Shapley Vector

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 25 februarie 2017; verificările necesită 6 modificări .

Vectorul Shapley este principiul repartizării optime a profitului între jucători în problemele teoriei jocurilor cooperative . Este o distribuție în care câștigul fiecărui jucător este egal cu contribuția medie a acestuia la bunăstarea coaliției totale în cadrul unui anumit mecanism de formare a acesteia. Numit după economistul și matematicianul american Lloyd Shapley .

Definiție formală

Pentru un joc de cooperare, luați în considerare o anumită ordine a setului de jucători . Se notează prin subsetul care conține primii jucători din ordinea dată. Contribuția celui de-al-lea jucător este valoarea , unde este funcția caracteristică jocului cooperativ. $N$ $K_{i}$ $i$ $i$ $v(K_{i})-v(K_{i-1})$ $v$

Vectorul Shapley al unui joc cooperativ este o astfel de distribuție a plăților în care fiecare jucător primește așteptarea matematică a contribuției sale la coalițiile corespunzătoare , cu o apariție equiprobabilă a ordonanțelor: $K_{i}$

\Phi (v)={\frac {1}{n!)}}\sum _{\tau \in T}x_{\tau},

unde este numărul de jucători, este setul de ordonanțe ale setului de jucători , este distribuția plăților în care jucătorul care stă nemișcat în ordonare primește contribuția sa la coaliție ( punct Weber ). $n$ $T$ $N,\ x_{\tau }$ $i$ $\tau$ $K_{i}$

O formulă mai comună pentru calcularea vectorului Shapley, care nu necesită găsirea punctelor Weber, este: $n!$

\Phi (v)_{i}=\sum _{i\in K}{\frac {(k-1)!(nk)!}{n!)}}\left(v(K) - v(K\setminus i)\dreapta),

unde este numărul de jucători, este numărul de membri ai coaliției . $n$ $k$ $K$

Shapley vector axiomatics

Vectorul Shapley satisface următoarele proprietăți :

1. Linearitate. Maparea este un operator liniar , adică pentru oricare două jocuri cu funcții caracteristice și $\Phi (v)$ $v$ $w$

\Phi (v+w)=\Phi (v)+\Phi (w);

și pentru orice joc cu o funcție caracteristică și pentru orice $v$ $\alfa$

\Phi (\alpha v)=\alpha \Phi (v).

2. Simetrie. Câștigurile primite de jucător nu depind de numărul său. Aceasta înseamnă că, dacă un joc este obținut dintr-un joc prin permutarea jucătorilor, atunci vectorul său Shapley este un vector cu elemente permutate corespunzător. $w$ $v$ $\Phi (w)$ $\Phi (v)$

3. Axioma sanului. Un prost în teoria jocurilor cooperative este un jucător inutil care nu contribuie la nicio coaliție, adică un jucător astfel încât pentru orice coaliție care conține , este adevărat: . $i$ $K$ $i$ $v(K)-v(K\setminus i)=0$

Axioma dummy este că, dacă jucătorul este un dummy, atunci . $i$ $\Phi (v)_{i}=0$

4. Eficiență. Vectorul Shapley face posibilă distribuirea completă a bogăției disponibile coaliției totale, adică suma componentelor vectoriale este egală cu . $\Phi (v)$ $v(N)$

Teorema lui Shapley. Pentru orice joc de cooperare , există o distribuție unică a plăților care satisface axiomele 1–4, date de formula de mai sus. $v$

Literatură

Vasin A. A., Morozov V. V. Teoria jocurilor și modelele economiei matematice - M.: MGU, 2005, 272 p.
Vorobyov N. N. Teoria jocurilor pentru economiști în cibernetică - M .: Nauka, 1985
Mazalov V.V. Teoria și aplicațiile jocurilor matematice - Editura Lan, 2010, 446 p.
Petrosyan L. A., Zenkevich N. A., Shevkoplyas E. V. Teoria jocurilor - Sankt Petersburg: BHV-Petersburg, 2012, 432 p.
Pechersky S. L., Yanovskaya E. B. Jocurile cooperative: soluții și axiome - Editura Universității Europene din Sankt Petersburg, 2004, 459 p.

Vezi și

Teoria jocului
Noțiuni de bază	Cunoaștere comună și comună Jucător Ierarhia credințelor Amplificare irațională Strategie ( dominanță ) Inductie inversa
Tipuri de jocuri	Simultan , secvenţial şi repetitiv Non -cooperativ și cooperant Cu informații complete , incomplete , perfecte și imperfecte În formă normală și extinsă Antagonist Diferenţial Stochastic Bătălia sexelor Vânătoarea de căprioare
Concepte de soluție	Dominanța riscului Echilibrul corelat Echilibrul unei mâini tremurânde Echilibru Nash Echilibru perfect sub-joc Raționalizare Echilibrul secvenţial echilibru puternic Echilibrul propriu Strategie stabilă evolutiv Epsilon-echilibru Eficiența Pareto Nucleu
Exemple de jocuri	Dilema prizonierului Sarcina barului „El Farol” modelul Bertrand Modelul Cournot Modelul Stackelberg Orlyanka Tragedia resurselor partajate șoimi și porumbei
Teoria jocurilor epistemice Proiectarea mecanismului Diviziune corectă