Vector (geometrie)

Un vector este un segment direcționat al unei linii drepte, adică un segment pentru care se indică care dintre punctele sale limită este începutul și care este sfârșitul [1] .

Un vector care începe într-un punct și se termină într-un punct este de obicei notat ca . Vectorii pot fi indicați și prin litere mici latine cu o săgeată (uneori o liniuță) deasupra lor, de exemplu . O altă notație comună este să scrieți caracterul vectorial cu caractere aldine: . $A$ $B$ $\overrightarrow {AB}$ ${\vec {a}}$ ${\mathbf {a}}$

Un vector în geometrie este asociat în mod natural cu un transfer ( transfer paralel ), ceea ce clarifică în mod evident originea numelui său ( vector lat. , purtător ). Deci, fiecare segment direcționat definește în mod unic un fel de translație paralelă a planului sau spațiului: să zicem, vectorul determină în mod natural translația, în care punctul merge la punctul , și invers, translația paralelă, în care merge la , definește un singur segment direcționat (singurul - dacă considerăm egale toate segmentele direcționate de aceeași direcție și lungime - adică le considerăm vectori liberi ; într-adevăr, cu transfer paralel, toate punctele sunt deplasate în aceeași direcție cu aceeași distanță , deci în acest sens ). $\overrightarrow {AB}$ $A$ $B$ $A$ $B$ $\overrightarrow {AB}$ $\overrightarrow {A_{1}B_{1}}=\overrightarrow {A_{2}B_{2}}=\overrightarrow {A_{3}B_{3}}=\puncte$

Interpretarea unui vector ca traducere ne permite să introducem operația de adăugare a vectorului într-un mod natural și intuitiv evident - ca o alcătuire (aplicare succesivă) a două (sau mai multe) traduceri; același lucru este valabil și pentru operația de înmulțire a unui vector cu un număr.

Concepte de bază

Un vector este un segment direcționat construit din două puncte, dintre care unul este considerat început, iar celălalt sfârșit.

Coordonatele vectoriale sunt definite ca diferența dintre coordonatele punctelor sale de sfârșit și de început. De exemplu, pe planul de coordonate, dacă sunt date coordonatele începutului și sfârșitului: și , atunci coordonatele vectorului vor fi: . $T_{1}=(x_{1},y_{1})$ $T_{2}=(x_{2},y_{2})$ ${\overrightarrow {V}}=T_{2}-T_{1}=(x_{2},y_{2})-(x_{1},y_{1})=(x_{2} -x_{1},y_{2}-y_{1})$

Lungimea unui vector este distanța dintre două puncte și , este de obicei notat ${\overrightarrow {V}}$ $T_{1}$ $T_{2}$ $|{\overrightarrow {V}}|=|T_{2}-T_{1}|=|(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})|={ \sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$

Rolul zero între vectori îl joacă vectorul zero , al cărui început și sfârșit coincid ; lui, spre deosebire de alți vectori, nu i se atribuie nicio direcție [2] . $T_{1}=T_{2}$

Pentru reprezentarea în coordonate a vectorilor, conceptul de proiecție a unui vector pe o axă (linie direcționată, vezi figura) este de mare importanță . Proiecția este lungimea segmentului format din proiecțiile punctelor începutului și sfârșitului vectorului pe o linie dreaptă dată, iar proiecției i se atribuie un semn plus dacă direcția proiecției corespunde direcției axei. , în caz contrar - un semn minus. Proiecția este egală cu lungimea vectorului original înmulțită cu cosinusul unghiului dintre vectorul original și axă; proiecția vectorului pe axa perpendiculară pe acesta este egală cu zero.

Aplicații

Vectorii sunt folosiți pe scară largă în geometrie și științe aplicate, unde sunt folosiți pentru a reprezenta mărimi care au direcție (forțe, viteze etc.). Utilizarea vectorilor simplifică o serie de operații - de exemplu, determinarea unghiurilor dintre linii drepte sau segmente, calcularea ariilor figurilor . În grafica computerizată, vectorii normali sunt utilizați pentru a crea iluminarea corectă pentru un corp. Folosirea vectorilor poate sta la baza metodei coordonatelor .

Tipuri de vectori

Uneori, în loc să considerăm ca vectori mulțimea tuturor segmentelor dirijate (considerând ca fiind diferite toate segmentele dirijate ale căror începuturi și sfârșituri nu coincid), se ia doar o anumită modificare a acestei mulțimi ( mulțimea factorilor ), adică unele segmente dirijate sunt considerate egale dacă au aceeași direcție și lungime, deși pot avea un început (și sfârșit) diferit, adică segmentele direcționate de aceeași lungime și direcție sunt considerate a reprezenta același vector; astfel, fiecare vector se dovedește a corespunde unei întregi clase de segmente direcționate, identice ca lungime și direcție, dar diferiți ca început (și sfârșit).

Așadar, ei vorbesc despre vectori „liberi” , „glisante” și „fixați” . Aceste tipuri diferă prin conceptul de egalitate a doi vectori.

Apropo de vectori liberi, se identifică orice vector care are aceeași direcție și lungime;
vorbind de vectori de alunecare, ei adaugă că începuturile vectorilor de alunecare egali trebuie să coincidă sau să se afle pe aceeași linie dreaptă, pe care se află segmentele direcționate reprezentând acești vectori (astfel încât unul să poată fi combinat cu o altă deplasare în direcția pe care o stabilește ea însăși). );
vorbind de vectori fix, ei spun că numai vectorii care au aceeași direcție și origine sunt considerați egali (adică în acest caz nu există factorizare: nu există doi vectori fiși cu origini diferite care să fie considerați egali).

Oficial:

Ei spun că vectorii liberi și sunt egali dacă există puncte și astfel încât patrulatere și sunt paralelograme . $\overrightarrow {AB}$ $\\overrightarrow {CD}$ $E$ $F$ $ABFE$ $CDFE$

Vectorii de alunecare și se spune că sunt egali dacă $\overrightarrow {AB}$ $\\overrightarrow {CD}$

punctele sunt pe aceeași linie $A,B,C,D$
vectori și sunt egale între ele ca vectori liberi. $\overrightarrow {AB}$ $\\overrightarrow {CD}$

Vectorii de alunecare sunt utili în special în mecanică . Cel mai simplu exemplu de vector de alunecare în mecanică este o forță care acționează asupra unui corp rigid. Transferarea originii vectorului forță de-a lungul dreptei pe care se află nu modifică momentul forței în jurul niciunui punct; transferul acestuia pe o altă linie dreaptă, chiar dacă nu modificați mărimea și direcția vectorului, poate provoca o modificare a momentului său (chiar și aproape întotdeauna va face): prin urmare, atunci când calculați momentul, nu puteți considera forța ca fiind liberă. vector, adică nu îl puteți considera aplicat unui punct arbitrar al unui corp solid.

Spunem că vectorii fix și sunt egali dacă punctele și și și coincid în perechi . $\overrightarrow {AB}$ $\\overrightarrow {CD}$ $A$ $C$ $B$ $D$

Într-un caz, un segment direcționat se numește vector, iar în alte cazuri, diferiți vectori sunt diferite clase de echivalență de segmente direcționate, definite de o relație de echivalență specifică . Mai mult, relația de echivalență poate fi diferită, determinând tipul vectorului („liber”, „fix”, etc.). Mai simplu spus, în cadrul unei clase de echivalență, toate segmentele direcționate incluse în ea sunt tratate ca perfect egale și fiecare poate reprezenta în mod egal întreaga clasă.

Toate operațiile pe vectori (adunare, înmulțire cu un număr, produse scalare și vectoriale, calculul modulului sau lungimii, unghiul dintre vectori etc.) sunt în principiu definite la fel pentru toate tipurile de vectori, diferența de tipuri se reduce în în acest sens numai în ceea ce privește vectorii alunecoși și fiși, se impune o restricție asupra posibilității de a efectua operații între doi vectori care au origini diferite (de exemplu, pentru doi vectori fiși, adăugarea este interzisă - sau lipsită de sens - dacă începuturile lor diferă; totuși , pentru toate cazurile în care această operație este permisă - sau are semnificație este aceeași ca pentru vectorii liberi). Prin urmare, adesea tipul unui vector nu este deloc indicat în mod explicit, se presupune că este evident din context. Mai mult, același vector, în funcție de contextul problemei, poate fi considerat fix, alunecant sau liber, de exemplu, în mecanică, vectorii forțelor aplicate unui corp pot fi însumați indiferent de punctul de aplicare la găsirea rezultată în studiul mișcării centrului de masă, modificări ale impulsului etc.), dar nu pot fi adăugate între ele fără a lua în considerare punctele de aplicare la calcularea cuplului (și în statică și dinamică).

Relații între vectori

Doi vectori sunt numiți coliniari dacă se află pe drepte paralele sau pe aceeași linie. Se spune că doi vectori sunt codirecționali dacă sunt coliniari și punctează în aceeași direcție, direcționați opus dacă sunt coliniari și punctează în direcții diferite. Există o altă definiție: doi vectori nenuli și se numesc coliniari dacă există un număr astfel încât [3] Trei vectori se numesc coplanari dacă ei, reducându-se la o origine comună, se află în același plan [3] . ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ $\alfa$ ${\vec {a}}=\alpha {\vec {b}}$

Reprezentarea coordonatelor

Când se lucrează cu vectori, este adesea introdus un anumit sistem de coordonate carteziene și coordonatele vectorului sunt determinate în el, descompunându-l în vectori de bază . Expansiunea în termeni de bază poate fi reprezentată geometric folosind proiecții ale vectorului pe axele de coordonate. Dacă sunt cunoscute coordonatele începutului și sfârșitului vectorului, coordonatele vectorului însuși se obțin scăzând coordonatele începutului său din coordonatele sfârșitului vectorului.

\overrightarrow {AB}=(AB_{x},AB_{y},AB_{z})=(B_{x}-A_{x},B_{y}-A_{y},B_{z}-A_ {z})

Pentru bază, vectorii de coordonate sunt adesea aleși , notați , respectiv, cu axele . Atunci vectorul poate fi scris ca ${\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}$ $x,y,z$ ${\vec {a}}$

{\vec {a}}=a_{x}{\vec {i}}+a_{y}{\vec {j}}+a_{z}{\vec {k}}

Orice proprietate geometrică poate fi scrisă în coordonate, după care studiul din geometric devine algebric și, în același timp, este adesea simplificat. Reversul, în general, nu este în întregime adevărat: se obișnuiește să se spună [4] că numai acele relații care sunt valabile în orice sistem de coordonate carteziene ( invariant ) au o „interpretare geometrică”.

Operații pe vectori

Modulul vectorial

Modulul unui vector este un număr egal cu lungimea segmentului . Desemnat ca . Pentru un vector tridimensional într-un sistem de coordonate carteziene, acesta poate fi calculat ca: $\overrightarrow {AB}$ $AB$ $|\overrightarrow {AB}|$

|{\vec {a}}|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}

Adăugarea vectorului

În reprezentarea în coordonate, vectorul sumă se obține prin însumarea coordonatelor corespunzătoare ale termenilor:

{\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y},a_{z}+b_{z})

Sunt folosite diverse reguli (metode) pentru a construi vectorul sumă în mod geometric , dar toate dau același rezultat. Folosirea acestei sau acelei reguli este justificată de problema rezolvată. ${\vec {c}}={\vec {a}}+{\vec {b}}$

Regula triunghiului

Regula triunghiului rezultă cel mai firesc din înțelegerea unui vector ca translație. Este clar că rezultatul aplicării succesive a două transferuri și un anumit punct va fi același cu aplicarea unui transfer deodată corespunzător acestei reguli. Pentru a adăuga doi vectori și conform regulii triunghiului , ambii acești vectori sunt transferați paralel cu ei înșiși, astfel încât începutul unuia dintre ei să coincidă cu sfârșitul celuilalt. Apoi vectorul sumă este dat de a treia latură a triunghiului format, iar începutul său coincide cu începutul primului vector, iar sfârșitul cu sfârșitul celui de-al doilea vector. ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {a}}+{\vec {b}}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$

Această regulă este generalizată direct și natural la adăugarea oricărui număr de vectori, transformându-se în regula liniei întrerupte :

Regula celor trei puncte

Dacă un segment reprezintă un vector și un segment reprezintă un vector , atunci segmentul reprezintă un vector . ${\overrightarrow {AB}}$ ${\vec {a}}$ ${\overrightarrow {BC}}$ ${\vec {b)}$ ${\overrightarrow {AC}}$ ${\vec {a}}+{\vec {b}}$

Regula poligonului

Începutul celui de-al doilea vector coincide cu sfârșitul primului, începutul celui de-al treilea - cu sfârșitul celui de-al doilea și așa mai departe, suma vectorilor este un vector, începutul coincide cu începutul primului iar sfârșitul coincide cu sfârșitul --lea (adică este reprezentat de un segment direcționat care închide linia întreruptă) . Denumită și regula liniei întrerupte. $n$ $n$

Regula paralelogramului

Pentru a adăuga doi vectori și conform regulii paralelogramului , ambii acești vectori sunt transferați paralel cu ei înșiși, astfel încât originile lor să coincidă. Atunci vectorul sumă este dat de diagonala paralelogramului construit pe ele, provenind de la originea lor comună. (Este ușor de observat că această diagonală este aceeași cu a treia latură a triunghiului atunci când se folosește regula triunghiului). ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$

Regula paralelogramului este deosebit de convenabilă atunci când este nevoie de a descrie vectorul sumă atașat imediat la același punct de care sunt atașați ambii termeni - adică de a descrie toți cei trei vectori având o origine comună.

Modulul sumei a doi vectori poate fi calculat folosind teorema cosinusului :

|{\vec {a}}+{\vec {b}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}+ 2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos({\vec {a}},{\vec {b}})

, unde este cosinusul unghiului dintre vectorii și .

\cos({\vec {a)],{\vec {b)))

{\vec {a}}

{\vec {b}}

Dacă vectorii sunt desenați în conformitate cu regula triunghiului și se ia un unghi conform figurii - între laturile triunghiului - care nu coincide cu definiția obișnuită a unghiului dintre vectori și, prin urmare, cu unghiul din cele de mai sus formula, atunci ultimul termen capătă semnul minus, care corespunde teoremei cosinusului în formularea sa directă.

Pentru suma unui număr arbitrar de vectori se aplică o formulă similară, în care există mai mulți termeni cu cosinus: există un astfel de termen pentru fiecare pereche de vectori din mulțimea însumată. De exemplu, pentru trei vectori, formula arată astfel:

|{\vec {a}}+{\vec {b}}+{\vec {c}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b } }}|^{2}+|{\vec {c}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos({\vec {a } },{\vec {b)))+2|{\vec {a}}||{\vec {c}}|\cos({\vec {a}},{\vec {c}}) + 2|{\vec {b}}||{\vec {c}}|\cos({\vec {b}},{\vec {c}}).

Scădere vectorială

Pentru a obține diferența în formă de coordonate, scădeți coordonatele corespunzătoare ale vectorilor:

{\vec {a}}-{\vec {b}}=(a_{x}-b_{x},a_{y}-b_{y},a_{z}-b_{z})

Pentru a obține un vector diferență , începuturile vectorilor sunt conectate și începutul vectorului va fi sfârșitul lui , iar sfârșitul va fi sfârșitul lui . Dacă este scris folosind puncte de vectori, atunci . ${\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}$ ${\vec {c}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {a}}$ $\overrightarrow {AC}-\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {BC}$

Modulul de diferență al vectorilor

Trei vectori , ca în plus, formează un triunghi, iar expresia pentru modulul diferenței este similară: ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {a}}-{\vec {b}}$

|{\vec {a}}-{\vec {b}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}- 2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos({\vec {a}},{\vec {b}}),

unde este cosinusul unghiului dintre vectori și $\cos({\vec {a)],{\vec {b)))$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}).$

Diferența față de formula modulului de sumă din semnul din fața cosinusului, în timp ce este necesar să monitorizați cu atenție ce unghi este luat (varianta formulei de modul de sumă cu unghiul dintre laturile triunghiului, atunci când este însumat conform regula triunghiului, nu diferă ca aspect de această formulă pentru modulul diferenței, dar trebuie să aveți în vedere că aici se iau unghiuri diferite: în cazul sumei, unghiul este luat atunci când vectorul este transferat la sfârșitul vector , când se caută modulul diferenței, se ia unghiul dintre vectorii atașați unui punct; expresia pentru modulul sumei folosind același unghi ca și în expresia dată pentru modulul diferenței, diferă prin semn în fața cosinusului). ${\vec {b}}$ ${\vec {a}}$

Înmulțirea unui vector cu un număr

Înmulțirea unui vector cu un număr dă un vector codirecțional cu o lungime de ori mai mare. Înmulțirea unui vector cu un număr dă un vector direcționat opus cu o lungime de ori mai mare. Înmulțirea unui vector cu un număr sub formă de coordonate se face prin înmulțirea tuturor coordonatelor cu acel număr: ${\vec {a}}$ $\alpha >0$ $\alfa$
${\vec {a}}$ $\alpha<0$ $|\alpha |$

\alpha {\vec {a}}=(\alpha a_{x},\alpha a_{y},\alpha a_{z})

Pe baza definiției, se obține o expresie pentru modulul vectorului înmulțit cu un număr:

|\alpha {\vec {a}}|=|\alpha ||{\vec {a}}|

La fel ca în cazul numerelor, operațiile de adăugare a unui vector la el însuși pot fi scrise ca înmulțire cu un număr:

{\vec {a}}+{\vec {a}}=2{\vec {a}}

Și scăderea vectorilor poate fi rescrisă prin adunare și înmulțire:

{\vec {a}}-{\vec {b}}={\vec {a}}+(-{\vec {b}})

Pe baza faptului că înmulțirea cu nu modifică lungimea vectorului, ci schimbă doar direcția și, având în vedere definiția vectorului, obținem: $-unu$

-\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {BA}

Produsul punctual al vectorilor

Pentru vectorii geometrici, produsul scalar este definit prin caracteristicile lor geometrice și se introduce după cum urmează:

{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos({\vec {a}},{\vec { b))

Aici, pentru a calcula cosinusul, se ia unghiul dintre vectori, care este definit ca mărimea unghiului format de vectori, dacă îi aplicați într-un punct (combinați începuturile lor).

Această expresie poate fi rescrisă în termeni de coordonate (aici, formula pentru spațiul tridimensional):

{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}

Pătratul scalar al unui vector este produsul său scalar cu el însuși și poate fi calculat prin modulul vectorului:

{\vec {a}}^{2}={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=|{\vec {a}}|^{2}

Produsul încrucișat al vectorilor

Un vector produs al doi vectori și este un vector care este ortogonal cu planul vectorilor și , lungimea sa este egală cu aria paralelogramului format de vectori, iar direcția este determinată de regula mâinii drepte . ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$

Produs mixt al vectorilor

Produsul mixt a trei vectori este un număr definit după cum urmează: ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$

({\vec {a)),{\vec {b)],{\vec {c)))={\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c }})

Modulul acestei valori dă volumul paralelipipedului construit pe vectori . ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$

Vezi și

Literatură

Vygodsky M. Ya. Manual de matematică elementară . — M .: Nauka, 1978.
- Reeditare: Ed. AST, 2003, ISBN 5-17-009554-6 .
Bashmakov M. Ce este un vector? // Quantum . - 1976. - Nr 4 . - S. 2-5 . (Rusă)
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Matematică elementară. Repetă cursul. - Ediția a treia, stereotipă. — M .: Nauka, 1976. — 591 p.

Note

↑ Atanasyan L. S. , Butuzov V. F. , Kadomtsev S. B. , Poznyak E. G. , Yudina I. I. Geometrie clasele 7-9. - Moscova: Educație, 2010. - 384 p. — ISBN 978-5-09-023915-8 .
↑ Matematică elementară, 1976 , p. 249..
↑ 1 2 Vygodsky M. Ya. Manual de matematică superioară. - Moscova: Astrel, 2006. - 991 p. - ISBN 5-271-03651-0 .
↑ Această declarație este evident într-o oarecare măsură condiționată, deoarece un anumit sistem de coordonate fix, dacă se dorește, poate fi inclus în mod explicit în numărul de obiecte pentru care sunt stabilite relații, iar apoi declarațiile algebrice pentru acest sistem de coordonate fix pot fi reformulate astfel că sunt invariante în înregistrările din orice alt sistem de coordonate arbitrar.

Vectori și matrici

Vectori

Noțiuni de bază	Vector în geometrie Bază Baza ortogonala Coordonatele vectoriale Coliniaritate Ortogonalitatea Dependență liniară Spațiu coloane
Tipuri de vectori	Vector unitar Vector axial vector izotrop Normal Coliniaritate Vector zero Vector rază Vector propriu
Operații pe vectori	Produs scalar produs vectorial produs mixt Produs pseudoscalar Produs dublu cruce
Tipuri de spațiu	spațiu vectorial spatiu afin Spațiul euclidian Spațiul pseudo-euclidian Spațiu normat Spațiul Minkowski

matrici

Noțiuni de bază	Înmulțirea matricei Matrice transpusă Matricea conjugată hermitiană Matricea simetrică matrice inversă Valoare proprie Polinom caracteristic al unei matrice
Matrici speciale	Matrice de identitate Matrice zero Matricea diagonală matricea lambda
Descompuneri de matrice	descompunerea LU Descompunerea Cholesky Descompunerea QR Descompunerea LUP descompunerea unei valori singulare Descompunerea spectrală a unei matrice

Alte