Câmp de destinație

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 7 aprilie 2022; verificările necesită 5 modificări .

Un câmp finit , sau un câmp Galois în algebră generală , este un câmp format dintr-un număr finit de elemente ; acest număr se numește ordinea câmpului.

Câmpul final este de obicei notat sau (prescurtarea de la engleză Galois field ) și se numește câmpul de ordine Galois , unde este numărul de elemente de câmp [1] . Până la izomorfism , un câmp finit este complet determinat de ordinea sa, care este întotdeauna o putere a unui număr prim , adică unde este un număr prim și este orice număr natural . În acest caz, va fi o caracteristică a acestui domeniu [2] . $\mathbb {F} _{q}$ $\mathrm {GF} (q)$ $q$ $q$ $q=p^{n}$ $p$ $n$ $p$

Conceptul de câmp finit este folosit în teoria numerelor [3] , teoria grupurilor [3] , geometria algebrică [3] , criptografia [4] .

Definiție și proprietăți

Un câmp finit este o mulțime finită pe care sunt definite operații arbitrare, numite adunare , înmulțire , scădere și împărțire (cu excepția împărțirii cu 0) în conformitate cu axiomele câmpului [5] .

Grupul multiplicativ al unui câmp finit este ciclic . Adică, toate elementele non-nule ale câmpului formează un grup în ceea ce privește operația de înmulțire (acest grup se numește grupul multiplicativ al câmpului și este notat cu ). Acest grup este ciclic , adică are un element generator , iar toate celelalte elemente se obțin prin ridicarea generatorului la putere [5] . Adică, există un element generator astfel încât pentru orice , putem scrie: $\mathbb {F} _{q}$ $\mathbb {F} _{q}^{*}$ $g$ $a\in \mathbb {F} _{q}^{*}$

$\exists n:g^{n}=a\mod q$ .

Elementul generator este numit și elementul primitiv al câmpului Câmpul conține elemente primitive, unde este funcția Euler . [6] $\mathbb {F} _{q}^{*}$ $\mathbb {F} _{q}.$ $\mathbb {F} _{q}$ $\varphi (q-1)$ $\varphi$

Câmpul are și o serie de alte proprietăți:

Conform micii teoreme a lui Fermat , fiecare element al câmpului satisface egalitatea [2] . $\mathbb {F} _{q}$ $a^{q}=a$
Un câmp conține ca subcâmp dacă și numai dacă este un divizor [1] . $\mathbb {F} _{p^{n}}$ $\mathbb {F} _{p^{k}}$ $k$ $n$
Dacă este un polinom ireductibil de grad , atunci câmpul conține oricare dintre rădăcinile sale , iar mulțimea tuturor rădăcinilor sale are forma . Astfel, este câmpul de expansiune al unui polinom peste câmpul [7] . $f\in \mathbb {F} _{q}[x]$ $m$ $\mathbb {F} _{q^{m}}$ $\alfa$ $\{\alpha ,\alpha ^{q},\ldots ,\alpha ^{q^{m-1}}\}$ $\mathbb {F} _{q^{m}}$ $f$ $\mathbb {F} _{q}$
Pentru fiecare câmp finit și număr natural, produsul tuturor ireductibile normalizate peste polinoame ale căror grade se împarte este În special, suma gradelor unor astfel de polinoame este [8] . $\mathbb {F} _{q}$ $n$ $\mathbb {F} _{q}$ $n$ $x^{q^{n}}-x.$ $q^{n}$
Numărul de polinoame normalizate de grad n care sunt ireductibile într-un câmp este determinat de formula , unde este funcția Möbius . Această afirmație decurge din formula după aplicarea formulei de inversare a lui Möbius [9] . $N(q,n)$ $\mathbb {F} _{q},$ $N(q,n)={\frac {1}{n}}\sum _{d|n}\mu (d)q^{\frac {n}{d}}$ $\mu$ $q^{n}=\sum _{d|n}dN(q,d)$

Un câmp cu un număr prim de elemente

Orice câmp de ordin prim poate fi reprezentat printr -un inel rezidual (adică orice câmp de elemente este izomorf cu un inel rezidual ). Cel mai cunoscut exemplu de câmp finit este câmpul claselor de reziduuri modulo un număr prim , notat [10] . Acest câmp poate fi reprezentat după cum urmează. Pentru un număr prim , elementele câmpului vor fi numere . Adunarea și înmulțirea sunt definite ca adunarea și înmulțirea numerelor cu reducerea modulo a rezultatului [11] . Următoarele sunt exemple de astfel de câmpuri cu două elemente și trei elemente . $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {Z} /(p)$ $p$ $\mathbb {Z} /(p)$ $p$ $\{0,1,...,p-1\}$ $p$

Relația cu inelele reziduale

Câmpurile finite și inelele de reziduuri nu trebuie confundate . Numai atunci când exponentul este un număr prim , inelul de reziduuri este un câmp. [12] $\mathbb {F} _{p^{n}}$ $\mathbb {Z} /(p^{n})$

Pentru n > 1, inelul rezidual nu este un câmp. Exemplu. $\mathbb {Z} /(p^{n})$

În câmp pentru orice element este adevărat .

\mathbb {F} _{8}

x+x=0

În inel , calculând , obținem 0 numai în două cazuri, când . Acest inel are divizori zero : .

\mathbb {Z} _{8}

x+x

x=4,x=0

2\cdot 4=0{\pmod {8}}

Caracterizarea câmpurilor finite

Caracteristica fiecărui câmp finit este un număr prim. Să fie un câmp finit. Apoi este format din elemente, unde este caracteristica câmpului , iar numărul natural este gradul câmpului peste subcâmpul său simplu [2] . $F$ $p^{n}$ $p$ $F$ $n$ $F$

Conform teoremei privind existența și unicitatea câmpurilor finite, pentru fiecare număr prim și număr natural există un câmp finit de elemente, iar orice câmp finit de elemente este izomorf cu câmpul de descompunere a unui polinom peste un câmp . Această teoremă ne permite să vorbim despre un câmp bine definit de un ordin dat (adică un câmp de elemente Galois ) [13] . $p$ $n$ $p^{n}$ $q=p^{n}$ $x^{q}-x$ $\mathbb {F} _{p}$ $q$ $q$

Clădire

Câmpul pentru n > 1 poate fi construit ca un inel coeficient , unde este un polinom ireductibil de grad n peste câmp . Astfel, pentru a construi un câmp din elemente, este suficient să găsim un polinom de grad care să fie ireductibil peste câmp (un astfel de polinom există întotdeauna). Elementele câmpului sunt clasele reziduale de polinoame de grad mai mic cu coeficienți din modulo idealul principal generat de polinom . $\mathbb {F} _{p^{n}}$ $\mathbb {K} =\mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))$ $f(x)$ $\mathbb {F} _{p}$ $p^{n}$ $n$ $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {K}$ $n$ $\mathbb {F} _{p}$ $f(x)$

Un element este o rădăcină a unui polinom , iar câmpul este generat de acest element peste câmp , deci trecerea de la câmp la câmp se numește unirea rădăcinii unui polinom ireductibil la câmp . [14] [15] $\alpha =x+(f(x))\in \mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))$ $f(x)$ $\mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))$ $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))$ $\mathbb {F} _{p}$ $f(x)$

Exemple

Câmp de două elemente

Câmpul este format din două elemente, dar poate fi specificat în moduri diferite în funcție de alegerea elementelor și de definirea operațiilor de adunare și înmulțire asupra acestora: [16] $\mathbb {F} _{2}$

Ca un set de două numere „0” și „1”, pe care operațiile de adunare și înmulțire sunt definite ca adunare și înmulțire de numere cu rezultatul modulo 2 ( ): $\mathbb {F} _{2}=\{0,1\}$

+	0	unu
0	0	unu
unu	unu	0

×	0	unu
0	0	0
unu	0	unu

Cu aritmetica obișnuită Această logică stă la baza sistemului binar al calculatoarelor, (câmp ) (calculatoare).

0+0=0,\quad 0+1=1+0=1,\quad 1+1=0,\quad 0\cdot 0=0\cdot 1=1\cdot 0=0,\quad 1\cdot 1=1.

\mathbb {F} _{2}

\Sageata dreapta

Ca un set de două obiecte logice „FALSE” (F) și „ADEVĂRAT” (T), pe care operațiile de adunare și înmulțire sunt definite ca operații booleene „exclusiv sau” și respectiv „și”:

+	F	T
F	F	T
T	T	F

×	F	T
F	F	F
T	F	T

Aceste câmpuri sunt izomorfe între ele, adică sunt de fapt două moduri diferite de a specifica același câmp.

Câmp de trei elemente

Câmp . Adunările și înmulțirile sunt definite ca adunări și înmulțiri de numere modulo 3. Tabelele de operații sunt: $\mathbb {F} _{3}=\{0,1,2\}$ $\mathbb {F} _{3}$

+	0	unu	2
0	0	unu	2
unu	unu	2	0
2	2	0	unu

×	unu	2
0	0	0
unu	unu	2
2	2	unu

Resturile din împărțirea cu 3 formează din trei elemente (unde pentru că pentru resturile din împărțirea cu 3). $\mathbb {F} _{3}$ ${\frac {1}{2}}=2,$ $2\cdot 2=1$

Restul împărțirii la 4 câmpuri nu se formează, deoarece elementul 2 nu are invers.

Un câmp de patru elemente

Câmpul poate fi reprezentat ca o mulțime (unde este rădăcina polinomului peste câmp , adică ). Tabelele de operații arată astfel: [17] $\mathbb {F} _{4}$ $\{0,1,\alpha ,\alpha +1\}$ $\alfa$ $f(x)=x^{2}+x+1$ $\mathbb {F} _{2}$ $\alpha ^{2}=-\alpha -1=\alpha +1$ $\mathbb {F} _{4}$

+	0	unu	$\alfa$	$\alpha +1$
0	0	unu	$\alfa$	$\alpha +1$
unu	unu	0	$\alpha +1$	$\alfa$
$\alfa$	$\alfa$	$\alpha +1$	0	unu
$\alpha +1$	$\alpha +1$	$\alfa$	unu	0

×	unu	$\alfa$	$\alpha +1$
0	0	0	0
unu	unu	$\alfa$	$\alpha +1$
$\alfa$	$\alfa$	$\alpha +1$	unu
$\alpha +1$	$\alpha +1$	unu	$\alfa$

Un câmp de nouă elemente

Pentru a construi câmpul, este suficient să găsim un polinom normalizat de gradul 2 care este ireductibil peste . Aceste polinoame sunt: $\mathbb {F} _{9}=\mathrm {GF} (3^{2})$ $\mathbb {F} _{3}$

x^{2}+1

x^{2}+x+2

x^{2}+2x+2

Pentru , există un câmp dorit (dacă luăm un alt polinom în schimb , obținem un câmp nou izomorf cu cel vechi). În tabelele de mai jos, simbolul denotă clasa de echivalență a unui polinom din inelul factorilor care satisface ecuația . $x^{2}+1$ $\mathbb {F} _{9}=\mathbb {Z} _{3}[x]/(x^{2}+1)$ $x^{2}+1$ $i$ $X$ $\mathbb {Z} _{3}[x]/(x^{2}+1)$ $i^{2}+1=0$

Tabelul de adăugare în este determinat pe baza raportului : $\mathbb {F} _{9}$ $1+1+1=0$

+	0	unu	2	$i$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$
0	0	unu	2	$i$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$
unu	unu	2	0	$i+1$	$i+2$	$i$	$2i+1$	$2i+2$	$2i$
2	2	0	unu	$i+2$	$i$	$i+1$	$2i+2$	$2i$	$2i+1$
$i$	$i$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$	0	unu	2
$i+1$	$i+1$	$i+2$	$i$	$2i+1$	$2i+2$	$2i$	unu	2	0
$i+2$	$i+2$	$i$	$i+1$	$2i+2$	$2i$	$2i+1$	2	0	unu
$2i$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$	0	unu	2	$i$	$i+1$	$i+2$
$2i+1$	$2i+1$	$2i+2$	$2i$	unu	2	0	$i+1$	$i+2$	$i$
$2i+2$	$2i+2$	$2i$	$2i+1$	2	0	unu	$i+2$	$i$	$i+1$

Tabelul înmulțirii în se determină din raportul : $\mathbb {F} _{9}$ $i^{2}=-1$

×	unu	2	$i$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$
0	0	0	0	0	0	0	0	0
unu	unu	2	$i$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$
2	2	unu	$2i$	$2i+2$	$2i+1$	$i$	$i+2$	$i+1$
$i$	$i$	$2i$	2	$i+2$	$2i+2$	unu	$i+1$	$2i+1$
$i+1$	$i+1$	$2i+2$	$i+2$	$2i$	unu	$2i+1$	2	$i$
$i+2$	$i+2$	$2i+1$	$2i+2$	unu	$i$	$i+1$	$2i$	2
$2i$	$2i$	$i$	unu	$2i+1$	$i+1$	2	$2i+2$	$i+2$
$2i+1$	$2i+1$	$i+2$	$i+1$	2	$2i$	$2i+2$	$i$	unu
$2i+2$	$2i+2$	$i+1$	$2i+1$	$i$	2	$i+2$	unu	$2i$

Elementul are ordinul 8 și este primitiv. Elementul nu este primitiv deoarece (cu alte cuvinte, polinomul nu este primitiv ) [17] . $i+1$ $i$ $i^{4}=1$ $x^{2}+1\in \mathbb {F} _{3}[x]$

Grup de câmpuri multiplicative de 16 elemente

Când un câmp este construit folosind un polinom ireductibil , elementele de expansiune sunt date de mulțimile de coeficienți ai polinomului care rezultă în rest atunci când este împărțit la , scris în ordinea crescătoare a puterilor. Grupul multiplicativ este generat de elementul , care se scrie ca (0, 1, 0, 0) [18] . $\mathbb {F} _{16}=\mathrm {GF} (2^{4})$ $x^{4}+x+1$ $x^{4}+x+1$ $\alpha=x$

Polinom	grad $\alfa$	$1,x,x^{2},x^{3}$
unu	$\alpha ^{0}$	(1, 0, 0, 0)
$\alfa$	$\alfa$	(0, 1, 0, 0)
$\alpha ^{2}$	$\alpha ^{2}$	(0, 0, 1, 0)
$\alpha ^{3}$	$\alpha ^{3}$	(0, 0, 0, 1)
$1+\alfa$	$\alpha ^{4}$	(1, 1, 0, 0)
$\alpha +\alpha ^{2}$	$\alpha ^{5}$	(0, 1, 1, 0)
$\alpha ^{2}+\alpha ^{3}$	$\alpha ^{6}$	(0, 0, 1, 1)
$\alpha ^{3}+\alpha +1=\alpha ^{3}+\alpha ^{4}$	$\alpha ^{7}$	(1, 1, 0, 1)
$1+\alpha ^{2}=\alpha +1+\alpha ^{2}+\alpha$	$\alpha ^{8}$	(1, 0, 1, 0)
$\alpha +\alpha ^{3}$	$\alpha ^{9}$	(0, 1, 0, 1)
$\alpha ^{2}+1+\alpha =\alpha ^{2}+\alpha ^{4}$	$\alpha ^{10}$	(1, 1, 1, 0)
$\alpha +\alpha ^{2}+\alpha ^{3}$	$\alpha ^{11}$	(0, 1, 1, 1)
$1+\alpha +\alpha ^{2}+\alpha ^{3}=\alpha ^{2}+\alpha ^{3}+\alpha ^{4}$	$\alpha ^{12}$	(1, 1, 1, 1)
$1+\alpha ^{2}+\alpha ^{3}=\alpha +\alpha ^{2}+\alpha ^{3}+\alpha ^{4}$	$\alpha ^{13}$	(1, 0, 1, 1)
$1+\alpha ^{3}=\alpha +\alpha ^{3}+\alpha ^{4}$	$\alpha ^{14}$	(1, 0, 0, 1)
$1=\alpha +\alpha ^{4}$	$\alpha ^{15}$	(1, 0, 0, 0)

Istoria studiului

Începuturile teoriei câmpurilor finite datează din secolele al XVII -lea și al XVIII-lea . Pe acest subiect au lucrat oameni de știință precum Pierre Fermat , Leonard Euler , Joseph Louis Lagrange și Adrien Marie Legendre , care pot fi considerați fondatorii teoriei câmpurilor finite de ordin primar. Cu toate acestea, de mai mare interes este teoria generală a câmpurilor finite, care provine din lucrările lui Gauss și Galois [19] . Până la un timp, această teorie a fost folosită doar în algebră și teoria numerelor, dar ulterior au fost găsite noi puncte de contact cu geometria algebrică , combinatoria și teoria codificării [3] .

Contribuția lui Galois

În 1830, Evariste Galois , în vârstă de optsprezece ani, a publicat o lucrare [20] care a pus bazele teoriei generale a câmpurilor finite. În această lucrare, Galois (în legătură cu cercetările privind teoria grupurilor de permutare și ecuațiile algebrice [21] ) introduce o rădăcină de comparație imaginară , unde este un polinom arbitrar de grad ireductibil modulo p . După aceea, se consideră expresia generală , unde sunt câteva numere întregi modulo p . Dacă atribuiți toate valorile posibile acestor numere, expresia va lua valori. Mai mult, Galois arată că aceste valori formează un câmp, iar grupul multiplicativ al acestui câmp este ciclic. Astfel, această lucrare este prima piatră în fundamentul teoriei generale a câmpurilor finite. Spre deosebire de predecesorii săi, care au considerat doar câmpurile , Galois consideră deja câmpurile , care au început să fie numite câmpuri Galois în cinstea sa [22] . $F(x)\equiv 0{\pmod {p}}$ $F(x)$ $\nu$ $A=a_{0}+{a_{1}}i+{a_{2}}i^{2}+\ldots +a_{\nu -1}i^{\nu -1}$ $a_{0},a_{1},...,a_{\nu -1}$ $A$ $p^{\nu }$ $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p^{n}}$

Prima lucrare în această direcție a fost scrisă de Gauss în jurul anului 1797, dar în timpul vieții sale acest studiu nu a fost niciodată publicat. Probabil că acest studiu a fost ignorat de redactorul scrierilor sale, astfel că această lucrare a apărut doar într-o ediție postumă în 1863 [23] .

Dezvoltare ulterioară

În 1893, matematicianul Eliakim Moore a demonstrat o teoremă privind clasificarea câmpurilor finite, afirmând că orice câmp finit este un câmp Galois , adică orice câmp de elemente este izomorf cu câmpul claselor reziduale de polinoame cu coeficienți modulo un polinom ireductibil. de grad [24] . Prima încercare de a oferi o abordare axiomatică a teoriei câmpurilor finite aparține aceluiași an, realizată de Heinrich Weber , care a încercat să îmbine în lucrarea sa conceptele apărute în diferite ramuri ale matematicii, inclusiv conceptul de câmp finit. [25] . Mai departe, în 1905, Joseph Wedderburn demonstrează mica teoremă a lui Wedderburn că orice corp finit este comutativ, adică este un câmp. Definiția axiomatică modernă a unui câmp (cu câmpuri finite ca caz special) se datorează lui Ernst Steinitz și este prezentată în lucrarea sa din 1910 [26] . $p^{n}$ $\mathbb {F} _{p}$ $n$

Aplicații

Ecuații diofantine

O ecuație diofantică este o ecuație cu coeficienți întregi în care variabilele iau și valori întregi. Un val mare de discuții despre astfel de ecuații a fost cauzat de Fermat , care și-a formulat teoremele. Mica Teoremă a lui Fermat afirmă că dacă este un număr prim care nu este un divizor al unui alt număr , atunci . În teoria câmpurilor finite, această teoremă este o consecință a teoremei Lagrange , aplicată subgrupului multiplicativ generat de elementul , întrucât întregul grup de câmpuri multiplicative este format din elemente [5] . $p$ $A$ $a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}$ $A$ $\mathbb {F} _{p}$ $p-1$

Fermat observă că singurele numere prime care pot fi descompuse într-o sumă de două pătrate sunt acele numere prime care dau un rest de 1 când sunt împărțite la 4. În special, el observă că

5=1^{2}+2^{2},\quad 13=2^{2}+3^{2},\quad 17=1^{2}+4^{2},\quad 29= 2^{2}+5^{2},\quad 37=1^{2}+6^{2},\quad 41=4^{2}+5^{2}.

În scrisoarea sa către Marin Mersenne , din 25 decembrie 1640, Fermat propune să rezolve ecuația [27] . $a^{2}+b^{2}=p$

Julius Dedekind a studiat această ecuație într-un câmp finit , unde ea ia forma . Dacă , atunci soluția este trivială. În caz contrar, puteți împărți ambele părți și, introducând o înlocuire, obțineți o ecuație de forma . Înmulțirea cu dă o ecuație . Presupunând că generatorul este un subgrup multiplicativ de ordinul 4, se pot obține condiții necesare și suficiente pe p în care ecuația are o soluție. O dovadă suplimentară a teoremei Fermat-Euler , realizată de Dedekind, nu folosește conceptul de câmpuri finite și poate fi găsită în articolul corespunzător [28] . $\mathbb {F} _{p}$ $a^{2}+b^{2}=0$ $b=0$ $b^{2}$ $x^{2}+1=0$ $x^{2}-1=0$ $x^{4}-1=0$ $X$

Teoria codurilor corective

Anul creării teoriei codurilor corective este considerat a fi 1948 , în care a fost publicat un articol de Claude Shannon , în care arată că prezența erorilor în transmiterea informațiilor pe orice canal depinde, printre altele, de raportul dintre viteza de transmisie și capacitatea canalului. Rata de transfer trebuie să fie mai mare decât lățimea de bandă. Shannon a furnizat dovezi, dar au fost declarate nule [29] .

O abordare constructivă a fost propusă de Richard Hamming , stabilind astfel vectorul pentru dezvoltarea multor articole ulterioare pe această temă. În munca sa, Hamming a construit un cod simplu care corectează erorile într-un anumit mod. Hamming a luat în considerare codurile de corectare numai peste câmpul [30] . Curând, coduri similare au fost construite pe câmpuri finite arbitrare de către Golay în 1949 [31] . Cu toate acestea, cea mai mare contribuție la această teorie îi aparține lui Hamming [30] . $\mathbb {F} _{2}$

Criptografie

Câmpurile finite au primit cea mai largă aplicație în criptografie. Articolul lui Diffie și Helman despre criptografia cu chei publice, care a propus un protocol de schimb de chei [4] , este considerat o lucrare fundamentală . În această lucrare s-au folosit câmpuri finite de un anumit tip. Mai târziu, a apărut o mare varietate de protocoale criptografice și criptosisteme bazate pe utilizarea câmpurilor finite. Acestea includ schema ElGamal , Standardul de criptare avansat [32] , schema Schnorr , algoritmul Chaum (semnătură oarbă) , criptosistemul XTRși multe altele. Algoritmii de curbă eliptică , care sunt unul dintre obiectele cheie de studiu în criptografia modernă, folosesc, de asemenea, câmpuri finite [33] .

De asemenea, calitatea criptării depinde adesea de capacitatea de a genera rapid numere prime mari. În consecință, se pune sarcina de a construi un algoritm pentru descompunerea unui număr în factori primi (determinarea simplității unui anumit număr). Michael Rabin a publicat un studiu în care propune un test de primalitate bazat pe proprietățile grupului de câmp multiplicativ [34] .

Diverse

În 1960, R. K. Bowes și D. K. Roy-Chowdhury au publicat o lucrare în care au studiat familiile de polinoame pe câmpuri finite. A. Hockwingham și-a generalizat teoria, ceea ce a dus la crearea codului BCH , un caz special al căruia este binecunoscutul cod Reed-Solomon , care are o aplicație foarte largă. Este folosit la scrierea și citirea în controlerele RAM , la arhivarea datelor, scrierea informațiilor pe hard disk ( ECC ), scrierea pe discuri CD/DVD. Este de remarcat faptul că, dacă o cantitate semnificativă de informații este deteriorată sau dacă mai multe sectoare ale suportului de disc sunt deteriorate, codul Reed-Solomon vă permite să recuperați majoritatea informațiilor pierdute. Codul BCH este folosit și în sistemul de comunicații al unor sonde NASA (cum ar fi Voyager ) [35] .

Vezi și

Note

↑ 1 2 Lidl, Niederreiter, 1988 , p. 68.
↑ 1 2 3 Lidl, Niederreiter 1988 , p. 66.
↑ 1 2 3 4 Lidl, Niederreiter, 1988 , p. 5.
↑ 1 2 Diffie, Hellman, 1976 .
↑ 1 2 3 Yu. I. Zhuravlev, Yu. A. Flerov, M. N. Vyaly. Analiză discretă. Fundamentele algebrei superioare. - M. : MZ Press, 2007. - S. 151. - 224 p.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , p. 69-70.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , p. 71.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , p. 119.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , p. 121.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , p. 65.
↑ Egorov A. A. Comparații de modul și aritmetică a restului // Kvant . - 1970. - Nr 5 . - S. 28-33 .
↑ Vinberg, 2011 , p. 32.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , p. 67-68.
↑ Vinberg, 2011 , p. 409.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , p. 51, 66.
↑ Gabidulin E. M., Kshevetsky A. S., Kolybelnikov A. I., Vladimirov S. M. Securitatea informației. Tutorial. Versiunea din 22 noiembrie 2015 . - S. 249.
↑ 1 2 Mullen, Gary L.; Panario, Daniel. Manualul Câmpurilor Finite. - CRC Press, 2013. - ISBN 978-1-4398-7378-6 .
↑ Yu. I. Zhuravlev, Yu. A. Flerov, M. N. Vyaly. Analiză discretă. Fundamentele algebrei superioare. - M. : MZ Press, 2007. - S. 152. - 224 p.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , p. zece.
↑ Evariste Galois (1830), Sur la théorie des nombres (franceză) . Bulletin des sciences mathématiques de M. Ferussac 13, p. 428-435 (1830).
↑ Bourbaki N. Eseuri de istorie a matematicii / trad. din fr. I. G. Bashmakova, ed. K. A. Rybnikova. - M. : IL, 1963. - S. 102.
↑ Israel Kleiner. O istorie a algebrei abstracte . - Birkhäuser, 2007. - P. 70 . — 168p. — ISBN 978-0-8176-4684-4 .
↑ G. Frei. Secțiunea a opta nepublicată: Pe calea de a funcționa câmpurile peste un câmp finit . - Goldstein Schappacher Schwermer, 2007. - P. 159-198.
↑ Moore, Eliakim Hastings. Un sistem dublu-infinit de grupuri simple (engleză) // Chicago Congr. hârtii. - 1896. - P. 208-242. Arhivat din original pe 19 noiembrie 2015.
↑ H. Weber, „Die allgemeinen Grundlagen der Galois'schen Gleichungstheorie”, Mathematische Annalen, voi. 43, 1893, p. 521-549.
↑ Ernst Steinitz, „Algebraische Theorie der Körper”, Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 137, 1910, p. 167-309 (ISSN 0075-4102).
↑ Yu. I. Zhuravlev, Yu. A. Flerov, M. N. Vyaly. Analiză discretă. Fundamentele algebrei superioare. - M. : MZ Press, 2007. - S. 38. - 224 p.
↑ R. Dedekind , Suplimentul XI des Leçons en théorie des nombres de Dirichlet, 1894.
↑ Shannon, K. Teoria matematică a comunicării // Lucrări despre teoria informației și cibernetică. - M . : Editura de literatură străină, 1963. - S. 243-332.
↑ 1 2 Hamming, K. Coduri cu detectarea și corectarea erorilor. - M . : Editura de literatură străină, 1956. - S. 7-23.
↑ Golay MJE Note despre codarea digitală // Proceedings IRE. 1949. V. 37, p. 657.
↑ O. S. Zenzin, M. A. Ivanov. Standardul de securitate criptografică este AES. Câmpuri de sfârșit . - KUDITS-Obraz, 2002. - S. 41 -78. — 176 p. — ISBN 5-93378-046-4 .
↑ Anatoly Bolotov, Serghei Gashkov, Alexander Frolov, Anatoly Chasovskikh. O introducere elementară în criptografia eliptică. Fundamente algebrice și algoritmice. - KomKniga, 2006. - S. 390 - 398. - 527 p. — ISBN 5-484-00443-8 .
↑ M. Rabin , Probabilistic Algorithm for Testing Primality, J. Number Th. 12 (1980), 128-138.
↑ Bose RC, Ray-Chaudhuri DK Despre o clasă de coduri de grup binare corectoare de erori // Informați. Control. - vol. 3. - martie 1960. - p. 68-79.

Literatură

Vinberg E. B. Curs de algebră. - ed. nouă, revizuită. si suplimentare - M. : MTSNMO, 2011. - 592 p. - 2000 de exemplare. — ISBN 978-5-94057-685-3 .
Lidl R., Niederreiter G. Câmpuri finite. În 2 volume - M . : Mir, 1988. - 430 p. — ISBN 5-03-000065-8 .
Zhuravlev Yu. I., Flerov Yu. A., Vyaly M. N. Analiză discretă. Fundamentele algebrei superioare. - Ed. a II-a. - M. : MZ Press, 2007. - 224 p. - 1000 de exemplare. — ISBN 5-94073-101-5 .
Vasiliev K. K., Glushkov V. A., Dormidontov A. V., Nesterenko A. G. Teoria comunicației electrice. - Ulyanovsk: UlGTU, 2008. - 452 p. - ISBN 978-5-9795-0203-8 .
Steinitz, Ernst. Algebraische Theorie der Körper (germană) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1910. - Bd. 137 . - S. 167-309 .
Diffie W. , Hellman M. E. Noi direcții în criptografie // IEEE Trans . inf. Teorie / F. Kschischang - IEEE , 1976. - Vol. 22, Iss. 6. - P. 644-654. — ISSN 0018-9448 ; 1557-9654 - doi:10.1109/TIT.1976.1055638 .
Kleiner, Israel. O istorie a algebrei abstracte. - Birkhäuser, 2007. - ISBN 978-0-8176-4684-4 .