Teorema sumei unghiurilor triunghiulare

Teorema sumei triunghiulare este o teoremă clasică în geometria euclidiană .

Formulare

Suma unghiurilor unui triunghi din planul euclidian este 180 ° . [unu]

Dovada

Fie un triunghi arbitrar. Desenați o dreaptă prin vârful B paralelă cu dreapta AC . Marcați un punct D pe el, astfel încât punctele A și D să se afle pe laturile opuse ale dreptei BC . Unghiurile DBC și ACB sunt egale ca interior transversal, formate din secantele BC cu drepte paralele AC și BD . Prin urmare, suma unghiurilor triunghiului la vârfurile B și C este egală cu unghiul ABD . Suma tuturor celor trei unghiuri ale unui triunghi este egală cu suma unghiurilor ABD și BAC . Deoarece aceste unghiuri sunt interne unilaterale pentru paralele AC și BD la secante AB , suma lor este 180°. Q.E.D. $\Delta ABC$

Consecințele

Un triunghi nu poate avea două unghiuri obtuze sau două drepte, pentru că atunci suma unghiurilor ar fi mai mare de 180°. Din același motiv, un triunghi nu poate conține un unghi obtuz și un unghi drept în același timp.
Orice triunghi are cel puțin două unghiuri ascuțite. Într-adevăr, cazul în care triunghiul are un singur unghi ascuțit sau nici un unghi ascuțit contrazice corolarul anterior.
Într -un triunghi dreptunghic, ambele unghiuri de la ipotenuză sunt acute.
Într -un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt egale, deci numai unghiul opus bazei poate fi obtuz.
Într-un triunghi dreptunghic isoscel, unghiurile de la ipotenuză sunt (180° - 90°) / 2 = 45°.
Într -un triunghi echilateral , toate cele trei unghiuri coincid și, prin urmare, sunt egale cu 180° / 3 = 60°.
( Teorema unghiului exterior al triunghiului ) Unghiul exterior al unui triunghi este egal cu suma a două unghiuri interioare care nu sunt adiacente acestuia [2] .

Variații și generalizări

Poligoane

Generalizare pentru simplexe

Există o relație mai complexă între unghiurile diedrice ale unui simplex arbitrar . Și anume, dacă este unghiul dintre fețele i și j ale simplexului, atunci determinantul următoarei matrice (care este o circulară ) este egal cu 0: $L_{{ij}}$

{\begin{vmatrix}1&-\cos L_{12}&-\cos L_{13}&\dots &-\cos L_{1(n+1)}\\-\cos L_{21} &1&-\cos L_{23}&\dots &-\cos L_{2(n+1)}\\-\cos L_{31}&-\cos L_{32}&1&\dots &-\cos L_{ 3(n+1)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\\-\cos L_{(n+1)1}&-\cos L_{(n+1)2 }&-\cos L_{(n+1)3}&\dots &1\\\end{vmatrix}}=0

Aceasta rezultă din faptul că acest determinant este determinantul Gram al normalelor la fețele simplexului, în timp ce determinantul Gram al vectorilor dependenți liniar este 0, iar vectorii din spațiul -dimensional sunt întotdeauna dependenți liniar. $n+1$ $n$

În geometriile non-euclidiene

Dovada dată în acest articol se bazează pe o anumită proprietate a dreptelor paralele, și anume, afirmația că unghiurile interioare încrucișate ale dreptelor paralele sunt egale. Dovada acestei afirmații, la rândul său, folosește axioma de paralelism a geometriei euclidiene. Se poate demonstra că orice demonstrație a teoremei privind suma unghiurilor unui triunghi va folosi axioma paralelismului și invers - din afirmația că suma unghiurilor unui triunghi este 180°, se poate deriva axioma de paralelism dacă sunt date axiomele rămase ale geometriei clasice ( geometrie absolută ) [3] .

Astfel, egalitatea sumei unghiurilor unui triunghi de 180° este una dintre principalele caracteristici ale geometriei euclidiene, care o deosebește de cele non-euclidiene, în care axioma paralelismului nu este satisfăcută:

Pe o sferă, suma unghiurilor unui triunghi depășește întotdeauna 180 °, diferența se numește exces sferic și este proporțională cu aria triunghiului. Un triunghi sferic poate avea două sau chiar trei unghiuri drepte sau obtuze.

Exemplu. Un vârf al triunghiului de pe sferă este polul nord. Acest unghi poate fi de până la 180°. Celelalte două vârfuri se află pe ecuator, unghiurile corespunzătoare sunt de 90°.

În geometria Lobachevsky, suma unghiurilor unui triunghi este întotdeauna mai mică de 180° și poate fi arbitrar mică. Diferența este, de asemenea, proporțională cu aria triunghiului.

Note

↑ Geometrie conform lui Kiselev Arhivat la 1 martie 2021 la Wayback Machine , § 81.
↑ Matematică elementară, 1976 , p. 421.
↑ Lelon-Ferrand J. Foundations of Geometry. - M . : Mir, 1989. - S. 255-256. - 312 p. — ISBN 5-03-001008-4 .

Literatură

Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Matematică elementară. Repetă cursul. - Ediția a treia, stereotipă. — M .: Nauka, 1976. — 591 p.

Triunghi
Tipuri de triunghiuri	Dreptunghiular Isoscel Echilateral Isoscel dreptunghiular
Linii minunate într-un triunghi	Median Înălţime Bisectoare Midperpendicular linia de mijloc Cercuri circumscrise și înscrise Linia dreaptă a lui Simson linia lui Euler Simediana Cheviana
Puncte remarcabile ale triunghiului	Ortocentru Centroid În centru Punctul Brocard Vecten punct Point Gergonne Punctul Lemoine punctul Miquel punctul Nagel Napoleon arată Punctele lui Torricelli Centru cerc cu nouă puncte Centrul Spieker Enciclopedia centrelor triunghiulare
Teoreme de bază	inegalitatea triunghiulară Semne de asemănare ale triunghiurilor Rezolvarea triunghiurilor Teorema unghiului exterior al triunghiului Teorema sumei unghiurilor triunghiulare teorema lui Pitagora Teorema cosinusului Teorema sinusului Teorema proiecției Formula lui Heron
Teoreme suplimentare	teorema lui Van Obel Teorema lui Menelaus Teorema Reuschle (Terkema). teorema lui Stewart Teorema tangentei Teorema cotangentei teorema lui Ceva Formule Mollweide
Generalizări	triunghi sferic triunghi hiperbolic Simplex