Teorema cosinusului

Teorema cosinusului este o teoremă de geometrie euclidiană care generalizează teorema lui Pitagora la triunghiuri plane arbitrare.

Formulare

Pentru un triunghi plat cu laturile și un unghi opus laturii , relația este adevărată: $a,b,c$ $\alfa$ $A$

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \alpha

Pătratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi minus de două ori produsul acestor laturi și cosinusul unghiului dintre ele [1]

Dovezi

Dovada clasică

Luați în considerare triunghiul ABC . De la vârful C până la latura AB se coboară înălțimea CD . Din triunghi ADC urmează:

AD=b\cos \alpha

Unde

DB=cb\cos \alpha

Să scriem teorema lui Pitagora pentru două triunghiuri dreptunghiulare ADC și BDC :

h^{2}=b^{2}-(b\cos \alpha )^{2}\qquad \qquad \qquad (1)

h^{2}=a^{2}-(cb\cos \alpha )^{2}\qquad \qquad (2)

Echivalăm părțile corecte ale ecuațiilor (1) și (2) și:

b^{2}-(b\cos \alpha )^{2}=a^{2}-(cb\cos \alpha )^{2}

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha

Cazul în care unul dintre unghiurile de la bază este obtuz (și înălțimea cade pe continuarea bazei) este complet analog cu cel considerat.

Expresii pentru laturile b și c:

b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma

. Dovada prin coordonate

Una dintre dovezi este demonstrarea ei în planul de coordonate.

Introducem un triunghi arbitrar ABC în planul de coordonate astfel încât punctul A să coincidă cu originea coordonatelor, iar dreapta AB să se afle pe dreapta OX . Să introducem notația AB = c , AC = b , CB = a , un unghi CAB = α (deocamdată vom presupune că α ≠ 90°).
Atunci punctul A are coordonatele (0;0), punctul B (c;0). Prin funcția sin și cos , precum și latura AC \ u003d b , derivăm coordonatele punctului C. C (b×cosα; b×sinα). Coordonatele punctului C rămân neschimbate pentru unghiul obtuz și acut α .
Cunoscând coordonatele C și B , și știind de asemenea că CB = a , după ce am găsit lungimea segmentului, putem face o egalitate: Deoarece (identitatea trigonometrică principală), atunci se demonstrează teorema. Pentru un unghi drept α , teorema funcționează și cos90° = 0 și a²=b²+c² - binecunoscuta teoremă a lui Pitagora. Dar, deoarece metoda coordonatelor se bazează pe teorema lui Pitagora, demonstrarea acesteia prin teorema cosinusului nu este în întregime corectă.
$a^{2}=(b\cos {a}-c)^{2}+b^{2}\sin ^{2}{a}$
$a^{2}=b^{2}\cos ^{2}{a}-2bc\cos {a}+c^{2}+b^{2}\sin ^{2}{a}$
$a^{2}=b^{2}(\cos ^{2}{a}+\sin ^{2}{a})+c^{2}-2bc\cos {a}$

$\cos ^{2}{a}+\sin ^{2}{a}=1$
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos {a}$

Dovada prin vectori

Mai jos ne referim la operații pe vectori, nu la lungimi ale segmentelor $AC=AB+BC=>BC=AC-AB=>BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}-2\cdot AC\cdot AB$

Deoarece produsul scalar al vectorilor este egal cu produsul modulelor lor (lungimi) și cosinusul unghiului dintre ei, ultima expresie poate fi rescrisă: unde a, b, c sunt lungimile vectorilor corespunzători.
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \alpha$

Consecințele

Teorema cosinusului poate fi folosită pentru a găsi cosinusul unghiului unui triunghi $\cos {\alpha }={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$

În special,

Dacă , unghiul α este acut $b^{2}+c^{2}-a^{2}>0$
Dacă , unghiul α este drept (dacă unghiul α este drept , atunci teorema cosinusului devine teorema lui Pitagora ) $b^{2}+c^{2}-a^{2}=0$
Dacă , unghiul α este obtuz $b^{2}+c^{2}-a^{2}<0$

Teorema cosinusului poate fi scrisă și sub următoarea formă [2] :

a^{2}=(b+c)^{2}-4\cdot b\cdot c\cdot \cos ^{2}(\alpha /2)

a^{2}=(bc)^{2}+4\cdot b\cdot c\cdot \sin ^{2}(\alpha /2)

. Dovada

Ultimele două formule decurg instantaneu din formula principală a teoremei cosinusului (vezi caseta de mai sus), dacă în partea dreaptă folosim formulele de extindere a pătratului sumei (pentru a doua formulă, pătratul diferenței) a două termeni într-un trinom pătrat, care este un pătrat perfect. Pentru a obține rezultatul final (cele două formule de mai sus) în partea dreaptă, trebuie să utilizați și binecunoscutele formule trigonometrice:

1+\cos \alpha =2\cdot \cos ^{2}(\alpha /2)

1-\cos \alpha =2\cdot \sin ^{2}(\alpha /2)

Apropo, a doua formulă nu conține în mod formal cosinus, dar se numește totuși teorema cosinusului.

Găsind explicit din ultimele două formule și , obținem binecunoscutele formule de geometrie [2] : $\cos(\alpha /2)$ $\sin(\alpha /2)$ $\cos {\frac {\alpha {2}}={\sqrt {\frac {p(pa)}{bc))}$ , , , unde p este semiperimetrul lui . $\sin {\frac {\alpha {2}}={\sqrt {\frac {(pb)(pc)}{bc))}$ $\operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {(pb)(pc)}{p(pa)))}$
În cele din urmă, folosind părțile din dreapta formulelor pentru și și formula binecunoscută pentru aria unui triunghi: , precum și formula binecunoscută pentru sinusul unui unghi dublu, după mici transformări, vom obțineți binecunoscuta formulă Heron pentru aria unui triunghi: , unde p este semiperimetrul . $\cos(\alpha /2)$ $\sin(\alpha /2)$ $S_{\triunghi ABC}={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha$ $\sin \alpha =2\sin(\alpha /2)\cos(\alpha /2)$ $S_{\triunghi ABC}={\sqrt {p(pa)(pb)(buc)))$

Pentru alte unghiuri

Teorema cosinusului pentru celelalte două unghiuri este:

c^{2}\ =a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma

b^{2}\ =a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta

Din acestea și din formula principală, unghiurile pot fi exprimate:

\alpha =\arccos \left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)

\beta =\arccos \left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}\right)

\gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)

Istorie

Enunțuri care generalizează teorema lui Pitagora și echivalente cu teorema cosinusului au fost formulate separat pentru cazurile de unghiuri acute și obtuze în 12 și 13 propoziții din Cartea II a Elementelor lui Euclid .

Afirmații echivalente cu teorema cosinusului pentru un triunghi sferic au fost aplicate în scrierile lui al-Battani . [3] :105 Teorema cosinusului pentru un triunghi sferic în forma sa obișnuită a fost formulată de Regiomontanus , care a numit-o „teorema Albategnius” după al-Battani.

În Europa, teorema cosinusului a fost popularizată de François Viet în secolul al XVI-lea. La începutul secolului al XIX-lea, a început să fie scris în notația algebrică acceptată până în zilele noastre.

Variații și generalizări

Teoreme de cosinus (geometrie sferică) sau teoreme de cosinus pentru un unghi triedric .
Teoreme ale cosinusului (geometria Lobachevsky)
Identitatea paralelogramului . Suma pătratelor diagonalelor unui paralelogram este egală cu suma pătratelor laturilor sale (vezi și Teorema lui Ptolemeu ): $AC^{2}+BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}.$

Pentru spațiile normate euclidiene

Fie ca norma asociată cu produsul scalar să fie dată în spațiul euclidian , adică . Atunci teorema cosinusului se formulează după cum urmează: $E$ $\left\Vert {\vec {a}}\right\Vert ={\sqrt {({\vec {a}},{\vec {a}}))))$

Teorema .
$\left\Vert {\vec {a}}-{\vec {b}}\right\Vert ^{2}=\left\Vert {\vec {a}}\right\Vert ^{2}+\left \Vert {\vec {b}}\right\Vert ^{2}-2({\vec {a}},{\vec {b}})$

Pentru patrulatere

Punând la pătrat identitatea , puteți obține afirmația, uneori numită teorema cosinusului pentru patrulatere : ${\overline {AD}}={\overline {AB}}+{\overline {BC}}+{\overline {CD}}$

d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab\cos \angle B-2ac\cos \omega -2bc\cos \angle C

, unde este unghiul dintre liniile AB și CD .

\omega

Sau altfel:

d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab\cos \angle B+2ac\cos(\angle A+\angle D)-2bc\cos \angle C

Formula este valabilă și pentru un tetraedru, adică unghiul dintre muchiile care se încrucișează.

w

Folosind-o, puteți găsi cosinusul unghiului dintre muchiile încrucișate și cunoscând toate muchiile tetraedrului:

A

c

\cos w=(b^{2}+d^{2}-e^{2}-f^{2})/2ac

Unde și , și sunt perechi de muchii care se încrucișează ale tetraedrului.

b

d

e

f

Un analog indirect pentru un patrulater

Relația Bretschneider este o relație într-un patrulater , un analog indirect al teoremei cosinusului:

Între laturile a, b, c, d și unghiurile și diagonalele opuse e, f ale unui patrulater simplu (neauto-intersectare), relația este valabilă: $\alpha ,\gamma$

e^{2}f^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma )

Dacă un patrulater degenerează într-un triunghi, iar un vârf cade pe o latură, atunci se obține teorema lui Stewart .
Teorema cosinusului pentru un triunghi este un caz special al relației Bretschneider dacă centrul cercului circumscris triunghiului este ales ca al patrulea vârf.

Simplexuri

S_{i}S_{j}\cos \angle A={\frac {(-1)^{(n-1+i+j))){2^{n-1}((n- 1)!)^{2))}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&\dots &1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&\dots &d_{1(n+1)} ^{2}\\1&d_{21}^{2}&0&d_{23}^{2}&\dots &d_{2(n+1)}^{2}\\1&d_{31}^{2}&d_{ 32}^{2}&0&\dots &d_{3(n+1)}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&d_{(n+1) 1}^{2}&d_{(n+1)2}^{2}&d_{(n+1)3}^{2}&\puncte &0\\\end{vmatrix}}

în același timp, trebuie să tăiem linia și coloana unde se află sau . $d_{ij}$ $d_{ji}$

A este unghiul dintre fețele și , este fața opusă vârfului i, este distanța dintre vârfurile i și j . $Si}$ $S_{j}$ $Si}$ $d_{ij}$

Vezi și

Note

↑ L. S. Atanasyan , V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev ș.a. Geometrie 7-9: manual. pentru învăţământul general instituții - ed. a XV-a. — M.: Iluminismul, 2005. — S. 257. — 384 p.: ill. — ISBN 5-09-014398-6
↑ 1 2 Korn G. A., Korn T. M. Manual de matematică pentru oameni de știință și ingineri . - M . : " Nauka ", 1974. - S. 51. - 832 p.
↑ Florian Cajori. O istorie a matematicii - ediția a 5-a 1991

Literatură

Ponarin Ya. P. Geometrie elementară. În 2 vol. - M. : MTSNMO , 2004. - S. 84-85. — ISBN 5-94057-170-0 .

Triunghi
Tipuri de triunghiuri	Dreptunghiular Isoscel Echilateral Isoscel dreptunghiular
Linii minunate într-un triunghi	Median Înălţime Bisectoare Midperpendicular linia de mijloc Cercuri circumscrise și înscrise Linia dreaptă a lui Simson linia lui Euler Simediana Cheviana
Puncte remarcabile ale triunghiului	Ortocentru Centroid În centru Punctul Brocard Vecten punct Point Gergonne Punctul Lemoine punctul Miquel punctul Nagel Napoleon arată Punctele lui Torricelli Centru cerc cu nouă puncte Centrul Spieker Enciclopedia centrelor triunghiulare
Teoreme de bază	inegalitatea triunghiulară Semne de asemănare ale triunghiurilor Rezolvarea triunghiurilor Teorema unghiului exterior al triunghiului Teorema sumei unghiurilor triunghiulare teorema lui Pitagora Teorema cosinusului Teorema sinusului Teorema proiecției Formula lui Heron
Teoreme suplimentare	teorema lui Van Obel Teorema lui Menelaus Teorema Reuschle (Terkema). teorema lui Stewart Teorema tangentei Teorema cotangentei teorema lui Ceva Formule Mollweide
Generalizări	triunghi sferic triunghi hiperbolic Simplex

Trigonometrie
General	Prezentare generală a trigonometriei Poveste Utilizare Funcții Verso Folosit rar Trigonometrie generalizată
Director	Identități Constante exacte Mese cerc unitar
Legi și teoreme	Teorema sinusului teorema lui Pitagora Teorema cosinusului Teorema tangentei Teorema cotangentei Rezolvarea triunghiurilor
Analiza matematică	Substituția trigonometrică Integrale ( funcții inverse ) Derivate