Operațiunea „Snub”

Două solide arhimediene snob

cub snub sau cuboctaedru snub	Dodecaedru snub sau icosidodecaedru snub

Operația snub sau tăierea vârfurilor este o operație aplicată poliedrelor. Termenul provine de la denumirile date de Kepler la două solide arhimediene - snub cube (cubus simus) și snub dodecahedron (dodecaedron simum) [1] . În general, formele snub au două tipuri de simetrie chirală, cu orientări în sensul acelor de ceasornic și în sens invers acelor de ceasornic. Conform numelor lui Kepler, tăierea vârfurilor poate fi văzută ca o întindere a unui poliedru obișnuit, atunci când fețele originale sunt îndepărtate de centru și rotite în jurul centrelor, poligoane centrate la aceste vârfuri sunt adăugate în locul vârfurilor originale și perechi de triunghiuri umple spațiul dintre marginile originale.

Terminologia a fost generalizată de Coxeter cu o definiție ușor diferită pentru un set mai larg de poliedre uniforme .

Operațiunea „snub” Conway

John Conway a explorat operațiile generalizate pe poliedre, definind ceea ce se numește acum notația lui Conway pentru poliedre , care poate fi aplicată la poliedre și tiling. Conway a numit operația lui Coxeter semi-snub (semi-snub) [2] .

În această notație , snub este definit ca compoziția operatorilor duali și giroscopi , și este echivalent cu succesiunea de operatori alternativi , trunchiere și ambo . Notația lui Conway evită operația de alternanță, deoarece se aplică numai poliedrelor cu fețe care au un număr par de laturi. $s=dg$

Snub figurile obișnuite

	Poliedre			Placuri euclidiene		Placuri hiperbolice
Notație Conway	SF	sC = sO	sI = sD	sQ	sH = sΔ	sΔ7 _
poliedru snub	Tetraedru	Cub sau octaedru	Icosaedru sau Dodecaedru	mozaic pătrat	Mozaic hexagonal sau mozaic triunghiular	Placare heptagonală sau placare triunghiulară de ordinul 7
poliedru snub
Imagine

În spațiile 4-dimensionale, Conway consideră că un snub 24-cell ar trebui să fie numit un semi -snub 24-cell , deoarece nu reprezintă un alternant trunchiat 24-cell ca omologul său în spațiul tridimensional. În schimb, este un trunchiat alternativ de 24 de celule [3] .

Operațiunile „snub” ale lui Coxeter, obișnuite și cvasi-regulate

Snub cub derivat dintr-un cub sau cuboctaedru

corpul original	Poliedru trunchiat complet r	Poliedru trunchiat t	Poliedru alternat h
cub	Cuboctaedru cub trunchiat complet	Cuboctaedru trunchiat Cub trunchiat	Cuboctaedru Snub Cub trunchiat
C	CO rC	tCO trC sau trO	htCO = sCO htrC = srC
{4,3}	${\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$ sau r{4,3}	$t{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$ sau tr{4,3}	$ht{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$ htr{4,3} = sr{4,3}
	sau	sau	sau

Terminologia lui Coxeter „snub” (vertex clipping) este oarecum diferită și înseamnă trunchiere alternantă , conform căreia cubul snub se obține prin operația snub (decuparea vertexului) din cuboctaedru iar dodecaedrul snub din icosidodecaedru . Această definiție este folosită în denumirile a două solide Johnson - biclinoid snub și antiprismă pătrată snub , precum și în denumirile poliedrelor de dimensiuni superioare, cum ar fi snub 4-dimensional 24-cell .sau s{3,4,3}.

Poliedru obișnuit (sau tigla) cu simbolul Schläfli și diagrama Coxeter $\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}$ are trunchierea definită ca în diagramă $t{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$ , și o formă snub definită ca o trunchiere alternativă cu o diagramă Coxeter $ht{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$ . Această construcție necesită ca q să fie par.

Poliedru cvasiregular sau r { p , q }, cu diagrama Coxeter $\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}$ sauare o trunchiere cvasi-regulată definită ca sau tr { p , q } (cu o diagramă Coxeter $t{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$ sau) și un snub cvasiregular, definit ca o trunchiere alternativă a unei trunchieri complete sau htr { p , q } = sr { p , q } (cu o diagramă Coxeter $ht{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$ sau).

De exemplu, cubul snub Kepler este obținut dintr-un cuboctaedru cvasi-regular cu un simbol Schläfli vertical (și o diagramă Coxeter ${\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$ ) și mai precis numit cuboctaedrul snub , care este exprimat prin simbolul Schläfli (cu diagrama Coxeter $s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$ ). Cuboctaedrul snub este o alternanță a cuboctaedrului trunchiat ( $t{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$ ).

Poliedrele regulate cu ordine uniformă a vârfurilor pot fi, de asemenea, reduse la o formă snub ca trunchiere alternativă, similar cu octaedrul snub ( $s{\begin{Bmatrix}3,4\end{Bmatrix}}$ ) (și tetratetaedrul obosit , $s{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}$ ) reprezintă un pseudoicosaedru , un icosaedru regulat cu simetrie piriteedrică . Octaedrul snub este o formă alternativă a octaedrului trunchiat , ( $t{\begin{Bmatrix}3,4\end{Bmatrix}}$ ), sau sub formă de simetrie tetraedrică: și $t{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}$ .

	T trunchiat	h alternat
Octaedrul O	Octaedru trunchiat tO	Octaedrul snub htO sau sO
{3,4}	t{3,4}	ht{3,4} = s{3,4}

Operația de tăiere a vârfurilor (nasului) a lui Coxeter permite, de asemenea, să se definească o n - antiprismă ca fiind bazată pe n-prisme sau , și este un osoedru obișnuit , un poliedru degenerat care este o placare validă pe o sferă cu fețe diunghiulare sau asemănătoare lunii. $s{\begin{Bmatrix}2\\n\end{Bmatrix})$ $s{\begin{Bmatrix}2,2n\end{Bmatrix}}$ $t{\begin{Bmatrix}2\\n\end{Bmatrix})$ $t{\begin{Bmatrix}2,2n\end{Bmatrix}}$ ${\begin{Bmatrix}2,n\end{Bmatrix}}$

Osoedră snub , {2,2p}

Imagine
Diagramele Coxeter							... ...
Simbolul Schläfli	s{2,4}	s{2,6}	s{2,8}	s{2,10}	s{2,12}	s{2,14	s{2,16} ...	s{2,∞}
Simbolul Schläfli	sr{2,2} $s{\begin{Bmatrix}2\\2\end{Bmatrix}}$	sr{2,3} $s{\begin{Bmatrix}2\\3\end{Bmatrix}}$	sr{2,4} $s{\begin{Bmatrix}2\\4\end{Bmatrix}}$	sr{2,5} $s{\begin{Bmatrix}2\\5\end{Bmatrix}}$	sr{2,6} $s{\begin{Bmatrix}2\\6\end{Bmatrix}}$	sr{2,7} $s{\begin{Bmatrix}2\\7\end{Bmatrix}}$	sr{2,8}... ... $s{\begin{Bmatrix}2\\8\end{Bmatrix}}$	sr{2,∞} $s{\begin{Bmatrix}2\\\infty \end{Bmatrix}}$
Notație Conway	A2=T	A3=O	A4	A5	A6	A7	A8...	A∞

Același proces se aplică și pentru plăcile snub:

Placare triunghiulară Δ	Placare triunghiulară trunchiată tΔ	Tigla triunghiulară snub htΔ = sΔ
{3,6}	t{3,6}	ht{3,6} = s{3,6}

Exemple

Cifre smerite pe {p,4}

Spaţiu	sferic		euclidiană	hiperbolic
Imagine
Diagrama Coxeter								...
Simbolul Schläfli	s{2,4}	s{3,4}	s{4,4}	s{5,4	s{6,4	s{7,4	s{8,4	... s{∞,4}

Cifre de snub aproape regulate bazate pe r{p,3}

Spaţiu	sferic				euclidiană	hiperbolic
Imagine
Graficul Coxetere								...
Simbolul Schläfli	sr{2,3}	sr{3,3}	sr{4,3}	sr{5,3}	sr{6,3}	sr{7,3	sr{8,3	... sr{∞,3}
Simbolul Schläfli	$s{\begin{Bmatrix}2\\3\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}6\\3\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}7\\3\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}8\\3\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}\infty \\3\end{Bmatrix}}$
Notație Conway	A3	SF	sC sau sO	SD sau SI	sΗ sau sΔ

Forme de snub cvasi-regulate bazate pe r{p,4}

Spaţiu	sferic		euclidiană	hiperbolic
Imagine
Diagrama Coxeter								...
Simbolul Schläfli	sr{2,4}	sr{3,4}	sr{4,4}	sr{5,4	sr{6,4	sr{7,4	sr{8,4	... sr{∞,4}
Simbolul Schläfli	$s{\begin{Bmatrix}2\\4\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}3\\4\end{Bmatrix})$	$s{\begin{Bmatrix}4\\4\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}5\\4\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}6\\4\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}7\\4\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}8\\4\end{Bmatrix})$	$s{\begin{Bmatrix}\infty \\4\end{Bmatrix}}$
Notație Conway	A4	sC sau sO	sQ

Poliedre snub neomogene

Poliedrele neomogene, pentru care un număr par de muchii converg la vârfuri, pot avea tăierea vârfurilor, inclusiv câteva mulțimi infinite, de exemplu:

Snub bipiramide sdt{2,p}

Bipiramidă pătrată snub


Bipiramidă hexagonală snub

Snub trunchiate bipiramide srdt{2,p}

Antiprisme snub {2,2p}

Imagine				...
Simbolul Schläfli	ss{2,4}	ss{2,6}	ss{2,8}	ss{2,10}...
Simbolul Schläfli	ssr{2,2} $ss{\begin{Bmatrix}2\\2\end{Bmatrix})$	ssr{2,3} $ss{\begin{Bmatrix}2\\3\end{Bmatrix})$	ssr{2,4} $ss{\begin{Bmatrix}2\\4\end{Bmatrix}}$	ssr{2,5}... $ss{\begin{Bmatrix}2\\5\end{Bmatrix})$

Poliedre Coxeter stelate omogene

Poliedre stelate snub sunt construite folosind triunghiul Schwartz (pqr) cu oglinzi raționale, în care toate oglinzile sunt active și alterne.

Poliedre stelate uniforme snub

s{3/2,3/2}	s{(3,3,5/2)	sr{5,5/2	s{(3,5,5/3)	sr{5/2,3
sr{5/3,5	s{(5/2,5/3,3)	sr{5/3,3	s{(3/2,3/2,5/2)	s{3/2,5/3}

Politopuri snub și faguri Coxeter în spații cu dimensiuni mari

În general, politopuri obișnuite cu 4 dimensiuni cu simbolul Schläfli și diagrama Coxeter ${\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$ are o formă snub cu un simbol Schläfli extins și o diagramă $s{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$ .

Politop trunchiat complet = r{p,q,r} , și ${\begin{Bmatrix}p\\q,r\end{Bmatrix})$ are simbolul snub = sr{p,q,r} , și $s{\begin{Bmatrix}p\\q,r\end{Bmatrix})$ .

Exemple

Există un singur poliedru uniform snub în spațiul 4-dimensional, snub 24-cell . O celulă obișnuită de douăzeci și patru are un simbol Schläfli și o diagramă Coxeter ${\begin{Bmatrix}3,4,3\end{Bmatrix}}$ , iar snub 24-cell este reprezentată prin simbol și diagrama Coxeter $s{\begin{Bmatrix}3,4,3\end{Bmatrix})$ . Are, de asemenea, o construcție cu simetrie mai mică cu indice 6 ca sau s{3 1,1,1 } și $s\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3\end{array}}\right\}$ , și simetrie cu indicele 3 ca sau sr{3,3,4}, $s{\begin{Bmatrix}3\\3,4\end{Bmatrix}}$ sau.

Fagurii Snub cu 24 de celule pot fi considerați ca sau s{3,4,3,3}, $s{\begin{Bmatrix}3,4,3,3\end{Bmatrix}}$ , un corp cu simetrie mai mică ca sau sr{3,3,4,3} ( $s{\begin{Bmatrix}3\\3,4,3\end{Bmatrix}}$ sau), și cu cea mai mică simetrie ca sau s{3 1,1,1,1 } ( $s\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3\\3\end{array}}\right\}$ ).

Fagurii euclidieni sunt faguri alternanți cu plăci hexagonale , s{2,6,3} () sau sr{2,3,6} () sau sr{2,3 [3] } ().

Alți faguri euclidieni (echilaterali) sunt fagurii alternanți cu plăci pătrate s{2,4,4} (și) sau sr{2,4 1,1 } ():

Singurii faguri hiperbolici uniformi sunt fagurii de plăci hexagonali , s{3,6,3} și, care poate fi construit și ca fagure hexagonal alternat , h{6,3,3},. Este, de asemenea, construit ca s{3 [3,3] } și.

Alți faguri hiperbolici (cu margini egale) sunt fagurii octaedrici de ordinul 4 , s{3,4,4} și.

Vezi și

poliedru snub

Operații pe poliedre

Fundatia	trunchiere	trunchiere completă	trunchiere adâncă	Dualitate _	întinderea	trunchiere	Alternare


t 0 {p, q} {p, q}	t 01 {p,q} t{p, q}	t 1 {p, q} r{p, q}	t 12 {p,q} 2t{p, q}	t 2 {p, q} 2r{p, q}	t 02 {p,q} rr{p, q}	t 012 {p,q} tr{p, q}	ht 0 {p,q} h{q, p}	ht 12 {p,q} s{q, p}	ht 012 {p,q} sr{p, q}

Note

↑ Kepler , Harmonices Mundi , 1619
↑ Conway, 2008 , p. 287.
↑ Conway, 2008 , p. 401.

Literatură

HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins, JCP Miller. Poliedre uniforme // Tranzacții filozofice ale Societății Regale din Londra. Seria A. Ştiinţe matematice şi fizice. - The Royal Society, 1954. - T. 246 , nr. 916 . — S. 401–450 . — ISSN 0080-4614 . doi : 10.1098/ rsta.1954.0003 . — .
Coxeter, HSM 8.6 Trunchiere parțială sau alternanță // Politopi obișnuiți . — al 3-lea. - 1973. - S. 154-156 . — ISBN 0-486-61480-8 .
Coxeter . Tabelele I și II: Politopuri obișnuite și faguri //Politopi obișnuiți . — al 3-lea. ed.. - Dover Publications, 1973. - p . 154-156 . — ISBN 0-486-61480-8 .
HSM Coxeter . Caleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. - Publicația Wiley-Interscience, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
- (Hârtia 17) Coxeter , Evoluția diagramelor Coxeter–Dynkin , [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233–248]
- (Hârtie 22) HSM Coxeter, Politopi obișnuiți și semiregulari I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2.10]
- (Hârtie 23) HSM Coxeter, Politopi obișnuiți și semi-regulari II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Hârtie 24) HSM Coxeter, Politopii obișnuiți și semi-regulari III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
HSM Coxeter . Capitolul 3: Construcția lui Wythoff pentru politopi uniformi // Frumusețea geometriei: douăsprezece eseuri . - Dover Publications, 1999. - ISBN 0-486-40919-8 .
NW Johnson . Politopuri uniforme. - 1991. - (Manuscris).
- NW Johnson . Teoria politopilor și fagurilor uniformi. - Universitatea din Toronto, 1966. - (Teza de doctorat).
John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Simetriile lucrurilor. - 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
Weisstein, Eric W. Snubification (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Richard Klitzing. Snubs, fațetare alternate și diagrame Stott–Coxeter–Dynkin // Simetrie: cultură și știință. - 2010. - T. 21 , nr. 4 . — S. 329–344 .