Teorema lui Cauchy (teoria grupurilor)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 5 septembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Teorema lui Cauchy în teoria grupurilor spune:

Dacă ordinea unui grup finit este divizibil cu un număr prim , atunci acesta conține elemente de ordine . $G$ $p$ $G$ $p$

Este strâns legată de teorema lui Lagrange , în virtutea căreia ordinea oricărui grup finit G este divizibil cu ordinea oricăruia dintre subgrupurile sale. După teorema lui Cauchy, pentru orice divizor prim p de ordinul lui G , există un subgrup al cărui ordin este p . Este grupul ciclic generat de elementul din teorema lui Cauchy.

O generalizare a teoremei lui Cauchy este prima teoremă a lui Sylow , conform căreia, dacă p n este puterea maximă a lui p care împarte ordinul grupului G , atunci G are un subgrup de aceeași ordine. Folosind faptul că un grup de ordin p n este rezolvabil , se poate arăta că G conține subgrupuri de orice ordin p r pentru care $r\leq n.$

Dovada

Această teoremă este adesea demonstrată prin inducție și utilizarea claselor de conjugație , dar pentru grupurile abeliene, o afirmație similară este mult mai ușor de demonstrat. Acțiunea de grup poate fi folosită și în demonstrație . [unu]

Opțiunea 1

Demonstrăm mai întâi această teoremă în cazul special când grupul G este abelian, apoi în cazul general. De ambele ori teorema va fi demonstrata prin inductie pe n = | G |, începând de la n = p . Baza este trivială deoarece orice element neidentic are ordinul p .

Dacă G este abelian, atunci considerăm orice element neidentic a și subgrupul ciclic H generat de acesta . Dacă p împarte | H |, apoi a | H |/ p este elementul dorit de ordin p . În caz contrar , p nu împarte ordinea | H |, dar ordinea [ G : H ] a grupului de factori G / H . Apoi, prin ipoteza inductivă, grupul de factori conține un element de ordin p . Este una dintre clasele xH , unde x se află în G . Dacă are ordinul m în grupul G , atunci : datorită faptului că în grupul G x m = e , ( xH ) m = eH în grupul coeficient G / H . Deci p împarte m ; în mod similar x m / p se va dovedi a fi un element de ordin p în grupul G , care completează demonstrația în cazul abelian. $m\vdots p$

În general , să fie grupul Z centrul grupului G. Apoi Z se dovedește a fi abelian. Dacă ordinea sa este un multiplu al lui p , atunci, după cum am văzut deja, el conține un element de ordin p . Prin urmare, acest element are ordinul p și în grupul G. În caz contrar , p nu împarte Z. Deoarece p împarte | G | și G este împărțit în Z și alte clase de conjugație , una dintre aceste clase conține un element a a cărui dimensiune a clasei nu este divizibilă cu p . Dar este ușor să arătăm că mărimea sa este [ G : C G ( a )] și nu este un multiplu al lui p . Prin urmare, p împarte ordinea centralizatorului C G ( a ) al elementului a în grupul G , care nu coincide cu grupul G . Dar, prin presupunerea inductivă, elementul necesar de ordin p constă în centralizatorul , care trebuia demonstrat.

Opțiunea 2

În această variantă, folosim faptul că acțiunea unui grup ciclic de ordin prim p generează doar orbite de dimensiunile 1 și p , ceea ce decurge imediat din teorema stabilizatorului de orbită.

Să acționăm de către grupul nostru asupra setului de soluții ale ecuației

X=\{\,(x_{1},\ldots,x_{p})\in G^{p}:x_{1}x_{2}\cdots x_{p}=e\,\ }

acestea. la mulțimea de secvențe de p elemente ale grupului G al căror produs este egal cu 1. O astfel de secvență este definită în mod unic de toate elementele, cu excepția ultimului, care este inversul produsului restului. De asemenea, este clar că aceste p − 1 elemente pot fi alese în mod arbitrar, iar mulțimea X are | G | p −1 elemente, iar numărul lor este un multiplu al lui p .

Acum rețineți că în grupul ab = e dacă și numai dacă ba = e . Prin urmare, dacă , atunci . Aceasta înseamnă că permutările ciclice ale componentelor unui element al mulțimii X vor genera din nou elemente ale lui X. Aceasta ne permite să precizăm acțiunea grupului ciclic C p de ordin p asupra mulțimii X prin permutarea componentelor. Cu alte cuvinte, elementul care generează grupul C p ia $x_{1}x_{2}\cdots x_{p}=e$ $x_{2}\cdots x_{p}x_{1}=e$

(x_{1},x_{2},\ldots,x_{p})\mapsto (x_{2},\ldots,x_{p},x_{1})

Evident, sub această acțiune, orbitele din X au dimensiuni 1 sau p . O orbită are dimensiunea 1 dacă și numai dacă singurul său element este de forma și . Deoarece numărul de elemente din X este egal cu suma numerelor de elemente de pe orbite, numărul de elemente pentru care este un multiplu al lui p . Întrucât unul dintre ele este elementul de identitate, există cel puțin elemente în total, dintre care cel puțin p − 1 nu este egal cu elementul de identitate, dar are ordinul p . Teorema a fost demonstrată. $(x,x,\ldots,x)$ $x^{p}=e$ $X$ $x^{p}=e$ $p$

Aplicații

Teorema lui Cauchy ne permite să stabilim imediat ce grupuri pot fi p-grupuri finite , unde p este un număr prim. Și anume, un grup finit G este un p -grup (adică ordinea tuturor elementelor sunt puteri exacte ale lui p ) dacă și numai dacă ordinea grupului este în sine o putere a lui p . Deși cazul Abelian poate fi aplicat și pentru a demonstra prima teoremă a lui Sylow prin inducție, [2] la fel ca în prima demonstrație , există și dovezi în care acest caz este tratat separat.

Exemplu

Un grup abelian simplu poate fi doar ciclic de ordin prim. Într-adevăr, în orice astfel de grup G toate subgrupurile sale sunt normale. Prin urmare, dacă este simplu, atunci toate subgrupurile sale normale sunt fie grupul de unități, fie el însuși. dacă | G | = 1 , atunci G însuși este identitate. În caz contrar, conține un element netrivial a ∈ G , iar grupul ciclic este un subgrup netrivial al lui G . Deci, Fie acum ordinea grupului este egală cu n . Dacă este infinit, atunci $\langle a\rangle$ $G=\langle a\rangle .$ $\langle a\rangle$

G=\langle a\rangle \supsetneqq \langle a^{2}\rangle \supsetneqq \{e\},

ceea ce este imposibil.

Deci n este finit. Dacă n este compus, atunci este un multiplu al unui prim q mai mic decât n . Dar atunci există un subgrup H de ordinul q , care contrazice presupunerea. Deci n este simplu.

Note

↑ McKay, 1959 .
↑ Jacobson, 2009 , p. 80.

Literatură

Cauchy, Augustin-Louis (1845), Mémoire sur les arrangements que l'on peut former avec des lettres données, et sur les permutations or substitutions à l'aide desquelles on passe d'un arrangement à un autre , Exercises d'analyse et de physique mathématique (Paris) Vol. 3: 151-252 , < https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96417945/f157.image >
Cauchy, Augustin-Louis (1932), Oeuvres complètes , voi. 13 (ed. retipărită), seria a doua, Paris: Gauthier-Villars, p. 171–282 , < https://iris.univ-lille.fr/handle/1908/4035 >
Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra , voi. I (ed. a doua), Dover Books on Mathematics, Dover Publications , p. 80, ISBN 978-0-486-47189-1
McKay, James H. (1959), O altă dovadă a teoremei grupului lui Cauchy , American Mathematical Monthly Vol . 66: 119 , DOI 10.2307/2310010

Teoria grupurilor
Noțiuni de bază	Subgrup Subgrup normal Grup de factori Muncă direct semidirectă gratuit
Proprietăți algebrice	grup comutativ Grup ciclic grup ordonat Transformați grupul Grup solubil Lema lui Schreier teorema lui Lagrange teoremele lui Sylow Clasificarea grupurilor finite simple
grupuri finite	Grupa ciclică finită C n Grupul simetric S n Grupul diedric D n Grupa alternativă A n Grupul Cvadruplu Klein grupurile Mathieu M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ grupuri Conway Co 1 Co2 _ Co3 _ grupuri Janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Grupuri de pescari F22 _ F 23 F24 _ Monstru (M)
Grupuri topologice	Grupuri de minciuni Grupul ortogonal O(n) Grup ortogonal special SO(n) Grupa unitară U(n) Grup unitar special SU(n) Grupa simplectică Sp(n) Simplu excepțional grupul Lorentz grupul Poincaré
Algoritmi pe grupuri	Schreier - Sims Todd - Coxeter transformata Fourier