Puncte remarcabile ale triunghiului

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 2 aprilie 2022; verificarea necesită 1 editare .

Punctele remarcabile ale unui triunghi sunt puncte a căror locație este determinată în mod unic de triunghi și nu depinde de ordinea în care sunt luate laturile și vârfurile triunghiului.

De obicei, acestea sunt situate în interiorul triunghiului, dar acest lucru nu este necesar. În special, punctul de intersecție al înălțimilor poate fi în afara triunghiului. Pentru alte puncte triunghiulare remarcabile, vezi Enciclopedia centrelor triunghiulare .

Exemple

Punctele remarcabile ale triunghiului sunt

Puncte de intersecție:
- median - centroid , centru de greutate (masă) ;
- bisectoare - incentrul sau centrul cercului înscris ;
- antibisector - centrul antibisectoarelor;
- bisectoarea unghiurilor externe este centrul excercului ;
- inaltimi - ortocentru ;
- perpendiculare medii - centrul cercului circumscris ;
- simedian - punctul Lemoine ;
- bisectoarea triunghiului mijlociu (incentrul acestuia) - Spieker Center ;
- brațele triunghiulare sunt, de asemenea, Spieker's Center;
- trei (sau chiar două) cercuri, construite, ca pe un diametru, pe un segment care leagă bazele bisectoarelor interioare și exterioare, eliberate dintr-un colț - două puncte ale lui Apollonius ;
- segmente care leagă vârfurile triunghiului:
  - cu puncte de contact ale laturilor opuse și cercul înscris - punctul Gergonne ;
  - cu puncte de contact ale laturilor opuse și cercuri - punctul Nagel ;
  - cu vârfurile libere corespunzătoare ale triunghiurilor echilaterale construite pe laturile triunghiului (în afară) - primul punct al lui Torricelli ;
  - cu vârfurile libere corespunzătoare ale triunghiurilor regulate construite în interiorul triunghiului - al doilea punct al lui Torricelli ;
  - cu vârfurile libere corespunzătoare ale triunghiurilor similare cu triunghiul original și construite pe laturile sale - punctele lui Brokar ;

Minimax puncte ale unui triunghi

Punctele minime (extreme) ale unui triunghi sunt puncte la care se atinge minimul unei anumite funcții, de exemplu, suma gradelor distanțelor față de laturile sau vârfurile triunghiului [1] .

Punctele minimax ale triunghiului sunt:

Punctul de intersecție a trei mediane , care are cea mai mică sumă a pătratelor distanțe față de vârfurile unui triunghi ( teorema lui Leibniz ).
Punctul de intersecție al celor trei mediane ale triunghiului este singurul punct al triunghiului astfel încât cele trei cevie trase prin el împart laturile triunghiului în șase segmente cu capetele lor. În acest caz, produsul lungimilor a trei dintre aceste șase segmente care nu au capete comune este maxim [2]
Punctul Torricelli (primul) având cea mai mică sumă a distanțelor până la vârfurile unui triunghi cu unghiuri nu mai mari decât . $120^{\circ }$
punctul Lemoine , care are cea mai mică sumă de distanțe pătrate față de laturile triunghiului.
Bazele înălțimilor unui triunghi unghiular ascuțit formează un ortotriunghi având cel mai mic perimetru dintre toate triunghiurile înscrise în triunghiul dat.

Izo-puncte și izo-linii ale triunghiurilor

Izo-punctele sunt puncte ale unui triunghi care dau orice parametri egali a trei triunghiuri, care se formează atunci când un izo-punct este conectat prin segmente cu trei vârfuri de triunghi [3] . Ca rezultat, se formează o figură de tip „ ochi de dragon ” (vezi fig.)

Izo-punctele unui triunghi formând forma unui ochi de dragon

Izopunctele acestui tip de triunghi sunt:

ortocentrul (oferă trei triunghiuri cu trei raze egale a trei cercuri circumscrise),
punctul de intersecție al medianelor (oferă trei triunghiuri cu trei arii egale)
incentrul (oferă trei triunghiuri cu trei înălțimi egale)
centrul cercului circumscris (oferă trei triunghiuri isoscele cu trei perechi egale de laturi),
punct de perimetre egale sau punct izoperimetric (oferă trei triunghiuri cu trei perimetre egale [4] ), $P$
Punctul lui Torricelli (primul) (oferă trei triunghiuri cu trei unghiuri obtuze egale la ). $120^{\circ }$
Punctul de împărțire al unui triunghi în trei triunghiuri cu trei raze identice de cercuri înscrise
Centrul Spieker al unui triunghi este centrul radical al celor trei excercuri ale sale [5] (are trei perechi de tangente egale la trei excercuri deodată).

Izo-punctele unui triunghi care formează o formă de „ Trefoil (nod) ”

Izo-punctele unui triunghi de acest tip sunt (vezi Fig.):

Centrul lui Spieker este punctul de intersecție al dreptelor , și , unde , și similare, isoscel și identic situate, construite pe laturile exterioare ale triunghiului , având același unghi la bază [6] . $S$ $AX$ $BY$ $CZ$ $XBC$ $YCA$ $ZAB$ $ABC$ $\operatorname {arctg} [\operatorname {tg} (A/2)\operatorname {tg} (B/2)\operatorname {tg} (C/2)]$
Primul punct al lui Napoleon , ca și centrul lui Spieker , este punctul de intersecție al liniilor , și , unde , și asemănătoare, isoscel și situat identic, construit pe laturile triunghiului din exterior, având același unghi la bază . $N_1$ $AX$ $BY$ $CZ$ $XBC$ $YCA$ $ZAB$ $ABC$ $30^{\circ }$
Aici ar fi necesar să enumerați toate punctele aflate pe hiperbola Kiepert .

Izo-punctele unui triunghi care formează o formă de floare de tradescantia

Izopunctele triunghiului care formează o figură de tipul Florii Tradescantia (vezi Fig.) sunt următoarele:

punctul de intersecție al medianelor formează trei patrulatere cu arii egale de trei segmente mici ale cevianelor.
punctul de intersecție al bisectoarelor formează trei patrulatere cu trei perpendiculare pe cele trei laturi ale triunghiului - un deltoid cu două laturi adiacente identice pentru toate. Cealaltă pereche de laturi adiacente egale este în general diferită pentru fiecare. Toți cei trei deltoizi au o pereche de unghiuri opuse egale la . Sunt patrulatere înscrise-circumscrise. $90^{\circ }$
Trei cercuri desenate în interiorul triunghiului prin punctul Mikel intersectează laturile triunghiului în trei puncte. Trei coarde trase prin punctul Miquel și trei puncte de intersecție a trei cercuri cu trei laturi diferite ale triunghiului formează unghiuri egale cu laturile.

Iso-punctele unui triunghi, formând un semn ca „ Modelul suprafeței unui triunghi curbat ” (vezi figura)

Aceste puncte includ:

Punctele cercului Euler
Puncte din teorema lui Thomsen
Puncte în teorema lui Tooker . Dacă în fig. la teorema lui Thomsen din dreapta de jos, trageți o linie întreruptă similară cu 6 linkuri, alternând succesiv segmente paralele, antiparalele, paralele, din nou antiparalele, din nou paralele cu partea opusă a curentului etc., apoi ultimul al 6-lea segment va reveni la începutul. punct, ca în teorema Thomsen, iar polilinia se va închide. Teorema lui Tucker afirmă că, în acest caz, 6 puncte ale poliliniei situate pe laturile triunghiului se vor afla pe cercul Tucker [7] [8]

Iso-punctele unui triunghi formând un semn ca „ Pericol. Substanțe radioactive sau radiații ionizante » (vezi fig.)

Izopunctele acestui tip de triunghi sunt:

Punctul Lemoine (punct de antiparalele egale) - un punct cu proprietatea: trei antiparalele trasate prin el (linii antiparalele la trei laturi ale unui triunghi) dau trei segmente de lungime egală în interiorul triunghiului.
punct de paralele egale (Equal Parallelians Point) [9] . Într-un fel, este similar cu punctul Lemoine . Un punct are proprietatea că trei paralele trasate prin el (linii paralele cu trei laturi ale unui triunghi) dau trei segmente de lungime egală în interiorul triunghiului.
Centrul de congruență Yff [10]
punctul de intersecție al celor 3 antibisectoare ale unui triunghi . Dacă prin acest punct tragem 3 linii drepte paralele cu laturile triunghiului, atunci acestea vor tăia 3 segmente interioare (de mijloc) egale de pe laturile triunghiului.
O altă formulare a ultimei afirmații: Segmentele laturilor unui triunghi închise între liniile trasate prin centrul antibisectoarelor paralele cu cele trei laturi sunt egale între ele.

Alte izo-puncte ale triunghiului formând cevianele generale

punctele Skutin sunt punctele cevianelor egale ale triunghiului. Teorema lui Skutin afirmă că trei segmente de linie sau cevian desenate în interiorul unui triunghi prin cele trei vârfuri ale sale și prin orice focar al elipsei Steiner descrise sunt egale între ele. Aceste focare sunt adesea denumite puncte Skutin .

Iso-linii drepte

Izo-liniile ( izo-liniile ) ale unui triunghi sunt liniile care taie triunghiul dat în două triunghiuri având orice parametri egali [3] . Izo-liniile unui triunghi sunt:

Mediana unui triunghi traversează latura opusă și taie triunghiul în două triunghiuri cu suprafețe egale.
Bisectoarea ( Bisectoare ) a unui triunghi bisectează unghiul din al cărui vârf iese.
Altitudinea unui triunghi intersectează latura opusă (sau prelungirea acesteia) într-un unghi drept (adică formează două unghiuri egale cu latura de pe fiecare parte a acestuia) și taie triunghiul în două triunghiuri cu unghiuri (drepte) egale.
Simedianul este locul punctelor din interiorul unui triunghi care provine dintr-un singur vârf și dă două segmente egale care sunt antiparalele cu două laturi care se intersectează la acel vârf și sunt delimitate de trei laturi.
Brațul triunghiular traversează perimetrul . Brațul unui triunghi este un segment, al cărui capăt se află în mijlocul uneia dintre laturile triunghiului, celălalt capăt se află pe una dintre cele două laturi rămase. În plus, brațul este paralel cu una dintre bisectoarele unghiului. Fiecare dintre brațuri trece prin centrul de masă al perimetrului triunghiului ABC, astfel încât toate cele trei brațe se intersectează în centrul lui Spieker .
De asemenea, împarte perimetrul în jumătate printr -un segment care leagă punctul de contact al laturii triunghiului și al cercului cu vârful opus laturii date. Trei astfel de segmente ale unui triunghi, desenate din cele trei vârfuri ale sale, se intersectează în punctul Nagel . Cu alte cuvinte, acest segment este ceviana punctului Nagel . ( Chevian of the Nagel point în literatura engleză este uneori numit un splitter (splitter) sau un separator în jumătate din perimetru . Ei se referă, de asemenea, la splitter ca un braț ).
Egalizator (egalizator) sau egalizator (aligner) - un segment de linie dreaptă care taie un triunghi în două figuri de zone și perimetre simultan egale [11]
Câteva despre egalizator (egalizator). Orice linie dreaptă ( egalizator ) care trece printr-un triunghi și bisectează aria și perimetrul triunghiului trece prin centrul cercului înscris. Pot exista trei, două sau una astfel de linii. [12]

O notă despre izoliniile unui triunghi

În literatura engleză, conceptul de bisectie este introdus , ca împărțirea a ceva în două părți egale. De exemplu, un triunghi isoscel în două egale, un segment de linie dreaptă în două egale, un unghi plat în două egale. Liniile corespunzătoare vor fi un caz special de iso-linii drepte (izo-linii) ale triunghiului.

Direct $n$

Un caz particular important de izo-linii sunt așa-numitele linii $n$ ale unui triunghi. Linia dreaptă a unui triunghi, care emană din vârful său, împarte latura opusă în raport cu gradele --lea ale celor două laturi adiacente acestuia [13] . Cazurile speciale importante ale liniilor sunt: $n$ $n$ $n$

mediana ( ), $n=0$
bisectoare (bisectoare) ( ), $n=1$
antibisector ( ), $n=-1$
simedian ( ), $n=2$
cuburi directe ( ). $n=3$

Pentru triunghiuri drepte , este foarte ușor să găsiți unele proprietăți în termeni generali. De exemplu, pentru o linie, linia va fi conjugată izogonal, iar linia va fi conjugată izotomic . $n$ $n$ $(2-n)$ $-n$

Notă

Coordonatele baricentrice ale centrului, scrise în termenii laturilor (sau funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor) unui triunghi, fac posibilă traducerea multor probleme despre centrele unui triunghi în limbaj algebric. De exemplu, pentru a afla dacă două definiții definesc același centru sau dacă trei centre date se află pe aceeași linie.

De asemenea, puteți utiliza coordonatele triliniare ale centrului, care sunt foarte simplu legate de coordonatele baricentrice . Totuși, de exemplu, punctele conjugate izogonal în coordonate triliniare sunt exprimate mai simplu.

Variații și generalizări

Sunt luate în considerare perechile de centre. De exemplu,
- puncte Brocard ;
- Apollonius puncte . Pentru orice triunghi nedegenerat , se poate construi un cerc Apollonius pe latura care trece prin punctul . Cercurile construite în acest fel pe trei laturi se vor intersecta în două puncte - Apollonius interior și, respectiv, exterior. $ABC$ $AB$ $C$

Puncte (centre) nou descoperite ale triunghiului

Centrul de congruență Yff [14 ]
Gossard Perspector [ 15 ]
Punct de mijloc ( în engleză Mittenpunkt ) [16]
1 și 2 puncte Ajima -Malfatti ( ing. 1 și 2 puncte Ajima-Malfatti ) [17]
Punctul Apollonius - nu trebuie confundat cu punctele Apollonius [18]
Puncte Bailey [ 19 ]
Puncte Hofstadter [ 20 ]
Isoscelizer-congruent point ( în engleză. Congruent Isoscelizers Point ) [21]
Primele și al doilea puncte Morley asociate cu triunghiul lui Morley ( ing. 1ST AND 2ND Morley Centers ) [22]
Parry Point [ 23 ]
Punct izoperimetric și punct de ocolire egal [ 24 ]
Punct paralelieni egali [ 25 ]
Schiffler Point [ 26 ] _
Exeter Point [27]
Punct de împărțire a unui triunghi în trei triunghiuri cu trei raze identice a trei cercuri înscrise [28]

Note

↑ Starikov V.N. Studii de geometrie. // Culegere de publicații a revistei științifice Globus pe baza materialelor celei de-a V-a conferințe științifice-practice internaționale „Realizări și probleme ale științei moderne”, Sankt Petersburg: o colecție de articole (nivel standard, nivel academic). - Sankt Petersburg. , 2016. - S. 97 .
↑ Zetel S. I. Noua geometrie a unui triunghi. Un ghid pentru profesori . - Ed. a II-a. - M . : Uchpedgiz, 1962. - S. 12, sarcină. (Rusă)
↑ 1 2 Starikov V. N. Note despre geometrie // Căutare științifică: științe umanitare și socio-economice: colecție de lucrări științifice. - Cheboksary: TsDIP "INet", 2014. - P. 37, coloana din stânga, ultimul paragraf . (Rusă)
↑ Punct izoperimetric și Punct de ocolire egal . Preluat la 4 septembrie 2015. Arhivat din original la 10 mai 2012.
↑ Odenhal, 2010 , p. 35-40.
^ Weisstein , Eric W. Kiepert Hyperbola pe site- ul Wolfram MathWorld .
↑ Zetel S.I. Noua geometrie a triunghiului. Un ghid pentru profesori. editia a 2-a. M.: Uchpedgiz, 1962. p. 92. paragraful 74.
↑ Myakishev A. G. Mergând în cerc: de la Euler la Taylor // Arhimede: colecție științifică și metodologică. 2011. Problemă. 7. p. 83// https://www.mathedu.ru/text/arhimed_2011_v7/p83/
↑ Punctul paralelienilor egali . Preluat la 4 septembrie 2015. Arhivat din original la 16 mai 2012.
↑ Yff center of congruence// https://en.wikipedia.org/wiki/Yff_center_of_congruence Arhivat 22 octombrie 2021 la Wayback Machine
↑ Kodokostas, Dimitrios (2010), Triangle equalizers , Mathematics Magazine vol . 83 (2): 141–146 , DOI 10.4169/002557010X482916 .
↑ Dimitrios Kodokostas. Egalizatoare triunghiulare // Revista de matematică. - 2010. - Emisiune. 83, aprilie . - S. 141-146. .
↑ Zetel S. I. Noua geometrie a unui triunghi. Un ghid pentru profesori . - Ed. a II-a. - M . : Uchpedgiz, 1962. - S. 120-125, sarcină, paragrafele 109-113. (Rusă)
↑ Yff Center Of Congruence . Preluat la 4 septembrie 2015. Arhivat din original la 16 mai 2012. (nedefinit)
↑ Perspectorul Gossard . Preluat la 4 septembrie 2015. Arhivat din original la 10 mai 2012. (nedefinit)
↑ Mittenpunkt . Preluat la 4 septembrie 2015. Arhivat din original la 5 august 2015. (nedefinit)
↑ PUNCTE 1 ȘI 2 AJIMA-MALFATTI . Preluat la 4 septembrie 2015. Arhivat din original la 5 august 2015. (nedefinit)
↑ Punctul Apollonius . Preluat la 4 septembrie 2015. Arhivat din original la 10 mai 2012. (nedefinit)
↑ Bailey Point . Preluat la 4 septembrie 2015. Arhivat din original la 6 august 2015. (nedefinit)
↑ Punctele Hofstadter . Preluat la 4 septembrie 2015. Arhivat din original la 10 mai 2012. (nedefinit)
↑ Punctul izocelizatorilor congruenți . Preluat la 4 septembrie 2015. Arhivat din original la 16 mai 2012. (nedefinit)
↑ Centrele Morley . Preluat la 4 septembrie 2015. Arhivat din original la 13 decembrie 2012. (nedefinit)
↑ Parry Point . Preluat la 4 septembrie 2015. Arhivat din original la 16 mai 2012. (nedefinit)
↑ Punct izoperimetric și punct de ocolire egal . Preluat la 4 septembrie 2015. Arhivat din original la 10 mai 2012. (nedefinit)
↑ Punct paralele egale . Preluat la 4 septembrie 2015. Arhivat din original la 16 mai 2012. (nedefinit)
↑ Schiffler Point . Preluat la 4 septembrie 2015. Arhivat din original la 5 august 2015. (nedefinit)
↑ Exeter Point . Preluat la 4 septembrie 2015. Arhivat din original la 16 mai 2012. (nedefinit)
↑ Starikov V.N. Al 9-lea studiu despre geometrie (§ Rezolvarea problemei unui cevian care împarte 3-k în 2 3-k cu aceleași cercuri înscrise) // Revista electronică științifică peer-reviewed a Universității Agrare de Stat din Moscova „Știință și Educație”. 2020. Nr. 1. 7 p.// http://opusmgau.ru/index.php/see/issue/view/1603

Literatură

Enciclopedie pentru copii. T. 11. Matematică / Capitolul. ed. M. D. Aksyonova. — M.: Avanta+, 2001. — 688 p.: ill.
A. G. MYAKISHEV Elemente de geometrie triunghiulară . — M .: MTsNMO, 2002.
Boris Odenhal. Unele centre de triunghi asociate cu cercurile tangente la excercurile // Forum Geometricorum. - 2010. - or. 10 .
Glosar de planimetrie// https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%BB%D0%BE%D1%81%D1%81%D0%B0%D1%80%D0%B8% D0 %B9_%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B8

Link -uri

Puncte remarcabile ale triunghiului
Encyclopedia of Triangle Centers Arhivat 19 aprilie 2012 la Wayback Machine
Enciclopedia centrelor triunghiulare

Triunghi
Tipuri de triunghiuri	Dreptunghiular Isoscel Echilateral Isoscel dreptunghiular
Linii minunate într-un triunghi	Median Înălţime Bisectoare Midperpendicular linia de mijloc Cercuri circumscrise și înscrise Linia dreaptă a lui Simson linia lui Euler Simediana Cheviana
Puncte remarcabile ale triunghiului	Ortocentru Centroid În centru Punctul Brocard Vecten punct Point Gergonne Punctul Lemoine punctul Miquel punctul Nagel Napoleon arată Punctele lui Torricelli Centru cerc cu nouă puncte Centrul Spieker Enciclopedia centrelor triunghiulare
Teoreme de bază	inegalitatea triunghiulară Semne de asemănare ale triunghiurilor Rezolvarea triunghiurilor Teorema unghiului exterior al triunghiului Teorema sumei unghiurilor triunghiulare teorema lui Pitagora Teorema cosinusului Teorema sinusului Teorema proiecției Formula lui Heron
Teoreme suplimentare	teorema lui Van Obel Teorema lui Menelaus Teorema Reuschle (Terkema). teorema lui Stewart Teorema tangentei Teorema cotangentei teorema lui Ceva Formule Mollweide
Generalizări	triunghi sferic triunghi hiperbolic Simplex