Descompunerea QR

$QR$ -descompunerea unei matrice - o reprezentare a unei matrice ca produs al unei matrice unitare (sau ortogonale ) si a unei matrice triunghiulare superioare . Descompunerea QR este baza uneia dintre metodele de găsire a vectorilor proprii și a numerelor matriceale — algoritmul QR [1] .

Definiție

Matricea dimensiunilor , unde , cu elemente complexe poate fi reprezentată ca $A$ $n \ori m$ $n\geqslant m$

A=QR,

unde este o matrice de dimensiune cu coloane ortonormale și este o matrice triunghiulară superioară de dimensiune . Pentru , matricea este unitară . Dacă, în plus, este nedegenerată , atunci descompunerea - este unică și matricea poate fi aleasă astfel încât elementele sale diagonale să fie numere reale pozitive. Într-un caz particular, când matricea constă din numere reale , matricele și pot fi de asemenea alese ca să fie reale, în plus, este ortogonală [2] . $Q$ $n \ori m$ $R$ $m \ori m$ $n=m$ $Q$ $A$ $QR$ $R$ $A$ $Q$ $R$ $Q$

Prin analogie, dacă este o matrice de dimensiune , unde , atunci poate fi descompusă ca $A$ $n \ori m$ $n\leqslant m$

A=LP,

unde matricea de ordine este triunghiulară inferioară și matricea de dimensiuni are rânduri ortonormale [1] . $L$ $n$ $P$ $n \ori m$

Algoritmi

$QR$ -descompunerea se poate obtine prin diverse metode. Cel mai ușor poate fi calculat ca un produs secundar al procesului Gram-Schmidt [2] . În practică, ar trebui utilizat algoritmul Gram-Schmidt modificat , deoarece algoritmul clasic are o stabilitate numerică slabă [3] .

Algoritmii alternativi pentru calcularea expansiunii se bazează pe reflecțiile Householder și rotațiile lui Givens [4] . $QR$

Un exemplu de descompunere QR

Luați în considerare matricea :

${\mathsf {\mathrm {A} }}=$ ${\begin{pmatrix}1&2&4\\3&3&2\\4&1&3\end{pmatrix}}$

Se notează cu vectorii coloană ai matricei date.Obținem următorul set de vectori: $a_{1},a_{2},a_{3}$ ${\mathsf {\mathrm {A} )).$

$a_{1}={\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix}),$ $a_{2}={\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}),$ $a_{3}={\begin{pmatrix}4\\2\\3\end{pmatrix}}$

Apoi, aplicăm algoritmul de ortogonalizare Gram-Schmidt și normalizăm vectorii rezultați, obținem următoarea mulțime:

$e_{1}={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {26}}{26}}\\{\frac {3{\sqrt {26}}}{26}}\\{ \frac {4{\sqrt {26}}}{26}}\end{pmatrix}},$ $e_{2}={\begin{pmatrix}{\frac {37{\sqrt {3614}}}{3614}}\\{\frac {33{\sqrt {3614}}}{3614}} \\-{\frac {34{\sqrt {3614}}}{3614}}\end{pmatrix}},$ $e_{3}={\begin{pmatrix}{\frac {9{\sqrt {139}}}{139}}\\-{\frac {7{\sqrt {139}}}{139} }\\{\frac {3{\sqrt {139}}}{139}}\end{pmatrix}}$

Din vectorii obținuți , compunem matricea Q pe coloane din descompunere: $e_{1},e_{2},e_{3}$

$Q={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {26}}{26}}&{\frac {37{\sqrt {3614}}}{3614}}&{\frac {9{ \sqrt {139}}}{139}}\\{\frac {3{\sqrt {26}}}{26}}&{\frac {33{\sqrt {3614}}}{3614}}&- {\frac {7{\sqrt {139}}}{139}}\\{\frac {4{\sqrt {26}}}{26}}&-{\frac {34{\sqrt {3614}} }{3614}}&{\frac {3{\sqrt {139}}}{139}}\end{pmatrix}}.$ Matricea rezultată este ortogonală , ceea ce înseamnă că $Q^{-1}=Q^{T}.$

Să găsim matricea din expresia : $R$ $R=Q^{-1}A=Q^{T}A$

$R={\begin{pmatrix}{\sqrt {26}}&3{\sqrt {\frac {2}{13}}}+{\frac {9}{\sqrt {26}}}&11{ \sqrt {\frac {2}{13}}}\\0&20{\sqrt {\frac {2}{1807}}}+{\frac {99}{\sqrt {3614}}}&56{\sqrt { \frac {2}{1807}}}\\0&0&{\frac {31}{\sqrt {139}}}\end{pmatrix}}$ este matricea triunghiulară superioară dorită .

Am o despărțire . $A = QR$

Note

↑ 1 2 Horn, Johnson, 1990 , p. 114.
↑ 1 2 Horn, Johnson, 1990 , p. 112.
↑ Horn și Johnson, 1990 , p. 116.
↑ Horn și Johnson, 1990 , p. 117.

Literatură

Horn, R.A. , Johnson CR Matrix analysis . - Cambridge University Press , 1990. - ISBN 0-521-30586-1 .

Vectori și matrici

Vectori

Noțiuni de bază	Vector în geometrie Bază Baza ortogonala Coordonatele vectoriale Coliniaritate Ortogonalitatea Dependență liniară Spațiu coloane
Tipuri de vectori	Vector unitar Vector axial vector izotrop Normal Coliniaritate Vector zero Vector rază Vector propriu
Operații pe vectori	Produs scalar produs vectorial produs mixt Produs pseudoscalar Produs dublu cruce
Tipuri de spațiu	spațiu vectorial spatiu afin Spațiul euclidian Spațiul pseudo-euclidian Spațiu normat Spațiul Minkowski

matrici

Noțiuni de bază	Înmulțirea matricei Matrice transpusă Matricea conjugată hermitiană Matricea simetrică matrice inversă Valoare proprie Polinom caracteristic al unei matrice
Matrici speciale	Matrice de identitate Matrice zero Matricea diagonală matricea lambda
Descompuneri de matrice	descompunerea LU Descompunerea Cholesky Descompunerea QR Descompunerea LUP descompunerea unei valori singulare Descompunerea spectrală a unei matrice

Alte