Ruperea spontană a simetriei

Ruperea spontană a simetriei este o metodă de rupere a simetriei unui sistem fizic , în care starea inițială și ecuațiile de mișcare ale sistemului sunt invariante în raport cu unele transformări de simetrie, dar în procesul de evoluție sistemul trece într-o stare pt. care este încălcată invarianța față de unele (inclusiv toate) transformări ale simetriei inițiale. Ruperea spontană a simetriei este întotdeauna asociată cu degenerarea stării minime de energie numită vid . Setul tuturor vidurilor are o simetrie inițială, dar fiecare vid separat nu o are. De exemplu, o minge într-un jgheab cu două puțuri se rostogolește dintr-o stare simetrică instabilă într-o stare stabilă cu o energie minimă fie la stânga, fie la dreapta, distrugând simetria în ceea ce privește schimbarea de la stânga la dreapta (operație de inversare).

Ruperea spontană a simetriei are loc (pseudo) aleatoriu și este determinată de fluctuații . Acest fenomen este extrem de comun în natură. Multe exemple diferite de rupere spontană a simetriei pot fi date în mecanica clasică . Totuși, dacă în mecanică ruperea spontană a simetriei are mai degrabă un sens descriptiv, în teoria cuantică a câmpului este principiul principal care asigură generarea maselor bosonice gauge . Mai mult decât atât, în teoria câmpului cuantic, prin construirea unor Lagrangiani eficienți , unii mezoni pot fi identificați cu bosonii corespunzători Goldstone ( pseudo-Goldstone boson ). Mai jos, ca exemplu, mezonul π este considerat un boson Goldstone, încălcând o anumită simetrie a cromodinamicii cuantice cu quarci fără masă . O substanță aflată într-o anumită fază termodinamică poate fi considerată și ca un câmp cuantic cu simetria corespunzătoare. Apoi ruperea spontană de simetrie este reprezentată ca o tranziție de fază .

Existența a patru interacțiuni fundamentale în natură poate fi, de asemenea, o consecință a ruperii simetriei. Ipotetic, la energii suficient de mari (~100 GeV ), forțele electromagnetice și cele nucleare slabe sunt combinate într-o interacțiune electroslabă , iar la energii chiar mai mari (~10 14 GeV), interacțiunile electroslabe și cele nucleare puternice sunt combinate într-o interacțiune electronucleară , descrisă. prin Teoria Marelui Unificat .

Mecanismul ruperii spontane a simetriei este vital pentru posibilitatea existenței supersimetriei . Supersimetria neîntreruptă prezice existența unui superpartener cu aceeași masă pentru fiecare particulă cunoscută, ceea ce nu este observat în experimente. Se crede că, din cauza încălcării supersimetriei, superpartenerii particulelor dobândesc mase mari care sunt de neatins pentru acceleratoarele moderne

Aspiratoarele pot avea o structură destul de interesantă. Teoria cuantică a câmpului permite existența unor configurații de vid de câmp cu vid sparte spontan care se schimbă de la un punct la altul. Astfel de stări sunt, de exemplu, monopolurile magnetice , șirurile cosmice , pereții domeniului . Stări de acest tip sunt observate în fizica materiei condensate, de exemplu, pereții dintre domeniile feromagnetice. Pentru configurații potențiale complexe cu multe minime, există mai multe viduri. Cu toate acestea, vidul real este doar starea cu cea mai scăzută energie. Toate celelalte viduri sunt metastabile și trec în cel actual prin tunel cuantic .

Ruperea spontană a simetriei poate juca un rol important și în gravitație. Se crede că inflația cosmologică este cauzată de trecerea de la un vid fals la unul adevărat în timpul încălcării spontane a simetriei Marii Unificări . În plus, ruperea spontană a supersimetriei ( mecanismul super-Higgs ) este presupusă în teoriile gravitației masive . De asemenea, modelele câmpului gravitațional al tensorului metric sunt dezvoltate ca un câmp Higgs-Goldstone cu o oarecare simetrie întreruptă .

Astfel, ruperea spontană a simetriei este un fenomen extrem de comun în toate domeniile fizicii, de la mecanica clasică la gravitația cuantică .

Exemple simple de rupere spontană a simetriei

În mecanica clasică

Ecuațiile care descriu mișcarea atomilor oricărui corp fizic nesimetric, de exemplu, un scaun, sunt invariante în raport cu rotațiile tridimensionale, totuși, soluția acestor ecuații - un scaun real - are o anumită orientare în spațiu [ 3] .

O minge situată la mijloc între gropile unui jgheab cu două gropi, mai devreme sau mai târziu, sub influența perturbațiilor, se va rostogoli într-una dintre ele, rupând simetria față de înlocuire . Un potențial de acest fel se realizează, de exemplu, în problema unei sferă pe un inel care se rotește în jurul unei axe verticale (vezi figura). Funcția Lagrange a acestei probleme are forma $x\rightarrow -x$

L=T-V_{eff}={\frac {1}{2}}mR^{2}{\dot {\phi }}^{2}+{\frac {1}{2}} mW^{2}R^{2}\sin ^{2}\phi -mgR(1-\cos \phi )

unde R este raza inelului, m este masa perlei, g este accelerația gravitațională și W este viteza unghiulară de rotație. Potențialul are minime în puncte care diferă de centrul de simetrie la o viteză de rotație de . Punctul central devine un punct de echilibru instabil, iar doar fluctuațiile parametrilor inițiali stabilesc o nouă poziție de echilibru [1] . $W^{2}>g/R$

Un creion așezat pe capătul mesei nu are nicio direcție preferată în planul mesei, însă, sub influența perturbațiilor, va cădea, alegând o direcție pseudo-aleatorie (în funcție de fluctuații) [4] .

O tijă metalică rotundă, prinsă între plăcile presei , se va îndoi sub o sarcină suficientă, iar direcția îndoirii este arbitrară și depinde de fluctuații. Simetria axială inițială a tijei este ruptă spontan [5] .

Când elasticul este întins, lungimea acestuia crește, iar grosimea scade. La o anumită valoare a forței de tracțiune, banda de cauciuc se va rupe într-un anumit loc, deși pentru o bandă elastică ideală toate punctele de rupere sunt la fel de probabile. Motivul „încălcării” simetriei este fluctuațiile grosimii gingiei: se rupe acolo unde materialul gingiei este mai slab. O bandă de cauciuc ideală s-ar întinde într-un lanț de atomi de N și s-ar rupe (la o locație nespecificată) atunci când energia forței de tracțiune devine egală cu energia de legare totală a atomilor . $E=N\varepsilon$

În fizica materiei condensate

În timpul cristalizării unui lichid, care se caracterizează prin simetria cea mai înaltă - izotropă , se formează un cristal , în care există unele direcții distinse în raport cu axele cristalografice. Orientarea axelor cristalografice este în general aleatorie sau datorată unor factori externi slabi sau fluctuații. În acest caz, simetria în raport cu translațiile la un vector arbitrar se reduce și la simetria translațională la un vector, care este o combinație liniară a vectorilor rețelei cristaline .

Lichidul, atunci când este răcit sub temperatura de cristalizare, se transformă într-un cristal. Cu toate acestea, un lichid pur poate fi răcit sub temperatura de cristalizare. Această situație se realizează din cauza absenței centrilor de cristalizare - nu există nuclee pe care să se poată forma cristale și apare o fază metastabilă a unui lichid suprarăcit . Din punct de vedere al simetriei , simetria izotropă și translațională a lichidului ar trebui să scadă la simetria rețelei cristaline , dar nu există fluctuații (centri de cristalizare) în lichid care încalcă această simetrie.

O situație similară apare într-un vapor suprasaturat sau un lichid supraîncălzit . Astfel de stări metastabile sunt utilizate, de exemplu, în camerele cu bule și în camerele cu nor .

Feromagneţii , încălziţi peste temperatura Curie , sunt într - o stare paramagnetică în care nu există o direcţie preferată de magnetizare ; totuși, atunci când este răcit sub temperatura Curie, are loc o tranziție de fază în feromagnet și are loc magnetizarea spontană , a cărei direcție în absența unui câmp magnetic extern este aleatorie și depinde de fluctuații [6] . Ruperea spontană a simetriei are loc în aproape toate tranzițiile de fază (vezi mai jos).

În mecanica cuantică

Experiment cu dublă fantă

Când o particulă cuantică trece printr-un ecran cu două fante apropiate [7] , în spatele fiecăreia dintre care este plasat un detector, doar unul dintre detectoare se declanșează. Simetria este ruptă accidental. Acest exemplu diferă semnificativ de exemplele menționate mai sus prin faptul că, pe baza conceptelor moderne (vezi teorema lui Bell [8] ), prezența fluctuațiilor pentru ruperea spontană a simetriei nu este o condiție necesară, iar natura implementează trecerea unei particule printr-una dintre posibilele fante într-un mod complet aleatoriu. .

Măsurători în mecanica cuantică

Este posibil să se generalizeze direct exemplul anterior la o măsurătoare de stare arbitrară în mecanica cuantică . În teoria cuantică, conform postulatului de măsurare , măsurarea constă în reducerea (tranziția instantanee) a unei stări cuantice într-una dintre stările proprii posibile ale operatorului mărimii fizice măsurate . În acest caz, starea inițială trece aleatoriu (cu probabilitate) într-o stare cu simetrie inițială întreruptă. $|\psi\rangle$ $|a_{n}\rangle$ $\widehat {A}$ ${A}$ $|\langle \psi |a_{n}\rangle |^{2)$

Decoerență

Un alt exemplu de ruptură spontană a simetriei în mecanica cuantică, dar deja asociată cu prezența fluctuațiilor, este decoerența . Datorită prezenței fluctuațiilor externe , starea pură a sistemului se transformă într- una mixtă cu încălcarea simetriilor inițiale. Din punct de vedere matematic, aceasta corespunde faptului că decoerența face ca elementele off-diagonale ale matricei de densitate să dispară [8] .

Ca exemplu, luați în considerare un atom într- o stare excitată . Un atom emite spontan un foton și ajunge la un nivel de energie mai scăzut. Dacă un atom este într-o stare s simetrică sferic , atunci emite un foton într-o direcție arbitrară și el însuși intră într-o stare l non-izotropă cu simetrie ruptă spontan în raport cu rotațiile. Cauza ruperii simetriei este prezența particulelor din jur, precum și fluctuațiile aleatorii ale vidului fizic .

Pentru a ilustra decoerența, putem considera un ansamblu de stări cuantice identice. Sistemele datorate prezenței fluctuațiilor externe după un timp vor fi în diferite stări [8] .

Distrugerea elementelor off-diagonale este cea care este responsabilă pentru ruperea spontană a simetriei în primul exemplu al acestei secțiuni pentru fotoliu [3] .

Ruperea spontană a simetriei gabaritului

Ruperea simetriei ecartamentului global

În teoria câmpului, se ia în considerare de obicei dinamica câmpului în vecinătatea stării de vid (energia potențială minimă), considerând câmpurile în sine ca fiind mici [9] . În practică, aceasta duce la extinderea funcției Lagrange a câmpului corespunzător dintr-o serie Taylor în vecinătatea minimului de energie potențială, urmată de neglijarea termenilor puterilor superioare. În acest caz, alegerea vidului poate fi ambiguă (vezi figura „Model sigma liniar”: posibilele stări de vid sunt afișate cu gri).

De exemplu, luați în considerare lagrangianul câmpului complex (încărcat) Klein-Gordon unde sunt câmpuri reale: $\varphi =\varphi ^{1}+i\varphi ^{2},$ $\varphi ^{1},\;\varphi ^{2}$

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi ^{*}\partial _{\mu }\varphi -V(\varphi ^{ *}\varphi )={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi ^{1}\partial _{\mu }\varphi ^{1}+{\frac {1}{ 2}}\partial ^{\mu }\varphi ^{2}\partial _{\mu }\varphi ^{2}-V\left((\varphi ^{1})^{2}+(\varphi ^{2})^{2}\dreapta)

unde este potențialul de interacțiune; indicii notați cu litere grecești variază peste tot de la 0 la 3. Acest Lagrangian este invariant în cadrul transformărilor globale de gabarit [10] $V$

\varphi \rightarrow e^{i\alpha }\varphi ,\quad \left|\left|{\begin{array}{c}\varphi ^{1}\\\varphi ^{2}\end {matrice}}\right|\right|\rightarrow \left|\left|{\begin{array}{cc}\cos \alpha &\sin \alpha \\-\sin \alpha &\cos \alpha \end {matrice}}\right|\right|\left|\left|{\begin{array}{c}\varphi ^{1}\\\varphi ^{2}\end{array}}\right|\right |

unde este o constantă reală. Pentru un model dat, vidul nu este invariant sub astfel de transformări de gabarit dacă funcția are un minim într-un punct altul decât zero. Dacă are un minim la zero, atunci punctul de vid corespunde în mod unic vaporilor . O situație complet diferită apare atunci când . Minimul potențialului corespunde nu unui punct, ci unui continuum de puncte $\alfa$ $V(x)$ $V(x)$ $\varphi ^{1}=0,\;\varphi ^{2}=0$ $x_{min}=a^{2}\neq 0$

(\varphi ^{1})^{2}+(\varphi ^{2})^{2}=a^{2}

Prin rotirea corespunzătoare a sistemului de coordonate al spațiului de sarcină a gradelor de libertate ale câmpului Klein-Gordon, vidul poate fi întotdeauna redus la forma

\varphi _{0}=\left|\left|0,a\right|\right|^{T)

Este ușor de observat că, deși Lagrangianul (în special, cel aproximativ) este invariant sub transformări gauge, vidul nu este. Sistemul intră într-o stare aleasă aleatoriu (de fapt, în funcție de fluctuații). Aceasta este ruperea spontană a simetriei globale a gabaritului.

Exemplul 1. Încălcarea simetriei cu privire la inversarea semnului unui câmp Klein-Gordon real

Luați în considerare un exemplu simplu de rupere spontană a simetriei pentru un câmp Klein-Gordon real, care este dat de Lagrangianul

{\mathcal {L}}=\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi -\left(\mu ^{2}\varphi ^{2}+{\frac { 1}{2}}\lambda \varphi ^{4}\right)

unde , . Acest Lagrangian este invariant sub schimbarea [11] . Câmpul în acest caz are două viduri, ceea ce corespunde prezenței a două minime în energia potențială la ; totuși, niciunul din vacua nu este invariant sub simetria inițială a inversării semnului câmpului. Aceasta este ruperea spontană a simetriei [12] : aici inversarea nu este o transformare gauge. Datorită simetriei lagrangianului față de inversarea semnului câmpului (paritatea), poate fi ales orice semn al vidului. Fără pierderea generalității, se poate alege „ ”. Extinderea câmpului în vecinătatea stării de vid și presupunând că acesta este mic, Lagrangianul poate fi scris [13] ca $\lambda >0$ $\mu ^{2}<0$ $\varphi \rightarrow -\varphi$ $\varphi _{0}=a=\pm {\sqrt {-\mu ^{2}/\lambda ))$ $+$ $\varphi =a+\phi (x)$ $\phi(x)$

{\mathcal {L)}'=\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -2\lambda a^{2}\phi ^{2}+{\mathcal { O))(\phi ^{3})=\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{2}+{\mathcal {O)) (\phi ^{3})

unde . Mai este un detaliu important de subliniat în acest exemplu. Lagrangianul descrie un câmp fără masă cu un potențial de interacțiune . Câmpul este fără masă, deoarece semnul coincide cu semnul energiei cinetice și, prin urmare, nu poate fi responsabil pentru masă. Cu toate acestea, Lagrangianul descrie deja câmpul liber Klein-Gordon cu masa . Astfel, ruperea spontană a simetriei poate genera un câmp de masă. În continuare, acest fenomen va fi studiat mai detaliat. $m={\sqrt {2\lambda a^{2)}}={\sqrt {-2\mu ^{2)}}$ $\mathcal{L}$ $\varphi$ $V=\mu ^{2}\varphi ^{2}+{\frac {1}{2}}\lambda \varphi ^{4}$ $\varphi$ $\mu ^{2}<0$ ${\mathcal {L}}'$ $m={\sqrt {-2\mu ^{2}}}$

Transformările gauge formează un grup Lie și unul compact . Luați în considerare lagrangianul

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi _{i}\partial _{\mu }\varphi ^{i}-V( \varphi _{i})

unde sunt N câmpuri scalare reale. Să presupunem că Lagrangianul este invariant în cadrul transformărilor grupului gauge : $\varphi _{i}$ $\omega _{i}^{j)$ $G$

\varphi _{i}=\omega _{i}^{j}\varphi _{j)

. Cazul unui vid invariant

Dacă potențialul are un minim în punctul , atunci se poate demonstra că vidul este invariant sub toate transformările gauge și anume: acțiunea oricărei matrice asupra vectorului zero îl transformă în vectorul zero. În acest caz, potențialul poate fi extins într-o serie Taylor în vecinătatea lui zero. Presupunând că și ținând cont că primele derivate din punctul extremum sunt egale cu zero, iar matricea derivatelor secunde din punctul minim este definită pozitiv , obținem $V$ $\varphi _{i}=0$ $V(0)=0$ $(m^{2})^{ij}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j))}(0)$

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi _{i}\partial _{\mu }\varphi ^{i}-{\ frac {1}{2}}(m^{2})^{ij}\varphi _{i}\varphi _{j}+{\mathcal {O}}(\varphi ^{3})

Cu o transformare ortogonală adecvată, matricea de masă poate fi redusă la o formă diagonală. Lagrangianul obținut în acest fel descrie câmpuri scalare reale cu mase care sunt determinate de valorile proprii ale matricei . $\varphi _{i}'=O_{i}^{j}\varphi _{j)$ $m^{2}$ $N$ $m^{2}$

Cazul unui vid neinvariant

O situație complet diferită apare atunci când potențialul are un minim nu la zero. În acest caz, există întotdeauna arbitrar în alegerea stării de vid. Vidul va fi invariant numai în raport cu un anumit subgrup al grupului de gabarit (grupul se numește grup mic). Există o încălcare a simetriei locale a grupului de gabarit . Să luăm în considerare un exemplu de ruptură de simetrie globală, care este dat de grupul gauge al rotațiilor tridimensionale SO(3) , într-un model sigma liniar. $V$ $H$ $G$ $H\subset G$ $G$

Exemplul 2. Ruperea simetriei globale a gabaritului SO(3)

Luați în considerare lagrangianul

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi _{i}\partial _{\mu }\varphi ^{i}-{\ frac {1}{2}}\lambda \left(\varphi _{i}\varphi ^{i}-a^{2}\right)^{2}

unde există trei câmpuri scalare reale . Acest Lagrangian se numește modelul sigma liniar, care este invariant în cadrul transformărilor de grup (matrici ortogonale cu determinant unitar). Elementele de grup acționează asupra vectorului ca matrici de rotație 3D. Vidul acestui câmp este degenerat și se află pe un punct de pe sferă $\varphi _{i}$ $SO(3)$ $\varphi =\mid \mid \varphi _{1},\;\varphi _{2},\;\varphi _{3}\mid \mid ^{T)$

\varphi _{1}^{2}+\varphi _{2}^{2}+\varphi _{3}^{2}=a^{2}

Prin transformări adecvate ale sistemului de coordonate, se poate reprezenta întotdeauna vidul în formă

\varphi _{0}=\mid \mid 0,\;0,\;a\mid \mid ^{T)

Este evident că vidul nu este invariant față de , dar este invariant față de grupul de rotații în jurul axei . Să extindem câmpul în apropierea vidului , considerând că este o cantitate mică. În acest caz, Lagrangianul este reprezentat sub formă $SO(3)$ $SO(2)\subset SO(3)$ $\varphi _{3}$ $\varphi =\varphi _{0}+\phi (x)$ $\phi(x)$

{\mathcal {L}}'={\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi _{1})^{2}+{\frac {1}{2 }}(\partial ^{\mu }\phi _{2})^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi _{3})^{2 }-2\lambda a^{2}\phi _{3}^{2}+{\mathcal {O}}(\phi ^{3})

care corespunde a două câmpuri scalare fără masă și unui câmp cu masă . După cum putem vedea, încălcarea simetriei gabaritului global poate genera o masă de câmp. $\phi _{1}$ $\phi _{2}$ $\phi _{3}$ $m=2{\sqrt {\lambda }}a$

În general, se poate arăta că următoarea teoremă este valabilă:

Teorema lui Goldstone [14] [15] . Când simetria gabaritului global este întreruptă spontan, apar câmpuri scalare fără masă și câmpuri scalare masive . Aici este dimensiunea reprezentării selectate (de fapt, acesta este numărul inițial de câmpuri scalare reale). $\dim G-\dim H$ $\phi_i$ $N-(\dim G-\dim H)$ ${\tilde {\phi }}_{i}$ $N$ $G$

În acest caz, câmpurile fără masă care apar în timpul încălcării spontane a simetriei globale ale gabaritului sunt numite bosoni Goldstone . Subliniem încă o dată că numărul lor este egal cu numărul de simetrii rupte.

Exemplul 3. Ruperea simetriei globale a gabaritului SO(N)

Luați în considerare, ca în exemplul anterior, lagrangianul formei

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi _{i}\partial _{\mu }\varphi ^{i}-{\ frac {1}{2}}\lambda \left(\varphi _{i}\varphi ^{i}-a^{2}\right)^{2},

unde există deja câmpuri scalare reale . Acest model este invariant în cadrul transformărilor de grup . $N$ $\varphi _{i}$ $SO(N)$

Dacă simetria este întreruptă, vidul va fi invariant în raport cu grupul . Dimensiunea grupului este . Prin urmare, numărul de bosoni Goldstone care sunt produși la ruperea spontană a simetriei locale este de . Apoi, ruperea spontană a simetriei globale dă naștere bosonilor Goldstone și a unui boson masiv. $SO(N-1)\subset SO(N)$ $SO(N)$ $\dim SO(N)=N(N-1)/2$ $\dim SO(N)-\dim SO(N-1)=N-1$ $SO(N)$ $N-1$

În cazul teoremei Goldstone, obținem doi bosoni Goldstone și un câmp masiv, care a fost verificat direct în exemplul anterior. $N=3$

Dovada teoremei lui Goldstone

Pentru reprezentarea fundamentală a unui grup notăm generatorii grupului mic ca , iar pentru orice altă reprezentare , ca . Apoi din condiția de invarianță în vid rezultă că . Extinderea exponentului într-o serie Taylor, obținem că acțiunea generatoarelor grupului mic (neîntrerupt) asupra vidului distruge vidul: $G$ $t_{H,a)$ $T_{H,a)$ $\exp {(-ie\alpha ^{a}T_{H,a})}\varphi _{0}=\varphi _{0)$

T_{H,a}\varphi _{0}=0

Această condiție este un criteriu important pentru simetria neîntreruptă.

Generatorii rămași ai grupului vor fi notați ca (sau ). Actiunea lor asupra vidului nu da zero, altfel transformarile generate de ele ar lasa vidul invariant si ar apartine unui grup restrans. Să introducem vectorii . Numărul lor este egal . Ele sunt liniar independente și formează o bază în subspațiul bosonilor Goldstone (simetrii rupte). $G$ $t_{G/H,a}$ $T_{G/H,a}$ $E_{k}=-iT_{G/H,k}\varphi _{0)$ $\dim G-\dim H$

În întreg spațiul, este convenabil să se introducă o bază ortonormală , unde vectorii sunt ortele subspațiului Goldstone, compuse din combinații liniare ale vectorilor , iar vectorii formează baza subspațiului care completează subspațiul Goldstone cu cel original. spaţiu. Apoi câmpurile scalare pot fi extinse într-o astfel de bază $\{e_{k},{\widetilde {e}}_{k}\}$ $e_{k}$ $E_k$ $N-(\dim G-\dim H)$ ${\widetilde {e}}_{k}$

\varphi _{i}=\varphi _{0i}+\phi _{k}(e^{k})_{i}+{\widetilde {\phi }}_{k}({\ widetilde {e}}^{k})_{i}

iar lagrangianul în aproximarea pătratică ia forma

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi _{i}\partial _{\mu }\phi ^{i}+{\ frac {1}{2}}\partial ^{\mu }{\widetilde {\phi _{i}}}\partial _{\mu }{\widetilde {\phi }}^{i}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}V(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j}}}(\phi _ {k}e^{k}+{\widetilde {\phi }}_{k}{\widetilde {e}}^{k})_{i}(\phi _{k}e^{k}+ {\widetilde {\phi }}_{k}{\widetilde {e}}^{k})_{j}+{\mathcal {O}}(\phi ^{3})

care nu arată îndeplinirea explicită a teoremei Goldstone. Cu toate acestea, din condiția invarianței gauge a minimului potențialului (a nu se confunda cu vidul, vorbim despre invarianța valorii potențialului și a derivatelor sale)

{\frac {\partial V}{\partial \varphi _{j)}}(\exp {(-ie\alpha ^{a}T_{a})}\varphi _{0})=0 \Rightarrow _{\alpha \rightarrow 0}-ie\alpha ^{a}(T_{a}\varphi _{0})_{i}{\frac {\partial ^{2}V(\varphi _{ 0})}{\partial \varphi _{i}\varphi _{j}}}=0

Pentru simetria neîntreruptă, egalitatea este adevărată , dar pentru simetriile întrerupte, relația este adevărată și având în vedere că din combinații liniare obținem baza , rezultă , așadar, reprezentăm Lagrangianul sub forma $T_{H,a}\varphi _{0}=0$ $-iT_{G/H,a}\varphi _{0}=E_{a}\neq 0$ $E_{a}$ $e_{a}$ $e_{i}^{a}{\frac {\partial ^{2}V(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j))} =0.$ $\mathcal{L}$

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi _{i}\partial _{\mu }\phi ^{i}+{\ frac {1}{2}}\partial ^{\mu }{\widetilde {\phi _{i}}}\partial _{\mu }{\widetilde {\phi }}^{i}-{\frac {1}{2}}(m^{2})^{kl}{\widetilde {\phi }}_{k}{\widetilde {\phi }}_{l}+{\mathcal {O}} (\phi ^{3})

unde sunt masele . Această concluzie demonstrează teorema Goldstone. De fapt, aceasta este o considerație a ruperii spontane a simetriei în cazul general, care, totuși, poate fi realizată cu ușurință în cazul unei simetrii specifice, ca în exemplele de mai sus. ${\displaystyle (m^{2})^{kl}=({\widetilde {e}}^{k})_{i}({\widetilde {e}}^{l})_{j}{ \frac {\partial ^{2}V(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\varphi _{j))))$

Încălcarea simetriei gabaritului local

Teorema Goldstone [14] [15] considerată mai sus afirmă că atunci când simetria gauge este încălcată, apar bosoni fără masă și fără spin. Datorită absenței unor astfel de particule în natură, teorema lui Goldstone a fost văzută ca un contraargument împotriva simetriilor rupte. Cu toate acestea, s-a dovedit că, dacă simetria gauge locală, mai degrabă decât globală, este încălcată, atunci nu există bosoni Goldstone fără masă și, în schimb, câmpurile vectoriale gauge dobândesc masă [16] [17] . Ruperea spontană a simetriei gauge locale este un fenomen important în teoria câmpului, deoarece duce la achiziționarea maselor prin câmpuri gauge (reamintim că termenii de masă pentru câmpul gauge în sine nu sunt invarianți gauge, deci sunt absenți în Lagrangianul unui câmp cu simetrie neîntreruptă). Un astfel de mecanism se numește mecanismul de generare de masă Higgs .

Transformările locale diferă de transformările globale prin prezența unei dependențe de coordonate . Această dependență duce la apariția câmpurilor gauge în Lagrangian (în cazul unui câmp Klein-Gordon încărcat , un câmp electromagnetic cu grupul de simetrie , iar când se consideră un vector tricomponent al câmpurilor scalare cu un grup de simetrie , un gauge ). câmp care poate fi identificat cu câmpul gluon de culoare al interacțiunii nucleare puternice și etc.). $\alpha =\alpha (x)$ $U(1)$ $SU(3)$

Luați în considerare lagrangianul

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}{\mathcal {D}}^{\mu }\varphi _{i}{\mathcal {D}}_{\mu }\varphi ^{i}-V(\varphi _{i})-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F_{a}^{\mu \nu }

unde este un set de câmpuri scalare, este tensorul câmpului de măsurare corespunzător și este derivata covariantă a lui . Potențialul vectorial este în general o matrice care acționează asupra unei coloane vectoriale . Indicele variază de la 1 la și enumerează componentele expansiunii potențialului peste generatorii grupului de simetrie. Acest Lagrangian este invariant sub transformările locale de gauge care formează grupul . Câmpurile sub transformări gabarite sunt transformate după cum urmează: $\varphi _{i}$ $N$ ${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+\ stânga[A_{\mu },A_{\nu }\right]^{a))$ ${\mathcal {D}}_{\mu }\varphi _{i}=\partial _{\mu }\varphi _{i}+(A_{\mu })_{i}^{j }\varphi_{j}$ $\varphi =\mid \mid \varphi _{1},\varphi _{2},...,\varphi _{N}\mid \mid ^{T)$ $A$ $\dim G$ $\omega _{j}^{i}=\omega _{j}^{i}(x),$ $G$

\varphi _{i}\rightarrow \omega _{i}^{j}\varphi _{j},\qquad A_{\mu }\rightarrow \omega A_{\mu }\omega ^{-1 }+\omega \partial _{\mu }\omega ^{-1}

. Cazul unui vid invariant

Dacă minimul este realizat la , atunci în acest caz Lagrangianul poate fi extins într-o serie Taylor în vecinătatea vidului, iar Lagrangianul poate fi obținut în aproximarea pătratică $V$ $\varphi _{i}=0$

{\textstyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi _{i}\partial _{\mu }\varphi ^{i}-{\ frac {1}{2}}(m^{2})^{ij}\varphi _{i}\varphi _{j}-{\frac {1}{4}}(\partial _{\mu } A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a})^{2}+{\mathcal {O))(\varphi ^{3},\varphi ^ {2}A,\varphi A^{2},A^{3}),}

care descrie câmpuri scalare masive și câmpuri vectoriale gauge fără masă . Să calculăm numărul de grade de libertate de câmp ale mulțimii acestor câmpuri. Deoarece un câmp scalar are un grad de libertate și un câmp vectorial fără masă are două, numărul total de grade de libertate este . $N$ $\dim G$ $A_{\mu }^{a}$ $N+2\dim G$

Cazul unui vid neinvariant

Principala diferență între o simetrie locală a gabaritului și una globală este că constanta gabaritului depinde de coordonate . Această dependență de coordonate face posibilă, cu ajutorul unei alegeri adecvate, să dispară câmpurile tuturor bosonilor Goldstone fără masă din întreg spațiul. Un astfel de gabarit se numeste unitar (se poate arata ca in cazul grupurilor de gabarit compact exista intotdeauna [18] ). Cu toate acestea, acest gabarit duce la apariția în Lagrangian a unor termeni de masă de tipul , care, totuși, sunt invarianți de gabarit. Sub un gabarit unitar, termenii de masă apar exact pentru câmpurile gabaritului. Deoarece gabaritul unitar anihilează bosonii Goldstone și dă naștere bosonilor de gabarit masiv, se spune adesea că câmpurile vectoriale „mâncă” bosonii Goldstone și dobândesc mase. Condiția de gabarit unitar este scrisă în termenii „elementelor matricei” ale generatoarelor de simetrie întreruptă sub forma $\alfa$ $x^{\mu }$ $\alpha(x)$ $\varphi _{i}$ $\dim G-\dim H$ $a^{2}A^{\mu }A_{\mu )$ $\dim G-\dim H$

\varphi _{0}T_{G/H,a}\varphi =0

Această formulă înseamnă că câmpul este ortogonal cu toți vectorii din spațiul simetriilor întrerupte. Ruperea spontană a simetriei produce, de asemenea, câmpuri scalare masive numite bosoni Higgs. Numărul de câmpuri rezultate din ruperea spontană a simetriei gabaritului local este determinat de teorema Higgs. $\varphi$ $E_{k}=-iT_{G/H,k}\varphi _{0)$ $N-(\dim G-\dim H)$

Teorema Higgs [16] . Odată cu ruperea spontană a simetriei gauge locale, există câmpuri scalare masive (bosonii Higgs), câmpuri vectoriale fără masă și câmpuri vectoriale masive (numărul de bosoni gauge masivi este egal cu numărul de simetrii rupte). $N-(\dim G-\dim H)$ $\dim G-(\dim G-\dim H)=\dim H$ $\dim G-\dim H$

Acum să găsim numărul de variabile de câmp din acest sistem. Ținând cont de faptul că câmpul masiv are trei grade de libertate, numărul total de grade de libertate de câmp este , ceea ce coincide cu rezultatul pentru vidul invariant. $N-(\dim G-\dim H)+2\dim H+3(\dim G-\dim H)=N+2\dim G$

Exemplul 4. Încălcarea simetriei gabaritului local SO (3)

Luați în considerare lagrangianul

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}{\mathcal {D}}^{\mu }\varphi _{i}{\mathcal {D}}_{\mu }\varphi ^{i}-{\frac {\lambda }{2}}\left(\varphi _{i}\varphi ^{i}-a^{2}\right)^{2}-{\ frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F_{a}^{\mu \nu }

unde indicele variază de la 1 la 3. Alegem starea de vid sub forma . În mod similar cu exemplele anterioare, extindem funcțiile de câmp în vecinătatea vidului . În aproximarea câmpului pătratic, Lagrangianul este rescris sub formă $i$ $\varphi _{0}=\mid \mid 0;0;a\mid \mid ^{T)$ $\varphi =\varphi _{0}+\phi$

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi _{3})^{2}-2\lambda a^{2}( \phi _{3})^{2}-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_ {\mu }^{a}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\phi _{1}-eaA_{\mu }^{ 2}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\phi _{2}+eaA_{\mu }^{1}\right)^ {2}+{\mathcal {O}}(\phi ^{3},\phi ^{2}A,\phi A^{2},A^{3})

Lagrangianul rezultat este diagonalizabil folosind schimbarea variabilelor

{\displaystyle B_{\mu }^{1}=A_{\mu }^{1}+{\frac {1}{ea)}\partial _{\mu }\phi _{2},\qquad B_ {\mu }^{2}=A_{\mu }^{2}-{\frac {1}{ea))\partial _{\mu }\phi _{1))

Atunci Lagrangianul diagonalizat are forma

{\mathcal {L}}\approx {\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi _{3})^{2}-2\lambda a^{2} (\phi _{3})^{2}-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }^{3}-\partial _{\nu } A_{\mu }^{3}\right)^{2}-{\frac {1}{4))\left(\partial _{\mu }B_{\nu }^{1}-\partial _ {\nu }B_{\mu }^{1}\right)^{2}+{\frac {e^{2}a^{2}}{2}}(B_{\mu }^{1} )^{2}-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }B_{\nu }^{2}-\partial _{\nu }B_{\mu }^{ 2}\right)^{2}+{\frac {e^{2}a^{2}}{2}}(B_{\mu }^{2})^{2}

După cum putem vedea, Lagrangianul obținut ca urmare a ruperii spontane a simetriei descrie un câmp scalar cu masă , un câmp vectorial fără masă și două câmpuri vectoriale masive cu mase , ceea ce este în deplină concordanță cu considerațiile generale prezentate mai sus. $\phi _{3}$ $m_{\phi}=2a{\sqrt {\lambda })$ $A^{3}$ $B^{2},\;B^{3}$ $m_{B}=ea$

Este de remarcat faptul că ecartamentul unitar lasă o anumită simetrie în Lagrangian. Grupul acestei simetrii este grupul mic . În cazul ruperii simetriei (exemplul de mai sus), grupul mic este grupul de rotații în jurul axei . Rețineți că grupul este izomorf cu grupul de simetrie gauge al câmpului electromagnetic. $H$ $SO(3)$ $SO(2)$ $\phi _{3}$ $SO(2)$ $U(1)$

Dovada teoremei Higgs

Pentru a demonstra teorema Higgs, prin analogie cu demonstrarea teoremei Goldstone, extindem câmpul scalar . De asemenea, descompunem câmpul gauge cu generatoare de grup gauge : . În aproximarea pătratică, expansiunea pentru câmpurile scalare are aceeași formă ca în demonstrația teoremei Goldstone, pătratul tensorului câmpului și derivata covariantă în prima aproximare (deoarece o aproximare liniară a abaterilor de la vid este suficientă pentru a obţine o pătratică lagrangiană în abatere) se scrie sub formă $\varphi _{i}=\varphi _{0i}+\phi _{k}(e^{k})_{i}+{\widetilde {\phi }}_{k}({\ widetilde {e}}^{k})_{i}$ $G$ $A_{\mu }=ie(A_{H,\mu }^{a}t_{H,a}+A_{G/H,\mu }^{a}t_{G/H,a} )$ ${\displaystyle -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F_{a}^{\mu \nu }=-{\frac {1}{4}}\left (\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}\right)^{2))$

{\mathcal {D))_{\mu }\varphi \approx \partial _{\mu }\varphi +A_{\mu }\varphi _{0}=\partial _{\mu }\varphi +ieA_{G/H,\mu }^{a}T_{G/H,a}\varphi _{0}=e^{k}\partial _{\mu }\phi _{k}+{\ widetilde {e}}^{k}\partial _{\mu }{\widetilde {\phi }}_{k}-eA_{G/H,\mu }^{a}E_{a}

Înlocuirea acestor expresii în Lagrangianul rezultat dă Lagrangianul în aproximarea pătratică în câmpuri

{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_ {\mu }^{a}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi _{k}-eA_{G/H,\mu } ^{a}K_{ak})^{2}+{\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }{\widetilde {\phi _{i))}\partial _{\mu } {\widetilde {\phi }}^{i}-{\frac {1}{2}}(m^{2})^{kl}{\widetilde {\phi }}_{k}{\widetilde { \phi }}_{l}+{\mathcal {O}}(\varphi ^{3},\varphi ^{2}A,\varphi A^{2},A^{3})

unde . Matricea este nedegenerată, deoarece de fapt este o matrice de tranziție între baze . Se pot introduce marje (corespunzatoare gabaritului unitar); atunci Lagrangianul final poate fi scris sub forma $K_{ak}=(E_{a})_{i}(e_{k})^{i}$ $K_{ak)$ $E_{a}=K_{ak}e^{k}$ $B_{\mu }^{a}=A_{G/H,\mu }^{a}-{\frac {1}{e))\partial _{\mu }\phi _{k} (K^{-1})^{ka}$ $B_{\mu }^{a}=A_{G/H,\mu }^{a}-{\frac {1}{e))\partial _{\mu }\phi _{k} (K^{-1})^{ka}$ $B_{\mu }^{a}=A_{G/H,\mu }^{a}-{\frac {1}{e))\partial _{\mu }\phi _{k} (K^{-1})^{ka}$ $B_{\mu }^{a}=A_{G/H,\mu }^{a}-{\frac {1}{e))\partial _{\mu }\phi _{k} (K^{-1})^{ka}$ $B_{\mu }^{a}=A_{G/H,\mu }^{a}-{\frac {1}{e))\partial _{\mu }\phi _{k} (K^{-1})^{ka}$

{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }A_{H,\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{H,\mu }^{a}\right)^{2}-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }B_{\nu }^{a}- \partial _{\nu }B_{\mu }^{a}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}M_{ab}^{2}B_{\mu }^{a }B_{\mu }^{b}+{\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }{\widetilde {\phi _{i))}\partial _{\mu }{\widetilde {\phi }}^{i}-{\frac {1}{2}}(m^{2})^{kl}{\widetilde {\phi }}_{k}{\widetilde {\phi } }_{l}+{\mathcal {O}}(\varphi ^{3},\varphi ^{2}A,\varphi A^{2},A^{3})

unde , , care demonstrează teorema Higgs. $(M^{2})_{ab}=e^{2}K_{ai}K_{bi)$ ${\displaystyle (m^{2})^{kl}=({\widetilde {e}}^{k})_{i}({\widetilde {e}}^{l})_{j}{ \frac {\partial ^{2}V(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\varphi _{j))))$

Încălcarea spontană a simetriei aproximative

În secțiunile anterioare, am luat în considerare situația în care Lagrangianul original are o anumită simetrie de grup , iar această simetrie este ruptă spontan. Acum luați în considerare cazul în care la Lagrangian se adaugă termeni mici cu simetrie, care distrug simetria (uneori prezența termenilor mici nesimetrici, spre deosebire de ruperea spontană a simetriei, se numește ruperea de simetrie moale). Încălcarea spontană a simetriei aproximative dă naștere la câmpuri fără spin de masă mică, numite bosoni pseudo-Goldstone [19] . $G$

Fie energia potențială să ia forma , unde termenul satisface condiția de invarianță față de transformările de grup : , este o perturbație care distruge simetria, este un parametru mic. Termenul schimbă starea de vid până la punctul . Atunci condiția minimă poate fi scrisă ca $V(\varphi)=V_{0}(\varphi)+\lambda V_{1}(\varphi)$ $V_{0}(\varphi )$ $G$ $(T_{a}\varphi _{0})_{i}{\frac {\partial V_{0}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i))}= 0$ $V_{1}(\varphi )$ $\lambda$ $V_{1}(\varphi )$ ${\overline {\varphi }}_{0}={\varphi }_{0}+\lambda {\varphi }_{0}^{(1))$

{\frac {\partial V}{\partial \varphi _{i)}}\left(\varphi _{0}+\lambda \varphi _{0}^{(1)}\right)= 0\Rightarrow {\frac {\partial V_{0}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i))}+\lambda \left[{\frac {\partial V_{1}( \varphi _{0})}{\partial \varphi _{i))}+{\frac {\partial ^{2}V_{0}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{ i}\partial \varphi _{j}}}\varphi _{0,j}^{(1)}\right]=\lambda \left[{\frac {\partial V_{1}(\varphi _{ 0})}{\partial \varphi _{i}}}+{\frac {\partial ^{2}V_{0}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j}}}\varphi _{0,j}^{(1)}\right]=0.

Dacă înmulțim ultima ecuație cu și ținem cont de faptul că dă cel de-al doilea termen (condiția ca valoarea vidului să fie invariantă la transformările grupului gauge, vezi demonstrația teoremei Goldstone), obținem $(T_{a}\varphi _{0})_{i)$ $0$

(T_{a}\varphi _{0})_{i}{\frac {\partial V_{1}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i))}= 0.

Ecuația rezultată se numește condiția de ajustare a vidului [20] . Dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci chiar și o mică perturbare duce la modificări atât de mari încât termenii de expansiune în vecinătate nu sunt mici corecții. Totuși, dacă este un grup compact Lie, această condiție este îndeplinită [3] . Prin analogie cu expansiunea într-o serie Taylor din paragraful „Demonstrarea teoremei Goldstone”, se poate obține matricea de masă a bosonilor pseudo-Goldstone. ${\overline {\varphi }}_{0}$ ${\overline {\varphi }}_{0}$ ${\varphi }_{0)$ $G$

(m^{2})^{kl}=({e}^{k})_{i}({e}^{l})_{j}{\frac {\partial ^{2 }V}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j}}}\left(\varphi _{0}+\lambda \varphi _{0}^{(1)}\right)= \lambda ({e}^{k})_{i}({e}^{l})_{j}\left[{\frac {\partial ^{2}V_{1}(\varphi _{ 0})}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j))}+{\frac {\partial ^{3}V_{0}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j}\partial \varphi _{n}}}\varphi _{0,n}^{(1)}\right]

care este definit pozitiv [3] [19] .

Ruperea de simetrie a câmpului cuantic

În teoria cuantică, variabila câmp încetează să mai fie doar o funcție reală sau complexă de coordonate, ci devine un operator liniar definit pe spațiul Hilbert al stărilor de câmp, care în reprezentarea Fock, sau a doua cuantizare , au forma [21] [ 22] $\varphi(x)$ ${\widehat {\Phi }}(x)$

|...,n_{\textbf {k}},...\rangle =C(...,n_{\textbf {k}},...)\prod _{\textbf {k }}b_{\textbf {k}}^{+}|0\rangle ,

unde este constanta de normalizare, este operatorul de creare, care crește numărul de particule cu un anumit impuls cu 1; de exemplu, pentru bosoni , , este o stare de vid în care nu există particule (excitații). Mărimile observate sunt mediile operatorilor de câmp pe stările câmpului , unde este un operator care este polinom în operatorii de câmp. $C$ $b_{\textbf {k}}^{+}$ ${\textbf {k))$ $b_{\textbf {k}}^{+}|...,n_{\textbf {k}},...\rangle ={\sqrt {n_{\textbf {k}}+1} }|...,n_{\textbf {k}}+1,...\rangle$ $|0\gamă$ $\langle ...,n_{\textbf {k}},...|{\widehat {A}}|...,n_{\textbf {k}},...\rangle$ $\widehat {A}$

Totuși, se poate demonstra că media operatorului pe stări poate fi rescrisă în termenii mediei în vid a operatorului , care are și o formă polinomială în raport cu operatorii de câmp. Este convenabil să se calculeze astfel de valori de așteptare a vidului ca derivate funcționale ale așa-numitei funcționale generatoare, care se notează ca integrală funcțională $\widehat {A}$ $|...,n_{\textbf {k}},...\rangle$ $\langle 0|{\widehat {B}}|0\rangle$ ${\widehat {B}}$

Z=\int [d\varphi ][d\psi ][...]e^{iS[\varphi ,\psi ,...]},

unde este acţiunea clasică pentru câmpuri [22] . Funcționala generatoare este amplitudinea tranziției „vid-vid”. $S$ $\varphi ,\psi ,...$

Cel mai adesea, funcționalitatea generatoare și derivatele sale sunt calculate prin extinderea în vecinătatea acțiunii câmpurilor libere care nu interacționează (lagrangiene pătratice în câmpuri). Corecțiile unei teorii fără interacțiuni sunt calculate în mod convenabil folosind diagrame Feynman .

Ca și în mecanica cuantică în raport cu mecanica clasică, natura operatorului a câmpului duce la efecte cuantice netriviale. Uneori, corecțiile cuantice sunt nesemnificative, dar în general pot avea o contribuție semnificativă (potențial infinită). Pentru un câmp cuantic, există adesea anomalii cuantice - încălcări fundamentale ale unor simetrii inerente teoriei clasice în sistemul cuantic corespunzător. Prin urmare, imaginea fizică a ruperii de simetrie pentru câmpul clasic prezentat în secțiunea anterioară nu poate fi extrapolată direct la cazul cuantic și nu se poate afirma a priori că teoremele Goldstone sau Higgs vor fi valabile și în cazul cuantic.

Simetria ecartamentului global

Teorema lui Goldstone în cazul cuantic poate fi formulată cu ușurință folosind acțiunea efectivă (potențial). Această abordare introduce curenți clasici suplimentari care interacționează cu câmpurile scalare . Funcționalul generator poate fi rescris ca $J_{i}(x)$ $\varphi _{i}(x)$

Z[J]=\exp {(iW[J])},

unde valoarea este suma tuturor diagramelor de vid conectate , iar diagramele care sunt formate unele de altele prin permutarea vârfurilor nu sunt considerate diferite. Valorile medii în vid ale operatorilor de câmp la curenți clasici dat sunt rescrise în termeni de derivate variaționale ale $W[J]$ $\varphi _{J}^{i}(x)=\langle \Phi ^{i}(x)\rangle _{0,J)$ $J_{i}(x)$ $W[J]$

\varphi _{J}^{i}(x)={\frac {\delta }{\delta J_{i}(x)))W[J].

Notăm curentul pentru care media câmpului de vid este egală cu câmpul predeterminat . Transformarea Legendre a conduce la acțiunea efectivă cuantică [23] $J_{i}(x)$ $\varphi _{J}^{i}=\varphi ^{i)$ $W[J]$ $\Gamma [\varphi ]$

\Gamma [\varphi ]=-\int d^{4}x\varphi ^{i}(x)J_{i,\varphi}(x)+W[J].

Mărimea este suma tuturor diagramelor ireductibile cu o singură particulă cuplate în prezența unui curent . Se poate arăta că $\Gamma [\varphi ]$ $J_{i}(x)$

{\frac {\delta \Gamma [\varphi ]}{\delta \varphi ^{i}(x)))=-J_{i}(x).

În absența curenților externi , iar valorile așteptărilor de vid sunt determinate ca puncte staționare ale sistemului funcțional. $J_{i}(x)=0$

{\frac {\delta \Gamma [\varphi ]}{\delta \varphi ^{i}(x)))=0.

Acțiunea eficientă ia în considerare corecțiile cuantice ale tuturor comenzilor, oferind în același timp un tratament clasic al câmpului valorilor așteptărilor de vid ale operatorilor de câmp. Dacă presupunem că vidul este invariant sub transformările grupului neomogen Lorentz , atunci putem arăta că acțiunea efectivă se scrie ca $\Gamma [\varphi ]$ $\varphi _{i}(x)$

\Gamma [\varphi]=-{\mathcal {V}}_{4}V(\varphi),

unde este volumul spațiu-timp și este funcția obișnuită, care se numește potențial efectiv [3] . ${\mathcal {V}}_{4}$ $V(\varphi )$

Conform identităților Slavnov-Taylor [24] [25] , acțiunea efectivă este invariantă sub transformări infinitezimale ale câmpurilor de vid (aici de orice câmp, nu doar scalar). Pentru o clasă largă de așa-numitele transformări infinitezimale liniare, care includ transformări gauge, $\delta _{\varepsilon}\varphi ^{i}(x)=\varepsilon \langle F^{i}(x)\rangle _{J)$ $\varphi ^{i}(x)$

F^{i}(x)=s^{i}(x)+A_{j}^{i}\varphi ^{j}(x),

unde este o matrice constantă, acțiunea efectivă este invariantă sub aceleași simetrii ca și acțiunea clasică originală [3] . Astfel, dacă o astfel de simetrie nu este ruptă la nivel clasic, atunci ea nu va fi ruptă prin corecții cuantice în nicio ordine a teoriei perturbațiilor . $A_{j}^{i)$

Folosind potențialul efectiv, demonstrarea teoremei lui Goldstone în cazul cuantic poate fi realizată folosind aproape aceleași considerații ca și pentru câmpurile clasice (până la înlocuirea potențialului cu potențial efectiv și câmpurile clasice cu valorile așteptărilor în vid ale operatorilor de câmp). În teoria cuantică a câmpului, valoarea maselor bozonului pătrat după ruperea simetriei este determinată de valorile proprii ale matricei de masă . Și deoarece, așa cum sa menționat mai sus, simetria acțiunii efective (potențialului) în raport cu transformările gauge este aceeași cu cea a acțiunii inițiale, numărul de valori proprii zero ale matricei de masă cuantică este același ca și pentru cea clasică, iar teorema Goldstone este valabilă și în cazul cuantic. $(m^{2})_{ij}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi ^{i}\partial \varphi ^{j)))$

Simetria gabaritului local

În teoria cuantică a câmpurilor, teorema Higgs rămâne valabilă, deși din motivele prezentate la începutul secțiunii, tratarea matematică a problemei este dificilă. Pentru a elimina modurile „non-fizice” Goldstone atunci când se ia în considerare încălcarea simetriei gabaritului local din câmpul clasic, s-a folosit gabaritul unitar. Cu toate acestea, atunci când se aplică un gauge unitar în teoria câmpului cuantic, se dovedește că propagatorul de câmp gauge are un comportament asimptotic și, prin urmare, nu este posibil să se verifice teoria pentru renormalizare într-un mod simplu (prin numărarea gradelor). În teoria cuantică a câmpului se folosește așa-numitul -gauge, care depinde de un parametru real, care este o generalizare a gauge-ului unitar [26] [27] [28] . Avantajul familiei de astfel de instrumente este comportamentul asimptotic al propagatorului de câmp de măsurare. ${\mathcal {O}}(1)={\mathcal {O}}(k^{0})$ $\xi$ $R_{\xi )$ ${\mathcal {O}}(k^{-2})$

Într-un fel sau altul, alegerea calibrării impune condiții suplimentare asupra variabilelor de câmp care trebuie luate în considerare la cuantificare. În teoria câmpului, astfel de condiții sunt luate în considerare în cadrul metodei Faddeev-Popov [29] . Luați în considerare lagrangianul

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}{\mathcal {D}}_{\mu }\varphi {\mathcal {D}}^{\mu }\varphi - V(\varphi )-{\frac {1}{4}}(F_{\mu \nu }^{a})^{2}.

Extinderea câmpurilor scalare în vecinătatea minimului , îl putem rescrie ca funcție și : . În acest caz, gabaritul este fixat de condiția , iar matricea a fost introdusă în secțiunea anterioară când se consideră demonstrarea teoremei Higgs în cazul clasic. Toate astfel de condiții . Să introducem funcții care vor ține cont de calibrări. La -gauge trece în ecartamentul Landau . Ecartamentul unitar se obtine in limita . $\varphi (x)=\varphi _{0}+\phi (x)$ $A$ $\phi$ ${\mathcal {L}}(A,\phi )$ $\partial ^{\mu }A_{\mu }^{a}-\xi e\phi _{i}(K^{-1})^{ai}=0$ $K^{ai}$ $\dim G-\dim H$ $G^{a}={\frac {1}{\sqrt {\xi }}}(\partial ^{\mu }A_{\mu }^{a}-\xi g\phi _{i }(K^{-1})^{ai})$ $\xi \rightarrow 0$ $R_{\xi )$ $\partial _{\mu }A_{a}^{\mu }=0$ $\xi \rightarrow \infty$

Teoria este cuantificată folosind funcționalitatea generatoare

Z=C\int ({\mathcal {D}}A)({\mathcal {D}}\phi )\exp \left[i\int d^{4}x({\mathcal {L} }(A,\phi )-{\frac {1}{2}}G^{2})\right]\det \left({\frac {\delta G}{\delta \alpha }}\right) ,

unde sunt parametrii de măsurare ai simetriilor întrerupte. Ca rezultat, pătratica lagrangiană în câmpuri ia forma $\alfa$

{\mathcal {L}}\approx -{\frac {1}{2}}A_{\mu }^{a}\left(\delta ^{ab}\left[-\eta ^{\ mu \nu }\partial ^{2}+(1-{\frac {1}{\xi }}\partial ^{\mu }\partial ^{\nu })\right]-\eta ^{\mu \nu }(m_{A}^{2})_{ab}\right)A_{\nu }^{b}+{\frac {1}{2))(\partial _{\mu }\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}(m_{G}^{2})_{ij}\phi _{i}\phi _{j}+{\frac {1}{ 2}}(\partial _{\mu }{\widetilde {\phi }})^{2}-{\frac {1}{2}}(m_{H}^{2})_{ij}{ \widetilde {\phi }}_{i}{\widetilde {\phi }}_{j},

unde matricele iau forma , , . $(m_{A}^{2})_{ab}=g^{2}K_{ai}K_{bi)$ $(m_{G}^{2})_{ij}=\xi g^{2}K_{ia}K_{ja)$ $(m_{H}^{2})_{ij}=({\widetilde {e}}^{k})_{i}({\widetilde {e}}^{l})_{ j}{\frac {\partial ^{2}V(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\varphi _{j))}+\xi g^{2}K_{ia }K_{ja}$

Determinantul sub integrală poate fi luat în considerare adăugând la Lagrangianul sistemului Lagrangianilor fantomă Faddeev-Popov : . ${\mathcal {L}}_{gh}={\overline {c}}\left(-\partial ^{2}-\xi m_{A}^{2}{\frac {\phi ( x)}{\varphi _{0}}}\right)c$

Prezența maselor bosonilor Goldstone (care, totuși, sunt proporționale cu ) și -dependența maselor bosonilor Higgs depind de gauge, ceea ce înseamnă că aceștia nu sunt fizici. Dacă nu sunt luate în considerare, atunci matricele de masă rezultate arată acord deplin între teorema cuantică și cea clasică Higgs. Cu toate acestea, valorile masei însele se pot schimba oarecum datorită prezenței corecțiilor cuantice. $\sim {\sqrt {\xi ))$ $\xi$

Mezonii Pi ca pseudogoldstones

Ca exemplu de ruptură a simetriei în teoria câmpului cuantic, luați în considerare ruperea simetriei chirale a cromodinamicii cuantice cu quarci fără masă . Lagrangianul fermionic al quarcilor fără masă are forma $SU(2)\time SU(2)$

{\mathcal {L}}=i{\overline {u}}\gamma ^{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }u+i{\overline {d}}\gamma ^{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }d,

unde bara de deasupra câmpului înseamnă conjugarea Dirac , iar spinorii corespund cu - și -cuarci. În general, spinorii cuarcilor formează tripleți de culoare, dar nu le vom scrie explicit aici. Un astfel de Lagrangian fără masă este invariant sub transformările grupului dublet isospin ${\overline {u}}=u^{\dagger }\gamma ^{0}$ $u,\,d$ $u$ $d$ $SU(2)\time SU(2)$

\left|\left|{\begin{array}{c}u\\d\end{array}}\right|\right|\rightarrow \exp {\left(i\alpha _{V}^ {a}{\frac {\sigma _{a}}{2}}+i\alpha _{A}^{a}\gamma ^{5}{\frac {\sigma _{a}}{2} }\right)}\left|\left|{\begin{array}{c}u\\d\end{array}}\right|\right|,

unde , si sunt matrici Pauli . Această simetrie corespunde curenților de simetrie vectorială și axială $t_{a}={\frac {\sigma _{a}}{2}}$ $\sigma _{a}$

V_{a}^{\mu }=i{\overline {q)}\gamma ^{\mu }t_{a}q,\quad A_{a}^{\mu }=i{\overline {q}}\gamma ^{\mu }\gamma _{5}t_{a}q,

cu ecuațiile de continuitate corespunzătoare , unde denotă dubletul cuarcului isospin. Sarcinile de simetrie corespunzătoare sunt generatoare de isospin și simetrii reziduale. Acţionând asupra câmpurilor de cuarci, aceşti operatori induc transformări $\partial _{\mu }V_{a}^{\mu }=0,\,\partial _{\mu }A_{a}^{\mu }=0$ ${\displaystyle q=||u,d||^{T))$ ${\widehat {I}}_{a}=\int d^{3}xV_{a}^{0},\;{\widehat {X}}_{a}=\int d^{ 3}xA_{a}^{0}$

[{\widehat {I}}_{a},q]=-t_{a}q,\;[{\widehat {X}}_{a},q]=-\gamma ^{5 }t_{a}q

Dacă simetria nu este întreruptă, atunci fiecărui hadron îi corespunde analogului său aceleași numere cuantice ( spin , sarcină barionică ), dar cu paritate opusă . Cu toate acestea, nu se observă o degenerare a parității spectrului hadronului, așa că ar trebui să se presupune că simetria chirală cu generatoarele este întreruptă. $SU(2)\time SU(2)$ $X_{a}$

Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că, datorită prezenței termenilor de masă în Lagrangian, simetria este aproximativă. Prin urmare, așa cum sa arătat în secțiunea anterioară, bosonii pseudo-Goldstone de masă scăzută apar în spectrul particulelor. Ele trebuie să fie fără spin, să aibă sarcină barionică zero, isospin egal cu 1 și paritate negativă. Cei mai ușori dintre toți hadronii sunt tocmai -mezonii ; mai mult, au numerele cuantice necesare. Se poate arăta [3] că pătratul matricei masei -mezonului dă masa -mezonului 140 MeV la 10 MeV, ceea ce corespunde realității. $-m_{u}{\overline {u}}u-m_{d}{\overline {d}}d$ $SU(2)\time SU(2)$ $\pi$ $\pi$ $m_{\pi }^{2}\sim (m_{u}+m_{d})$ $\pi$ $m_{u}+m_{d}\sim$

Câmpul Higgs și ruperea simetriei dinamice

Ruperea simetriei dinamice [30] [31] [32] constă în ruperea simetriei prin efecte cuantice ale polarizării în vid. Astfel de efecte de polarizare rupe simetria clasică originală a grupului , reducându-l la o simetrie cu un grup mic . Polarizarea în vid poate duce la dobândirea de masă de către particule inițial fără masă [33] . Într-o astfel de ideologie, bosonul Higgs este introdus în teorie astfel [34] . Să existe un sistem de câmpuri de material și gabarit, pe care le notăm pentru comoditate printr-o singură literă . Fie acțiunea corespunzătoare să fie invariantă sub transformări ale grupului gauge . Să introducem în sistem câmpul Higgs extern clasic , care reduce simetria gauge la un grup mic . Să notăm acțiunea unui astfel de sistem . Scriem funcționalitatea generatoare în următoarea formă (cu integrare numai peste câmpurile , presupunând că câmpul este dat): $G$ $H$ $\varphi$ $S[\varphi ]$ $G$ $\sigma$ $H$ $S[\varphi ,\sigma ]$ $\varphi$ $\sigma$

Z_{\sigma}=\int [d\varphi]e^{iS[\varphi,\sigma]}

Acum să adăugăm o acțiune „seed” pentru câmpul Higgs la acțiune și să adăugăm integrare peste câmpuri în funcționalitatea de generare : $S[\varphi ,\sigma ]$ $S_{\sigma }$ $\sigma$

Z=\int [d\varphi][d\sigma]e^{iS[\varphi,\sigma]+iS_{\sigma }}

Integrarea câmpului generează unele acțiuni eficiente pentru câmpul Higgs: $\varphi$

Z=\int [d\varphi][d\sigma]e^{iS[\varphi,\sigma]+iS_{\sigma }}=\int [d\sigma]e^{iS_{eff} +iS_{\sigma ))

Avantajul acestei abordări este de a obține o contribuție netrivială la câmpul Higgs, care provine din sistemul inițial de câmpuri . Prin metode analoge în electrodinamica cuantică se obțin corecții neliniare la Lagrangian [35] . $\varphi$

Ruperea simetriei în fizica statistică

Diferite sisteme statistice pot fi reprezentate ca niște câmpuri cuantificate. Astfel, un sistem de particule Bose (de exemplu, 4 He) este un câmp scalar complex, un sistem Fermi ( 3 He) este reprezentat ca un câmp spinor . Cu toate acestea, cel mai adesea lagrangienii din fizica statistică cuantică sunt eficienți și fenomenologici, iar câmpurile corespunzătoare descriu anumite excitații în sistem ( teoria Ginzburg-Landau [36] , plasmonii , fononii , excitonii etc.).

Aparatul matematic al teoriei câmpurilor cuantice este aplicat studiului sistemelor statistice ale multor particule. În același timp, în fizica statistică, termenii teoriei cuantice a câmpurilor își au analogii lor. Deci, de exemplu, analogul funcționalului generator este suma statistică , care este reprezentată ca o integrală funcțională

Z=e^{-\beta F[\varphi ]}=\int ({\mathcal {D))\varphi )\exp {\left(-\beta \int d^{3}x\left [e(x)-\mu (T)\varphi ^{\dagger }\varphi \right]\right)},

unde este energia liberă Helmholtz , care are semnificația unui analog al acțiunii clasice în teoria câmpului cuantic, este mulțimea câmpurilor model, este temperatura reciprocă, este densitatea energiei în vecinătatea punctului , este potențialul chimic . $F$ $\varphi$ $\beta =1/T$ $e(x)$ $X$ $\mu$

Este clar că, ca și în cazul teoriei cuantice a câmpului, la cuantizarea unui sistem statistic, apar corecții cuantice, care pot avea orice efect asupra sistemului. Cu toate acestea, prin analogie cu secțiunea anterioară, putem introduce un potențial eficient, care este convenabil de utilizat pentru a studia sistemul. Dacă acest lucru este suficient, atunci este posibil să se lucreze în aproximarea câmpului mediu, în cadrul căruia se presupune că

F\aprox E=\int d^{3}x\left[e(x)-\mu \varphi ^{\dagger }\varphi \right].

Tranzițiile de fază ca ruperea spontană a simetriei

Când temperatura se modifică, se modifică atât densitatea de energie a sistemului (datorită unei modificări a potențialului de interacțiune), cât și potențialul chimic; prin urmare, se poate întâmpla ca la temperaturi peste o anumită temperatură critică, energia minimă să se găsească într-o configurație a sistemului, iar sub aceasta în alta. Sistemul trece de la o stare care nu mai este stabilă la o anumită temperatură la o nouă stare stabilă. Macroscopic, se observă o tranziție de fază . $T_{c}$

Câmpurile de abatere de la starea de vid sunt identificate cu fluctuații termodinamice. Odată cu ruperea spontană a simetriei în fizica statistică, pe lângă scalari masivi, apar întotdeauna moduri de fluctuație fără masă, care sunt numite bosoni Goldstone (adesea Nambu-Goldstone). Prezența modurilor Goldstone fără masă conduce la un spectru de energie fără întrerupere a sistemului ( teorema Hugenholtz-Pines [37] ). Modul Goldstone este, de asemenea, responsabil pentru fluctuațiile corelate în întregul sistem (așa-numitul ordin off-diagonal long-range; de exemplu, în cazul unui amestec Bose, un condensat Bose). În fizica materiei condensate, modurile vibraționale masive sunt uneori denumite incorect bosonii Higgs.

Aproape toate tranzițiile de fază pot fi interpretate ca ruperea spontană a simetriei. Cu toate acestea, există stări ale materiei care nu pot fi reprezentate ca configurații de câmp perturbate spontan. Astfel de stări includ lichide de spin, precum și gazul de electroni în efectul Hall cuantic fracționat [38] .

Superfluiditate

Ca exemplu de ruptură spontană a simetriei în teoria tranzițiilor de fază, este luată în considerare trecerea unui lichid la o stare superfluid . După cum sa menționat mai devreme, un lichid Bose poate fi descris printr-un singur câmp complex . În teoria unui lichid Bose superfluid, presupunând că atomii lichidului sunt bile solide care interacționează numai în ciocniri directe ( -interacțiune), și nu există interacțiuni la distanță lungă, densitatea de energie poate fi scrisă ca [39] $^{4}El$ $\psi$ $\delta$

e(x)={\frac {\hbar ^{2}}{2M}}|\nabla \psi |^{2}+{\frac {g}{2}}|\psi |^{ patru},

unde este câmpul complex corespunzător funcției de undă a atomilor lichizi, M este masa atomilor lichizi și g este parametrul de interacțiune. Potențialul chimic are forma . Această expresie pentru densitatea de energie corespunde Lagrangianului din teoria Ginzburg-Landau [36] fără un câmp magnetic extern. Prima luare în considerare a suprafluidității în câmp cuantic a fost efectuată de Pitaevskii [40] . La temperaturi peste critice, energia are un minim la . În același timp, pe măsură ce temperatura scade sub valoarea critică, minimul este realizat la . Starea fundamentală devine infinit degenerată în raport cu faza . Energia liberă specifică (adică energia liberă pe unitate de volum) deasupra temperaturii critice este zero: . Cu toate acestea, sub temperatura critică (indiferent de valoarea fazei) , unde . Capacitate de căldură pe unitate de volum $\psi$ $\mu =-\mu _{0}\left(T/T_{c}-1\right)$ $\psi =0$ $|\psi |=a={\sqrt {-\mu _{0}(T/T_{c}-1)/V))$ $\phi =\arg {\psi )$ $f(T>T_{C})=0$ $f(T<T_{C})=-f_{0}\left(T/T_{c}-1\right)^{2)$ $f_{0}={\frac {\mu _{0}^{2}}{2V}}$

c=-T{\frac {\partial ^{2}f}{\partial T^{2}}}=\left\{{\begin{array}{c}0,\;T>T_ {c};\\{\frac {\mu _{0}^{2}}{V}}{\frac {T}{T_{c}^{2}}},\;T>T_{c }.\end{matrice}}\right.

Acest comportament al capacității termice corespunde unei tranziții de fază de ordinul doi . Extinderea câmpurilor și în cartierul vidului, obținem $|\psi (x)|=a+\rho (x)$ $\phi (x)=\phi _{0}+\gamma (x)$

\epsilon =\int d^{3}x\left[{\frac {1}{2}}\left((\nabla \rho (x))^{2}+(-2m^{2 })\rho (x)^{2}\right)+{\frac {1}{2}}a^{2}(\nabla \gamma (x))^{2}\right]

unde , . Abaterea de la vid, fiind în echilibru valorile corespund câmpurilor de excitație. După cum puteți vedea, există două moduri de oscilație: modul masiv și modul Goldstone fără masă . Modurile de oscilație sunt caracterizate de o lungime de corelație , care stabilește legea de amortizare exponențială a excitațiilor cu distanța . Deasupra punctului critic, există două moduri cu o lungime de corelație $\epsilon =2ME/\hbar ^{2}$ $m^{2}=-\mu 2M/h^{2}>0$ $\rho$ $\gamma$ $\xi _{\varphi}=1/m_{\varphi }$ ${\displaystyle e^{-|x|/\xi ))$

{\displaystyle \xi _{\psi }={\frac {1}{m}}={\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{2M\mu _{0}}}}{\frac {1}{\sqrt {T/T_{c}-1))))

Sub punctul critic pentru modurile fără masă Goldstone, lungimea corelației este infinită (aceasta înseamnă, de fapt, nu un comportament exponențial, ci al excitațiilor conform legii puterii), ceea ce corespunde corelației fluctuațiilor de fază în întregul sistem (de exemplu, un condensat Bose). Pentru un mod masiv în stare superfluid, avem dependența de temperatură a lungimii corelației în vecinătatea punctului critic de tranziție de fază.

\xi _{\rho }={\frac {1}{\sqrt {2|m^{2}|}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{2M\mu _{0)))){\frac {1}{\sqrt {1-T/T_{c))))

Unificarea interacțiunilor fundamentale

Modelul Glashow-Weinberg-Salam

Modelul Glashow-Weinberg-Salam [41] [42] [43] descrie interacțiunea electroslabă unificată cu un grup de simetrie gauge și patru bosoni vector gauge , unde indicele din partea de sus indică sarcina electrică a bosonului. Pe măsură ce energia scade, grupul de simetrie se descompune în grupul electrodinamic cu un boson gauge , fotonul . Rețineți că grupul neperturbat este grupul câmpului de hiperîncărcare și nu câmpul electromagnetic. De asemenea, în teorie apare un câmp scalar, care se transformă în funcție de reprezentarea fundamentală a grupului , deci are forma unui scalar complex bicomponent . În plus, există câmpuri materiale în model, de care nu le vom ține cont pentru simplitate. Lagrangianul câmpurilor gauge (mai precis, al sectorului bosonic) are forma $SU(2)_{L}\times U(1)_{Y)$ $B^{0},\;W^{0},\;W^{+},\;W^{-}$ $SU(2)_{L}\times U(1)_{Y)$ $U(1)_{\gamma )$ $U(1)_{Y}$ $SU(2)$ $\varphi =||\varphi _{1},\varphi _{2}||^{T)$

{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}(F_{Y}^{\mu \nu })^{2}-{\frac {1}{4}} (F_{L}^{a,\mu \nu })^{2}+{\mathcal {D}}^{\mu }\varphi ^{\dagger }{\mathcal {D}}_{\mu }\varphi -\lambda \left(\varphi ^{\dagger }\varphi -a^{2}\right)^{2},

unde derivata covariantă a se scrie ca $\varphi$

{\mathcal {D}}^{\mu }\varphi =\partial ^{\mu }\varphi +{\frac {i}{2}}e_{Y}Z_{U(1)}^ {\mu }\varphi +ie_{L}W_{SU(2)}^{a,\mu }{\frac {\sigma _{a}}{2}}\varphi ,

unde și sunt constantele de interacțiune ale câmpurilor corespunzătoare și este combinația dintre matricea de identitate și matricele Pauli . Alegem starea de vid sub forma . Evident, vidul este invariant sub acțiunea elementelor grupului mic , al cărui generator este matricea . Acest grup corespunde transformărilor gauge ale electrodinamicii. Este convenabil să introduceți un triplu de matrice și, de asemenea, să rescrieți parametrii și în ceea ce privește noii parametri și $e_{Y}$ $e_{L}$ $\sigma _{a}$ $\sigma_i$ $\varphi _{0}=||0,a||^{T)$ $U(1)_{\gamma )$ $t_{A}=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right)$ $t_{i}=\sigma _{i}/2$ $e_{Y}$ $e_{L}$ $e$ ${\mathcal {\theta }}_{W}$

e=e_{Y}\cos {\mathcal {\theta }}_{W}=e_{L}\sin {\mathcal {\theta }}_{W},

în plus, parametrul se dovedește a fi egal cu sarcina electrică elementară, iar parametrul se numește unghiul Weinberg . În acest caz, derivata covariantă se va scrie sub forma $e$ ${\mathcal {\theta }}_{W}$

{\mathcal {D}}^{\mu }\varphi =\partial ^{\mu }\varphi +ie\left(A^{\mu }-{\rm {tg}}{\mathcal { \theta }}_{W}Z^{\mu }\right)t_{A}\varphi +i\left({\frac {e_{2}}{\cos {\mathcal {\theta }}_{ W))}Z^{\mu }t_{3}+e_{2}W_{+}^{\mu }t_{1}+e_{2}W_{-}^{\mu }t_{2} \right)\varphi ,

unde , , . ${\begin{pmatrix}A_{\mu }\\Z_{\mu}\end {pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta _{W} și\sin \theta _{W }\\-\sin \theta _{W}&\cos \theta _{W}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{\mu }\\W_{\mu }^{3}\ sfârșit{pmatrix}}$ $W_{\mu }^{+}=W_{\mu }^{1)$ $W_{\mu }^{-}=W_{\mu }^{2)$

În gauge unitar , unde este câmpul scalar real corespunzător bosonului Higgs , descoperit experimental în 2012. În aproximarea pătratică, Lagrangianul cu simetrie întreruptă poate fi scris ca $\varphi =||0,a+\phi ||^{T)$ $\phi$

{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu })^ {2}-{\frac {1}{4}}(\partial _{\mu }Z_{\nu }-\partial _{\nu }Z_{\mu })^{2}+m_{Z} ^{2}Z^{2}-\sum _{i=\pm }\left[{\frac {1}{4}}(\partial _{\mu }W_{\nu }^{i}- \partial _{\nu }W_{\mu }^{i})^{2}+m_{W}^{2}(W^{i})^{2}\right]+(\partial _{ \mu }\phi )^{2}-m_{\phi }^{2}\phi ^{2},

unde , , . $m_{W}={\frac {e_{2}a}{\sqrt {2)}}$ $m_{Z}={\frac {e_{2}a}{{\sqrt {2}}\cos {\mathcal {\theta }}_{W}}}$ $m_{\phi }=2{\sqrt {\lambda }}a$

Trebuie adăugat că corecțiile cuantice duc la o modificare a maselor bozonice și la dependența energetică a constantelor de interacțiune.

Model SU(5) al Grand Unified Georgie-Glashow

La energii înalte (~10 14 GeV), interacțiunile nucleare electroslabe și puternice se combină într-un singur câmp cu un grup de simetrie gauge, care la energii mai mici se descompune spontan în grupul Model Standard . În această secțiune, luați în considerare modelul Georgie-Glashow] cu cel mai mic grup de ecartament care permite o mare unificare $SU(3)_{C}\times SU(2)_{L}\times U(1)_{Y)$ $SU(5)$

În această teorie, toți fermionii sunt combinați în trei generații de multipleți cu 15 componente , constând din multipleți cu 5 și 10 componente, care corespund celor mai mici dimensiuni ale reprezentărilor de grup ireductibile . Sectorul cu 5 componente al multipletului cu 15 componente include tripletul de culoare din dreapta al quarcilor de tip - (o componentă pentru fiecare culoare) și dubletul izospin al leptonului din stânga ( electron și neutrin ): . Sectorul cu 10 componente conține tripletele quarcului stâng și drept , tripletul quarcului stâng și electronul drept: . $SU(5)$ $d$ $5=||d_{R};e_{L}^{-},\nu _{L}||$ $u$ $d$ $10=||u;d_{L};e_{R}^{-}||$

Cu simetrie exactă, grupul conține bosoni gauge fără masă. Există trei bosoni responsabili de tranzițiile în cvintetul de leptoni și legați de grup , precum și un boson corespunzător grupului . Ca și în modelul standard , fotonul și bosonul sunt suprapuneri ortogonale ale câmpurilor și . Există, de asemenea, 8 gluoni care fac tranziții între trei quarci de culoare și sunt generatori de grupe . Restul de bosoni de 12 gauge sunt triplete de patru culori și . Bosonii și sunt responsabili pentru interacțiunile , și , respectiv , . $SU(5)$ $5\times 5-1=24$ $W^{+},Z^{0},W^{-}$ $SU(2)_{L}\subset SU(5)$ $B^{0)$ $U(1)_{Y}$ $Z^0$ $W^{0)$ $B^{0)$ $SU(3)_{C)$ $X_{\pm 4/3)$ $Y_{\pm 4/3)$ $X$ $Y$ $\nu _{e}-d_{R}$ $e_{R}^{-}-u_{L)$ $d_{L}-u_{R}$ $e_{L}-d_{R}$ $e_{R}-d_{L}$ $u_{L}-u_{R)$

Pe măsură ce energia scade, simetria este întreruptă până la . În acest caz, bosonii gauge - și - dobândesc mase de 10 14 GeV. $SU(5)$ $SU(3)_{C}\times SU(2)_{L}\times U(1)_{Y)$ $X$ $Y$

În plus, este posibil să se introducă neutrini masivi dreptaci în model (sub formă de singlet ). Astfel de neutrini pot interacționa cu cvintetul folosind bosonii Higgs, care sunt produși prin ruperea spontană a simetriei Grand Unified. $SU(5)$ $SU(5)$

Modelul Georgi-Glashow prezice o durată de viață a protonilor de ~10 29 de ani [45] , totuși, experimentele moderne de la Super-Kamiokanda dau o estimare mai mică pentru durata de viață a protonilor de 10 32 de ani, eliminând complet posibilitatea realizării simetriei în cea mai simplă versiune. a modelului. $SU(5)$

Model SO(10) și modele cu grupuri de ecartament mai mari

Următorul grup de calibru minim care poate descrie Marea Unificare este grupul [46] , unde fermionii formează un multiplet cu 16 componente: un neutrin stâng este adăugat la 15 fermioni. Se poate demonstra că există un total de bosoni gauge care pot dobândi masă prin ruperea spontană a simetriei . Un astfel de model este exclus și din cauza absenței dezintegrarii protonilor. $SO(10)$ $SU(5)$ $10\times 9/2=45$ $SO(10)$

Cu toate acestea, sunt luate în considerare și grupurile superioare și (de exemplu, , etc.), precum și modelele în care grupul de gabarit este produsul a două sau mai multe grupuri simple: [47] , etc. O atenție deosebită se acordă lanțului de excepționale. grupuri $Soare)$ $SO(n)$ $SU(8)$ $SO(16)$ $SU(4)\time SU(4)$ $SU(3)\time SU(3)\time SU(3)$

E_{4}=SU(5)\subset E_{5}=SO(10)\subset

E 6 E 8 .

\subset E_{7}\subset

care apar în teoriile gravitaţiei multidimensionale şi teoria corzilor . Grupurile , E8 sunt suficient de mari pentru a găzdui diferite generații de particule. $E_7$

În ciuda numărului mare de câmpuri din grupurile de ordin superior, mecanismul de rupere spontană a simetriei în teoriile corespunzătoare este același cu cel descris mai sus.

Ruperea spontană a supersimetriei

Ruperea spontană a supersimetriei (spre deosebire de soft și dinamică) constă în obținerea unei teorii nesupersimetrice (explicit) în vecinătatea vidului cu supersimetrie. Ruperea supersimetriei este un proces necesar pentru a evita conflictul între modelele supersimetrice și experiment. Faptul este că supersimetria exactă presupune că superpartenerii (al căror număr coincide cu numărul de particule obișnuite) au aceeași masă ca și partenerii lor (particule obișnuite), ceea ce nu este observat în experiment. În timpul ruperii supersimetriei, superpartenerii dobândesc o masă suplimentară semnificativă și devin astfel de neatins în experimentele de până acum.

În ceea ce privește excitația simetriei gauge, se poate demonstra că corecțiile cuantice nu rup supersimetria dacă aceasta nu este ruptă la nivel clasic [48] . Cu toate acestea, diferența esențială dintre ruperea supersimetriei și simetria ecartamentului este afirmarea următoarei teoreme:

Teorema [48] . În orice teorie cu supersimetrie, fie toate supersimetriile sunt rupte, fie niciuna dintre ele nu este ruptă.

Criterii pentru ruperea supersimetriei

Medii de vid non-zero

Supersimetria este întreruptă dacă și numai dacă supraîncărcările nu distrug starea de vid: . Pentru media în vid a variației câmpului, se poate scrie . Cu alte cuvinte, supersimetria este întreruptă dacă și numai dacă valoarea așteptată a vidului unui câmp nu este egală cu 0. Aceasta necesită invarianța Lorentz a vidului. $Q_{a}$ $Q_{a}|0\rangle \neq 0$ $\varphi$ $\langle \delta \varphi \rangle _{0}=\langle \left[\varphi ,Q_{\alpha }\right]\rangle _{0}\neq 0$

De exemplu, pentru modelul Wess-Tsumino [49]

S=\int d^{4}x\left(-{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }A)^{2}-{\frac {1}{2} }}(\partial _{\mu }B)^{2}-{\frac {1}{2}}\chi ^{\dagger }\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\chi +{\frac {1}{2}}D^{2}+{\frac {1}{2}}F^{2}\right)

cu câmpuri bosonice şi fermionul Majorana . Câmpurile sunt complementare și dispar pe învelișul de masă; prezența lor este necesară pentru egalitatea gradelor de libertate bosonice și fermionice pe învelișul de masă și în afara acesteia. Pentru acest model, ținând cont de cerința invarianței Lorentz a vidului, rezultă că , , . Media diferită de zero a variației câmpului are forma . Astfel, supersimetria este întreruptă dacă și numai dacă valorile așteptărilor de vid ale câmpurilor suplimentare nu sunt egale cu 0. $A,B,D,F$ $\chi$ $D,F$ $\langle \chi _{\alpha }\rangle =0$ $\langle \partial _{\mu}A\rangle =0$ $\langle \partial _{\mu}B\rangle =0$ $\langle \delta _{\varepsilon }\chi _{\alpha }\rangle =((\langle F\rangle +i\gamma _{5}\langle D\rangle )\varepsilon )_{\alpha }$

Valoare potențială zero

Hamiltonianul teoriei supersimetrice cu supraîncărcări se scrie ca $Q_{a}$

H=\sum _{a}(Q_{a}Q_{a}^{\dagger }+Q_{a}^{\dagger }Q_{a})

Și aceasta, la rândul său, conduce la următoarea afirmație: starea de vid supersimetrică trebuie să aibă energie zero; dacă energia vidului este pozitivă, supersimetria este întreruptă. Într-adevăr, Hamiltonianul de așteptare a vidului satisface inegalitatea

\langle H\rangle =\sum _{a}(||Q_{a}|0\rangle ||^{2}+||Q_{a}^{\dagger }|0\rangle || ^{2})\geqslant 0

Aici, egalitatea este atinsă numai în cazul supersimetriei neîntrerupte . $Q_{a}|0\rangle =0$

Aceasta este diferența fundamentală dintre ruperea spontană a supersimetriei și ruperea spontană a simetriei gauge. Pentru acesta din urmă este importantă invarianța minimului potențialului, iar pentru supersimetrie, valoarea minimului său. Astfel, ruperea simetriei gauge este, într-un anumit sens, independentă de ruperea supersimetriei. Dacă minimul vidului întrerupt în raport cu simetria manometrului are energie zero, atunci supersimetria nu este întreruptă.

Goldstino și Higgsino

Atunci când supersimetria supercâmpului chiral este întreruptă, unde , sunt coordonatele Grassmann ale supraspatiului, așa-numita ruptură de supersimetrie de tip are loc atunci când valoarea așteptată de vid a câmpurilor scalare și adiționale dinamice este . Când supersimetria supercâmpului vectorial este întreruptă , iar ruperea supersimetriei corespunzătoare se spune a fi -tip. $\Phi (x,\theta,{\overline {\theta )))=\varphi (y)+\theta \chi (y)+\theta \theta F(y),$ $y=xi\theta \sigma ^{\mu }{\overline {\theta }}$ $\theta ,\;{\overline {\theta })$ $F$ $\langle F\rangle _{0}\neq 0$ $\langle D\rangle _{0}\neq 0$ $D$

În ambele tipuri de rupere de supersimetrie, există un spinor, care, sub acțiunea transformărilor supersimetrice, capătă un termen neomogen.

\delta _{\varepsilon}\lambda _{\alpha }=-2\varepsilon _{\alpha }\langle D\rangle +o(\varepsilon),\qquad \delta _{\varepsilon}\chi _{\alpha }=-2\varepsilon _{\alpha }\langle F\rangle +o(\varepsilon ).

Un astfel de spinor este numit fermion Goldstone sau goldstino.

Prin analogie cu mecanismul Higgs, în care bosonul vector „mâncă” bosonul Goldstone și devine masiv, în supergravitație gravitino „mâncă” goldstino (supermultipletul vector îl „mânâncă” pe cel chiral) și devine masiv. Un astfel de mecanism este numit mecanism super-Higgs [50] [51] .

Modelul O'Reiferty

Luați în considerare încălcările supersimetriei folosind exemplul modelului O'Reiferty [52] cu supermultipleți chirali , care este dat de Lagrangianul $n$ $\Phi _{i)$

\int d^{2}\theta d^{2}{\overline {\theta }}\sum _{i}{\overline {\Phi }}_{i}\Phi ^{i}+ \int d^{2}\theta W(\Phi )+hc,

unde bara de deasupra câmpului înseamnă Dirac sau conjugarea complexă, denotă termenul conjugat hermitian și superpotențialul $h.c.$

W(\Phi)=a_{i}\Phi ^{i}+{\frac {1}{2}}m_{ij}\Phi ^{i}\Phi ^{j}+{\frac {1}{3}}\lambda _{ijk}\Phi ^{i}\Phi ^{j}\Phi ^{k}

Acum, variind acțiunea, obținem o ecuație pentru câmpul suplimentar . Inlocuind solutia obtinuta se obtine energia potentiala ${\overline {F}}_{i}=-{\frac {\partial W}{\partial \varphi ^{i}}}=-(a_{i}+m_{ij}\varphi ^ {j}+\lambda _{ijk}\varphi ^{j}\varphi ^{k})$

V=\sum _{i}{\overline {F}}_{i}F^{i}=\sum _{i}\left|-{\frac {\partial W}{\partial \ varphi ^{i}}}\right|^{2}=\sum _{i}|a_{i}+m_{ij}\varphi ^{j}+\lambda _{ijk}\varphi ^{j} \varphi ^{k}|^{2}.

Supersimetria în acest model este ruptă dacă este imposibil să găsești un astfel de set pentru toate componentele. $\langle \varphi _{i}\rangle$ $\langle F^{i}\rangle =0$

Aspiratoare non-invariante

Când luăm în considerare încălcarea simetriei câmpului cuantic, am presupus că configurația în vid a câmpului este invariabilă sub transformările grupului neomogen Lorentz (rotații, amplificare și translații). Aceasta este o restricție nemotivată foarte puternică asupra configurațiilor de vid, ceea ce duce la faptul că vidul de câmp este același în toate punctele din spațiu. Cu toate acestea, se dovedește că sunt într-adevăr posibile configurații non-triviale dependente de coordonate ale vidului de câmp. Mai mult, astfel de configurații pot fi importante în calcularea funcționalei generatoare, deoarece influența lor nu este mică (de exemplu, contribuția instantonului [53] în cromodinamica cuantică ). Astfel de vid netrivial sunt, de asemenea, monopoluri magnetice [54] [55] , corzi cosmice [56] și pereți de domeniu [57] , care în principiu pot fi prezente în Univers și tratate ca defecte topologice ale spațiu-timpului cu un indicator electroslab neîntrerupt. simetria sau simetria Marelui Unificare . Astfel de stări de vid neinvariante realizează extremul funcțional de acțiune și sunt stabile în raport cu excitațiile.

Astfel de configurații sunt bine cunoscute în fizica materiei condensate. De exemplu, pereții domeniului dintre regiunile universului cu rupturi de simetrie diferite sunt analogi cu pereții domeniului feromagneților (de unde și numele lor), iar șirurile cosmice sunt similare liniilor vortex dintr-un supraconductor .

Unele configurații cu vid non-invariant care sunt luate în considerare de teoreticieni sunt prezentate mai jos.

Modelul mecanic al lui Unruh

Mai jos este un model mecanic simplu propus de Unruh. Luați în considerare un set de creioane care sunt așezate cap la cap pe o masă, iar capetele lor ascuțite sunt legate între ele prin benzi de cauciuc. Un astfel de sistem se află într-o stare de echilibru instabil - orice perturbare va determina căderea creioanelor și trecerea de la o stare instabilă la o stare stabilă de vid. Cu toate acestea, direcția căderii este aleatorie. Imaginea stării de echilibru are multe variante diferite. Desigur, este posibil ca creioanele să cadă într-o singură direcție. Totuși, se poate întâmpla și ca în jurul unui anumit creion toate celelalte creioane să cadă în direcții opuse. Apoi aceleași forțe de tensiune ale benzilor elastice de la creioanele care au căzut deja acționează izotrop asupra creionului central din toate părțile. Deoarece forța de tensiune acționează uniform, starea de vid anterior instabilă în punctul ales devine stabilă și creionul nu cade. Apare un punct care diferă de celelalte puncte în care simetria nu este întreruptă.

Configurații de vid cu simetrie de măsurare local neîntreruptă

În ceea ce privește modelul mecanic, dacă simetria ecartamentului este întreruptă, sunt posibile stări stabile cu simetrie punctual neîntreruptă. Astfel de soluții se numesc monopol Polyakov-t'Hoft [54] [55] .

Când simetria anumitor grupuri (de exemplu, ) este ruptă în grupul de simetrie electromagnetică , câmpul monopolului Polyakov-t'Hoft este similar cu un câmp magnetic, prin urmare este identificat cu monopoluri magnetice . În acest caz, se poate demonstra că monopolul are o sarcină magnetică care este un multiplu de , unde este sarcina electrică elementară. Sunt posibile, de asemenea, configurații de monopol cu o sarcină magnetică mare, dar se degradează la monopoluri cu o sarcină magnetică elementară [58] . Configurația câmpurilor scalare și de gabarit pentru monopolul Polyakov - t'Hoft poate fi aleasă în gabarit sub forma $G$ $SU(2)$ $U(1)$ $g={\frac {\pm 1}{e}}$ $e$ $g$ $A_{a0}=0$ $\varphi _{i}={\textbf {e}}_{i}\langle \varphi \rangle F(r),$ $A_{ai}={\frac {\varepsilon _{ail}{\textbf {e}}_{l}}{er}}G(r)$ ${\textbf {e}}_{i}={\frac {x_{i}}{r}}$ $\varepsilon_{ijk}$ $A$ $F(r),\,G(r)$

Câmpul monopolului Polyakov-t'Hoft în gabaritul pentru câmpuri scalare, unde este simbolul delta Kronecker , are forma $\varphi _{i}=\varphi \delta _{i3)$ $\delta _{{ij}}$

B_{i}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{ijk}(\partial _{j}A_{k}^{3}-\partial _{k}A_{j} ^{3})=-{\frac {{\textbf {e}}_{i}}{er^{2}}}.

Numărul de monopoluri care ar trebui formate ca urmare a încălcării simetriei Marii Unificări este de un monopol la 10 3 nucleoni, ceea ce contrazice datele observate. Absența monopolurilor se explică prin inflație . Se crede că s-au format înainte de tranziția de fază a câmpului cu simetria Marelui Unificat la simetria Modelului Standard , iar inflația care însoțește această tranziție a dus la lichefierea gazului monopolurilor [59] . Mai mult, absența monopolurilor magnetice este considerată unul dintre argumentele în sprijinul teoriei inflaționiste a evoluției Universului.

Există, de asemenea, configurații de câmp de vid punctual - dioni, care au atât sarcini electrice, cât și magnetice [60] .

Sunt de asemenea posibile configurații de câmp cu simetrie de gabarit local neîntreruptă de dimensiuni mari - acestea sunt șiruri cosmice unidimensionale [56] și pereți de domeniu [57] .

Instantons

Pentru teoriile câmpurilor neliniare (de exemplu, cromodinamica cuantică ), sunt posibile configurații de câmp netriviale în spațiul (1 + 3), care se numesc instantoni [53] . Ele sunt o generalizare a unui soliton în spațiul (1 + 3)-dimensional. Astfel de configurații realizează extremul de acțiune. Sunt neperturbative (nu pot fi obținute în nicio ordine de teorie a perturbației).

Cu toate acestea, contribuția instantonilor și a fluctuațiilor din vecinătatea stării instantonului la funcționalitatea generatoare este semnificativă. Instantonele rezolvă problema ruperii simetriei chirale [61] . În teoria interacțiunilor electroslabe, configurațiile instanton ale câmpului slab sunt cele care explică încălcarea numerelor de barion și lepton [62] . Stările Instanton joacă, de asemenea, un rol important în dezintegrarea unui vid fals (vezi mai jos) [63] [64] . $U(1)$ $SU(2)_{L)$

Skyrmions

Teoriile eficiente de câmp cu un Lagrangian liniar de tip sigma descriu bine comportamentul mezonului cu energie joasă. Cu toate acestea, pentru consecvență în calculul parametrilor de interacțiune ai mezonilor la energii înalte, este necesară completarea lagrangianului cu termeni cu puteri mai mari în derivate de câmp:

{\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{\sigma}(\varphi )+f_{abcd}{\varphi }\partial _{\mu }\varphi ^{a}\ parțial ^{\mu }\varphi ^{b}\partial _{\nu }\varphi ^{c}\partial ^{\nu }\varphi ^{d}+....

Prezența unor grade mai mari de derivate poate permite o configurație stabilă a câmpului de vid non-trivial, care se numește skyrmioni [65] .

Skyrmionii pot apărea și în fizica statistică [66] și în ruperea simetriei dinamice.

Diagonalizări ale Hamiltonianului instantaneu

Pentru vidurile neinvariante, nu există o înțelegere clară a ceea ce ar trebui să fie considerat particule și dacă este posibil să se vorbească despre particule în cazul unei configurații arbitrare de vid. În teoria cuantică a câmpurilor, operatorul de câmp este reprezentat în funcție de operatorii de creare și anihilare , care satisfac anumite relații (anti)comutații, a căror formă depinde de lagrangianul și de tipul câmpului (fermionic sau bosonic). Dacă Hamiltonianul corespunzător al teoriei este diagonal în raport cu acești operatori, atunci conceptul de particule are o interpretare simplă. Starea de vid este determinată din ecuație și corespunde stării cu cea mai mică valoare proprie a hamiltonianului, adică starea fără particule. Starea este considerată a fi o particulă cu impuls . ${\widehat {\Phi ))$ $b_{\textbf {k}}^{+},\,b_{\textbf {k}}$ $b_{\textbf {k}}|0\rangle =0$ ${\textbf {k))$ $|1_{\textbf {k}}\rangle =b_{\textbf {k}}^{+}|0\rangle$

Totuși, în cazul dependenței hamiltonianului (și, în consecință, a stărilor de vid și excitat) de timp, se dovedește că starea, care la un moment dat de timp este interpretată ca o particulă, nu va mai fi o particulă în momentele ulterioare de timp. Cu toate acestea, este posibil să se dezvolte un formalism simplu în cazul unui vid nestaționar, metoda de diagonalizare a Hamiltonianului instantaneu [67] . Conform acestei metode, se presupune că la un moment dat în timp, de exemplu, Hamiltonianul este diagonalizat și se găsesc operatorii de creare și anihilare ; aici indicele denotă toate numerele cuantice ale câmpului. Căutarea unui astfel de vid poate fi efectuată luând în considerare câmpurile care nu interacționează și incluzând adiabatic interacțiunea (parametrii de interacțiune) folosind factorul . $t_{0}=-\infty$ $b_{A}^{+}(t_{0}),\,b_{A}(t_{0})$ $A$ $t=-\infty$ $\lim _{\lambda \rightarrow +0}e^{\lambda t)$

Operatorii nașterii și anihilării în toate momentele ulterioare de timp sunt obținuți folosind transformările Bogolyubov

b_{A}(t)=u_{A}^{B}(t)b_{B}(t_{0})+v_{A}^{B}(t)b_{B}^{ +}(t_{0})

şi transformări obţinute din conjugarea dată (hermitiană sau complexă). Funcţiile sunt determinate din condiţia îndeplinirii relaţiilor de comutaţie corespunzătoare şi diagonalizarea hamiltonianului la un moment dat de timp . În acest formalism, din cauza neechivalenței vidului, în momente diferite ale evoluției sistemului, se vor observa nașteri și anihilări de particule (analog cu efectul Unruh ). Numărul de particule care se vor naște în momentul de timp este egal cu $u(t),\,v(t)$ $t$ $t$

N_{0}(t)=\sum _{A}\langle t_{0}|a_{A}^{+}(t)a_{A}(t)|t_{0}\rangle .

O astfel de interpretare corpusculară a vidurilor neinvariante nu este singura posibilă.

Gravitația ca câmp Higgs-Goldstone

Pentru prima dată despre posibilitatea de a trata un graviton ca pe o piatră de aur[ clarifica ] au subliniat Geisenberg și Ivanenko . Mai târziu, această idee a fost dezvoltată din diferite puncte de vedere [68] [69] [70] [71] [72] [73] . Această secțiune oferă o scurtă introducere a problemei.

Gauge gravity

Potrivit concepțiilor moderne, câmpurile interacțiunilor fundamentale apar din necesitatea invarianței funcției Lagrange a câmpului de materie în raport cu transformările locale de gabarit. După cum sa arătat mai devreme, pentru a include interacțiunea dintre câmpul de materie și câmpul gauge, derivata obișnuită a câmpului este înlocuită cu o derivată covariantă . În plus, câmpul gauge se modifică într-un anumit fel sub acțiunea transformărilor gauge. Transformările gauge formează un grup compact Lie .

Din punct de vedere geometric, câmpurile de gabarit sunt conexiuni într-un spațiu fibrat în cazul simetriilor interne de gabarit - într-un spațiu cu un mănunchi local trivial . Spațiul fibros generalizează conceptul de fascicul tangent , înlocuind spațiul tangent în fiecare punct al varietății cu un spațiu vectorial arbitrar - de exemplu, spațiul complex în cazul unui câmp Klein-Gordon încărcat sau spațiul unei perechi de leptoni ( ). Astfel, geometria teoriei câmpurilor gauge este foarte asemănătoare cu teoria relativității . $e,\,\nu _{e)$

Pe de altă parte, câmpul gravitațional ar trebui considerat ca un câmp gauge cu un anumit grup de simetrie . Cu toate acestea, se dovedește că există două simetrii gauge pentru câmpul gravitațional. Prima este dată de transformări covariante generale ale mărimilor tensorale

{T'}_{\nu _{1}...\nu _{n))^{\mu _{1}...\mu _{m))={\frac {\partial x'^{\mu _{1))}{\partial x^{\alpha _{1))))\cdot ...\cdot {\frac {\partial x'^{\mu _{m} }}{\partial x^{\alpha _{m}}}}{\frac {\partial x^{\beta _{1}}}{\partial x'^{\nu _{1}}}} \cdot ...\cdot {\frac {\partial x^{\beta _{n))}{\partial x'^{\nu _{n))))T_{\beta _{1}.. .\beta _{n}}^{\alpha _{1}...\alpha _{m}},

care constituie reflectarea matematică a principiului general al relativității al lui Einstein . Aceste transformări formează un grup . $GL(4,R)$

Cu toate acestea, principiul relativității în sine nu fixează în niciun fel structura pseudo-euclidiană (1 + 3)-dimensională a spațiului-timp. În plus, transformările generale covariante nu țin cont de încă o simetrie în teoria relativității generale, și anume simetria sub rotații, amplificari și translații în cadrele de referință locale (spații de varietate spațiu-timp). Pentru a lua în considerare aceste fapte, tensorul metric este introdus în teorie . Este convenabil să se reprezinte tensorul metric în forma tetradă , unde indicii notați cu litere latine reflectă indicii Lorentz locali, tetradele definesc tranziția dintre indicii Lorentz covarianți generali și cei locali și este tensorul Minkowski. $g^{\mu \nu )$ ${\displaystyle g^{\mu \nu }=\eta ^{ab}e_{a}^{\mu }e_{b}^{\nu ))$ $e_{a}^{\mu )$ ${\displaystyle \eta ^{ab}={\rm {diag}}{(1,-1,-1,-1)))$

Câmpul de simetrie covariantă generală gauge poate fi ușor identificat cu legătura câmpului gravitațional ( simboluri Christoffel ) . Într-adevăr, expresiile pentru derivata covariantă și transformările gauge ale conexiunii seamănă cu expresii similare pentru câmpul Yang-Mills $\Gamma _{\mu \beta}^{\alpha }$

\nabla _{\mu }A_{\beta}=\partial _{\mu }A_{\beta}-\Gamma _{\mu \beta}^{\alpha }A_{\alpha },

{\Gamma '}_{\mu \beta }^{\alpha }={\frac {\partial x'^{\alpha }}{\partial x^{\gamma }}}\left(\ Gamma _{\nu \sigma }^{\gamma }{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x'^{\mu }}}\right){\frac {\partial x^{ \sigma }}{\partial x'^{\beta }}}+{\frac {\partial x'^{\alpha }}{\partial x^{\gamma }}}\partial '_{\mu } {\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial x'^{\beta }}}.

În același timp, nu există o expresie analogă pentru tensorul metric (câmpul de tetradă), iar starea lui de măsurare rămâne neclară.

Metrica ca câmp Higgs-Goldstone

Această idee a fost dezvoltată în mare măsură de Ivanenko și Sardanashvili [72] [74] . În această secțiune, vă prezentăm esența sa principală.

În absența unui câmp gravitațional, varietatea spațiu-timp, precum și acțiunea câmpurilor materiale, sunt invariante sub transformările grupului neomogen Lorentz . Cu toate acestea, atunci când gravitația este activată, invarianța Lorentz a sistemului este încălcată. Există o ruptură de simetrie în care câmpul Higgs-Goldstone este asociat cu metrica . $g^{\mu \nu )$

Cu toate acestea, ca și în cazul încălcării simetriilor interne de gabarit, componenta Higgs invariantă Lorentz, tensorul Minkowski, poate fi distinsă în metrica . Abaterile de la metrica Minkowski (sau, echivalent, tetrade ) joacă rolul componentelor Goldstone. Cu toate acestea, spre deosebire de imaginea de rupere a simetriei câmpului Yang-Mills, câmpurile gravitaționale Goldstone pot fi anulate în fiecare punct al spațiu-timp printr-o alegere a gabaritului (după cum s-a spus, gabaritul unitar anulează modurile Goldstone numai pentru grupuri compacte de gabarit Lie) . Motivul geometric pentru aceasta este că transformările locale în spațiile tangente acţionează asupra derivatelor ca asupra vectorilor numai într-un spațiu plat, pentru care spațiul tangent este același cu el însuși. Într-un spațiu curbiliniu, vectorii cu privire la transformările locale sunt mărimile . Astfel, o încercare de a descrie întregul spațiu-timp curbiliniu exclusiv prin metrica lui Minkowski Higgs duce doar la o tranziție la formalismul tetradic [74] . $\eta ^{\mu \nu )$ $h_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu )$ $e_{a}^{\mu )$ $\partial_\mu$ $e_{a}^{\mu }\partial _{\mu )$

Gravitația ca efect al polarizării în vid

Un indiciu că câmpul gravitațional poate fi interpretat într-o manieră similară cu bosonul Higgs este posibilitatea de a obține Lagrangianul câmpului gravitațional ținând cont de polarizarea în vid [75] , așa cum a fost obținut mai sus Lagrangianul efectiv pentru câmpul Higgs. Luați în considerare un sistem de câmpuri într-un spațiu curbiliniu. Dacă acestea sunt câmpuri scalare care nu interacționează, atunci acțiunea corespunzătoare are forma $\varphi$

S_{m}=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left({\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi \partial _{ \mu }\varphi -{\frac {1}{2}}m^{2}\varphi ^{2}+\xi R\varphi ^{2}\right),

unde este determinantul tensorului metric ; _ _ _ Dacă introducem un anumit termen de bază și adăugăm integrare peste câmpul metric și apoi integrăm peste câmpuri scalare, atunci putem obține o acțiune eficientă , din care putem selecta apoi o formă independentă de lagrangian. ${\sqrt {-g))$ $R$ $\xi$ $\xi =1/6$ $g$ $S_{eff)$ $\varphi$

{\mathcal {L}}_{gr}={\sqrt {-g}}\left[-A+BR+CR_{\alpha \beta \mu \nu}R^{\alpha \beta \ mu \nu }+DR_{\mu \nu }R^{\mu \nu }+E\partial ^{2}R+FR+GC_{\alpha \beta \mu \nu }C^{\alpha \beta \mu \nu }\right],

unde sunt niște constante ale căror valori depind de tip , este tensorul de curbură Riemann , este tensorul Ricci , este tensorul Weil . În cazul câmpurilor scalare , , , , , constanta este exprimată în termeni de spin al câmpului, constantele nu sunt limitate atunci când se înlătură regularizarea constantei, dar pot fi renormalizate și exprimate în termeni de constantă cosmologică și constanta gravitațională . $A,\,B,\,C,\,D,\,E,\,F,\,G$ $\varphi$ $R_{\alpha \beta \mu \nu )$ $R_{\mu \nu }$ $C_{\alpha \beta \mu \nu )$ $C={\frac {a}{180}}$ $D=-{\frac {a}{180}}$ $E={\frac {a}{5}}\left(\xi -{\frac {1}{6}}\right)$ $F={\frac {a}{2}}\left(\xi -{\frac {1}{6}}\right)^{2}$ $G=0$ $A$ $A,\,B$

De asemenea, este interesant că pentru un anumit set de constante, câmpul gravitațional liber ( ) poate fi cuantificat, iar teoria corespunzătoare este renormalizabilă [76] . $A,\,B,\,C,\,D,\,E,\,F,\,G$ $R_{\mu \nu }=0$

Rupere falsă a vidului

Adesea energia potențială (potențialul efectiv în cazul cuantic) nu are un minim, ci mai multe. Diferite viduri corespund diferitelor energii. Vidul cu cea mai mică energie se numește adevărat, iar toate celelalte sunt numite false (false). Dacă, după ruperea simetriei și formarea unor viduri suplimentare, starea sistemului, care era un vid real, devine falsă, sistemul nu va intra imediat într-un vid adevărat (de exemplu, un potențial dublu puț cu o gaură mică la punctul în care se află sistemul). Dacă puțul este puțin adânc, atunci fluctuațiile externe suficient de intense pot transfera sistemul într-un vid învecinat cu mai puțină energie. Dacă putul potențial este suficient de adânc, atunci trecerea sistemului de la un vid fals metastabil la unul adevărat are loc datorită tunelului cuantic . $\varphi=0$

Dinamica dezintegrarii este următoarea. La un anumit punct al spațiului, se formează un vid adevărat, care duce la formarea aceluiași vid adevărat în toate punctele învecinate - bula începe să crească cu viteza luminii până întâlnește frontul de expansiune al altei bule. Densitatea de energie este concentrată în principal pe marginea bulelor, iar în interior acestea sunt goale.

Matematic, la calcularea amplitudinii de tranziție, se alege un astfel de contur de integrare astfel încât să fie posibil să se țină cont de configurația instantonului existentă , care dă factorul exponențial predominant pentru amplitudinea de tranziție , unde este valoarea acțiunii pentru instanton [ 63] . $\varphi _{inst)$ $\exp {(-S[\varphi _{inst}]))$ $S[\varphi _{inst}]>0$

Inflația ca prăbușirea unui vid fals

Zeci de factori indică prezenţa în stadiul incipient al evoluţiei Universului a fazei de expansiune exponenţială - inflaţie . Pe de altă parte, din modelul cosmologic al lui Friedman rezultă că accelerația pe care o primește corpul sub acțiunea gravitației materiei este egală cu $A$

a=-{\frac {4}{3}}\pi G(\varepsilon +3P)R,

unde este constanta gravitațională , este densitatea energiei și presiunea materiei din Univers, este raza sferei care conține materie (raza Universului). Având ecuația stării materiei, care raportează presiunea și densitatea, se poate calcula accelerația. Pentru toate câmpurile materiei, presiunea și energia sunt valori pozitive, prin urmare , iar Universul se contractă. $G$ $\varepsilon ,\,P$ $R$ $a<0$

Pentru vidul fizic, în care au loc procese continue de creare și anihilare a perechilor virtuale particule-antiparticule, presiunea este negativă și egală ca modul cu densitatea de energie: . În acest caz, în lipsa câmpurilor de materie $P_{vac}=-\varepsilon _{vac}$

a={\frac {8\pi G\varepsilon _{vac}}{3}}R={\frac {\Lambda }{3}}R.

Se poate demonstra apoi că , adică universul se extinde exponențial ( expansiunea de Sitter ). $R(t)=R_{0}\exp {({\sqrt {\Lambda /3}}t)}$

Totuși, în timpul răcirii Universului fierbinte în perioada premergătoare inflației, acesta a fost umplut cu cuante ale câmpurilor Marii Uniri (de exemplu, câmpul ) cu o densitate de g/cm 3 , adică nu era gol. deloc. Dar în acest moment, Universul se răcise deja suficient pentru ca acest vid să fie fals (vezi figura) și în el au început să se formeze bule de vid adevărat de ~ 10 -20 cm, a căror rază creștea odată cu viteza luminii. Deoarece bula este goală în interior, expansiunea sa a fost exponențială. Până la sfârșitul inflației, dimensiunea bulei era de 10 32 - 10 40 cm (dimensiunea Universului vizibil acum este de 10 28 cm, adică trăim în întregime într-o astfel de bule) [77] [78] . $SU(5)$ $\varepsilon _{vac}/c^{2}\aproximativ 10^{74)$

Premii Nobel pentru cercetarea ruperii spontane a simetriei

Mai jos este o listă a câștigătorilor Premiului Nobel ale căror cercetări sunt legate sau legate direct de ruperea spontană a simetriei (2008, 2013).

1979 - Sheldon Glashow , Steven Weinberg și Abdus Salam - „pentru contribuțiile lor la teoria unificată a interacțiunilor slabe și electromagnetice între particulele elementare, inclusiv predicția curenților neutri slabi” [79] .
1982 - Kenneth Wilson - „pentru teoria fenomenelor critice în legătură cu tranzițiile de fază” [80] .
1999 - Gerard 't Hooft și Martinus Veltman - „pentru elucidarea structurii cuantice a interacțiunilor electroslăbite” [81] .
2008 - Yoichiro Nambu - „pentru descoperirea mecanismului de rupere spontană a simetriei în fizica subatomică ”; și Makoto Kobayashi și Toshihide Masukawa „pentru descoperirea sursei ruperii simetriei, care a făcut posibilă prezicerea existenței a cel puțin trei generații de quarci în natură” [82] .
2013 - François Engler și Peter Higgs - „pentru descoperirea teoretică a unui mecanism care ne ajută să înțelegem originea masei particulelor subatomice , confirmată recent de descoperirea particulei elementare prezise în experimentele ATLAS și CMS de la Large Hadron Collider la CERN [83] .

Note

↑ 1 2 Greenberger, Daniel M. Fenomene de particule ezoterice elementare în fizica de licență—ruperea spontană a simetriei și invarianța la scară // American Journal of Physics. - 1978. - T. 46 . - S. 394-398 .
↑ Raviola, Lisandro A și Veliz, Maximiliano E și Salomone, Horacio D și Olivieri, Nestor A și Rodriguez, Eduardo E. The bead on a rotating hoop revisited: an unexpected resonance // European Journal of Physics. - 2016. - T. 38 . - S. 015005 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Weinberg, Steven. Teoria cuantică a câmpurilor. Volumul 2. Aplicații moderne (neopr.) . - Cambridge University Press , 1996. - ISBN 0521670543 .
↑ Olga Zakutnyaya. răspuns asimetric . http://www.itogi.ru/ . Rezultate (27 octombrie 2008). Preluat la 26 octombrie 2019. Arhivat din original la 26 octombrie 2019. (Rusă)
↑ Dicţionar enciclopedic al unui tânăr fizician / Comp. V. A. Chuyanov .. - M . : Pedagogie, 1984. - S. 257 . — 252 p.
↑ John Earman. Principiul Curie și ruperea spontană a simetriei // Studii internaționale în filosofia științei. - 2004. - T. 18 . - S. 173-198 . - doi : 10.1080/0269859042000311299 . Arhivat din original pe 14 august 2017.
↑ Vakarchuk, I. O. Mecanica cuantică (neopr.) . - Lviv: LNU im. eu. Franka, 2012. - S. 35-36. - ISBN 978-966-613-921-7 . Arhivat pe 4 iunie 2016 la Wayback Machine
↑ 1 2 3 Tkachuk, V.M. Probleme fundamentale ale mecanicii cuantice (neopr.) . - Lviv: LNU im. eu. Frank, 2011. - ISBN 978-966-613-850-0 . Arhivat pe 20 ianuarie 2021 la Wayback Machine
↑ Cheng T.P., Teorii Li L.F. Gauge în fizica particulelor . - M . : „Mir”, 1987. - 624 p. - ISBN 978-5-458-27042-7 .
↑ Cheng T.P., Li L.F., 1987 , p. 156.
↑ Miransky VA, 1994 , p. 41.
↑ Miransky VA, 1994 , p. 42.
↑ Miransky VA, 1994 , p. 43.
↑ 1 2 Goldstone J. Teorii câmpului cu soluții „Superconductor” // Nuovo Cimento. - 1961. - T. 19 . - S. 154-164 . - doi : 10.1007/BF02812722 . Arhivat din original pe 6 iulie 2020.
↑ 1 2 Goldstone J., Salam A., Weinberg S. Broken symmetries // Phys. Rev.. - 1962. - T. 127 . - S. 965 . - doi : 10.1103/PhysRev.127.965 . Arhivat din original pe 26 octombrie 2019.
↑ 1 2 Higgs, Peter W. Broken Symmetries and the Massses of Gauge Bosons // Phys. Rev. Let.. - 1964. - T. 13 . - S. 508-509 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.13.508 . Arhivat 27 mai 2020.
↑ Englert, F. și Brout, R. Broken Symmetry and the Mass of Gauge Vector Mesons // Phys. Rev. Let.. - 1964. - T. 13 . - S. 321-323 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.13.321 . Arhivat din original pe 28 octombrie 2019.
↑ Steven Weinberg. Teoria generală a simetriilor locale sparte // Fiz. Rev. D. - 1973. - T. 7 . - S. 1068-1082 . - doi : 10.1103/PhysRevD.7.1068 . Arhivat din original pe 24 februarie 2019.
↑ 12 Steven Weinberg . Simetrii aproximative și bosoni pseudo-Goldstone // Phys. Rev. Let.. - 1972. - T. 29 . - S. 1698-1701 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.29.1698 . Arhivat din original pe 2 martie 2019.
↑ Roger Dashen. Chiral SU(3)⊗SU(3) ca simetrie a interacțiunilor puternice // Fiz. Rev.. - 1969. - T. 183 . - S. 1245-1260 . - doi : 10.1103/PhysRev.183.1245 .
↑ Bogolyubov N. N., Shirkov D. V. Câmpuri cuantice . - Moscova: „Nauka”, 1980.
↑ 1 2 Weinberg, Steven. Teoria cuantică a câmpurilor. Volumul 1. Fundamente (neopr.) . - Cambridge University Press , 1995. - ISBN 0521550017 .
↑ Goldstone, Jeffrey și Salam, Abdus și Weinberg, Steven. Simetrii rupte // Fiz. Rev.. - 1962. - T. 127 . - S. 965-970 . - doi : 10.1103/PhysRev.127.965 .
↑ A. A. Slavnov. Identitățile lui Ward în teoriile gauge // TMF. - 1972. - T. 10 . - S. 153-161 . - doi : 10.1007/BF01090719 .
↑ Taylor, JC. Identitatile Ward și renormalizarea încărcăturii câmpului Yang-Mills // Nucl. Fizic.. - 1971. - T. B33 . - S. 436-444 . - doi : 10.1016/0550-3213(71)90297-5 .
↑ t Hooft, Gerard. Lagrangie renormalizabile pentru câmpuri masive Yang-Mills // Nucl. Fizic.. - 1971. - T. B35 . - S. 167-188 . - doi : 10.1016/0550-3213(71)90139-8 . Arhivat din original pe 26 octombrie 2019.
↑ Lee, Benjamin W. Renormalizable Massive Vector-Meson Theory-Perturbation Theory of the Higgs Phenomenon // Phys. Rev. D. - 1972. - T. 5 . - S. 823 . - doi : 10.1103/PhysRevD.5.823 .
↑ Fujikawa, K. și Lee, BW și Sanda, AI Generalized Renormalizable Gauge Formulation of Spontaneously Broken Gauge Theories // Phys. Rev.. - 1972. - T. D6 . - S. 2923-2943 . - doi : 10.1103/PhysRevD.6.2923 .
↑ Faddeev, LD și Popov, VN Feynman Diagrame pentru câmpul Yang-Mills // Phys. Let.. - 1967. - T. 25B . - S. 29-30 . - doi : 10.1016/0370-2693(67)90067-6 .
↑ Nambu, Yoichiro și Jona-Lasinio, G. Dynamical Model of Elementary Particles Based on an Analogy with Superconductivity. 1 // Fiz. Rev.. - 1961. - T. 122 . - S. 345-358 . - doi : 10.1103/PhysRev.122.345 .
↑ Nambu, Yoichiro și Jona-Lasinio, G. Dynamical Model of Elementary Particles Based on an Analogy with Superconductivity. 2 // Fiz. Rev.. - 1961. - T. 124 . - S. 246-254 . - doi : 10.1103/PhysRev.124.246 .
↑ Jackiw, R. și Johnson, K. Dynamical Model of Spontaneously Broken Gauge Symmetries // Phys. Rev.. - 1973. - T. D8 . - S. 2386-2398 . - doi : 10.1103/PhysRevD.8.2386 .
↑ Schwinger, Julian S. Gauge invariance and mass // Phys. Rev.. - 1962. - T. 125 . - S. 397-398 . - doi : 10.1103/PhysRev.125.397 .
↑ Haymaker, Richard W. Dynamical Symmetry Breaking // Acta Phys. Polon.. - 1982. - T. B13 . - S. 575-605 . Arhivat din original pe 26 octombrie 2019.
↑ Bjorken, JD A Dynamical origin for the electromagnetic field // Annals Phys.. - 1963. - Vol . 24 . - S. 174-187 . - doi : 10.1016/0003-4916(63)90069-1 .
↑ 1 2 Ginzburg, V. L. și Landau, L. D. Despre teoria supraconductivității // JETP . - 1950. - T. 20 . - S. 1064 . (Rusă)
↑ Hugenholtz, NM și Pines, D. Ground-State Energy and Excitation Spectrum of a System of Interacting Bosons // Phys. Rev.. - 1959. - T. 116 . - S. 489-506 . - doi : 10.1103/PhysRev.116.489 .
↑ Chen, Xie și Gu, Zheng Cheng și Wen, Xiao Gang. Transformare unitară locală, încrucișare cuantică pe distanță lungă, renormalizare a funcției de undă și ordine topologică // Phys. Rev. B. - 2010. - T. 82 . - S. 155138 . - doi : 10.1103/PhysRevB.82.155138 . - arXiv : 1004.3835 .
↑ Rovenchak, A.A. Fizica sistemelor Bose (neopr.) . — Lviv: Centrul Vydavnichesky LNU im. I.Franka, 2015.
↑ Pitaevsky, L.P. Vortex filaments in a non-ideal Bose gas // Journal of Experimental and Theoretical Physics . - 1961. - T. 40 . - S. 646-651 .
↑ Glashow, S. L. Partial Symmetries of Weak Interactions. - 1961. - T. 22 . - S. 579-588 . - doi : 10.1016/0029-5582(61)90469-2 .
↑ Weinberg, Steven. Un model de leptoni. - 1967. - T. 19 . - S. 1264-1266 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.19.1264 .
↑ Salam A. Elementary Particle Theory: Relativistic Groups and Analyticity / Nils Svartholm. - Almqvist & Wiksell, 1968. - P. 367. - ISBN 978-0-470-83842-6 .
↑ Georgi, H. și Glashow, S.L. Unitatea tuturor forțelor de particule elementare // Phys. Rev. Let.. - 1974. - T. 32 . - S. 438-441 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.32.438 .
↑ Okun L. B. Leptoni și quarcuri . - URSS, 2012. - S. 254-255. - ISBN 978-5-382-01375-6 .
↑ Georgi H., Particules and Fields - 1974, ed. C. Carlson (Amer. Inst. of Physics, NY, 1975).
↑ Pati, Jogesh C. și Salam, Abdus. Simetria lepton-hadron unificată și o teorie gauge a interacțiunilor de bază // Phys. Rev.. - 1973. - T. D8 . - S. 1240-1251 . - doi : 10.1103/PhysRevD.8.1240 .
↑ 1 2 Witten, Edward. Ruperea dinamică a supersimetriei // Nucl. Fizic.. - 1981. - T. B188 . - S. 513 . - doi : 10.1016/0550-3213(81)90006-7 .
↑ Wess, J. și Zumino, B. Supergauge Transformations in Four-Dimensions // Nucl. Fiz.. - 1974. - T. B70 . - S. 39-50 . - doi : 10.1016/0550-3213(74)90355-1 .
↑ Volkov, D.V. și Soroka, V.A. Efectul Higgs pentru particule Goldstone cu spin 1/2 // Litere JETP. — 1973}. - T. 18 . - S. 529-532 .
↑ Deser, Stanley și Zumino, B. Broken Supersymmetry and Supergravity, Phys. Rev. Let.. - 1977. - T. 38 . - S. 1433-1436 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.38.1433 .
↑ O'Raifeartaigh, L. Spontaneous Symmetry Breaking for Chiral Scalar Superfields // Nucl. Fizic.. - 1975. - T. B96 . - S. 331-352 . - doi : 10.1016/0550-3213(75)90585-4 .
↑ 1 2 Belavin AA, Polyakov AM, Schwarz AS, Tyupkin Yu.S., Soluții pseudoparticule ale ecuațiilor Yang-Mills, Phys. Lett. B 59 , 85 (1975).
↑ 1 2 Polyakov, AM. Spectrul de particule în teoria câmpului cuantic // Journal of Experimental and Theoretical Physics . - 1974. - T. 20 . - S. 430-433 .
↑ 1 2 't Hooft, Gerard. Monopolii magnetici în teoriile de ecartament unificat // Nucl. Fizic.. - 1974. - T. B79 . - S. 276-284 . - doi : 10.1016/0550-3213(74)90486-6 .
↑ 1 2 Nielsen, Holger Bech și Olesen, P. Vortex Line Models for Dual Strings // Nucl. Fizic.. - 1973. - T. B61 . - S. 45-61 . - doi : 10.1016/0550-3213(73)90350-7 .
↑ 1 2 Ya. B. Zel'dovich, I. Yu. Kobzarev și L. B. Okun', Cosmological Consequences of Spontaneous Breaking of Discrete Symmetry, JETP 40 , 2 (1975).
↑ Bogomolny, E. B. Stabilitatea soluțiilor clasice // Fizica nucleară. — 1976}. - T. 24 . - S. 861-870 .
↑ Zeldovich, Ya. B. și Khlopov, M. Yu. Despre concentrarea monopolurilor magnetice relicve în univers // Physics Letters B. - 1978. - T. 79 . - S. 239-241 .
↑ Julia, B. și Zee, A. Poles with Both Magnetic and Electric Charges in Nonabelian Gauge Theory // Phys. Rev.. - 1975. - T. D11 . - S. 2227-2232 . - doi : 10.1103/PhysRevD.11.2227 .
↑ 't Hooft, Gerard. Calculul efectelor cuantice datorate unei pseudoparticule cu patru dimensiuni // Phys. Rev.. - 1976. - T. D14 . - S. 3432-3450 . - doi : 10.1103/PhysRevD.18.2199.3, 10.1103/PhysRevD.14.3432 .
↑ 't Hooft, Gerard. Spărgerea simetriei prin anomalii Bell-Jackiw // Phys. Rev. Let.. - 1976. - T. 37 . - S. 8-11 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.37.8 .
↑ 1 2 Coleman, Sidney R. Soarta vidului fals. 1. Teoria semiclasică // Fiz. Rev.. - 1977. - T. D15 . - S. 2929-2936 . - doi : 10.1103/PhysRevD.15.2929, 10.1103/PhysRevD.16.1248 .
↑ Callan, Jr., Curtis G. și Coleman, Sidney R. The Fate of the False Vacuum. 2. Primele corecții cuantice, Phys. Rev.. - 1977. - T. D16 . - S. 1762-1768 . - doi : 10.1103/PhysRevD.16.1762 .
↑ Skyrme, THR A Teoria câmpului neliniar // Proc. Roy. soc. Londra.. - 1961. - T. A260 . - S. 127-138 . - doi : 10.1098/rspa.1961.0018 .
↑ Al Khawaja, Usama și Stoof, Henk. Skyrmioni într-un condensat Bose--Einstein feromagnetic // Natura . - 2001. - Vol. 411 . — P. 918 .
↑ Grib A. A., Mamaev S. G., Mostepanenko V. M., Quantum effects in intense external fields, Moscova: Atomizdat, 1980.
↑ Joseph, A. și Solomon, AI Transformări chirale neliniare globale și infinitezimale // J. Math. Fizic.. - 1970. - T. 11 . - S. 748-761 . - doi : 10.1063/1.1665205 .
^ Isham , CJ și Salam, Abdus și Strathdee, JA Realizări neliniare ale simetriilor spațiu-timp. Gravitația scalară și tensorială // Annals Phys.. - 1971. - T. 62 . - S. 98-119 . - doi : 10.1016/0003-4916(71)90269-7 .
↑ Ogievetsky V.I., Polubarinov I.V., ZhETF 21 , 1093 (1965).
↑ Ne'eman, Yuval și Sherry, TN Graded Spin-Extension of the Algebra of Volume Preserving Deformations // Phys. Let.. - 1978. - T. 76B . - S. 413 . - doi : 10.1016/0370-2693(78)90895-X .
↑ 1 2 Sardanashvili G. A. (1998), Teză de doctorat „Modelul Higgs al câmpului gravitațional clasic”, http://www.g-sardanashvily.ru/D.Sc-Sard.pdf
↑ Sardanashvily, G. Gauge gravitation theory: Gravity as a Higgs field // Int. J. Geom. Meth. Mod. Fiz.. - 2016. - T. 13 . - S. 1650086 . - doi : 10.1142/S0219887816500869 . - arXiv : 1602.06776 .
↑ 1 2 Ivanenko D.D., Pronin P.I., Sardanashvili G.A. Teoria gravitației gauge (neopr.) . - Moscova: Editura MGU, 1985.
↑ Adler, Stephen L. Einstein Gravitatea ca efect de distrugere a simetriei în teoria câmpului cuantic // Rev. Mod. Phys.. - 1982. - T. 54 . - S. 729 . - doi : 10.1103/RevModPhys.54.729 .
↑ Stelle, KS Renormalizarea gravitației cuantice derivate superioare // Fizic. Rev.. - 1977. - T. D16 . - S. 953-969 . - doi : 10.1103/PhysRevD.16.953 .
↑ Linde, Andrei D. A new inflationary universe scenario: a possible solution of the horizon, flatness, homogeneity, isotropiy and primordiale monopole problems // Physics Letters B. - 1982. - V. 108 . - S. 389-393 .
↑ Albrecht, Andreas și Steinhardt, Paul J. Cosmology for Grand Unified Theories with Radiatively Induced Symmetry Breaking // Phys. Rev. Let.. - 1982. - T. 48 . - S. 1220-1223 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.48.1220 .
↑ Premiul Nobel pentru fizică 1979 . Fundația Nobel . Consultat la 17 iunie 2012. Arhivat din original pe 22 iunie 2012.
↑ Premiul Nobel pentru fizică 1982 . Fundația Nobel . Consultat la 17 iunie 2012. Arhivat din original pe 22 iunie 2012.
↑ Premiul Nobel pentru Fizică 1999 . Fundația Nobel . Consultat la 17 iunie 2012. Arhivat din original pe 22 iunie 2012.
↑ Premiul Nobel pentru Fizică 2008 . Fundația Nobel . Consultat la 17 iunie 2012. Arhivat din original pe 22 iunie 2012.
↑ Premiul Nobel pentru Fizică 2013 . Fundația Nobel . Consultat la 8 octombrie 2013. Arhivat din original la 4 aprilie 2015.

Literatură

V. P. Shelest. RUPAREA SIMETRIA SPONTANĂ . Enciclopedie fizică. Preluat: 30 septembrie 2019. (Rusă)
Miransky VA Ruperea simetriei dinamice în teoriile câmpurilor cuantice. - Singapore: World Scientific, 1994. - 533 p. — ISBN 981-02-1558-4 .

Clasificarea particulelor
Viteza raportată la viteza luminii	Tardioane ( sau bradioane) Luxoni Ipotetic: tahioni overbradions
Prin prezența structurii interne și a separabilității	Particulă elementară ( Particulă fundamentală ) particulă compusă
Fermiuni prin prezența unei antiparticule	fermioni de Dirac Fermions Maghiran
Formată în timpul dezintegrarii radioactive	α β γ δ ε n
Candidați pentru rolul particulelor de materie întunecată	WIMP Wimpzilla LSP NLSP
În modelul inflaţionist al universului	Inflaton curbare
Prin prezența unei sarcini electrice	particulă încărcată particulă neutră
În teoriile ruperii spontane de simetrie	bosonul Goldstone Goldstone fermion ( sau goldstino)
Pe timpul vieții	particule stabile Particule instabile
Alte clase	particulă virtuală particulă subatomică antiparticule Adevărate particule neutre Particule libere Particule identice Ei și Cvasiparticule Particule ipotetice Rezonanțe