Măsura Iordaniei

Măsura Jordan este una dintre modalitățile de oficializare a conceptului de lungime , suprafață și volum dimensional în spațiul euclidian dimensional . $n$ $n$

Definiție

Măsura Jordan poate fi definită ca singura măsură aditivă finită definită pe inelul politopilor și care îndeplinește următoarele condiții:

Măsurile politopilor congruenți sunt egale.
Măsura unui cub unitar este egală cu unu.

Inelul maxim de seturi la care măsura Jordan poate fi extinsă într-un mod unic se numește inelul de seturi pătrate .

Clădire

Măsura Jordan a unui paralelipiped în este definită ca produs $m\Delta$ $\Delta=\prod_{i=1}^n [a_i,\;b_i]$ $\mathbb {R} ^{n}$

m\Delta=\prod_{i=1}^n (b_i-a_i).

Pentru un set limitat , sunt definite următoarele: $E\subset\R^n$

măsura exterioară a Iordaniei $m_eE=\inf\sum_{k=1}^N m\Delta_k,\quad\bigcup_k\Delta_k\supset E$
măsura internă a Iordaniei $m_iE=\sup\sum_{k=1}^N m\Delta_k,\quad\bigcup_k\Delta_k\subset E,\quad\Delta_k\cap\Delta_m = \varnothing$ , dacă $k\neq m,$

aici sunt paralelipipede de tipul descris mai sus. $\Delta_1,\;\Delta_2,\;\ldots,\;\Delta_N$

Se spune că un set este Jordan măsurabil (sau pătrat ) dacă . În acest caz, măsura Jordan este . $E$ $m_{e}E=m_{i}E$ $mE=m_{e}E=m_{i}E$

Proprietăți

Seturile care sunt măsurabile Jordan formează un inel pe care măsura Jordan este o măsură aditivă finită .
Măsura Iordan este invariabilă sub mișcările spațiului euclidian.
Un set este Jordan măsurabil dacă pentru oricare există o pereche de politopi și așa încât $F$ $\varepsilon >0$ $P$ $Q$ $P\subset F\subset Q$ și . $mP+\varepsilon >mQ$
O mulțime mărginită este Jordan măsurabilă dacă și numai dacă granița sa are măsura Jordan zero (sau, în mod echivalent, când granița sa are măsura Lebesgue zero ). În special, toate mulțimile a căror limită constă dintr-un număr finit de curbe netede și puncte sunt măsurabile Jordan. Cu toate acestea, există seturi delimitate de o simplă curbă închisă Jordan care nu sunt măsurabile Jordan. $E\subset\R^n$
Măsura exterioară Jordan este aceeași pentru și (închiderea setului ) și este egală cu măsura Borel . $E$ $\bar E$ $E$ $\bar E$

Istorie

Conceptul de măsură de mai sus a fost introdus de Peano ( 1887 ) și Jordan ( 1892 ). Ulterior, conceptul a fost generalizat de Lebesgue la o clasă mai largă de mulțimi.

Un exemplu de set incomensurabil de Iordania

Luați în considerare măsura Iordanului definită la data de . Fie o mulțime de puncte ale unui segment de unitate., să fie o submulțime de puncte raționale ale mulțimii , apoi să fie o mulțime nemăsurabilă de Jordan, deoarece , adică măsurile de sus și de jos ale Iordaniei nu coincid (deși această mulțime este Lebesgue măsurabil ). $m$ $\mathbb {R}$ $A= \left[0, 1\right] = \{x\in\R\colon 0\leqslant x\leqslant 1\}$ $\mathbb {Q}$ $A$ $\mathbb {Q}$ $m_e \Q=1,\;m_i \Q=0,\;m_e \Q\neq m_i \Q$

Literatură

Kolmogorov A.N. , Fomin S.V. Elemente de teoria funcţiilor şi analiză funcţională. - ed. al patrulea, revizuit. — M .: Nauka , 1976 . — 544 p.
Kudryavtsev L.D., Kutasov A.D. Culegere de probleme de analiză matematică, capitolul 3;
Peano, G. Applicazioni geometriche del calcolo infinitezimale. — Torino, 1887;
Jordan, C. Journal de Mathematiques Pures et Appliquées. - 1892. - or. 8.-p. 69-99;

Vezi și

Calcul integral

Principal

Generalizări
ale integralei Riemann

Transformări integrale

Integrare numerică

teoria măsurării

subiecte asemănătoare

Liste de integrale