Numerele Fibonacci

Numerele Fibonacci (ortografie - Fibonacci [2] ) - elemente ale unei secvențe numerice

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10941 , 10941, … în OEIS ),

în care primele două numere sunt 0 și 1, iar fiecare număr ulterior este egal cu suma celor două numere anterioare [3] . Numit după matematicianul medieval Leonardo din Pisa (cunoscut sub numele de Fibonacci ) [4] .

Adevărat, în unele cărți, mai ales în cele mai vechi[ ce? ] , termenul egal cu zero este omis — apoi șirul lui Fibonacci începe cu [5] [6] . $F_{0}$ $F_{1}=F_{2}=1$

Mai formal, succesiunea numerelor Fibonacci este dată de o relație liniară de recurență : $\{F_{n}\}$

F_{0}=0,\quad F_{1}=1,\quad F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2)

, unde .

\ n\geqslant 2,\n\in \mathbb {Z}

Uneori, numerele Fibonacci sunt considerate și pentru valori negative ca o secvență infinită cu două fețe care satisface aceeași relație de recurență. În consecință, termenii cu indici negativi sunt ușor de obținut folosind formula echivalentă „înapoi” : $n$ $F_{n}=F_{n+2}-F_{n+1}$

n	…	−10	−9	−8	−7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	0	unu	2	3	patru	5	6	7	opt	9	zece	…
$F_{n}$	…	−55	34	−21	13	−8	5	−3	2	−1	unu	0	unu	unu	2	3	5	opt	13	21	34	55	…

Este ușor să vezi că . $F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n)$

Origine

Secvența Fibonacci era bine cunoscută în India antică [7] [8] [9] , unde a fost folosită în științele metrice ( prozodie , cu alte cuvinte, versificare) mult mai devreme decât a devenit cunoscută în Europa [8] [10] [ 11] .

Un model de lungime n poate fi construit prin adăugarea S la un model de lungime n - 1 sau L la un model de lungime n - 2 - iar prozodiștii au arătat că numărul de modele de lungime n este suma celor două modele anterioare. numerele din succesiunea [9] . Donald Knuth discută acest efect în Arta programarii .

În Occident, această secvență a fost explorată de Leonardo din Pisa, cunoscut sub numele de Fibonacci , în lucrarea sa Cartea Abacului (1202) [12] [13] . El are în vedere dezvoltarea unei populații de iepuri idealizate (nerealiste din punct de vedere biologic), în care condițiile sunt următoarele: inițial i se dă o pereche de iepuri nou-născuți (mascul și femela); din a doua lună după naștere, iepurii încep să se împerecheze și să producă o nouă pereche de iepuri, de altfel, în fiecare lună; iepurii nu mor niciodată [14] [15] , și prezintă numărul de perechi de iepuri într-un an ca valoare dorită.

La începutul primei luni există un singur cuplu nou-născut (1) .
La sfârșitul primei luni, încă o singură pereche de iepuri, dar deja împerecheați (1).
La sfârșitul celei de-a doua luni, prima pereche dă naștere unei noi perechi și se împerechează din nou (2).
La sfârșitul celei de-a treia luni, prima pereche dă naștere unei alte perechi noi și se împerechează, a doua pereche doar se împerechează (3).
La sfârșitul lunii a patra, prima pereche dă naștere unei alte perechi noi și se împerechează, a doua pereche dă naștere unei noi perechi și se împerechează, a treia pereche doar se împerechează (5).

La sfârșitul lunii a treia, numărul de perechi de iepuri va fi egal cu numărul de perechi din luna precedentă plus numărul de perechi nou-născuți, care va fi același cu numărul de perechi de acum două luni, adică [16] . Este posibil ca această problemă să fi fost prima care a modelat creșterea exponențială a populației . $n$ $F_{n}=F_{n-2}+F_{n-1)$

Numele „secvență Fibonacci” a fost folosit pentru prima dată de teoreticianul secolului al XIX-lea Eduard Lucas [17] .

Formula lui Binet

Formula lui Binet exprimă în mod explicit valoarea în funcție de n : $F_{n}$

F_{n}={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\ varphi -(-\varphi )^{-1}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{2\varphi -1}},

unde - raportul de aur și și sunt rădăcinile ecuației caracteristice În general, o formulă similară există pentru orice succesiune liniară recurentă , care este șirul Fibonacci. $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ $\varphi$ $(-\varphi )^{-1}=1-\varphi$ $x^{2}-x-1=0.$

Motivație

[optsprezece]

Să transformăm ecuația caracteristică în forma, să înmulțim ambele părți cu : - și să înlocuim în această sumă cu , ceea ce putem face în virtutea ecuației caracteristice. Obținem Apoi continuăm să înmulțim cu și să transformăm , urmând ecuația inițială: $x^{2}-x-1=0$ $x^{2}=x+1,$ $X$ $x^{3}=x^{2}+x$ $x^{2}$ $x+1$ $x^{3}=x^{2}+x=(x+1)+x=2x+1.$ $X$ $x^{2}$

${\begin{aligned}x^{4}&=2x^{2}+x=2(x+1)+x=\\&=3x+2,\\x^{5}&= 3x^{2}+2x=3(x+1)+2x=\\&=5x+3,\\x^{6}&=5x^{2}+3x=5(x+1)+3x =\\&=8x+5,\\x^{7}&=8x^{2}+5x=8(x+1)+5x=\\&=13x+8,\\&\cdots \end {aliniat}}$

Astfel, se formează o ecuație generală: Pentru a transforma această ecuație într-o egalitate adevărată și de aici exprima numerele Fibonacci în sine, trebuie să înlocuiți rădăcinile și $x^{n}=F_{n}x+F_{n-1}.$ $\varphi$ $-\varphi ^{-1}\colon$

${\begin{cases}\varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1},\\(-\varphi )^{-n}=-F_{n}\varphi ^{-1}+F_{n-1},\end{cases}}$

$\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}=F_{n}[\varphi -(-\varphi )^{-1}],\qquad \varphi ^{n}+ (-\varphi )^{-n}\cdot \varphi ^{2}=F_{n-1}(1+\varphi ^{2}),$

$\color {Negru}{\tfrac {1}{\sqrt {5}}}\left(({\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}})^{n}- ({\tfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}})^{n}\right)=F_{n},\qquad {\tfrac {1}{\sqrt {5}}}\ stânga(({\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}})^{n-1}-({\tfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}})^ {n-1}\right)=F_{n-1}.$

Corolar și generalizare

Din formula Binet rezultă că pentru toate numărul este o rotunjire , adică, în special, pentru asimptotice $n\geqslant 0$ $F_{n}$ ${\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}},$ $F_{n}=\left\lfloor {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right\rceil .$ $n\la\infty$ $F_{n}\sim {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}.$

Formula lui Binet poate fi continuată analitic după cum urmează:

F_{z}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(\varphi ^{z}-{\frac {\cos {\pi z}}{\varphi ^{z}}} \dreapta).

În acest caz, relația este valabilă pentru orice număr complex z . $F_{z+2}=F_{z+1}+F_{z}$

Identități

$F_{1}+F_{2}+F_{3}+\dots +F_{n}=F_{n+2}-1.$ [douăzeci]

Dovada

Demonstrăm formula prin inducție pe n :

Baza de inducție: $n=0\colon$

$F_{0}=F_{2}-1=0.$

Pasul de inducție: fie afirmația pentru este adevărată: $n$

$F_{1}+F_{2}+F_{3}+...+F_{n}=F_{n+2}-1.$

Atunci trebuie să dovedim afirmația pentru $n+1\colon$

$F_{1}+F_{2}+F_{3}+...+F_{n}+F_{n+1}=F_{n+3}-1.$

Ne întindem pe și

F_{n+3}

F_{n+2}

F_{n+1}\colon

F_{1}+F_{2}+F_{3}+...+F_{n}+F_{n+1}=F_{n+2}+F_{n+1}-1

Scurtăm ambele părți cu

F_{n+1}\colon

F_{1}+F_{2}+F_{3}+...+F_{n}=F_{n+2}-1,

Q.E.D. ∎

$F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}=F_{2n}.$ [20] [21]

Dovada

Demonstrăm formula prin inducție pe n :

Baza de inducție: $n=1\colon$

$F_{1}=F_{2}=1.$

Pasul de inducție: Fie adevărată afirmația pentru: $n$

$F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}=F_{2n}.$

Atunci trebuie să dovedim afirmația pentru $n+1\colon$

$F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}+F_{2n+1}=F_{2n+2}.$

Ne întindem pe și

F_{2n+2}

F_{2n+1}

F_{2n}\colon

F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}+F_{2n+1}=F_{2n+1}+F_{2n}.

Scurtăm ambele părți cu

F_{2n+1}\colon

F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}=F_{2n}.

Q.E.D. ∎

$F_{2}+F_{4}+F_{6}+\dots +F_{2n}=F_{2n+1}-1.$ [20] [22]

Această identitate poate fi dovedită prin scăderea primei din a doua:

{\begin{alignedat}{2}(F_{1}+F_{2}+\dots +F_{{\color {Red}2}n})-(F_{1}+F_{3} +\dots +F_{2n-1})&=F_{{\color {Red}2}n+2}-1-F_{2n},\\F_{2}+F_{4}+\dots + F_{2n}&=F_{2n+1}-1.\\\end{alignedat}}

$F_{n+1}F_{n+2}-F_{n}F_{n+3}=(-1)^{n}.$ [23]
$F_{1}^{2}+F_{2}^{2}+F_{3}^{2}+\dots +F_{n}^{2}=F_{n}F_{n+ unu }$ (vezi fig.).
$F_{n}^{2}+F_{n+1}^{2}=F_{2n+1}.$ [douăzeci]
$F_{2n}=F_{n+1}^{2}-F_{n-1}^{2}.$ [douăzeci]
$F_{3n}=F_{n+1}^{3}+F_{n}^{3}-F_{n-1}^{3}.$ [24]
$F_{5n}=25F_{n}^{5}+25(-1)^{n}F_{n}^{3}+5F_{n}.$
$F_{n+1}=C_{n}^{0}+C_{n-1}^{1}+C_{n-2}^{2}+\dots$ [25] , unde sunt coeficienții binomi . $C_{n}^{k}$

Și formule mai generale:

$F_{n+m}=F_{n-1}F_{m}+F_{n}F_{m+1}=F_{n+1}F_{m+1}-F_{n-1 }F_{m-1}.$ [26]
$F_{(k+1)n}=F_{n-1}F_{kn}+F_{n}F_{kn+1}.$
$F_{n}=F_{l}F_{n-l+1}+F_{l-1}F_{nl}.$
Numerele Fibonacci sunt reprezentate de valorile continuanților pe un set de unități: i.e. $F_{n+1}=K_{n}(1,\dots,1),$ $F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&1&0&\cdots &0\\-1&1&1&\ddots &\vdots \\0&-1&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots & \ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&-1&1\end{pmatrix}}$ , precum și $\ F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&i&0&\cdots &0\\i&1&i&\ddots &\vdots \\0&i&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &i\\0&\cdots &0&i&1\end{pmatrix}},$

unde matricele au dimensiune și unde i este unitatea imaginară .

n\ ori n

Numerele Fibonacci pot fi exprimate în termeni de polinoame Chebyshev : $F_{n+1}=(-i)^{n}U_{n}\stânga({\frac {-i}{2}}\dreapta),$ $F_{2n+2}=U_{n}\stânga({\frac {3}{2}}\dreapta).$
Pentru orice n , ${\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n- 1}\end{pmatrix}}.$
În consecință, numărarea determinanților dă identitatea Cassini : [27] [28]

(-1)^{n}=F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2}.

Asociată cu egalitatea lui Cassini este o declarație mai generală numită după Eugène Catalan : $F_{n}^{2}-F_{nr}F_{n+r}=(-1)^{nr}F_{r}^{2}.$

$F_{n+1}={\frac {F_{n}+{\sqrt {5F_{n}^{2}+4(-1)^{n)))){2)).$
Această afirmație este derivată din identitatea Cassini folosind raportul de bază al numerelor Fibonacci: ${\displaystyle (-1)^{n}=F_{n+1}(F_{n+1}-F_{n})-F_{n}^{2))$ $\Lungileftrightarrow$ $0={\color {Red}F_{n+1}}^{2}-{\color {Red}F_{n+1}}F_{n}-(F_{n}^{2} +(-1)^{n}).$

Proprietăți

Cel mai mare divizor comun al două numere Fibonacci este egal cu numărul Fibonacci cu indice egal cu cel mai mare divizor comun al indicilor, adică Corolare: $(F_{m},F_{n})=F_{(m,n)}.$
- $F_{m}$ este divizibil cu dacă și numai dacă este divizibil cu (cu excepția ). În special, este divizibil cu (adică este par) numai pentru este divizibil cu numai pentru este divizibil cu numai pentru , etc. $F_{n}$ $m$ $n$ $n=2$ $F_{m}$ $F_{3}=2$ $m=3k;$ $F_{m}$ $F_{4}=3$ $m=4k;$ $F_{m}$ $F_{5}=5$ $m=5k$
- $F_{m}$ poate fi primul numai pentru numere prime (cu o singură excepție a ). De exemplu, numărul este prim, iar indicele său 13 este, de asemenea, prim. Dar, chiar dacă numărul este prim, numărul nu este întotdeauna prim, iar cel mai mic contraexemplu este . Nu se știe dacă mulțimea numerelor Fibonacci care sunt prime este infinită. $m$ $m=4$ $F_{{13}}=233$ $m$ $F_{m}$ $F_{19}=4181=37\cdot 113.$
Sirul de numere Fibonacci este un caz special al secvenței reciproce , polinomul său caracteristic are rădăcini și $x^{2}-x-1$ $\varphi$ $-{\frac {1}{\varphi )).$
Rapoartele sunt fracții adecvate ale raportului de aur , în special, ${\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}$ $\phi \colon$ $\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi .$
Sumele coeficienților binomi de pe diagonalele triunghiului lui Pascal sunt numere Fibonacci datorită formulei $F_{n+1}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor {nk \choose k}.$
În 1964, J. Cohn ( JHE Cohn ) a demonstrat [29] că singurele pătrate perfecte dintre numerele Fibonacci sunt numerele Fibonacci cu indici 0, 1, 2, 12: $F_{0}=0^{2}=0,$ $F_{1}=1^{2}=1,$ $F_{2}=1^{2}=1,$ $F_{12}=12^{2}=144.$
Funcția generatoare a șirului de numere Fibonacci este: $x+x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+5x^{5}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }F_{n}x^{n }={\frac {x}{1-xx^{2}}}$
- În special , 1 / 998.999 = 0.00 100 100 200 300 500 8 0 13 0 21 …
Mulțimea numerelor Fibonacci coincide cu setul de valori nenegative ale polinomului $z(x,y)=2xy^{4}+x^{2}y^{3}-2x^{3}y^{2}-y^{5}-x^{4}y +2y$

pe mulțimea numerelor întregi nenegative x și y [30] .

Produsul și coeficientul oricăror două numere Fibonacci diferite, altele decât unul, nu este niciodată un număr Fibonacci.
Perioada numerelor Fibonacci modulo un număr natural se numește perioada Pisano și se notează cu . Perioadele Pisano formează o secvență: $n$ $\pi(n)$ $\pi(n)$ 1, 3, 8, 6, 20, 24, 16, 12, 24, 60, 10, 24, 28, 48, 40, 24, 36, … (secvența A001175 în OEIS ).
- În special, ultimele cifre ale numerelor Fibonacci formează o secvență periodică cu o perioadă , ultima pereche de cifre ale numerelor Fibonacci formează o secvență cu o perioadă , ultimele trei cifre - cu o perioadă, ultimele patru - cu o perioadă, ultimele cinci - cu punct etc. $\pi (10)=60$ $\pi (100)=300$ $\pi (1000)=1500,$ $\pi (10000)=15000,$ $\pi (100000)=150000$
Un număr natural este un număr Fibonacci dacă și numai dacă sau este un pătrat [31] . $N$ $5N^{2}+4$ $5N^{2}-4$
Nu există o progresie aritmetică de lungime mai mare de 3, constând din numere Fibonacci [32] .
Numărul Fibonacci este egal cu numărul de tupluri de lungime n de zerouri și cele care nu conțin două adiacente. În acest caz , este egal cu numărul de astfel de tupluri începând de la zero și - începând de la unu. $F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$ $F_{{n+1}}$ $F_{n}$
Produsul oricăror numere Fibonacci succesive este divizibil cu produsul primelor numere Fibonacci. $n$ $n$
Suma infinită a reciprocelor numerelor Fibonacci converge, suma sa (" reciproca constantei Fibonacci ") este 3,359884...

Variații și generalizări

numere tribonacci
Numerele Fibonacci sunt un caz special de secvențe Lucas . $F_{n}=U_{n}(1,-1)$
- În plus, complementul lor este numerele Lucas . $L_{n}=V_{n}(1,-1)$

În alte zone

Există o părere că aproape toate afirmațiile care găsesc numerele Fibonacci în fenomenele naturale și istorice sunt greșite - acesta este un mit comun, care se dovedește adesea a fi o potrivire inexactă la rezultatul dorit [34] [35] .

În natură

Filotaxia (aranjarea frunzelor) la plante este descrisă de succesiunea Fibonacci, dacă frunzele (mugurii) pe o creștere de un an (lăstar, tulpină) au așa-numitul aranjament spiralat al frunzelor. În acest caz, numărul de frunze (muguri) aranjate succesiv într-o spirală plus unu, precum și numărul de rotații complete ale spiralei în jurul axei creșterii anuale (lăstar, tulpină) sunt de obicei exprimate prin primele numere Fibonacci.
Semințele de floarea soarelui , conurile de pin , petalele de flori , celulele de ananas sunt de asemenea aranjate după succesiunea Fibonacci [36] [37] [38] [39] .

În artă

În poezie, se găsește mai des raportul „secțiunii de aur” (proporția de aur), legat prin formula Binet cu numerele Fibonacci. De exemplu, în poezia lui Sh. Rustaveli „ Cavalerul în pielea de pantere ” și în picturile artiștilor [40] .

Cu toate acestea, numerele Fibonacci se găsesc atât direct în poezie, cât și în muzică [41]

În codificare

În teoria codificării, sunt propuse așa-numitele „ coduri Fibonacci ” [42] stabile , iar baza acestor coduri este un număr irațional.

Vezi și

Note

↑ John Hudson Tiner. Explorarea lumii matematicii: de la înregistrările antice la cele mai recente progrese în computere . - New Leaf Publishing Group, 200. - ISBN 978-1-61458-155-0 . (Rusă)
↑ Vezi, de exemplu, T. V. Kropotova, V. G. Podolsky, P. E. Kashargin. Introducere în matematica superioară. — Institutul de Fizică al Universității Federale din Kazan.
↑ Lucas, 1891 , p. 3.
↑ Numerele Fibonacci // Marea Enciclopedie Sovietică : [în 30 de volume] / cap. ed. A. M. Prohorov . - Ed. a 3-a. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1969-1978.
↑ Beck & Geoghegan (2010) .
↑ Bona, 2011 , p. 180.
↑ Goonatilake, Susantha (1998), Toward a Global Science , Indiana University Press, p. 126, ISBN 978-0-253-33388-9 , < https://books.google.com/books?id=SI5ip95BbgEC&pg=PA126 >
↑ 1 2 Singh, Parmanand (1985), Așa-numitele numere Fibonacci în India antică și medievală , Historia Mathematica vol. 12(3):229-244 , DOI 10.1016/0315-0860(85)90021-7
↑ 1 2 Knuth, Donald (2006), The Art of Computer Programming , vol. 4. Generarea tuturor arborilor - Istoria generației combinatorii, Addison-Wesley, p. 50, ISBN 978-0-321-33570-8 , < https://books.google.com/books?id=56LNfE2QGtYC&pg=PA50&dq=rhythms >
↑ Knuth, Donald (1968), The Art of Computer Programming , vol. 1, Addison Wesley, p. 100, ISBN 978-81-7758-754-8 , < https://books.google.com/books?id=MooMkK6ERuYC&pg=PA100 >
↑ Livio, 2003 , p. 197.
↑ Pisano, 2002 , pp. 404-405.
↑ Liber Abaci al lui Fibonacci (Cartea calculelor) . Universitatea din Utah (13 decembrie 2009). Data accesului: 28 noiembrie 2018. (nedefinit)
↑ Hemenway, Priya. Proporția divină : Phi în artă, natură și știință . - New York: Sterling, 2005. - P. 20-21 . — ISBN 1-4027-3522-7 .
↑ Knott, Dr. Ron Numerele Fibonacci și secțiunea de aur din Natură - 1 . Universitatea din Surrey (25 septembrie 2016). Data accesului: 27 noiembrie 2018. (nedefinit)
↑ Knott, Iepurii lui Ron Fibonacci . Universitatea din Surrey Facultatea de Inginerie și Științe Fizice. (nedefinit)
↑ Gardner, Martin (1996), Circul matematic , Asociația Matematică din America, p. 153, ISBN 978-0-88385-506-5
↑ Arta rezolvării problemelor . artofproblemsolving.com . Preluat: 9 mai 2021. (nedefinit)
↑ Numerele Fibonacci // Dicționarul enciclopedic al unui tânăr matematician / Comp. Savin A.P. - ed. a II-a. - M . : Pedagogie , 1989. - S. 312-314. — 352 p. — ISBN 5715502187 .
↑ 1 2 3 4 5 Teorema este prezentată în acest fișier . (nedefinit)
↑ Punctul 23 . (nedefinit)
↑ Punctul 24 . (nedefinit)
↑ Corolar de la punctul 36 . (nedefinit)
↑ Punctul 30 . (nedefinit)
↑ 64 . (nedefinit)
↑ Punctul 55 . (nedefinit)
↑ dovada identității lui Cassini . planetmath.org . Data accesului: 30 mai 2021. (nedefinit)
↑ Identitatea Cassini . (nedefinit)
↑ JHE Cohn . Square Fibonacci Numbers Etc , pp. 109-113. Arhivat din original pe 11 iulie 2010. Preluat la 1 iulie 2010.
↑ P. Ribenboim. Noua carte a înregistrărilor numerelor prime . - Springer, 1996. - S. 193.
↑ Ira Gessel. Problema H-187 // Fibonacci Quarterly. - 1972. - T. 10 . - S. 417-419 .
↑ V. Serpinsky . Problema 66 // 250 Probleme în teoria numerelor elementare . - M . : Educaţie, 1968. - 168 p.
↑ Hutchison, Luke. Creșterea arborelui genealogic: puterea ADN-ului în reconstruirea relațiilor de familie // Proceedings of the First Symposium on Bioinformatics and Biotechnology (BIOT-04): jurnal. - 2004. - Septembrie.
↑ Fibonacci Flim-Flam . Arhivat pe 23 aprilie 2012 la Wayback Machine .
↑ Mitul care nu va dispărea .
↑ Raportul de aur în natură .
↑ Numerele Fibonacci .
↑ Numerele Fibonacci .
↑ Akimov O.E. Sfârșitul științei .
↑ Voloșinov A. V. Matematică și artă. Moscova: Educaţie, 2000. 400 p. ISBN 5-09-008033-X
↑ Matematica în poezie și muzică
↑ Stakhov A., Sluchenkova A., Shcherbakov I. Codul lui Da Vinci și seria Fibonacci. SPB. Editura: Piter, 2006. 320 p. ISBN 5-469-01369-3

Literatură

N. N. Vorobyov. Numerele Fibonacci . - Nauka, 1978. - T. 39. - ( Prelegeri populare de matematică ).
A. I. Markushevici. secvențe de returnare . - D-na. Editura de Literatură Tehnică şi Teoretică, 1950. - Vol. 1. - ( Prelegeri populare de matematică ).
A. N. Rudakov. Numerele Fibonacci și simplitatea numărului 2 127 − 1 // Educația matematică , seria a treia. - 2000. - T. 4 .
Donald Knuth . The Art of Computer Programming, vol. 1. Basic Algorithms = The Art of Computer Programming, vol. 1. Algoritmi fundamentali. - Ed. a 3-a. - M . : „Williams” , 2006. - S. 720. - ISBN 0-201-89683-4 .
Donald Knuth , Ronald Graham , Oren Patashnik . matematică concretă. Foundation of Computer Science = Concrete Mathematics. O fundație pentru informatică. — M .: Mir ; Binom. Knowledge Lab , 2006. - P. 703. - ISBN 5-94774-560-7 .
Grant Arakelyan. Matematica și istoria secțiunii de aur. — M.: Logos, 2014. — S. 404. — ISBN 978-5-98704-663-0 .
Ball, Keith M (2003), 8: Fibonacci's Rabbits Revisited, Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations , Princeton, NJ: Princeton University Press , ISBN 978-0-691-11321-0 .
Beck, Matthias & Geoghegan, Ross (2010), The Art of Proof: Basic Training for Deeper Mathematics , New York: Springer, ISBN 978-1-4419-7022-0 .
Bóna, Miklós (2011), A Walk Through Combinatorics (ed. a treia), New Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-4335-23-2 .
- Bóna, Miklós (2016), A Walk Through Combinatorics (a patra ed. revizuită), New Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-3148-84-0 .
Lemmermeyer, Franz (2000), Legile reciprocității: de la Euler la Eisenstein , Monografii Springer în matematică, New York: Springer, ISBN 978-3-540-66957-9 .
Livio, Mario . Raportul de aur: Povestea lui Phi, cel mai uimitor număr din lume . — Prima broșată comercială. — New York City: Broadway Books, 2003. - ISBN 0-7679-0816-3 .
Lucas, Édouard (1891), Théorie des nombres , vol. 1, Paris: Gauthier-Villars, Théorie des nombres în Google Books , < https://archive.org/details/thoriedesnombr01lucauoft > .
Pisano, Leonardo (2002), Liber Abaci al lui Fibonacci: O traducere în limba engleză modernă a cărții de calcul , surse și studii în istoria matematicii și științelor fizice, Springer, ISBN 978-0-387-95419-6

Link -uri

Primele 300 de numere Fibonacci (engleză) .
Numerele Fibonacci în natură (engleză) .

Dicționare și enciclopedii	Rusă mare Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	NDL : 00923391

Secvențe și rânduri
Secvențe	Succesiunea numerică Secvență fundamentală Secvență liniară recurentă numerele Fibonacci numere ondulate Factorială secvența Barker de bruijn secvenţă
Rânduri, de bază	Suma rândurilor Restul rândului Convergență condiționată Serii alternante Rând multisecțiune
Seria de numere ( operații cu seria de numere )	serie armonică seria Leibniz O serie de pătrate inverse O serie de numere prime reciproce rândul Dirichlet Seria Mercator Row Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
rânduri funcționale	Seria Taylor Seria Laurent Seria Fourier Seria Fourier trigonometrică serie trigonometrică Seria Wiener
Alte tipuri de rânduri	Seria Neumann rândul Puiseux