Ecuația Helmholtz

Ecuația Helmholtz este o ecuație diferențială parțială eliptică :

(\Delta +k^{2})U=f,

unde este operatorul Laplace și funcția necunoscută este definită în (în practică, ecuația Helmholtz este folosită pentru ). $\Delta =\nabla ^{2}$ $U$ $\mathbb {R} ^{n}$ $n=1,2,3$

Derivarea ecuației

Este ușor de observat că ecuația Helmholtz nu include operatori de diferențiere în timp, prin urmare, reducerea problemei inițiale în derivate parțiale la ecuația Helmholtz poate simplifica soluția acesteia. Luați în considerare ecuația de undă :

\triunghi u({\bar {x)),t)-{\frac {1}{c^{2)}}{\frac {\partial ^{2}u({\bar {x} },t)}{\partial t^{2))}=f({\bar {x)),t).

Să fie funcțiile și să permită separarea variabilelor: , și fie . Rețineți că în spațiul transformărilor Fourier, diferențierea în funcție de timp corespunde înmulțirii cu factorul iω . Astfel, ecuația noastră se reduce la forma: $u$ $f$ $u({\bar {x)),t)=U({\bar {x)))T(t),\ f({\bar {x)),t)=F({\bar {x} })T(t)$ $T(t)=e^{{i\omega t}}$

\triunghi U({\bar {x)))+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}U({\bar {x}})=F({\bar {x }}),

unde este pătratul modulului vectorului de undă. ${\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=k^{2}$

Rezolvarea ecuației Helmholtz

Cazul unei ecuații omogene

Soluția ecuației Helmholtz depinde de tipul condițiilor la limită. În cazul bidimensional, ecuația Helmholtz este utilizată pentru a rezolva problema unei membrane oscilante, apoi sunt stabilite în mod natural condiții la limită omogene , ceea ce corespunde fizic cu fixarea membranei pe limită. În acest caz, soluția va depinde de forma membranei. Deci, pentru o membrană rotundă cu rază în coordonate polare ( ), ecuația ia forma: $A$ $r,\,\varphi$

U_{{rr))+{\frac {1}{r}}U_{r}+{\frac {1}{r^{2}}}U_{{\varphi \varphi }}+k^{2 }U=0,\qquad U(a,\varphi )=0.

Folosind metoda separării variabilelor, ajungem la o problemă cu valori proprii pentru partea soluției care depinde doar de : $\varphi$

U(r,\varphi )=R(r)\Phi (\varphi),

{\frac {\Phi ''}{\Phi }}=-\lambda ^{2},

iar o funcție care depinde doar de rază va satisface ecuația:

\displaystyle r^{2}R''+rR'+R(r^{2}k^{2}-\lambda ^{2})=0.

Soluțiile fundamentale ale acestor ecuații sunt, respectiv, funcțiile și unde este rădăcina a treia a funcției Bessel de ordinul al treilea. $\scriptstyle \sin(\lambda \varphi),\\cos(\lambda \varphi)$ $\scriptstyle J_{\lambda }\left({\frac {\mu _{i}^{{(\lambda )}}}{a}}r\dreapta),$ $\mu _{i}^{{(\lambda )}}$ $i$ $\lambda$

Cazul unei ecuații neomogene

Considerăm ecuația Helmholtz în spațiul funcțiilor generalizate :

\triunghi U+k^{2}U=\delta (x).

Să arătăm că în cazul tridimensional soluțiile fundamentale ale acestei ecuații sunt funcțiile: $(x=(x_{1},x_{2},x_{3}))$

U_{1}^{{(3)}}(x)=-{\frac {e^{{ik|x|}}}{4\pi |x|}},\qquad U_{2}^{ {(3)}}=-{\frac {e^{{-ik|x|}}}{4\pi |x|}}.

De fapt, folosim egalitățile:

{\frac {\partial }{\partial x_{j))}{\frac {1}{|x|}}=-{\frac {x_{j}}{|x|^{3}}}

{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}e^{{ik|x|}}={\frac {ikx_{j}}{|x|}}e^{{ik|x| }}

\triunghi e^{{ik|x|}}=\left({\frac {2ik}{|x|}}-k^{2}\right)e^{{ik|x|}}

și formula demonstrată în cursul fizicii matematice:

\triangle {\frac {1}{|x|}}=-{\frac {2\pi ^{{3/2}}}{\Gamma (3/2)))\delta (x).

Primim:

(\triunghi +k^{2}){\frac {1}{|x|}}e^{{ik|x|}}=e^{{ik|x|}}\triunghi {\frac {1 }{|x|}}+2\left(\operatorname {grad}\,\,e^{{ik|x|}},\operatorname {grad}{\frac {1}{|x|}}\ dreapta)+{\frac {1}{|x|}}\triunghi e^{{ik|x|}}+{\frac {k^{2}}{|x|}}e^{{ik| x|}}=

$=-4\pi e^{{ik|x|}}\delta (x)+\left(-{\frac {2ik}{|x|^{2))}+{\frac {2ik}{| x|^{2))}-{\frac {k^{2}}{|x|}}+{\frac {k^{2}}{|x|}}\right)e^{{ik |x|}}=-4\pi \delta (x).$

De asemenea, se verifică prin calcule directe că, în cazul bidimensional, funcțiile Hankel de primul și al doilea fel vor fi soluția fundamentală :

U_{1}^{{(2)}}=-{\frac {i}{4}}H_{0}^{{(1)}}(k|x|),\qquad U_{2}^ {{(2)}}={\frac {i}{4}}H_{0}^{{(2)}}(k|x|),

și unidimensional :

U_{1}^{{(1)}}(x)={\frac {e^{{ik|x|}}}{2ik}},\qquad U_{2}^{{(1))) =-{\frac {e^{{-ik|x|}}}{2ik}}.

Literatură

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Ecuații ale fizicii matematice. - M. : Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0310-5 .

Fizică matematică

Tipuri de ecuații

Condiții de frontieră

Ecuații ale fizicii matematice

Difuzie și convecție	Ecuația căldurii Ecuația de difuzie Ecuația Mason-Weaver
Hidrodinamică	Ecuația de transfer Ecuații Navier-Stokes Ecuația lui Euler Ecuația Gromeka-Lamb Ecuația vortexului Ecuația burgerii Ecuații pentru apă puțin adâncă Ecuația Korteweg-de Vries
Electromagnetism	Ecuațiile lui Maxwell Ecuația Helmholtz Ecuația Landau-Lifshitz Ecuația Poisson ecranată
Mecanica cuantică	Ecuația Schrödinger Ecuația Heisenberg Ecuația Rarita-Schwinger Ecuația lui Hartree Ecuația lui Dirac Ecuația Klein-Gordon
Modele generale	Ecuația de continuitate ecuația de undă Ecuația Fokker-Planck Ecuația Poisson

Metode de rezolvare

Metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale

Metode grilă

Metode cu elemente finite	Metoda elementului finit metoda Galerkin Metoda Galerkin discontinuă Metoda cu elemente finite la scară multiplă Metoda Multigrid
Alte Metode	Metoda diferențelor finite Metoda volumului finit metoda lui Godunov Metoda elementului de limită

Metode non-grilă

Studiul ecuațiilor

subiecte asemănătoare