Ecuații pentru apă puțin adâncă

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 26 decembrie 2019; verificările necesită 5 modificări .

Ecuațiile pentru ape puțin adânci (cunoscute și sub denumirea de ecuații Saint-Venantîn formă liniară) este un sistem de ecuații diferențiale parțiale hiperbolice care descrie curgerile sub suprafața unui lichid.

Ecuațiile se obțin [1] prin integrarea ecuațiilor Navier-Stokes peste adâncime , cu condiția ca scara orizontală să fie mult mai mare decât cea verticală. În această condiție, din legea continuității rezultă că vitezele verticale în lichid sunt mici, gradienții verticali de presiune sunt aproape de zero, iar gradienții orizontale sunt cauzați de rugozitatea suprafeței lichidului, iar vitezele orizontale sunt la fel pe toată adâncimea. La integrarea de-a lungul verticalei, vitezele verticale părăsesc ecuațiile.

Deși vitezele verticale sunt absente din ecuațiile de apă mică, ele nu sunt zero. Când se obțin vitezele orizontale, vitezele verticale sunt derivate din ecuația de continuitate.

Situațiile în care adâncimea zonei apei este mult mai mică decât dimensiunile orizontale sunt destul de frecvente, astfel încât ecuațiile de apă mică sunt utilizate pe scară largă. Ele sunt utilizate ținând cont de forțele Coriolis în modelarea atmosferei și oceanului ca o simplificare a sistemului de ecuații primitive care descriu fluxurile din atmosferă.

Ecuațiile apei de mică adâncime iau în considerare un singur nivel vertical, așa că nu pot descrie factori care variază în funcție de adâncime. Cu toate acestea, atunci când dinamica curgerilor pe direcția verticală este relativ simplă, modificările verticale pot fi separate de cele orizontale, iar starea unui astfel de sistem poate fi descrisă prin mai multe sisteme de ecuații pentru apele de mică adâncime.

Ecuații

Forma conservatoare

Ecuațiile de apă puțin adâncă sunt derivate din ecuațiile de conservare a masei și a impulsului ( ecuațiile Navier-Stokes ), care sunt valabile pentru cazul general, inclusiv în situațiile în care condițiile de apă de mică adâncime nu sunt îndeplinite. Fără a lua în considerare forțele Coriolis , frecarea și vâscozitatea , ecuațiile iau forma:

{\begin{aligned}{\frac {\partial \eta }{\partial t)}+{\frac {\partial (\eta u)}{\partial x)}+{\frac {\partial (\eta v)}{\partial y))&=0\\[3pt]{\frac {\partial (\eta u)}{\partial t))+{\frac {\partial }{\partial x }}\left(\eta u^{2}+{\frac {1}{2}}g\eta ^{2}\right)+{\frac {\partial (\eta uv)}{\partial y }}&=0\\[3pt]{\frac {\partial (\eta v)}{\partial t}}+{\frac {\partial (\eta uv)}{\partial x}}+{\ frac {\partial }{\partial y}}\left(\eta v^{2}+{\frac {1}{2}}g\eta ^{2}\right)&=0.\end{aliniat }}

Formă neconservativă

Ecuațiile pot fi scrise pentru viteze. Deoarece vitezele nu fac parte din legile fundamentale de conservare, aceste ecuații nu descriu fenomene precum lovirea de berbec sau saltul hidraulic .

{\begin{aligned}{\frac {Du}{Dt}}-fv&=-g{\frac {\partial \eta }{\partial x}}-bu,\\[3pt]{\frac {Dv}{Dt))+fu&=-g{\frac {\partial \eta }{\partial y))-bv,\\[3pt]{\frac {\partial \eta }{\partial t)) &=-{\frac {\partial }{\partial x)){\Bigl (}u\left(H+\eta \right){\Bigr )}-{\frac {\partial }{\partial y)) {\Bigl (}v\left(H+\eta \right){\Bigr )},\end{aliniat))

Unde

$u$	este viteza de-a lungul axei x ;
$v$	este viteza de-a lungul axei y ;
$H$	este înălțimea medie a suprafeței lichidului;
$\eta$	— abaterea presiunii în plan orizontal de la valoarea medie;
$g$	- accelerarea gravitației;
$f$	este parametrul Coriolis egal pe Pământ $2\Omega \sin \varphi ;$
$\Omega$	este viteza unghiulară de rotație a Pământului în jurul axei sale ( radiani /oră); $\pi /12$
$\varphi$	- latitudine geografică;
$b$	este coeficientul de rezistență la vâscos.

Aplicații de simulare

Ecuațiile de apă puțin adâncă pot fi aplicate pentru a simula undele Rossby și Kelvinîn atmosferă, râuri, lacuri, oceane și corpuri de apă mai mici, cum ar fi piscinele. Pentru ca aplicarea ecuațiilor de apă mică să fie corectă, dimensiunile orizontale ale zonei de apă trebuie să fie semnificativ mai mari decât adâncimea. Ecuațiile apelor de mică adâncime sunt, de asemenea, potrivite pentru modelarea mareelor. Mișcarea mareelor, care are scări orizontale de sute de kilometri, poate fi considerată fenomene de apă puțin adâncă, chiar dacă apar pe mulți kilometri de adâncimi oceanice.

Vezi și

metoda Wolzinger

Note

↑ David A. Randall. The Shallow Water Equations (engleză) (link indisponibil) (6 iulie 2006). Preluat la 17 decembrie 2011. Arhivat din original la 6 septembrie 2012.

Literatură

Temam R. Ecuații Navier-Stokes. Teorie și analiză numerică. - Ed. a II-a. — M .: Mir, 1981. — 408 p.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Hidrodinamică. - Ediția a IV-a, stereotip. — M .: Nauka , 1988. — 736 p. - (" Fizica teoretică ", Volumul VI).
Kutepov A. M., Sterman L. S., Styushin N. G. Hidrodinamică și transfer de căldură în timpul vaporizării. - ed. a III-a, Ap. - M . : Şcoala superioară, 1986. - 448 p.
Kutepov A. M., Polyanin A. D., Zapryanov Z. D., Vyazmin A. V., Kazenin D. A. Hidrodinamică chimică. - M. : Quantum, 1996. - 336 p. - 1500 de exemplare.

Bulatov O. V., Elizarova T. G. Ecuații de apă de mică adâncime regulate și o metodă eficientă pentru simularea numerică a curenților în corpurile de apă de mică adâncime // Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2011. - T. 51 , nr. 1 . — S. 170–184 .

Elizarova T. G., Zlotnik A. A., Nikitina O. V. Modelarea debitelor de apă puțin adânci unidimensionale pe baza ecuațiilor regularizate . M. V. Keldysh. 2011. Nr 33. 36 p.

ZI Fedotova, GS Khakimzyanov Ierarhia ecuațiilor de apă mică: derivație, studiu, algoritmi de calcul . Conferința internațională „Tehnologii matematice și informaționale, MIT-2011”.

AS Petrosyan Capitole suplimentare ale hidrodinamicii unui fluid greu cu o limită liberă . IKI RAN, M., 2010, 128 p.

Link -uri

Lucrări originale de Navier, Poisson, Saint-Venant, Stokes, dedicate derivării ecuațiilor de mișcare ale unui fluid vâscos
https://web.archive.org/web/20120216051853/http://physics.nmt.edu/~raymond/classes/ph332/notes/shallowgov/shallowgov.pdf - derivarea ecuațiilor de apă mică din principii generale (în loc de simplificarea ecuațiilor Navier-Stokes), câteva soluții analitice.

Fizică matematică

Tipuri de ecuații

Condiții de frontieră

Ecuații ale fizicii matematice

Difuzie și convecție	Ecuația căldurii Ecuația de difuzie Ecuația Mason-Weaver
Hidrodinamică	Ecuația de transfer Ecuații Navier-Stokes Ecuația lui Euler Ecuația Gromeka-Lamb Ecuația vortexului Ecuația burgerii Ecuații pentru apă puțin adâncă Ecuația Korteweg-de Vries
Electromagnetism	Ecuațiile lui Maxwell Ecuația Helmholtz Ecuația Landau-Lifshitz Ecuația Poisson ecranată
Mecanica cuantică	Ecuația Schrödinger Ecuația Heisenberg Ecuația Rarita-Schwinger Ecuația lui Hartree Ecuația lui Dirac Ecuația Klein-Gordon
Modele generale	Ecuația de continuitate ecuația de undă Ecuația Fokker-Planck Ecuația Poisson

Metode de rezolvare

Metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale

Metode grilă

Metode cu elemente finite	Metoda elementului finit metoda Galerkin Metoda Galerkin discontinuă Metoda cu elemente finite la scară multiplă Metoda multigrid
Alte Metode	Metoda diferențelor finite Metoda volumului finit metoda lui Godunov Metoda elementului de limită

Metode non-grilă

Studiul ecuațiilor

subiecte asemănătoare