Derivată direcțională

În analiza matematică , derivata direcțională este una dintre generalizările conceptului de derivată în cazul unei funcții a mai multor variabile. Derivata direcțională arată cât de repede se schimbă valoarea unei funcții atunci când se deplasează într-o direcție dată.

Numire

Derivata unei funcții a unei variabile arată cum se modifică valoarea acesteia cu o mică modificare a argumentului . Dacă încercăm să definim derivata unei funcții a mai multor variabile prin analogie, vom întâmpina o dificultate: în acest caz, schimbarea argumentului (adică un punct în spațiu) poate avea loc în direcții diferite, iar în acest caz , se vor obține diferite valori ale derivatului. Această considerație conduce la definirea derivatei direcționale | [1] .

Definiție

Considerăm o funcție diferențiabilă a argumentelor într-o vecinătate a punctului . Pentru orice vector unitar , definim derivata funcției într-un punct de-a lungul direcției după cum urmează [1] : $f(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})$ $n$ ${\vec {x}}{\,}^{0}=(x_{1}^{0},\;\ldots ,\;x_{n}^{0})$ ${\vec {e}}=(e_{1},\;\ldots,\;e_{n})$ $f$ ${\vec {x}}{\,}^{0}$ $\vec{e}$

\nabla _{\mathbf {e} }{f}({\vec {x}}{\,}^{0})=\lim _{h\la 0}{\frac {f({ \vec {x}}{\,}^{0}+h\cdot {\vec {e}})-f({\vec {x}}{\,}^{0})}{h}}

Valoarea acestei expresii arată cât de repede se schimbă valoarea funcției atunci când argumentul este deplasat în direcția vectorului . $\vec{e}$

Dacă direcția este co-direcțională cu axa de coordonate, atunci derivata față de direcție coincide cu derivata parțială față de această coordonată.

În surse există diferite notații pentru derivata direcțională : ${\vec {e)}$

$\nabla _{\mathbf {e} }{f}({\vec {x}}{\,}^{0})$
${\frac {\partial {f({\vec {x)} {\,}^{0)}))} {\partial {\mathbf {e} }))$
$\partial _{\mathbf {e} }f({\vec {x}}{\,}^{0})$ sau $D_{\mathbf {e} }f({\vec {x}}{\,}^{0})$

Derivata direcțională are aceleași proprietăți ca și derivata obișnuită a unei funcții a unui argument:

$\nabla _{\mathbf {e} }(f+g)=\nabla _{\mathbf {e} }f+\nabla _{\mathbf {e} }g$
$\nabla _{\mathbf {e} }(cf)=c\nabla _{\mathbf {e} }f$
$\nabla _{\mathbf {e} }(fg)=g\nabla _{\mathbf {e} }f+f\nabla _{\mathbf {e} }g$
$\nabla _{\mathbf {e} }(h\circ g)(\mathbf {p} )=h'(g(\mathbf {p} ))\nabla _{\mathbf {e} }g (\mathbf {p} )$

Exprimarea derivatei direcționale în termeni de derivate parțiale

Fie vectorul direcției să aibă coordonate . Apoi are loc formula: $e$ $(e_{1},e_{2}\dots e_{n})$

\nabla _{\mathbf {e} {f}(\mathbf {x} )={\frac {\partial f}{\partial x_{1)}}e_{1}+\dots +{ \frac {\partial f}{\partial x_{n}}}e_{n}

În limbajul analizei vectoriale, această formulă poate fi scrisă diferit. Derivata de directie a unei functii diferentiabila in raport cu multimea de variabile poate fi considerata ca proiectia gradientului functiei pe aceasta directie, sau cu alte cuvinte, ca produsul scalar al gradientului prin vectorul unitar al directiei | [2] :

\nabla _{\mathbf {e} {f}(\mathbf {x} )=\nabla f\cdot {\vec {e)}

Rezultă că la un punct dat, derivata direcțională capătă o valoare maximă atunci când direcția ei coincide cu direcția gradientului funcției în punctul dat.

Derivată normală

Derivata normala este derivata fata de directia normalei unei suprafete . Conceptul de derivată normală este deosebit de important atunci când se rezolvă problemele cu valori la limită [3] (vezi un exemplu în articolul Problema Neumann ). Dacă notăm normalul , atunci derivata normală pentru funcția f este dată de formula: $\mathbf {n}$ ${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {n} ))$

\nabla _{\mathbf {n} }{f}(\mathbf {x} )={\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {n} }}= {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\cdot \mathbf {n} =\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n}

Pentru o funcție dată pe un plan, derivata normală este definită ca derivată față de direcția normalei unei curbe situate în același plan [3] .

Variații și generalizări

Până acum, am luat în considerare funcții în spațiul euclidian , dar derivata direcțională poate fi definită într-o varietate netedă arbitrară . Fie un punct selectat al varietatii, fie o curbă netedă care trece prin punctul P ( ), fie un vector tangent pentru curba în punctul P. Atunci putem defini derivata covariantă în raport cu vectorul : ${\mathbf {P}}$ $\gamma$ $\gamma (t_{0})=P$ $v$ $\gamma$ $v$

\nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {P} )=\left.{\frac {d}{dt}}f(\gamma (t))\right|_{t= t_{0}}.

Se poate arăta că această definiție depinde numai de vector , adică pentru toate curbele cu un vector tangent comun, valoarea derivatei covariante va fi aceeași. $v$

O altă generalizare este derivata Gateaux .

Vezi și

Derivată totală a unei funcții

Note

↑ 1 2 Fikhtengolts, 1966 , p. 391-393.
↑ Fikhtengolts, 1966 , p. 393-394.
↑ 1 2 Derivată normală // Dicționar enciclopedic matematic . - M . : Enciclopedia Sovietică, 1988. - S. 416 . — 847 p.

Literatură

Fikhtengol's G. M. Curs de calcul diferențial și integral. - Ed. al 6-lea. - M . : Nauka, 1966. - T. I. - S. 391-394.

Link -uri

Derivată direcțională cu exemple pe YouTube
" Zbor liber pe derivate " - traducerea articolului Calculus: Building Intuition for the Derivative | BetterExplained _

Calcul diferenţial

Principal

vederi private

Operatori diferențiali
( în diferite coordonate )

Prima comanda	Operator Nabla Gradient Divergenţă Rotor Helmholtzian
a doua comanda	Operator eliptic operator Laplace Operator vectorial Laplace operator D'Alembert Operator Laplace-Beltrami
ordine superioare	Operator hipoeliptic

subiecte asemănătoare