Ecuație parabolică

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 13 aprilie 2019; verificarea necesită 1 editare .

Ecuațiile parabolice sunt o clasă de ecuații cu diferențe parțiale . Unul dintre tipurile de ecuații care descriu procese non-staționare .

Definiție

Luați în considerare forma generală a unei ecuații diferențiale parțiale scalare de ordinul doi în raport cu funcția : $u:R^{n}\rightarrow R$

\sum _{{i=1}}^{n}\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_ {i}\partial x_{j}}}+\sum _{{k=1}}^{n}b_{k}{\frac {\partial u}{\partial x_{k}}}+cu= f(x_{1},\ldots,x_{n})

În acest caz, ecuația se scrie într-o formă simetrică, adică: . Apoi, ecuația echivalentă sub forma unei forme pătratice : $a_{{ij}}=a_{{ji}}$

\left(\nabla A\nabla ^{T}\right)u+{\mathbf {b}}\cdot \nabla u+cu=f(x_{1},\ldots ,x_{n})

unde . Matricea se numește matricea coeficienților principali . Dacă semnătura formei rezultate este , adică matricea are o valoare proprie egală cu zero și valorile proprii au același semn, atunci ecuația este denumită tip parabolic [1] . O altă definiție echivalentă: o ecuație se numește parabolică dacă poate fi reprezentată ca: $A=A^{T}$
$A$
$(n-1,0)$ $A$ $n-1$

Lu+a{\frac {\partial u}{\partial t}}=f(x_{1},\ldots ,x_{{n-1}},t)

unde: este un operator eliptic , . $L$ $a \neq 0$

Rezolvarea ecuațiilor parabolice

Pentru a găsi o soluție unică, ecuația este luată în considerare împreună cu condițiile inițiale și la limită . Întrucât ecuația este de ordinul întâi în timp, condiția inițială este impusă de unul: asupra funcției dorite.

Pentru a găsi soluții la ecuații parabolice, inclusiv ecuații parabolice abstracte, pot fi utilizate metode ale teoriei semigrupurilor operatorilor .
Pentru rezolvarea analitică a ecuațiilor parabolice într-o regiune infinită ( problema Cauchy pentru o ecuație parabolice), se folosește o formulă integrală specială [2] .
Pentru soluția analitică a ecuațiilor parabolice într-o regiune finită, se poate aplica metoda Fourier de separare a variabilelor .
Pentru rezolvarea numerică a ecuațiilor parabolice se utilizează metoda elementelor finite , metoda diferențelor finite , metoda volumului finit , precum și combinațiile acestora și alte metode numerice adecvate problemei de rezolvat.

Principiul maxim

Pentru o ecuație parabolică de forma:

-a^{2}\Delta u+\partial _{t}u=0\ (x_{1},\ldots \,x_{{n-1}})\in \Omega

Soluția își ia valoarea maximă fie la , fie la limita regiunii . $u(x_{1},\ldots ,x_{{n-1}},t)$ $t=0$ $\Omega$

Exemple de ecuații parabolice

Ecuații care descriu procesele de convecție și difuzie , inclusiv ecuația de difuzie și cazul său special - ecuația de căldură .
Sistemul de ecuații Navier-Stokes care descrie mișcarea lichidelor și gazelor este un sistem de ecuații parabolice cu constrângeri divergente.
Pentru unele tipuri de medii, este posibil să se obțină ecuații parabolice în raport cu vectorii sau din ecuațiile lui Maxwell . [3] $\mathbf {A}$ $\mathbf {E}$

Vezi și

Note

↑ Tihonov A.N. , Samarsky A.A. Ecuații ale fizicii matematice (ed. a 5-a) - Moscova: Nauka, 1977.
↑ L.K. Martinson , Yu.I. Malov. Ecuații diferențiale ale fizicii matematice. - Moscova: MSTU numit după N.E. Bauman, 2002. - 368 p. — ISBN 5-7038-1270-4 .
↑ Soloveichik Yu.G. , Royak M.E. , Persova M.G. Metoda elementelor finite pentru probleme scalare și vectoriale. - Novosibirsk: NGTU, 2007. - 896 p. - ISBN 978-5-7782-0749-9 .

Fizică matematică

Tipuri de ecuații

Condiții de frontieră

Ecuații ale fizicii matematice

Difuzie și convecție	Ecuația căldurii Ecuația de difuzie Ecuația Mason-Weaver
Hidrodinamică	Ecuația de transfer Ecuații Navier-Stokes Ecuația lui Euler Ecuația Gromeka-Lamb Ecuația vortexului Ecuația burgerii Ecuații pentru apă puțin adâncă Ecuația Korteweg-de Vries
Electromagnetism	Ecuațiile lui Maxwell Ecuația Helmholtz Ecuația Landau-Lifshitz Ecuația Poisson ecranată
Mecanica cuantică	Ecuația Schrödinger Ecuația Heisenberg Ecuația Rarita-Schwinger Ecuația lui Hartree Ecuația lui Dirac Ecuația Klein-Gordon
Modele generale	Ecuația de continuitate ecuația de undă Ecuația Fokker-Planck Ecuația Poisson

Metode de rezolvare

Metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale

Metode grilă

Metode cu elemente finite	Metoda elementului finit metoda Galerkin Metoda Galerkin discontinuă Metoda cu elemente finite la scară multiplă Metoda Multigrid
Alte Metode	Metoda diferențelor finite Metoda volumului finit metoda lui Godunov Metoda elementului de limită

Metode non-grilă

Studiul ecuațiilor

subiecte asemănătoare