu duce la o creștere a străinilor, ci la pierderea rădăcinilor adevărate.

Potenționare

Spre deosebire de exponentiație, egalitățile numerice pot fi convertite în exponenți [21] : $f(x_{1},x_{2}...)=g(a_{1},a_{2},...)\Longftrightarrow b^{f(x_{1},x_{2 }...)}=b^{g(a_{1},a_{2},...)},b,a_{1},a_{2}...=const.$

În timp ce expresiile numerice pot fi orice, baza trebuie să fie pozitivă (sau negativă, sub rezerva restricțiilor corespunzătoare asupra variabilei). $b$

Mai mult decât atât, chiar și exponenții expresiilor pot fi potențați, totuși, există un fel de interdependență limitativă între bază și grad, motiv pentru care baza nu poate fi oricare: $f^{n}(x_{1},x_{2},...)=g^{m}(a_{1},a_{2},...)\Longftrightarrow f^{( k^{n})}(x_{1},x_{2},...)=g^{(k^{m})}(a_{1},a_{2},...), {\text{dacă }}k={\biggl (}{\frac {m}{n}}{\biggr )}^{\frac {1}{mn}}.$

Acest lucru este ușor de demonstrat după cum urmează:

$f^{n}(x_{1},x_{2},...)=g^{m}(a_{1},a_{2},...)$

$f^{(k^{n})}(x_{1},x_{2},...)=g^{(k^{m})}(a_{1},a_{2 },...)$

$f(x_{1},x_{2},...)=g^{\frac {(k^{m})}{(k^{n)))))(a_{1} , a_{2},...)\Longftrightarrow f(x_{1},x_{2},...)=g^{(k^{mn})}(a_{1},a_{2} , ...)$

Inlocuim expresia rezultata in ecuatia originala: $f(x_{1},x_{2},...)$

$g^{n(k^{mn})}(a_{1},a_{2},...)=g^{m}(a_{1},a_{2},... ),$ de aici obținem: Următorul: $n(k^{mn})=m.$

$k^{mn}={\frac {m}{n}}\Longleftrightarrow k={\biggl (}{\frac {m}{n}}{\biggr )}^{\frac {1} {mn}}.$ În cazul în care, formula este mult simplificată: $m=1$

$k={\biggl (}{\frac {1}{n}}{\biggr )}^{\frac {1}{1-n}}\Longleftrightarrow k={\Biggl (}{\frac {1}{n^{\frac {1}{1-n)))){\Biggr )}\Longleftrightarrow k=n^{-{\frac {1}{1-n))}=n^{ \frac {1}{n-1}}.$

Tetrarea cu exponentul 2

Pentru expresiile numerice, puteți calcula tetrarea cu un exponent de 2 (adică ridicați expresia la puterea ei însăși):

$f(x_{1},x_{2}...)=g(a_{1},a_{2},...)\Longftrightarrow {}^{2}{f(x_{1} ,x_{2}...)}={}^{2}{g(a_{1},a_{2},...)}\Longleftrightarrow {\bigl (}f(x_{1},x_ {2},...){\bigr )}^{f(x_{1},x_{2},,,,)}={\bigl (}g(a_{1},a_{2}, ...){\bigr )}^{g(a_{1},a_{2},,,,)},b,a_{1},a_{2}...=const.$

Desigur, aici se impun restricții și asupra pozitivității expresiilor în sine sau asupra extinderii exponențiației în cazul negativității acestora.

Calculul tetrației cu exponenți mai mari impune anumite restricții sub formă de interdependențe ale expresiilor (vezi mai sus), de atunci vor avea loc așa-numitele „ turnuri de putere” . De asemenea, este posibil să extrageți super rădăcină cu indicatorul corespunzător, dar merită să luați în considerare și faptul că această operație este definită numai pentru numere pozitive.

Exemplu: $x^{2}=4\Longleftrightarrow {}^{2}(x^{2})={}^{2}4\Longleftrightarrow (x^{2})^{(x^{2} )}=4^{4}\Longleftrightarrow x^{2x^{2}}=256.$

Să facem un înlocuitor $x=y^{\frac {1}{2}}:$ $(y^{\frac {1}{2}})^{2(y^{\frac {1}{2}})^{2}}=256\Longleftrightarrow y^{y}=256 \longrightarrow y=4\longrightarrow x_{1}=2.$

Cu toate acestea, din cauza incertitudinii tetrației pentru numerele nepozitive, a doua rădăcină a ecuației a dispărut: $x_{2}=-2.$

Superpotenta

De asemenea, datorită posibilității de a utiliza iterația anterioară (exponentiație), este posibilă convertirea egalităților numerice în indicatori de tetrare :

$f(x_{1},x_{2}...)=g(a_{1},a_{2},...)\Longftrightarrow {}^{f(x_{1},x_{ 2}...)}b={}^{g(a_{1},a_{2},...)}b;b,a_{1},a_{2}...=const.$

În acest caz, ar trebui să se țină cont de pozitivitatea bazei (deoarece nici măcar zero nu poate fi ridicat la puterea de sine) și de diferite incertitudini (reticențe) ale indicatorilor de tetrare neîntregi și/sau negativi. $b$

Această tendință poate fi repetată în continuare (vezi Pentation , Hyperoperator ).

Cu o certitudine exactă, nu este încă posibilă supralogaritmul expresiilor numerice din cauza proprietăților insuficient studiate ale hiperoperatorilor și funcțiilor inverse acestora, deoarece nu este clar ce restricții impune o astfel de transformare.

Metode speciale de rezolvare

Transformări ale ecuațiilor trigonometrice

Ecuațiile trigonometrice sunt numite ecuații care conțin numai funcții trigonometrice ca funcții ale variabilelor (adică ecuații care conțin compoziții numai ale funcțiilor trigonometrice).

La rezolvarea ecuațiilor de acest fel se aplică diverse identități, bazate pe proprietățile funcțiilor trigonometrice în sine (vezi identități trigonometrice ). În aceste transformări, totuși, merită luată în considerare natura compusă a tangentei și cotangentei, al căror sinus și cosinus sunt funcții independente ale aceleiași variabile.

Deci, după ce am făcut o înlocuire evidentă, vom obține o funcție complet nouă, ale cărei valori vor diferi de raportul tangentei inițial: (vezi graficele de mai jos). ${\text{tg}}(x)={\frac {\sin(x)}{\sqrt {1-\sin ^{2}(x)))},$ ${\text{tg}}(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)))$

O astfel de schimbare are loc datorită faptului că formula cu înlocuirea implică o rădăcină aritmetică , a cărei valoare este întotdeauna nenegativă. Totuși, dacă am semna „±”, funcția tangentă și-ar pierde unicitatea.

$\sin(x)=n\longrightarrow x=(-1)^{k}\arcsin(n)+\pi k,{\text{ }}n\in [-1;1],{\ text{ }}k\in \mathbb {Z} ;$
$\cos(x)=n\longrightarrow x=\pm \arccos(n)+2\pi k,{\text{ }}n\in [-1;1], {\text{ }}k \in \mathbb {Z} ;$
${\text{tg}}(x)=n\longrightarrow x={\text{arctg}}(n)+\pi k,{\text{ }}n\in [-1;1], {\text{ }}k\in \mathbb {Z} ;$
${\text{ctg}}(x)=n\longrightarrow x={\text{arcctg}}(n)+\pi k,{\text{ }}n\in [-1;1], {\text{ }}k\in \mathbb {Z} .$

De exemplu, să rezolvăm o ecuație mai complicată: $\sin(x)\cos(x)\cos(2x)={\frac {1}{8)).$

pentru că atunci obținem: $\sin(x)\cos(x)={\frac {1}{2}}\sin(2x),$ ${\frac {1}{2}}\sin(2x)\cos(2x)={\frac {1}{8}}.$

Înmulțim cu 4 și din nou obținem sinusul unghiului dublu: $2\sin(2x)\cos(2x)={\frac {1}{2}}\Longleftrightarrow \sin {4x}={\frac {1}{2}}).$

Formula finală a rădăcinilor: $x_{0,1,...}=(-1)^{k}{\frac {\arcsin {\frac {1}{2)}+\pi k}{4))=(- 1)^{k}{\frac {\pi }{24}}+{\frac {\pi k}{4)),{\text{ }}k\in \mathbb {Z} .$

Transformări ale ecuațiilor diferențiale și integrale

Ecuațiile diferențiale sunt, de regulă, ecuații care conțin funcții numerice și derivatele acestora. Astfel, toate transformările efectuate asupra ecuațiilor numerice se aplică și acestor tipuri de ecuații. Principalul lucru este să ne amintim că este mai bine să efectuați astfel de transformări în care intervalele de valori admisibile ale funcțiilor incluse în ecuație nu s-au schimbat deloc. O trăsătură distinctivă a ecuațiilor diferențiale față de cele numerice este posibilitatea de integrare (diferențiere) a acestora de ambele părți ale semnului egal.

Ecuațiile diferențiale, precum și cele numerice, se rezolvă analitic (integrare simbolică) la căutarea unei funcții antiderivative sau numeric - la calcularea unei integrale definite pe orice segment. Mai jos sunt principalele și cele mai frecvent utilizate transformări pentru găsirea unei soluții analitice.

Majoritatea tipurilor de ecuații diferențiale pot fi reduse la ecuații cu variabile separabile, a căror soluție generală este deja cunoscută [25] . Aceste transformări includ [25] :

Reducerea ecuaţiilor omogene prin substituţie pentru $y(x)=xz(x)$ $x>0;$
Reducerea ecuațiilor cvasiomogene la omogene prin înlocuire și apoi la ecuații cu variabile separabile. $y(x)=z^{\frac {\beta {\alpha )),$

Ecuațiile diferențiale liniare sunt de obicei rezolvate prin trei metode [25] :

Metoda factorului integrator ;
metoda Lagrange (constanta variationala) ;
metoda Bernoulli .

Ecuațiile diferențiale Bernoulli sunt de asemenea reduse fie la ecuații liniare, fie la ecuații cu variabile separabile folosind substituții [26] .

Ecuațiile diferențiale omogene de ordinul doi și superior se rezolvă prin înlocuirea funcției și trecând astfel la rezolvarea ecuației algebrice caracteristice dintr-un grad variabil egal cu ordinul ecuației diferențiale inițiale. $y(x)=e^{kx)$ $k$

Există tipuri de ecuații diferențiale de ordin superior, a căror ordine poate fi redusă prin înlocuirea derivatei unui ordin cu o altă funcție. În același mod, ele pot fi reduse la ecuații cu variabile separabile.

Ecuațiile integrale sunt mai complexe decât ecuațiile diferențiale, dar, la fel ca acestea, ele conțin adesea transformări integrale în soluțiile lor:

transformata Fourier ;
transformata Laplace ;
transformare Hartley ;
Abel transformată integrală ;
Conversie identică ;
și altele (vezi Transformări integrale#Tabel de transformare ).

Pe lângă diferențială și integrală, există și un tip mixt - ecuații integro-diferențiale , principala direcție de rezolvare care este reducerea lor la cele două tipuri anterioare de ecuații prin diferite metode.

Transformări ale ecuațiilor funcționale

Nu există o soluție generală a ecuațiilor funcționale, precum și metode generale. Prin ele însele, ecuațiile funcționale sunt proprietăți ale soluției lor - o funcție sau un tip de funcții. De exemplu, soluția ecuației funcționale Abel este funcția [27] $\alpha (f(x))=\alpha (x)+1,{\text{ }}f(x)=a^{x}$ $\alpha (x)={\text{slog}}_{a}x.$

Metode numerice pentru rezolvarea ecuațiilor

Aceste metode sunt un set separat de algoritmi pentru obținerea unei soluții la o anumită ecuație cu o precizie dată. Principalele diferențe față de soluția analitică:

Eroare de calcul (cu metoda analitică, numerele iraționale sunt disponibile sub formă de formule din cele raționale și, prin urmare, dacă se dorește, pot fi calculate cu orice precizie pentru orice cazuri speciale);
Universalitatea aplicării (aceleași metode numerice pot fi aplicate la tipuri complet diferite de ecuații);
Reînnoirea procesului de soluție (pentru fiecare caz specific al unui tip de ecuație, metoda trebuie aplicată din nou și de la bun început, spre deosebire de soluția analitică, știind care, pentru a calcula rădăcinile, este suficient să înlocuiți necesarul coeficienți în formula deja cunoscută, adică obținută anterior);
Necesitatea utilizării unor echipamente suplimentare (cum ar fi calculatoare și produse software; soluțiile analitice sunt inventate „din cap”, deși există site-uri speciale sau software instalat care pot deriva formule pentru soluții analitice deja cunoscute).

Metoda bisecției (dihotomie)

Această metodă numerică de rezolvare a ecuației se bazează pe semnele opuse ale unei funcții continue aproape de zero. Algoritmul în sine este destul de simplu:

Se ia un segment, la capetele căruia funcția dă valori opuse în semn;
Segmentul este împărțit în jumătate, după care valoarea funcției din mijlocul segmentului este înmulțită cu valorile capetelor sale: un rezultat negativ duce la o îngustare a segmentului inițial de la fostul mijloc până la sfârșit la care produsul a fost negativ;
Împărțim din nou noul segment în jumătate și repetăm procedura până când segmentul atinge precizia specificată.

Exemplu: găsiți rădăcina pozitivă a ecuației Pentru a face acest lucru, rescrieți ecuația într-o funcție: Prin reprezentarea grafică a acestei funcție, este ușor să vă asigurați că valoarea dorită se află în segmentul Găsiți valorile funcției de la capete al acestui segment și mijlocul său: - după cum puteți vedea, produsul valorilor \ u200b \u200 și dă un rezultat negativ, spre deosebire de Acum, segmentul în care se află rădăcina este redus: Să repetăm procedura din nou (în în acest caz, valorile funcției de la capete sunt deja cunoscute din calculele anterioare): - acum segmentul este redus „în cealaltă direcție”: Următorul ciclu: - obținem un nou segment: Ciclul continuă la nivelul necesar precizie și apoi, ca valoare aproximativă a rădăcinii, este selectat sfârșitul segmentului, valorile funcției de la care sunt cele mai apropiate de zero. În exemplul nostru, valoarea 4,44129 va fi rădăcina ecuației originale până la a cincea zecimală. $2^{x}=x^{2}+2.$ $f(x)=2^{x}-x^{2}-2.$ $[4;{\text{ }}5].$ $f(4)=-2;$ $f(5)=5;$ $f(4,5)\aproximativ 0,377416997969519,$ $f(4)$ $f(4,5)$ $f(4,5)\cdot f(5).$ $[4;{\text{ }}4,5].$ $f(4,25)\aprox -1,035186159956460,$ $[4,25;{\text{ }}4,5].$ $f(4,375)\aprox -0,391192125583853,$ $[4,375;{\text{ }}4,5].$

Metoda acordurilor (secantelor)

O metodă numerică iterativă pentru găsirea rădăcinii unei ecuații cu o precizie dată, care se bazează pe aproximarea constantă a rădăcinii prin intersecțiile acordurilor cu axa absciselor. Următoarea formulă este folosită aici:

$x_{i+1}=x_{i}-{\dfrac {f(x_{i})\cdot (x_{i}-x_{0})}{f(x_{i})-f (x_{0})}},$ cu toate acestea, are o rată de convergență scăzută, astfel încât următorul algoritm este mai des folosit în schimb:

$x_{i+1}=x_{i-1}-{\dfrac {f(x_{i-1})\cdot (x_{i}-x_{i-1})}{f(x_ {i})-f(x_{i-1})}};$ în diverse surse, ambele formule sunt numite diferit - metoda acordurilor și/sau metoda secantelor.

Algoritmul general de utilizare a metodei în sens geometric este:

Mai întâi trebuie să vă asigurați că funcția ecuației este continuă, iar pe intervalul luat în considerare există o singură rădăcină și nu există zerouri ale derivatei (în caz contrar, calculul poate să nu convergă deloc);
Apoi selectați două puncte aparținând graficului funcției (întins pe el), ale căror abscise sunt incluse în intervalul dat și valorile funcției în care sunt opuse în semn;
Ambele puncte sunt conectate, formând o coardă (secantă), se calculează punctul de intersecție al coardei cu axa absciselor;
Se trasează o perpendiculară pe axa absciselor de la punctul de intersecție la graficul funcției (proiecția punctului de intersecție pe graficul funcției);
Punctul rezultat de pe graficul funcției cu capătul opus al coardei existente este conectat, formând o nouă coardă, pentru care va fi necesar să se calculeze și punctul de intersecție cu axa absciselor ... etc.

metoda lui Newton

Ideea principală a metodei lui Newton este de a folosi o aproximare iterativă a unei funcții diferențiabile conform următorului algoritm [28] :

$f'(x_{n})={\text{tg)}\alpha _{n}={\frac {\Delta y}{\Delta x))={\frac {0-f(x_ {n})}{x_{n+1}-x_{n}}}\longrightarrow x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_ {n})}}$

Mai întâi trebuie să vă asigurați că funcția egalată cu zero în această ecuație îndeplinește anumite criterii , restricții și condiții pentru aplicabilitatea acestei metode, apoi asigurați-vă că nu există alte rădăcini necunoscute lângă rădăcina necunoscută descoperită (în caz contrar, puteți pur și simplu „încurcă-te”). Acum ar trebui să alegeți o valoare variabilă care este aproape de rădăcină (cu cât mai aproape, cu atât mai bine) și să o înlocuiți în formula de mai sus. Există două rezultate posibile: $x_{n}$

Dacă valoarea rezultată se află în același interval cu rădăcina dorită, atunci poate fi înlocuită din nou în formulă: fiecare valoare următoare este mai precisă decât cea anterioară; $x_{{n+1}}$
Dacă valoarea rezultată nu se află în același interval cu rădăcina dorită, atunci este necesar să se înlocuiască cu până când noua valoare revine la interval. $x_{{n+1}}$ $x_{{n+1}}$ ${\frac {x_{n}+x_{n+1}}{2}}$

Procesul iterativ continuă până când aproximarea rezultată a rădăcinii dorite a ecuației atinge precizia necesară.

Metodă simplă de iterație

Generalizând metoda acordurilor (secantelor) și metoda lui Newton, putem concluziona că ambele sunt un fel de același algoritm. Poate fi descris astfel:

Ecuația se reduce la forma: , - acum puteți scrie formula iterativă ca $f(x)=0$ $x=\varphi(x)$ $x_{i+1}=\varphi (x_{i});$
Funcția trebuie aleasă în conformitate cu condițiile de convergență a metodei, de obicei , ca una independentă , puteți alege o constantă , al cărei semn coincide cu semnul derivatei de pe segmentul care leagă rădăcina adevărată și prima valoare $\varphi (x_{i})$ $\varphi (x_{i})=x_{i}-\lambda (x)f(x_{i}),$ $\lambda(x)$ $\lambda _{0},$ $f'(x)$ $x_{0}.$

În special, presupunând că ajungem la un algoritm numit metoda cu o tangentă; iar când obții aceeași metodă a lui Newton. $\lambda _{0}={\frac {1}{f'(x_{0})))),$ $\lambda (x)={\frac {1}{f'(x))}$

Exemplu: găsiți o aproximare a rădăcinii ecuației În primul rând, definim funcția și exprimăm prin ea: $0,25\sin(x)-x-\pi =0.$ $\varphi(x)$ $X$

$x=0,25\sin(x)-\pi \longrightarrow \varphi (x)=0,25\sin(x)-\pi,$ — acum este necesar să ne asigurăm dacă funcția rezultată îndeplinește condiția de convergență; $|\varphi '(x)|<1:$

$\varphi '(x)=0,25\cos(x)\longrightarrow |0,25\cos(x)|<1,$ dar $\cos(x)\in {[-1;1]}{\text{ }}\forall x.$

Acum rămâne să alegeți o valoare pentru prima iterație aproape de rădăcină (cu cât mai aproape, cu atât convergența metodei este mai rapidă). Lasă atunci $x_{0}=-3,$ $\varphi (-3)=x_{1}=0,25\sin(-3)-\pi \approx -3,176872655604760.$

Să repetăm procedura pentru noua valoare: $\varphi (x_{1})=x_{2}\aprox 0,25\sin(-3,176872655604760)-\pi \approx -3,132774482649750...$

După ce au trecut astfel 22 de pași de iterație, obținem o aproximare pentru care, până la a cincisprezecea zecimală, următoarea egalitate este adevărată: . Examinare: $x_{22}\aprox -3,141592653589790,$ $x_{22}=-\pi$ $0,25\sin(\pi )-(-\pi )-\pi =0,25\cdot 0+\pi -\pi =0\Longleftrightarrow 0=0.$

Rețineți că rata de convergență depinde și de funcția în sine. Deci, dacă în loc de multiplicator punem , atunci cu aceeași valoare inițială și nivel de eroare, numărul de pași va crește de la 22 la 44. $0,25$ $0,5$ $x_{0}$

Metode de verificare a unei soluții

Verificarea soluției este necesară pentru a determina una sau alta soluție obținută ca adevărată și/sau outsider. Ecuația este un caz special al problemei, deci sunt supuse unor metode similare de verificare și anume [29] :

Verificarea algoritmului de soluție este principala metodă de verificare a progresului soluției, care constă în trecerea la fundamentarea logicii tuturor acțiunilor matematice efectuate ale algoritmului (adică, consistența lor cu teoriile matematice în cadrul cărora se rezolvă ecuația) .

Cu toate acestea, verificarea algoritmului nu este întotdeauna posibilă sau nu în totalitate, în plus, erorile pot fi făcute și în timpul verificării în sine, iar această metodă aproape niciodată nu „verifică” caracterul complet al soluției. În astfel de cazuri, se folosesc alte metode, cum ar fi [29] :

Înlocuirea rădăcinilor în ecuația originală constă în verificarea îndeplinirii egalității identice a ecuației pentru o anumită soluție dată (cu toate acestea, seturi infinite de soluții nu pot fi verificate în acest fel).
Verificarea conformității cu ODZ nu garantează corectitudinea și completitudinea soluției, dar determină adevărul acestora și ajută la evitarea soluțiilor suplimentare (și, prin urmare, verificări) atunci când apar rădăcini străine.
Verificarea soluției pentru cazuri simple și/sau limitative se realizează pe o soluție analitică pentru a demonstra universalitatea acesteia sau prezența în ea a unor funcții restrictive, i.e. găsiți aria soluțiilor posibile ale acestui tip particular de ecuații.
Verificarea conformității structurii soluției cu structura ecuației vă permite să predeterminați soluții posibile suplimentare ale ecuației pe baza proprietăților funcțiilor incluse în ecuație, cum ar fi simetria , paritatea , recurența etc.
Soluția în mod alternativ este utilă atunci când se cere verificarea oricărui algoritm (soluție analitică), datorită acestei metode se descoperă noi formule, conexiuni și interdependențe ale funcțiilor deja cunoscute.

Metode pentru îndepărtarea rădăcinilor străine

Criterii pentru existența soluțiilor admisibile la ecuații

Note

↑ Expresie în formă închisă // Wikipedia . — 06-06-2018.
↑ Kudryashova T. G. Metode de rezolvare a problemelor matematice. Clasa 5 - M . : NF "Volnoe delo", 2008. - S. 132. - 208 p. - ISBN 978-5-90415-801-9 , BBC 22.1ya721, K-88.
↑ Baklanova E. A. Rezolvarea problemelor de text în diverse moduri // Festivalul de Idei Pedagogice „Lecția deschisă”: site. - 2012. Arhivat 27 octombrie 2020.
↑ Farrugia PS, Mann RB, Scott TC N-body Gravity and the Schrödinger Equation // Class . Grav cuantic. . - 2007. - Vol. 24 , nr. 18 . - P. 4647-4659 . - doi : 10.1088/0264-9381/24/18/006 . Arhivat din original pe 6 aprilie 2019.
↑ Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P., Ivlev B. M., Shvartsburd S. I. Capitolul IV. Funcții exponențiale și logaritmice, alin. 10 - Funcții exponențiale și logaritmice, p. 40 - Conceptul funcției inverse // Algebra și începutul analizei matematice: manual. pentru 10-11 celule. educatie generala instituții / ed. A. N. Kolmogorova. - Ed. a XVII-a. - M . : Educaţie, 2008. - S. 246-247. - ISBN 978-5-09-019513-3 .
↑ Mordkovich A. G., Semenov P. V. Capitolul 4. Ecuații trigonometrice, par. 23 - Metode de rezolvare a ecuaţiilor trigonometrice, p. 2. - Metoda factorizării // Algebra şi începutul analizei matematice. Clasa 10. La 14:00 Partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ (nivel de profil) . - Ed. a VI-a. — M .: Mnemozina, 2009. — S. 191. — ISBN 978-5-346-01201-6 . Arhivat pe 6 aprilie 2019 la Wayback Machine
↑ Mordkovich A. G. Capitolul 4. Ecuații cuadratice, p. 30 - Ecuații iraționale // Algebră. clasa a 8-a. La ora 2. Partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ. - al 12-lea. — M .: Mnemozina, 2010. — S. 175. — ISBN 978-5-346-01427-0 .
↑ Expozant // Wikipedia. — 21.12.2017. (Rusă)
↑ Funcția pătratică // Marea enciclopedie școlară. - M . : „Parteneriatul enciclopedic rus”, 2004. - S. 118-119.
↑ Integrala Riemann // Wikipedia. — 2017-03-11. (Rusă)
↑ Funcție diferențiabilă // Wikipedia. — 20.05.2018. (Rusă)
↑ Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. Capitolul II. Funcții, alin. 5 - Funcțiile și graficele lor, p. 14 - Graficul unei funcții // Algebră. Clasa a VII-a: studii pentru învățământul general. instituții / ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVIII-a. - M . : Educație, 2009. - S. 60. - ISBN 978-5-09-021255-7 .
↑ ODZ - intervalul de valori acceptabile, cum să găsiți ODZ . Preluat la 20 august 2021. Arhivat din original la 20 august 2021. (nedefinit)
↑ I. I. Zhogin. Pe medii // Educație matematică: jurnal / ed. I. N. Bronshtein, A. M. Lopshits, A. A. Lyapunov, A. I. Markushevich, I. M. Yaglom. - M .: Editura de stat de literatură fizică și matematică, 1961. - Numărul. 6 . - S. 217 . Arhivat din original pe 22 noiembrie 2021.
↑ Joseph Gerver. Diferențiabilitatea funcției Riemann la anumiți multipli raționali ai π // American Journal of Mathematics. - 1970. - T. 92 , nr. 1 . - S. 33-55 . - doi : 10.2307/2373496 . Arhivat din original pe 23 iulie 2018.
↑ Mordkovich A. G., Semenov P. V. Capitolul 6. Ecuații și inegalități. Sisteme de ecuații și inegalități, alin. 27 - Metode generale de rezolvare a ecuaţiilor // Algebra şi începutul analizei. Clasa a 11a. La 14:00 Partea 1. Un manual pentru instituțiile de învățământ (nivel de profil) . - M . : Mnemozina, 2007. - S. 211-218. — ISBN 5-346-729-6. Arhivat pe 12 aprilie 2019 la Wayback Machine
↑ Savin A.P. Zero // Dicționar enciclopedic al unui tânăr matematician / comp. A. P. Savin. - M . : „Pedagogie”, 1989. - S. 219.
↑ Matematica secolului al XVII-lea // Istoria matematicii / Editat de A.P. Yushkevich, în trei volume. - M .: Nauka, 1970. - T. II. (link indisponibil) . ilib.mccme.ru. Preluat la 3 iunie 2018. Arhivat din original la 18 septembrie 2011. (nedefinit)
↑ Superroot // Wikipedia. — 31-05-2018. (Rusă)
↑ R. Bruce King. Capitolul 8. Dincolo de ecuația quintică // Dincolo de ecuația quartică Arhivat 22 iulie 2014 la Wayback Machine . - Birkhäuser Boston, 2008. - P. 139-149. — 149 p. - (Clasici moderne Birkhäuser). — ISBN 0817648364 .
↑ 1 2 3 4 5 Mordkovich A. G., Semyonov P. V. Capitolul 6. Ecuații și inegalități. Sisteme de ecuații și inegalități, alin. 26 - Echivalența ecuațiilor // Algebră și începuturi de analiză. Clasa a 11a. La 14:00 Partea 1. Un manual pentru instituțiile de învățământ (nivel de profil) . - M . : Mnemozina, 2007. - S. 201-211. — ISBN 5-346-729-6. Arhivat pe 12 aprilie 2019 la Wayback Machine
↑ 1 2 Inegalități // Enciclopedie matematică (în 5 volume) . - M . : Enciclopedia sovietică , 1982. - V. 3. - S. 999. Copie de arhivă din 16 octombrie 2013 la Wayback Machine
↑ Egalitatea la a treia // Wikipedia. — 21.02.2017. (Rusă)
↑ Superroot // Wikipedia. — 22.06.2018. (Rusă)
↑ 1 2 3 Ecuație diferențială obișnuită // Wikipedia. — 27.05.2018. (Rusă)
↑ Ecuația diferențială Bernoulli // Wikipedia. — 06-04-2017. (Rusă)
↑ Superlogaritm // Wikipedia. — 06-07-2018. (Rusă)
↑ Metoda lui Newton // Wikipedia. — 21.05.2018. (Rusă)
↑ 1 2 Hudak Yu. I., Aslanyan A. G. Verificarea corectitudinii sarcinii este o etapă importantă în educația și creșterea unui școlar (ru, en) // Editura FGAOU VO „Universitatea Prieteniei Poporului din Rusia” (PFUR): site. - S. 25-30 . Arhivat din original pe 28 iulie 2018.

Literatură

Markushevich, L. A. Ecuații și inegalități în repetarea finală a cursului de algebră de liceu / L. A. Markushevich, R. S. Cherkasov. / Matematica la scoala. - 2004. - Nr. 1.
Ecuație - articol din Marea Enciclopedie Sovietică .
Ecuații // Enciclopedia lui Collier. — Societate deschisă . - 2000. (Rusă) // Enciclopedia Collier. — Societate deschisă. 2000.
Ecuație // Enciclopedia în jurul lumii
I. M. Vinogradov. Ecuație // Enciclopedie matematică. — M.: Enciclopedia Sovietică . - 1977-1985. (Rusă)// Enciclopedie matematică. — M.: Enciclopedia sovietică. I. M. Vinogradov. 1977-1985.