Harta corecta (teoria graficelor)

O hartă obișnuită este o placare simetrică a unei suprafețe închise . Mai precis, o hartă adecvată este o descompunere unei varietăți bidimensionale (cum ar fi o sferă , un tor sau un plan proiectiv real ) în discuri topologice, astfel încât fiecare steag (triplu incident vârf-margine-față) poate fi tradus în orice alt steag printr-o descompunere de transformare de simetrie . Hărțile regulate sunt, într-un sens, o generalizare topologică a poliedrelor regulate . Teoria hărților și clasificarea lor este legată de teoriile suprafețelor Riemann , geometria Lobachevsky și teoria Galois . Diagramele regulate sunt clasificate după genul lor de orientabilitate a suprafeței corespunzătoare, după graficul subiacent sau după automorfismul de grup .

Prezentare generală

Hărțile adecvate sunt de obicei definite și studiate în trei moduri: topologic, în termeni de teoria grupurilor și teoria grafurilor.

Abordare topologică

Din punct de vedere al topologiei, o hartă este o descompunere cu 2 celule a unei 2-variete compacte închise.

Genul g al hărții M este dat de relația Euler , care este egală cu , dacă harta este orientabilă și , dacă harta este neorientabilă. Circumstanța critică este faptul că există un număr finit (diferit de zero) de hărți corecte pentru orice gen orientabil, cu excepția torusului. $\chi (M)=|V|-|E|+|F|$ $2-2g$ $2-g$

Abordarea teoriei grupurilor

Din punctul de vedere al teoriei grupurilor de permutare, reprezentările unei hărți regulate M sunt un grup de permutare tranzitiv C pe mulțimea de steaguri generate de involuții libere cu trei puncte fixe care satisfac condiția . În această definiție, fețele sunt orbitele , muchiile sunt orbitele , iar vârfurile sunt orbitele . Mai abstract, automorfismul de grup al oricărei diagrame regulate este o imagine homomorfă nedegenerată a grupului de triunghi <2,m,n>. $\Omega$ ${\displaystyle r_{0},r_{1},r_{2))$ $(r_{0}r_{2})^{2}=I$ $F=\langle r_{0},r_{1}\rangle$ $E=\langle r_{0},r_{2}\rangle$ $V=\langle r_{1},r_{2}\rangle$

Abordarea teoriei grafurilor

Din punctul de vedere al teoriei grafurilor, o hartă este un grafic cubic cu muchii colorate în albastru, galben și roșu astfel încât să fie conectat, fiecare vârf este incident cu muchiile fiecărei culori, iar ciclurile de muchii necolorate în galben au lungimea 4. Rețineți că este un graf plan sau o hartă codificată în graf ( English graph-encoded map , GEM) a unei hărți, definită pe setul de steaguri ca vârfuri și nefiind un schelet G=(V,E) al Hartă. În cazul general . $\Gamma$ $\Gamma$ $\Gamma$ $\Omega$ $|\Omega |=4|E|$

Harta M este corectă dacă și numai dacă Aut(M) acționează în mod regulat asupra steagurilor. Aut( M ) al unei hărți obișnuite este tranzitivă pe vârfurile, muchiile și fețele lui M . O hartă M se spune a fi simetrică în oglindă dacă și numai dacă Aut( M ) este regulată și conține un automorfism care fixează atât vârfurile lui v , cât și fețele lui f , dar inversează direcția muchiilor. Se spune că o diagramă obișnuită care nu este simetrică în oglindă este chiral . $\phi$

Exemple

Marele dodecaedru este o hartă regulată cu fețe pentagonale pe o suprafață orientabilă din genul 4.
Semicubul este o hartă regulată de tip {4,3} pe planul proiectiv .
Semidodecaedrul este o hartă regulată generată de încorporarea pentagonală a graficului Petersen în planul proiectiv.
p- Osoedrul este o hartă obișnuită de tip {2,p}. Rețineți că osoedre în acest sens nu sunt poliedre abstracte . În special , ele nu satisfac proprietatea diamantului .
Harta Dyck este o hartă obișnuită de 12 octaedre pe o suprafață de genul 3. Graficul Dyck de la bază poate forma, de asemenea, o hartă regulată de 16 hexagoane pe un tor.

Tabelul de mai jos prezintă o listă completă de diagrame corecte pe suprafețe cu caracteristică Euler pozitivă , χ - sferă și plan proiectiv [1] .

χ	g	Schläfli	Vârfurile	coaste	chipuri	grup	Ordin	Grafic	Note
2	0	{p,2}	p	p	2	C 2 × Dihp _	4p _	Cp _	Diedru
2	0	{2,p}	2	p	p	C 2 × Dihp	4p _	p - ori K 2	Osohedron
2	0	{3,3}	patru	6	patru	S4 _	24	K4 _	Tetraedru
2	0	{4,3}	opt	12	6	C2 × S4 _	48	K4 × K2 _ _	cub
2	0	{3,4}	6	12	opt	C2 × S4 _	48	K 2,2,2	Octaedru
2	0	{5,3}	douăzeci	treizeci	12	C2 × A5 _ _	120		Dodecaedru
2	0	{3,5}	12	treizeci	douăzeci	C2 × A5 _	120	K6 × K2 _ _	icosaedru
unu	n1	{2p,2}/2	p	p	unu	Dih 2p _	4p _	Cp _	Semidiedru [2]
unu	n1	{2,2p}/2	2	p	p	Dih 2p _	4p _	p - ori K 2	Semihoseedru [2]
unu	n1	{4,3}/2	patru	6	3	S4 _	24	K4 _	Jumătate de cub
unu	n1	{3,4}/2	3	6	patru	S4 _	24	2x K 3	Semioctaedru
unu	n1	{5,3}/2	zece	cincisprezece	6	A5 _	60	Contele de Petersen	Semidodecaedru
unu	n1	{3,5}/2	6	cincisprezece	zece	A5 _	60	K6 _	Semiicozaedrul

Imaginile de mai jos arată trei dintre cele 20 de cărți obișnuite din triplul torus cu simbolurile lor Schläfli .

{6,4}
{4,8}
{8,4}

Poliedre toroidale

Exemple de mozaic

{4,4} 1,0 (v:1, e:2, f:1)	{4.4} 1.1 (v:2, e:4, f:2)	{4.4} 2.0 (v:4, e:8, f:4)	{4.4} 2.1 (v:5, e:10, f:5)	{4.4} 2.2 (v:8, e:16, f:8)
{3,6} 1,0 (v:1, e:3, f:2)	{3.6} 1.1 (v:3, e:9, f:6)	{3.6} 2.0 (v:4, e:8, f:8)	{3.6} 2.1 (v:7, e:21, f:14)	{3.6} 2.2 (v:12, e:36, f:24)
{6.3} 1.0 (v:2, e:3, f:1)	{6.3} 1.1 (v:6, e:9, f:3)	{6.3} 2.0 (v:8, e:8, f:4)	{6.3} 2.1 (v:14, e:21, f:7)	{6.3} 2.2 (v:24, e:36, f:12)

Hărțile regulate există ca poliedre toroidale sub formă de porțiuni finite de plăci euclidiene înfășurate în suprafața unui duocilindr ca un tor plat . Ele sunt etichetate ca {4,4} b , c când sunt asociate cu placarea pătrată {4,4} [3] , ca atunci când sunt asociate cu placarea triunghiulară {3,6} și ca {6,3 } b . c când este asociat cu placarea hexagonală {6,3}. Indicii b și c sunt numere întregi [4] . Există 2 cazuri speciale ( b ,0) și ( b , b ) cu simetrie în oglindă, deși există cazuri generale în perechi chirale ( b , c ) și ( c , b ). $\{3,6\}_{b,c}$

Hărțile regulate de forma {4,4} m ,0 pot fi reprezentate ca poliedre regulate finite {4,4| m }, înțeles ca fețele pătrate ale unui duoprism m × m în dimensiunea 4.

Mai jos este un exemplu de {4,4} 8,0 mapat de la o foaie plată de șah la un cilindru și apoi la un tor. Proiecția de la un cilindru la un tor distorsionează geometria în 3D, dar se poate face fără distorsiuni în 4D.

Hărți corecte cu caracteristica Euler zero [5]

g	Schläfli	Vârfurile	coaste	chipuri	grup	Ordin	Note
unu	{4,4} b ,0 n = b 2	n	2n _	n	[4,4] ( b ,0)	8n _	Poliedru toroidal plat La fel ca {4,4 \| b }
unu	{4,4} b , b n =2 b 2	n	2n _	n	[4,4] ( b , b )	8n _	Poliedru toroidal plat La fel ca trunchiat complet {4,4 \| b }
unu	{4,4} b , c n = b 2 + c 2	n	2n _	n	[4,4]+ ( b , c )	4n _	Poliedru toroidal chiral plan
unu	{3,6} b , 0 t = b 2	t	3 t	2 t	[3,6] ( b ,0)	12 t	Poliedru toroidal plat
unu	{3,6} b , b t =2 b 2	t	3 t	2 t	[3,6] ( b , b )	12 t	Poliedru toroidal plat
unu	{3,6} b , c t = b 2 + bc + c 2	t	3 t	2 t	[3,6]+ ( b , c )	6 t	Poliedru toroidal chiral plan
unu	{6,3} b , 0 t = b 2	2 t	3 t	t	[3,6] ( b ,0)	12 t	Poliedru toroidal plat
unu	{6,3} b , b t =2 b 2	2 t	3 t	t	[3,6] ( b , b )	12 t	Poliedru toroidal plat
unu	{6,3} b , c t = b 2 + bc + c 2	2 t	3 t	t	[3,6]+ ( b , c )	6 t	Poliedru toroidal chiral plan

În general, un politop toroidal obișnuit { p , q } b , c poate fi definit dacă p sau q sunt pari, deși un singur euclidian de mai sus poate exista ca politop toroidal în dimensiunea 4. În cazul lui {2 p , q } căile ( b , c ) pot fi definite ca o față-margine-față pe o linie, în timp ce în formele duale { p ,2 q }, căile ( b , c ) pot fi gândite ca un vârf-margine-vârf.

Vezi și

Note

↑ Coxeter, Moser, 1980 .
↑ 1 2 Carlo Paiete. Imersiuni simetrice ale hărților regulate neorientabile de genul scăzut . Universitatea Berkeley . Preluat la 5 martie 2020. Arhivat din original la 23 septembrie 2015. (nedefinit)
↑ Coxeter și Moser 1980 , p. 8.3 Hărți de tip {4,4} pe un tor.
↑ Coxeter și Moser 1980 , p. 8.4 Hărți de tip {3,6} pe un tor.
↑ Coxeter și Moser 1980 , p. Capitolul 8, Hărți obișnuite , 8.3 Hărți de tip {4,4} pe un tor, 8.4 Hărți de tip {3,6} sau {6,3} pe un tor.

Literatură

Coxeter HSM, Moser WOJ . — al 4-lea. - Springer Verlag, 1980. - Vol. 14. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete). - ISBN 978-0-387-09212-6 . Traducere:
- G.S.M. Coxeter, W.O.J. Moser. Elemente generatoare și definirea relațiilor de grupuri discrete / Traducere de V.A. Churkin, editat de Yu.I. Merzlyakova .. - Moscova: „Nauka” Ediția principală a literaturii fizice și matematice, 1980.
Jack van Wijk. Placarea simetrică a suprafețelor închise: vizualizarea hărților obișnuite // Proc. SIGGRAPH (Tranzacții ACM pe grafice). - 2009. - T. 28 , nr. 3 . - S. 12 . - doi : 10.1145/1531326.1531355 . Arhivat din original pe 9 iunie 2011.
Marston Conder, Peter Dobcsany. Determinarea tuturor hărților regulate ale genului mic // Journal of Combinatorial Theory, Seria B. - 2001. - V. 81 , nr. 2 . - S. 224-242 . - doi : 10.1006/jctb.2000.2008 .
Roman Nedela. Hărți, hiperhărți și subiecte conexe . — 2007.
Andrew Vince. Hărți // Manual de teorie a graficelor. — 2004.
Ulrich Brehm, Egon Schulte. Hărți poliedrice // Manual de geometrie discretă și computațională. — 2004.