Ecuație eliptică

Ecuațiile eliptice sunt o clasă de ecuații cu diferențe parțiale care descriu procese staționare.

Definiție

Luați în considerare forma generală a unei ecuații diferențiale parțiale scalare de ordinul doi în raport cu funcția : $u:R^{n}\rightarrow R$

\sum _{{i=1}}^{n}\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_ {i}\partial x_{j}}}+\sum _{{k=1}}^{n}b_{k}{\frac {\partial u}{\partial x_{k}}}+cu= f(x_{1},\ldots,x_{n})

În acest caz, ecuația se scrie într-o formă simetrică, adică: . Apoi, ecuația echivalentă sub forma unei forme pătratice : $a_{{ij}}=a_{{ji}}$

\left(\nabla A\nabla ^{T}\right)u+{\mathbf {b}}\cdot \nabla u+cu=f(x_{1},\ldots ,x_{n})

unde . Matricea se numește matricea coeficienților principali . Dacă toate valorile proprii ale matricei au același semn, atunci ecuația este de tip eliptic [1] . O altă definiție echivalentă: o ecuație se numește eliptică dacă poate fi reprezentată ca: $A=A^{T}$
$A$
$A$

Lu=f(x_{1},\ldots ,x_{{n}})

unde este un operator eliptic . $L$

Ecuațiile eliptice sunt opuse celor parabolice și hiperbolice , deși această clasificare nu este exhaustivă.

Rezolvarea ecuațiilor eliptice

Pentru rezolvarea analitică a ecuațiilor eliptice în condiții la limită date , se utilizează metoda Fourier de separare a variabilelor , metoda funcției lui Green și metoda potențialului .

Exemple de ecuații eliptice

În fizica matematică , ecuațiile eliptice apar în probleme care se reduc doar la coordonate spațiale : fie nimic nu depinde de timp (procese staționare), fie este cumva exclus.

Ecuația lui Laplace și ecuația lui Poisson descriu diferite câmpuri fizice staționare.
Analog staționar al ecuației Schrödinger , când se presupune o dependență de timp armonică.
Ecuații derivate din ecuațiile lui Maxwell . Acestea sunt obținute din ipoteza că câmpul electromagnetic fie nu se modifică în timp, fie se modifică conform unei legi armonice. Una dintre ecuațiile obținute în baza unor astfel de ipoteze este ecuația Helmholtz .
Ecuația Stokes este un analog staționar al sistemului de ecuații Navier-Stokes , pentru un flux constant.

Precum și mulți alți analogi staționari ai ecuațiilor hiperbolice și parabolice.

Vezi și

Note

↑ Tihonov A.N. , Samarsky A.A. Ecuații ale fizicii matematice. - a 5-a ed. — Moscova: Nauka, 1977.

Fizică matematică

Tipuri de ecuații

Condiții de frontieră

Ecuații ale fizicii matematice

Difuzie și convecție	Ecuația căldurii Ecuația de difuzie Ecuația Mason-Weaver
Hidrodinamică	Ecuația de transfer Ecuații Navier-Stokes Ecuația lui Euler Ecuația Gromeka-Lamb Ecuația vortexului Ecuația burgerii Ecuații pentru apă puțin adâncă Ecuația Korteweg-de Vries
Electromagnetism	Ecuațiile lui Maxwell Ecuația Helmholtz Ecuația Landau-Lifshitz Ecuația Poisson ecranată
Mecanica cuantică	Ecuația Schrödinger Ecuația Heisenberg Ecuația Rarita-Schwinger Ecuația lui Hartree Ecuația lui Dirac Ecuația Klein-Gordon
Modele generale	Ecuația de continuitate ecuația de undă Ecuația Fokker-Planck Ecuația Poisson

Metode de rezolvare

Metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale

Metode grilă

Metode cu elemente finite	Metoda elementului finit metoda Galerkin Metoda Galerkin discontinuă Metoda cu elemente finite la scară multiplă Metoda Multigrid
Alte Metode	Metoda diferențelor finite Metoda volumului finit metoda lui Godunov Metoda elementului de limită

Metode non-grilă

Studiul ecuațiilor

subiecte asemănătoare