Poliedrul Johnson

Un poliedru Johnson sau un corp Johnson este un poliedru convex , a cărui față este un poligon regulat și, în același timp, nu este nici solid platonic , nici solid arhimedian , nici prismă , nici antiprismă . Există 92 de cadavre Johnson în total.

Un exemplu de corp Johnson este o piramidă cu o bază pătrată și laturi sub formă de triunghiuri regulate ( J 1 (M 2 ) . Are 1 față pătrată și 4 triunghiulare.

Ca în orice corp strict convex, aceste poliedre au cel puțin trei fețe adiacente fiecărui vârf, iar suma unghiurilor lor (adiacentă vârfului) este mai mică de 360º. Deoarece poligoanele regulate au unghiuri de cel puțin 60º, maximum cinci fețe pot atinge un vârf. Piramida pentagonală ( J 2 ) este un exemplu care are un vârf de ordinul cinci (adică cu cinci fețe).

Deși nu există nicio restricție explicită asupra poligoanelor regulate care pot servi drept fețe ale solidelor Johnson, de fapt, fețele pot avea doar 3, 4, 5, 6, 8 sau 10 laturi și orice solid Johnson are fețe triunghiulare (cel puțin patru).

Dintre solidele Johnson, bicupolul rotit cu patru pante alungit ( J 37 ), care se mai numește și pseudorombicuboctaedrul [1] , este singurul care are proprietatea uniformității locale a vârfurilor - există 4 fețe la fiecare vârf și aranjarea lor. este același - 3 pătrate și 1 triunghi. Cu toate acestea, corpul nu este tranzitiv la vârf, deoarece are izometrii diferite la vârfuri diferite, ceea ce îl face un corp Johnson și nu un corp arhimedean .

Istorie

În 1966, Norman Johnson a publicat o listă care includea toate cele 92 de cadavre și le-a dat nume și numere. El a emis ipoteza că sunt doar 92, adică nu există altele.

Mai devreme, în 1946, L. N. Esaulova a trimis o scrisoare lui A. D. Aleksandrov , în care a demonstrat că poate exista doar un număr finit de poliedre regulate (cu excepția a 5 poliedre regulate, 13 semi-regulare și două serii infinite (prisme și antiprisme). 1961 Aleksandrov a dat această scrisoare lui V. A. Zalgaller, posibil din cauza notei lui Johnson din 1960 [2] .

În 1967, Victor Zalgaller a publicat dovada că lista lui Johnson era completă. În decizie a fost implicat un grup de şcolari de la şcoala nr 239 . Dovada completă a durat aproximativ 4 ani cu implicarea tehnologiei informatice . Dovada a folosit, de asemenea, în mod semnificativ teorema poliedrelor convexe a lui Aleksandrov .

Terminologie

Numele corpurilor lui Johnson au o mare putere descriptivă. Cele mai multe dintre aceste solide pot fi construite din mai multe solide ( piramide , cupole și rotunde ) prin adăugarea de solide platonice și arhimediene , prisme și antiprisme .

Ultimele trei operații, increment , truncate , and rotate  , pot fi efectuate de mai multe ori pe poliedre suficient de mari. Pentru operațiunile efectuate de două ori, se adaugă de două ori . ( Un corp de două ori răsucit are două cupole întoarse.) Pentru operațiunile efectuate de trei ori, adăugați de trei ori . ( Trei piramide sau cupole au fost îndepărtate din corpul tăiat de trei ori .)

Uneori, cuvântul de două ori nu este suficient. Este necesar să distingem corpurile în care două fețe opuse au fost modificate de corpurile în care alte fețe au fost modificate. Când fețele modificate sunt paralele, la numele se adaugă opusul . ( Un corp extins dublu opus are două fețe paralele (opuse) cu corpuri adăugate.) Dacă modificările se referă la fețe care nu sunt opuse, se adaugă oblic la numele . ( Un corp dublu deformat are două fețe cu corpuri adăugate, dar fețele nu sunt opuse.)

Mai multe nume sunt derivate din poligoane din care este asamblat corpul lui Johnson.

Dacă o lună este definită ca un grup de două triunghiuri atașate unui pătrat, cuvântul coroană pană corespunde unui grup în formă de coroană în formă de pană format din două luni. Cuvântul two-clinoid sau two- clinic înseamnă două astfel de grupuri.

Acest articol folosește titlurile din lucrarea lui Zalgaller [3] . Împreună cu numerele poliedrice date de Johnson, numărul compus din articolul lui Zalgaller este dat în paranteză. În acest număr compus

P n desemnează o prismă cu o bază n -gonală. Și n denotă o antiprismă cu o bază n -gonală. M n desemnează un corp cu indice n (adică, în acest caz, corpul este construit pe baza unui alt corp). Sublinierea înseamnă rotația corpului

Notă : M n nu este același cu J n . Astfel, piramida pătrată J 1 (M 2 ) are indicele 1 pentru Johnson și indicele 2 pentru Zalgaller.

Lista

Piramide

Primele două corpuri Johnson, J1 și J2 , sunt piramide . Piramida triunghiulară este un tetraedru regulat , deci nu este un solid Johnson.

piramide
Corect J1 ( M2 ) _ J2 ( M3 ) _
Piramida triunghiulara
( Tetraedru ) 		piramidă pătrată Piramida pentagonală

Domuri și rotonde

Următoarele patru poliedre sunt trei cupole și o rotondă .

Domuri Rotonde
Omogen J3 ( M4 ) _ J4 ( M5 ) _ J5 ( M6 ) _ J6 ( M9 ) _
prisma triunghiulara Dom cu trei pante Dom cu patru brațe cupolă cu cinci pante rotondă cu cinci pante
Poliedre uniforme înrudite
Cuboctaedru Rombicuboctaedru Rombicosidodecaedru icosidodecaedru

Piramide alungite și răsucite alungite

Următoarele cinci poliedre Johnson sunt piramide alungite și răsucite. Ele reprezintă lipirea a două poliedre. În cazul unei piramide triunghiulare alungite la torsiune, trei perechi de triunghiuri adiacente sunt coplanare, deci corpul nu este un poliedru Johnson.

Piramide alungite
(sau prisme extinse) 		Piramide alungite răsucite
(sau antiprisme augmentate)
J7 ( M1 + P3 ) _ J8 ( M2 + P4 ) _ J9 ( M3 + P5 ) _ coplanare J 10 (M 2 + A 4 ) J 11 (M 3 + A 5 )
Piramidă triunghiulară alungită Piramidă patruunghiulară alungită Piramidă pentagonală alungită Piramidă triunghiulară alungită răsucită Piramidă patruunghiulară alungită răsucită Piramidă pentagonală alungită răsucită
Prismă triunghiulară extinsă cub augmentat Prismă pentagonală extinsă octaedru mărit Antiprismă pătrată mărită Antiprismă pentagonală extinsă
Derivat din poliedre
prismă triunghiulară tetraedră
 cub piramidal pătrat
 Piramida
pentagonala prisma pentagonala 		tetraedru
octaedru 		Piramida
pătrată antiprismă pătrată 		piramidă
pentagonală antiprismă pentagonală

Bipiramide

Următoarele poliedre Johnson sunt bipiramide , bipiramide alungite și bipiramide alungite răsucite :

Bipiramide Bipiramide alungite Bipiramide alungite răsucite
J 12 (2M 1 ) corect J 13 (2M 3 ) J 14 (M 1 + P 3 + M 1 ) J 15 (M 2 + P 4 + M 2 ) J 16 (M 3 + P 5 + M 3 ) coplanare J 17 (M 2 + A 4 + M 2 ) Corect
bipiramida triunghiulara bipiramidă pătrată
( octaedru ) 		Bipiramidă pentagonală Bipiramidă triunghiulară alungită Bipiramidă patruunghiulară alungită Bipiramidă pentagonală alungită Bipiramidă triunghiulară alungită răsucită
( romboedru ) 		Bipiramidă patruunghiulară alungită răsucită Bipiramidă pentagonală alungită răsucită
( icosaedru )
Derivat din poliedre
tetraedru piramidă pătrată Piramida pentagonală prismă triunghiulară tetraedră
 cub piramidal pătrat
 Piramida
pentagonala prisma pentagonala 		tetraedru
octaedru 		Piramidă pătrată
Antiprismă patruunghiulară 		Piramidă
pentagonală Antiprismă pentagonală

Domuri și rotonde alungite

Domuri alungite Rotondă alungită Domuri alungite răsucite Rotunda alungită răsucită
coplanare J 18 (M 4 + P 6 ) J 19 (M 5 + P 8 ) J 20 (M 6 + P 10 ) J 21 (M 9 + P 10 ) Concav J 22 (M 4 + A 6 ) J 23 (M 5 + A 8 ) J 24 (M 6 + A 10 ) J 25 (M 9 + A 10 )
Dom de fronton alungit Dom triunghiular alungit Dom cu șold alungit Dom alungit cu cinci laturi Rotondă alungită cu cinci pante Dom de fronton alungit răsucit Dom triunghiular alungit răsucit Dom alungit răsucit cu patru trepte Dom alungit răsucit, cu cinci trepte Rotondă răsucită alungită cu cinci pante
Derivat din poliedre
Prismă pătrată Prismă
triunghiulară 		Prismă hexagonală
 Prismă octogonală
 Prismă decagonală Dom cu cinci
laturi 		Prismă decagonală
 Quadrangular antiprism
Prismă triunghiulară 		Antiprismă hexagonală
 Antiprismă octogonală
Dom cu patru unghiuri 		Antiprismă decagonală
Dom cu cinci pante 		Antiprismă decagonală
Rotondă cu cinci laturi

Bicupole

Bicupolele triunghiulare rotite sunt poliedre semiregulate (în acest caz, solide arhimediene ), deci nu aparțin clasei politopilor Johnson.

cupole drepte Domuri rotite
coplanare J 27 (2M 4 ) J 28 (2M 5 ) J 30 (2M 6 ) J 26 (P 3 + P 3 ) semicorect J 29 (M 5 + M 5 ) J 31 (M 6 + M 6 )
Gable bi-dom drept Bidom drept cu trei pante Bidom drept cu patru pante Bidom drept cu cinci pante Gable turnat bicupol
( gyrobifastigium ) 		Bicupol rotit triunghiular
( cuboctaedru ) 		Bidom cu patru pante Bi-dom înclinat cu cinci
Derivat din poliedre

Cupolorotundas și birotundas

Cupolorotunda birotundas
J 32 (M 6 + M 9 ) J 33 (M 6 + M 9 ) J 34 (2M 9 ) semicorect
Cupola dreaptă cu cinci pante Dom-orotonda cu cinci pante Birotunda dreaptă cu cinci pante Icosidodecaedru birotunda rotit pe cinci
laturi
Derivat din poliedre
Dom
cu cinci pante Rotunda cu cinci pante 		rotondă cu cinci pante

Bicupole alungite

Bicupole drepte alungite Bidomuri rotite alungite
coplanare J 35 (M 4 + P 6 + M 4 ) semicorect J 38 (M 6 + P 10 + M 6 ) coplanare J 36 (M 4 + P 6 + M 4 ) J 37 (M 5 + P 8 + M 5 ) J 39 (M 6 + P 10 + M 6 )
Bidom drept fronton alungit Bidom drept alungit cu trei pante Bicupol drept pătrat alungit
( rombicuboctaedru ) 		Bidom drept alungit cu cinci pante Bidom rotit cu dublă pantă alungită Bidom rotit cu trei pante alungite Bidom rotit cu patru pante alungite Bi-dom alungit cu cinci pante

Cupola alungita si birotunda

cupola alungita-orotonda Birotunde alungite
J 40 (M 6 + P 10 + M 9 ) J 41 (M 6 + P 10 + M 9 ) J 42 (M 9 + P 10 + M 9 ) J 43 (M 9 + P 10 + M 9 )
Cupola dreaptă alungită cu cinci pante Cupolă alungită, întoarsă cu cinci pante Birotunda dreaptă alungită cu cinci pante Birotunda alungită cu cinci pante

Bicupole alungite răsucite, cupole orotunds și birotundas

Următoarele solide Johnson au două forme chirale .

Bidome alungite răsucite Cupolă alungită răsucită Birotunda alungită răsucită
neconvex J 44 (M 4 + A 6 + M 4 ) J 45 (M 5 + A 8 + M 5 ) J 46 (M 6 + A 10 + M 6 ) J 47 (M 6 + A 10 + M 9 ) J 48 (M 9 + A 10 + M 9 )
Bidom cu frontoane alungite răsucite Bidom răsucit alungit cu trei pante Bi-dom răsucit alungit cu patru lanțuri Bidom răsucit alungit cu cinci pante Cupola răsucită alungită cu cinci pante Birotunda alungită răsucită cu cinci pante
Derivat din poliedre
Prismă triunghiulară
Antiprismă patruunghiulară 		Dom cu trei pante
Antiprismă hexagonală 		Dom cu patru
trepte Antiprismă octogonală 		Cupola cu cinci pante
Antiprismă decagonală 		Dom cu cinci pante
Rotunda cu cinci pante
Antiprismă decagonală 		Rotondă cu cinci pante Antiprismă
decagonală

Prisme triunghiulare extinse

J7 ( M1 + P3 ) (
în mod repetat) 		J 49 (P 3 + M 2 ) J 50 (P 3 + 2M 2 ) J 51 (P 3 + 3M 2 )
Piramidă triunghiulară alungită Prismă triunghiulară extinsă Prismă triunghiulară dublu extinsă Prismă triunghiulară triplă extinsă
Derivat din poliedre
tetraedru cu prismă triunghiulară
 Prismă triunghiulară
Piramidă pătrată

Prisme pentagonale și hexagonale extinse

Prisme pentagonale extinse Prisme hexagonale extinse
J 52 (P 5 + M 2 ) J 53 (P 5 + 2M 2 ) J 54 (P 6 + M 2 ) J 55 (M 2 + P 6 + M 2 ) J 56 (P 6 + 2M 2 ) J 57 (P 6 + 3M 2 )
Prismă pentagonală extinsă Prismă pentagonală dublu extinsă Prismă hexagonală extinsă Prismă hexagonală extinsă dublu opusă Prismă hexagonală extinsă dublu oblic Prismă hexagonală triplă extinsă
Derivat din poliedre
Prismă pentagonală
Piramidă pătrată 		Prismă hexagonală
Piramidă pătrată

Dodecaedre mărite

Dreapta J 58 (M 15 + M 3 ) J 59 (M 3 + M 15 + M 3 ) J 60 (M 15 + 2M 3 ) J 61 (M 15 + 3M 3 )
Dodecaedru dodecaedru mărit Dodecaedrul întins de două ori Dodecaedrul întins de două ori Dodecaedru triplu sporit
Derivat din poliedre
Dodecaedru și piramidă pentagonală

Cut off icosaedre

Dreapta J 11 (M 3 + A 5 )
(în mod repetat) 		J 62 ( M7 + M3 ) J 63 (M 7 ) J64 ( M7 + M1 ) _
icosaedru Icosaedrul tăiat
( piramidă pentagonală alungită răsucită ) 		Icosaedru dublu tăiat oblic Icosaedru tăiat triplu Icosaedru cu tăietură triplă mărită
Derivat din poliedre
Icosaedru tăiat triplu , piramidă pentagonală și tetraedru

Tetraedre trunchiate și cuburi sporite

J 65 (M 10 + M 4 ) J 66 (M 11 + M 5 ) J 67 (M 5 + M 11 + M 5 )
Tetraedru trunchiat sporit Cub trunchiat sporit Cub trunchiat dublu mărit
Derivat din poliedre
Tetraedru trunchiat
 Cub trunchiat

Dodecaedre trunchiate amplificate

semicorect J 68 (M 6 + M 12 ) J 69 (M 6 + M 12 + M 6 ) J 70 (M 12 + 2M 6 ) J 71 (M 12 + 3M 6 )
dodecaedru trunchiat Dodecaedru trunchiat mărit Dodecaedru trunchiat dodecaedru dublu extins Dodecaedru dodecaedru Dodecaedru trunchiat triplu-augmentat

Rombicosidodecaedre răsucite

J 72 ( M 6 + M 14 + M 6 = M 6 + M 13 + 2M 6 ) J 73 ( M 6 + M 14 + M 6 ) J 74 (2 M 6 + M 13 + M 6 ) J 75 (3 M 6 + M 13 )
Rombicosidodecaedru răsucit Rombicosidodecaedru dublu răsucit Rombicosidodecaedru dublu răsucit Rombicosidodecaedru tri-răsucit

Tăiați rombicosidodecaedre

J 76 (M 6 + M 14 = 2M 6 + M 13 ) J 77 (M 14 + M 6 ) J 78 (M 13 + M 6 + M 6 ) J 79 (M 13 +2 M 6 )
Tăiați rombicosidodecaedrul Rombicosidodecaedru trunchiat răsucit invers Rombicosidodecaedru trunchiat răsucit oblic Rombicosidodecaedru trunchiat dublu răsucit
J 80 (M 14 ) J 81 (M 13 + M 6 ) J 82 (M 14 + M 6 ) J 83 (M 13 )
Rombicosidodecaedru tăiat dublu opus Rombicosidodecaedrul tăiat oblic de două ori Rombicosidodecaedru tăiat dublu răsucit Rombicosidodecaedru trisectat

Snub antiprisme

Antiprismele Snub pot fi construite prin modificarea antiprismelor trunchiate. Două corpuri sunt poliedre Johnson, un corp este regulat, iar restul nu poate fi construit folosind triunghiuri regulate.

J 84 (M 25 ) Dreapta J 85 (M 28 ) Gresit
Corpul lui Johnson Dreapta Corpul lui Johnson Concav

Snub biclinoid
ss{2,4}
icosaedru
ss{2,6}
Snub pătrat antiprismă
ss{2,8}
ss{2,10}
imposibil de construit din
triunghiuri regulate

Altele

J 86 (M 22 ) J 87 (M 22 + M 3 ) J 88 (M 23 )
coroană de pană Coroană de pană extinsă Coroană cu pană mare
J 89 (M 21 ) J 90 (M 24 ) J 91 (M 8 ) J 92 (M 20 )
Coroană mare aplatizată Biclinic cu centuri Serporotonda dublă Clinorotondă triunghiulară turtită

Clasificarea după tipuri de fețe

Fețe triunghiulare

Cele cinci poliedre Johnson sunt deltaedre , adică toate fețele lor sunt triunghiuri regulate:

J12 ( 2M1 ) Bipiramidă triunghiulară J13 ( 2M3 ) Bipiramidă pentagonală J 17 (M 2 + A 4 + M 2 ) Bipiramidă patruunghiulară alungită răsucită J 51 (P 3 + 3M 2 ) Prismă triunghiulară triplă extinsă J 84 (M 25 ) Biclinoid cu nas plat

Fețe triunghiulare și pătrate

Douăzeci și patru de politopi Johnson au doar fețe triunghiulare și patrulatere:

J1 ( M2 ) Piramidă
pătrată J7 ( M1 + P3 ) Piramidă
triunghiulară alungită J 8 (M 2 + P 4 )
Piramidă patruunghiulară alungită J 10 (M 2 + A 4 )
Piramidă patruunghiulară alungită răsucită J 14 (M 1 + P 3 + M 1 )
Bipiramidă triunghiulară alungită J 15 (M 2 + P 4 + M 2 )
Bipiramidă patruunghiulară alungită J 16 (M 3 + P 5 + M 3 )
Bipiramidă pentagonală alungită J 26 (P 3 + P 3 ) Bidom
turnat cu două fețe ( gyrobifastigium ) 		J 27 (2M 4 )
Bidom drept cu trei pante J 28 (2M 5 )
Bidom drept cu patru lanțuri J 29 ( M 5 + M 5 )
J 35 (M 4 + P 6 + M 4 )
Bidom drept alungit cu trei pante J 36 (M 4 + P 6 + M 4 )
J 37 (M 5 + P 8 + M 5 )
J 44 (M 4 + A 6 + M 4 )
Bidom răsucit alungit cu trei pante J 45 (M 5 + A 8 + M 5 )
Bidom răsucit alungit cu patru pante 		J 49 (P 3 + M 2 )
Prismă triunghiulară extinsă J 50 (P 3 +2M 2 )
Prismă triunghiulară dublu extinsă J 85 (M 28 )
Antiprismă pătrată snub J 86 (M 22 )
Coroană cu pană J 87 (M 22 + M 3 )
Coroană de pană extinsă J 88 (M 23 )
Coroană pană mare J 89 (M 21 )
Coroană cu pană mare turtită J 90 ( M 24 )

Fețe triunghiulare și pentagonale

Unsprezece solide Johnson au doar fețe triunghiulare și pentagonale:

J2 ( M3 ) Piramidă
pentagonală J 11 (M 3 + A 5 )
Piramidă pentagonală alungită răsucită J 34 (2M 9 )
Birotunda dreaptă cu cinci pante J 48 (M 9 + A 10 + M 9 )
Birotunda alungită răsucită cu cinci pante J 58 (P 15 + M 3 )
Dodecaedru extins J 59 (M 3 + M 15 + M 3 )
Dodecaedrul dublat invers 		J 60 (M 15 + 2M 3 )
Dodecaedrul dublat oblic J 61 (M 15 + 2M 3 )
Dodecaedru triplu extins J 62 (M 7 +M 3 )
Icosaedru dublu tăiat oblic J 63 (M 7 )
Icosaedru tăiat de trei ori J 64 (M 7 + M 1 )
Icosaedru cu tăietură triplă extinsă

Fețe triunghiulare, pătrate și hexagonale

Cele opt poliedre Johnson au doar fețe triunghiulare, pătrate și hexagonale:

J 3 (M 4 )
Dom cu trei înclinaţii J 18 (M 4 + P 6 )
Dom alungit cu trei pante J 22 (M 4 + A 6 )
Dom alungit răsucit cu trei pante J 54 (P 6 + M 2 )
Prismă hexagonală extinsă 		J 55 (M 2 + P 6 + M 2 )
Prismă hexagonală dublă întinsă opus J 56 (P 6 +2M 2 )
Prismă hexagonală extinsă dublu oblic J 57 (P 6 + 3M 2 )
Prismă hexagonală triplă extinsă J 65 (M 10 + M 4 )
Tetraedru trunchiat extins

Fețe triunghiulare, pătrate și octogonale

Cele cinci poliedre Johnson au doar fețe triunghiulare, pătrate și octogonale:

J 4 (M 5 )
Dom cu patru înclinări J 19 (M 5 + P 8 )
Dom alungit cu patru unghiuri J 23 (M 5 + A 8 )
Cupolă alungită răsucită în patru unghiuri 		J 66 (M 11 + M 5 )
Cub trunchiat extins J 67 (M 5 + M 11 + M 5 )
Cub trunchiat dublu extins

Politopii Johnson înscriși într-o sferă

25 Politopii Johnson au vârfuri care se află pe aceeași sferă: 1-6, 11, 19, 27, 34, 37, 62, 63, 72-83. Toate aceste poliedre pot fi obținute din poliedre regulate sau uniforme prin rotație (cupolă) sau tăiere (cupolă sau piramidă) [4] .

Octaedru Cuboctaedru Rombicuboctaedru
J1 ( M2 ) _
 J3 ( M4 ) _
 J 27 (2M 4 )
 J4 ( M5 ) _
 J 19 (M 5 + P 8 )
 J 37 (M 5 + P 8 + M 5 )
icosaedru icosidodecaedru
J2 ( M3 ) _
J 63 (M 7 )
 J 62 ( M7 + M3 )
 J 11 (M 3 + A 5 )
 J6 ( M9 ) _
 J 34 (2M 9 )
Rombicosidodecaedru (decupat)
J5 ( M6 ) _
 J 76 (M 6 + M 14 )
 J 80 (M 14 )
 J 81 (M 13 + M 6 )
 J 83 (M 13 )
Rombicosidodecaedru (+ rotație)
J 72 ( M 6 + M 14 + M 6 )
 J 73 ( M 6 + M 14 + M 6 )
 J 74 (2 M 6 + M 13 + M 6 )
 J 75 (3 M 6 + M 13 )
 J 77 (M 14 + M 6 )
 J 78 (M 13 + M 6 + M 6 )
 J 79 (M 13 + 2M 6 )
 J 82 (M 14 + M 6 )

Vezi și

Note

  1. ↑ Pseudo Rombicuboctahedra Arhivat 8 decembrie 2012 la Wayback Machine .
  2. ↑ Johnson N. W. Poliedre convexe cu fețe regulate (raport preliminar) // Observații Amer. Matematică. soc. - 1960. - S. 952 .
  3. ↑ Zalgaller, 1967 .
  4. ↑ Johnson solids et al Arhivat 2 mai 2014 la Wayback Machine .

Literatură

Link -uri