Problemă cu două corpuri

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 11 decembrie 2021; verificările necesită 6 modificări .

În mecanica clasică , problema celor două corpuri este de a determina mișcarea a două puncte materiale care interacționează doar între ele. Exemplele comune includ un satelit care orbitează în jurul unei planete , o planetă care orbitează în jurul unei stele , două stele care orbitează una pe alta ( o stea binară ) și un electron clasic care orbitează în jurul unui nucleu atomic .

Problema cu două corpuri poate fi reprezentată ca două probleme independente cu un singur corp care implică o soluție pentru mișcarea unei particule într-un potențial extern . Deoarece multe probleme cu un singur corp pot fi rezolvate exact, poate fi rezolvată și problema corespunzătoare cu două corpuri. În schimb, problema celor trei corpuri (și, mai general, problema n-corpilor ) nu poate fi rezolvată în general decât în cazuri speciale.

Restricții

Gravitația și alte exemple ale legii inversului pătratului

Problema cu două corpuri în astronomie este remarcabilă prin aceea că perechile de obiecte astronomice se mișcă adesea rapid în direcții arbitrare și sunt separate la distanțe mari unele de altele și chiar mai departe de alte obiecte, iar influențele externe asupra sistemului cu două corpuri sunt suficient de mici. pentru a putea neglija. Sub influența gravitației, fiecare obiect al unei perechi se va roti în jurul unui centru de masă comun într-o traiectorie eliptică (mișcare finită), cu excepția cazului în care se mișcă suficient de rapid pentru a se îndepărta unul de celălalt la infinit (mișcare infinită). traiectorii de mișcare infinită sunt limite neînchise ale unei secțiuni conice plate cu excentricitate - parabole ( ) sau hiperbole ( ). În acest caz, energia mecanică a unei perechi de corpuri din cadrul de referință asociat cu centrul lor de masă este nenegativă. Mișcarea finită corespunde unei limite închise a unei secțiuni conice plate - o elipsă cu excentricitate . Mișcarea finită (mișcarea într-o zonă limitată a spațiului) a unui sistem de două corpuri care interacționează are loc la o valoare negativă a energiei mecanice a unei perechi de corpuri în cadrul de referință asociat cu centrul lor de masă. $e\geqslant 1$ $e=1$ $e>1$ $0\leqslant e<1$

Dacă un obiect este mult mai greu decât celălalt, atunci se va mișca mult mai lent decât celălalt în raport cu un centru de masă comun , care poate fi chiar în interiorul obiectului mai mare. Soluțiile matematice ale acestui caz sunt descrise în problema Kepleriană .

Problema cu două corpuri este aplicabilă și problemelor macroscopice despre obiectele care interacționează nu numai prin gravitație, ci și prin orice alt câmp de forță scalar atractiv care se supune legii inversului pătratului, cum ar fi atracția electrostatică . În practică, astfel de probleme non-gravitaționale apar rar. În viața obișnuită, rar (sau niciodată) întâlnim obiecte care interacționează electrostatic, care se mișcă suficient de repede, evită coliziunea și/sau sunt suficient de izolate de mediul înconjurător pentru a nu-și pierde sarcina electrică.

Sistemul dinamic de ecuații pentru mișcarea a două corpuri sub acțiunea unui cuplu se dovedește a fi ecuația Sturm-Liouville [1] .

Nu se aplică atomilor și particulelor subatomice

Modelul cu două corpuri consideră obiectele simplificate ca particule punctiforme, deși este un element al mecanicii clasice, este aplicabil doar sistemelor la scară macroscopică, când eroarea modelului poate fi neglijată. Comportamentul obiectelor microscopice (atomi și particule subatomice) nu poate fi prezis în formularea clasică a problemei din cauza unei erori excesiv de mari.

De exemplu, electronii dintr-un atom sunt uneori numiți ca „încercuirea” în jurul nucleului atomic, o noțiune preluată din ipoteza timpurie a lui Niels Bohr, care este originea termenilor „mișcare orbitală a electronilor” și „orbita electronilor”. În realitate, electronii nu se învârt în jurul nucleelor în niciun sens semnificativ, putem vorbi doar despre probabilitatea de a găsi un electron într-o poziție dată lângă nucleul unui atom. Pentru o înțelegere semnificativă a comportamentului real al unui electron, trebuie să folosiți mecanica cuantică. Soluția problemei clasice cu două corpuri pentru un electron care se rotește în jurul unui nucleu atomic este înșelătoare și nu are putere de predicție.

Enunțul problemei

Fie și sunt vectorii cu raza a două corpuri și fie masele lor. Scopul nostru este de a determina traiectoriile și pentru orice moment , pentru coordonatele inițiale date $\mathbf {r} _{1)$ $\mathbf {r} _{2)$ $m_{{1}}$ $m_{{2}}$ $\mathbf {r} _{1}(t)$ $\mathbf {r} _{2}(t)$ $t$

\mathbf {r} _{1}(0)

\mathbf {r} _{2}(0)

si viteze

{\dot {\mathbf {r} }}_{1}(0)

, .

{\dot {\mathbf {r} }}_{2}(0)

A doua lege a lui Newton, aplicată unui sistem dat, afirmă că

\mathbf {F} _{12}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})=m_{1}{\ddot {\mathbf {r} }}_ {1}\quad \quad \quad(1)

\mathbf {F} _{21}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})=m_{2}{\ddot {\mathbf {r} }}_ {2}\quad \quad \quad(2)

Unde

{\mathbf {F}}_{{12}}

este forța care acționează asupra primului corp datorită interacțiunii cu al doilea corp și

{\mathbf {F}}_{{21}}

este forța care acționează asupra celui de-al doilea corp față de primul.

Prin adăugarea și scăderea acestor două ecuații, o problemă poate fi împărțită în două probleme cu același corp, care pot fi rezolvate independent. „Adunarea” ecuațiilor (1) și (2) conduce la o ecuație care descrie mișcarea centrului de masă . În schimb, „scăderea” ecuației (2) din ecuația (1) are ca rezultat o ecuație care descrie modul în care vectorul dintre mase se modifică în timp. Rezolvarea acestor probleme independente poate ajuta la găsirea traiectoriilor și . $\mathbf {r} \equiv \mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2)$ $\mathbf {r} _{1}(t)$ $\mathbf {r} _{2}(t)$

Mișcarea centrului de masă (prima sarcină)

Adunarea ecuațiilor (1) și (2) duce la egalitate

m_{1}{\ddot {\mathbf {r} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {r} }}_{2}=(m_{1}+m_ {2}){\ddot {\mathbf {r} }}_{cm}=\mathbf {F} _{12}+\mathbf {F} _{21}=0

unde am folosit a treia lege a lui Newton şi unde ${\mathbf {F}}_{{12}}=-{\mathbf {F}}_{{21}}$

\mathbf {r} _{cm}\equiv {\frac {m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}}{m_{1 }+m_{2}}}

pozitia centrului de masa al sistemului. Ecuația va fi în cele din urmă scrisă sub formă

{\ddot {\mathbf {r} }}_{cm}=0

Arată că viteza centrului de masă este constantă. Rezultă că și momentul unghiular total este conservat ( conservarea momentului ). Poziția și viteza centrului de masă pot fi obținute în orice moment. ${\dot {\mathbf {r} }}_{cm}$ $m_{1}{\dot {\mathbf {r} }}_{1}+m_{2}{\dot {\mathbf {r} }}_{2}$

Mișcarea vectorului deplasare (a doua problemă)

Scăzând ecuația (2) din ecuația (1) și transformând, ajungem la ecuație

{\ddot {\mathbf {r} }}_{1}-{\ddot {\mathbf {r} }}_{2}=\left({\frac {\mathbf {F} _{12 }}{m_{1}}}-{\frac {\mathbf {F} _{21}}{m_{2}}}\right)=\left({\frac {1}{m_{1}} }+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\mathbf {F} _{12}

unde am folosit din nou a treia lege a lui Newton și unde (definit mai sus) este vectorul deplasării direcționat de la al doilea corp la primul. ${\mathbf {F}}_{{12}}=-{\mathbf {F}}_{{21}}$ $\mathbf {r}$

Forța dintre două corpuri trebuie să fie o funcție numai și nu a pozițiilor absolute și ; în caz contrar, problema nu are simetrie translațională , ceea ce înseamnă că legile fizicii s-ar schimba de la un punct la altul. Astfel se poate scrie: $\mathbf {r}$ $\mathbf {r} _{1)$ $\mathbf {r} _{2)$

m{\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} _{12}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})=\mathbf { F} (\mathbf {r} )

unde este masa redusă . $m$

m={\frac {1}{{\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2)}})}={\frac {m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}

Odată ce găsim o soluție pentru și , traiectoriile inițiale pot fi scrise ca $\mathbf {r} _{cm}(t)$ ${\mathbf {r}}(t)$

\mathbf {r} _{1}(t)=\mathbf {r} _{cm}(t)+{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}} \mathbf {r} (t)

\mathbf {r} _{2}(t)=\mathbf {r} _{cm}(t)-{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}} \mathbf {r} (t)

după cum se poate arăta prin substituirea în ecuații pentru și . $\mathbf {r} _{cm}(t)$ ${\mathbf {r}}(t)$

Rezolvarea problemei cu două corpuri pentru forțele gravitaționale

Să acționeze atracția gravitațională între corpuri . Forța care acționează între ele este:

\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-Gm_{1}m_{2}{\frac {\mathbf {r} {r^{3)}}.

Ecuația mișcării se va scrie ca

m{\ddot {\mathbf {r} }}=-Gm_{1}m_{2}{\frac {\mathbf {r} {r^{3}}},

{\ddot {\mathbf {r} }}=-{\frac {\mu \mathbf {r} {r^{3}}},

Unde

\mu =G({m_{1}+m_{2))).\;\;\;(3)

Înmulțind vectorial ultima ecuație cu r și integrând, obținem

\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=0;

\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {h} .

Vectorul constant h , care este constanta de integrare, se numește momentul unghiular al sistemului. Mișcarea reciprocă a corpurilor are loc într-un plan perpendicular pe acest vector. Să introducem un sistem de coordonate cilindrice r , φ, z . Vectorii unitari de-a lungul axelor radiale, transversale si verticale vor fi notati ca i , j si k . Proiecțiile vitezei pe axele radială și transversală vor fi

{\dot {\mathbf {r} }}_{r}=\mathbf {i} {\dot {r}};~~~{\dot {\mathbf {r} }}_{\phi }=\mathbf {j} r{\dot {\phi )),~~~{\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {i} {\dot {r}}+\mathbf {j} r{\punct {\phi )).

Apoi

\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {h} ;

\mathbf {i} r\times (\mathbf {i} {\dot {r}}+\mathbf {j} r{\dot {\phi }})=\mathbf {k} h;

\mathbf {i} r\times \mathbf {j} r{\dot {\phi }}=\mathbf {k} h;

\mathbf {k} r^{2}{\dot {\phi }}=\mathbf {k} h;

r^{2}{\dot {\phi }}=h.

În partea stângă a ultimei expresii este de două ori aria triunghiului descrisă de vectorul rază r pe unitatea de timp. Astfel, acest raport este notația matematică a celei de-a doua legi a lui Kepler.

Înmulțim scalar ecuația (3) cu viteza și integrăm. obține

ieșire verbosă

{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\ddot {\mathbf {r} }}=-\mu {\frac ({\dot {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {r} }{r^{3}}};

Să scriem ultima expresie în coordonate:

{\frac {dx}{dt}}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {dy}{dt}}{\frac {d^{ 2}y}{dt^{2))}=-{\frac {\mu }{\sqrt {\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3))))\ stânga(x{\frac {dx}{dt}}+y{\frac {dy}{dt}}\right);

{\frac {dx}{dt}}d\left({\frac {dx}{dt}}\right)+{\frac {dy}{dt}}d\left({\frac {dy }{dt))\right)=-{\frac {\mu \left(xdx+ydy\right)}{\sqrt {\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3 }}}}.

observa asta

d\left(r^{2}\right)=d\left(x^{2}+y^{2}\right)=2xdx+2ydy.

Apoi

{\frac {dx}{dt}}d\left({\frac {dx}{dt}}\right)+{\frac {dy}{dt}}d\left({\frac {dy }{dt}}\right)=-{\frac {\mu }{2}}\left(r^{2}\right)^{-3/2}d\left(r^{2}\right) ).

Integrând ambele părți, obținem

{\frac {1}{2}}\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}=-{\frac {\mu }{2}}{\frac {\left(r^{2}\right)^{-1/2}} {-1/2}}+C;

{\frac {v^{2}}{2}}={\frac {\mu }{r}}+C;

{\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}=C.

Ultima relație este o expresie a legii conservării energiei mecanice în sistem.

Mișcarea a două corpuri într-un plan

Este de remarcat faptul că mișcarea a două corpuri are loc întotdeauna într-un plan. Definiți momentul liniar și momentul unghiular ${\mathbf {p}}=\mu {\dot {{\mathbf {r}}}}$

{\mathbf {L}}={\mathbf {r}}\times {\mathbf {p}}

Rata de modificare a momentului unghiular este egală cu momentul forței ${\mathbf {N}}$

{\frac {d{\mathbf {L}}}{dt}}={\dot ({\mathbf {r}}}}\times \mu {\dot {{\mathbf {r}}}}+{ \mathbf {r}}\times \mu {\ddot {{\mathbf {r}}}}={\mathbf {r}}\times {\mathbf {F}}={\mathbf {N}}

Totuși, legile mișcării lui Newton sunt valabile pentru toate forțele fizice și ei spun că forța care acționează între două puncte materiale este îndreptată de-a lungul liniei care leagă pozițiile lor, adică . Prin urmare , momentul unghiular este conservat . Atunci vectorul deplasare și viteza lui se află într-un plan perpendicular pe vectorul constant . ${\mathbf {F}}||{\mathbf {r}}$ ${\mathbf {r}}\times {\mathbf {F}}=0$ $\mathbf {r}$ ${\punct {{\mathbf {r}}}}$ $\mathbf{L}$

Soluție generală pentru forța dependentă de distanță

Este adesea utilă schimbarea la coordonatele polare , deoarece mișcarea este într-un plan și pentru multe probleme fizice forța este o funcție a razei ( forțe centrale ). Deoarece componenta r a accelerației este egală cu , ecuația pentru componenta r a vectorului de deplasare poate fi rescrisă ca ${\mathbf {F}}({\mathbf {r}})$ $r$ ${\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{{2}}$ $\mu {\ddot {{\mathbf {r}}}}={\mathbf {F}}(r)\equiv F(r)$

\mu {\frac {d^{{2}}r}{dt^{{{2}}}}-\mu r\omega ^{{2}}=\mu {\frac {d^{{2} }r}{dt^{{2))))-{\frac {L^{{2))}{\mu r^{{{3))))=F(r)

unde și momentul unghiular este conservat. Conservarea momentului unghiular va permite găsirea unei soluții pentru traiectorie folosind o modificare a variabilelor. Mergând de la la $\omega \equiv {\dot \theta }$ $L=\mu r^{{2}}\omega$ $r(\theta)$ $t$ $\theta$

{\frac {d}{dt}}={\frac {L}{\mu r^{{2}}}}{\frac {d}{d\theta }}

obținem ecuația mișcării

{\frac {L}{r^{{2}}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{\mu r^{{2}}}}{ \frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {L^{{2}}}{\mu r^{{3}}}}=F(r)

Această ecuație devine cvasi -liniară la o schimbare a variabilelor și înmulțind ambele părți ale ecuației cu $u\equiv {\frac {1}{r))$ ${\frac {\mu r^{{2}}}{L^{{2}}}}={\frac {\mu }{L^{{2}}u^{{2}}}}$

{\frac {d^{{2}}u}{d\theta ^{{2}}}}+u=-{\frac {\mu }{L^{{2}}u^{{2} }}}F(1/u)

Aplicație

Pentru forțele invers proporționale cu pătratul distanței, cum ar fi gravitația sau atracția electrostatică în fizica clasică , obținem $F$

F={\frac {\alpha }{r^{{2))))=\alpha u^{{2}}

pentru unele constante , ecuația pentru traiectorii devine liniară $\alfa$

{\frac {d^{{2}}u}{d\theta ^{{2}}}}+u={\frac {\alpha \mu }{L^{{2}}}}

Rezolvarea acestei ecuații

u(\theta )\equiv {\frac {1}{r(\theta )}}={\frac {\alpha \mu }{L^{{2))))+A\cos(\theta -\ theta _{{0}})

unde și sunt constante. Această soluție arată că orbita este limita unei secțiuni conice , adică o elipsă , hiperbolă sau parabolă , în funcție de faptul dacă expresia este mai mică decât , mai mare sau egală cu. $A>0$ $\theta _{{0}}$ $A$ ${\frac {\alpha \mu }{L^{{2))))$

Problema celor două corpuri în relativitatea generală

Orbita normală a oricărui corp capturat de atracția unui alt corp este o elipsă sau un cerc - acestea sunt orbitele pe care le observăm în sistemul solar. Cu toate acestea, relativitatea generală afirmă că în vecinătatea corpurilor extrem de masive - unde spațiul este puternic curbat datorită prezenței unui câmp gravitațional colosal - spectrul posibilelor orbite stabile este mult extins. Dimpotrivă, orbitele care sunt stabile în problema clasică cu două corpuri se dovedesc a fi instabile în problema relativistă a două corpuri. La distanțe mici de centrul de atrage, „bariera centrifugă” existentă în problema clasică Kepleriană dispare, ceea ce nu permite particulei de testat să cadă pe centrul de atrage.

De fapt, chiar și într-un câmp gravitațional relativ slab din sistemul solar, se observă abateri relativiste de la orbitele eliptice clasice. O astfel de abatere pentru Mercur (rotația periheliului orbitei cu o rată de aproximativ 43 de secunde de arc pe secol), neprevăzută de mecanica newtoniană, era cunoscută cu mult înainte de crearea relativității generale, care a putut explica acest efect anterior misterios. .

Exemplu

Orice sistem clasic format din două particule este, prin definiție, o problemă cu două corpuri. În multe cazuri, însă, un corp este mult mai greu decât celălalt, ca în sistemul Pământ - Soare , de exemplu . În astfel de cazuri, o particulă mai grea joacă rolul unui centru de masă și problema se reduce la problema mișcării unui corp în câmpul potențial al altui corp [2] .

De fapt, legea gravitației universale a lui Newton ia în considerare tocmai o astfel de situație, până acum pe planetă precizia ei este suficientă cu un exces uriaș. Cu toate acestea, nu trebuie uitat că există riscul de a pierde acuratețea calculelor necesare acțiunilor reale - dacă se abuzează de simplificare. În special, fără a lua în considerare interacțiunea maselor sau, cu alte cuvinte, potențialele gravitațional-inerțiale ale ambelor corpuri [3] [4] , calculele spațiale moderne sunt imposibile. Găsirea locului centrului de rotație într-un corp mai masiv este vagă și, în realitate, alte corpuri și câmpuri trebuie încă luate în considerare. Este necesară o analiză preliminară, mai ales atunci când se calculează orbite stabile și staționare: rotația multiplă va acumula inevitabil inexactități până la o valoare de eroare inacceptabilă.

Vezi și

Note

↑ Luo, Siwei (22 iunie 2020). „Problema Sturm-Liouville a sistemului cu două corpuri”. Journal of Physics Communications . 4 . DOI : 10.1088/2399-6528/ab9c30 .
↑ David Shiga. „Tabelul periodic” organizează grădina zoologică a orbitelor găurilor negre . NewScientist.com (13 februarie 2008). Arhivat din original pe 3 iunie 2012. (nedefinit)
↑ Majenov, Nurbek. Rafinată legea lui Newton a gravitației universale . © NiT. Preprint, 1997. . nt.ru (23 mai 2000). — „... Legea gravitației universale a lui Newton este un caz special al formulelor (4) și (5).” Sunt luați în considerare parametrii ambelor corpuri. Forța de atracție F este generală, accelerațiile sunt invers proporționale cu masele corpurilor Data accesării: 15 aprilie 2019. Arhivat la 14 august 2017. (nedefinit)
↑ VU Huy Toan. Natura inerției (iunie 2013). Preluat la 15 aprilie 2019. Arhivat din original la 6 august 2017. (nedefinit)

Literatură

Curs de fizică teoretică de Landau și Lifshitz
H. Goldstein, (1980) Mecanica clasică , a 2-a. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9

Dicționare și enciclopedii	Mare norvegian Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	BNF : 122621959 GND : 4191237-8 J9U : 987007558418005171 LCCN : sh85139054

Mecanica cerească

Legi și sarcini	legile lui Newton Legea gravitației legile lui Kepler Problemă cu două corpuri Problemă cu trei corpuri Problemă gravitațională a N-corpilor problema lui Bertrand ecuația lui Kepler
Sfera celestiala	Sistemul de coordonate ceresc galactic orizontală ecuatorial ecliptic Sistemul internațional de coordonate cerești Sistem de coordonate sferice axa mondială Ecuatorul ceresc ascensiunea dreaptă declinaţie Ecliptic Echinocţiu Solstițiul plan fundamental
Parametrii orbitei	Elementele kepleriene ale orbitei excentricitate semi-axa mare înseamnă anomalie longitudinea nodului ascendent argument periapsis Apocentrul și periapsis Viteza orbitală Nodul orbital Epocă
Mișcarea corpurilor cerești	Mișcarea soarelui și a planetelor în sfera cerească Efemeride Configurații de planetă confruntare compus cuadratura elongaţie parada planetelor Eclipsă eclipsă de soare eclipsa de luna saros Ciclul metonic Strat Tutorial punct culminant perioada siderale perioada sinodica Perioada de rotație rezonanța orbitală Preludiul echinocțiului Apropiere librare Domeniul gravitației efectul Kozai Efectul Yarkovsky efectul Dzhanibekov

Astrodinamica

Zbor în spațiu	viteza spatiala primul (circular) al doilea (parabolic) al treilea Al patrulea formula lui Ciolkovski Manevra gravitațională traiectoria Hohmann Metoda elementelor osculatoare Accelerația mareelor Modificarea înclinației orbitale Rețeaua de transport interplanetar Andocare puncte Lagrange Efect de pionier
SC orbite	orbită geostaţionară Orbită heliocentrică orbită geosincronă orbita geocentrică orbita de geotransfer Orbită terestră joasă orbită polară Orbită „Tundra” Orbită sincronă cu Soarele Orbită „Fulger” Orbită osculatoare