Teorema sumei triunghiulare este o teoremă clasică în geometria euclidiană .
Suma unghiurilor unui triunghi din planul euclidian este 180 ° . [unu]
Fie un triunghi arbitrar. Desenați o dreaptă prin vârful B paralelă cu dreapta AC . Marcați un punct D pe el, astfel încât punctele A și D să se afle pe laturile opuse ale dreptei BC . Unghiurile DBC și ACB sunt egale ca interior transversal, formate din secantele BC cu drepte paralele AC și BD . Prin urmare, suma unghiurilor triunghiului la vârfurile B și C este egală cu unghiul ABD . Suma tuturor celor trei unghiuri ale unui triunghi este egală cu suma unghiurilor ABD și BAC . Deoarece aceste unghiuri sunt interne unilaterale pentru paralele AC și BD la secante AB , suma lor este 180°. Q.E.D.
Există o relație mai complexă între unghiurile diedrice ale unui simplex arbitrar . Și anume, dacă este unghiul dintre fețele i și j ale simplexului, atunci determinantul următoarei matrice (care este o circulară ) este egal cu 0:
.Aceasta rezultă din faptul că acest determinant este determinantul Gram al normalelor la fețele simplexului, în timp ce determinantul Gram al vectorilor dependenți liniar este 0, iar vectorii din spațiul -dimensional sunt întotdeauna dependenți liniar.
Dovada dată în acest articol se bazează pe o anumită proprietate a dreptelor paralele, și anume, afirmația că unghiurile interioare încrucișate ale dreptelor paralele sunt egale. Dovada acestei afirmații, la rândul său, folosește axioma de paralelism a geometriei euclidiene. Se poate demonstra că orice demonstrație a teoremei privind suma unghiurilor unui triunghi va folosi axioma paralelismului și invers - din afirmația că suma unghiurilor unui triunghi este 180°, se poate deriva axioma de paralelism dacă sunt date axiomele rămase ale geometriei clasice ( geometrie absolută ) [3] .
Astfel, egalitatea sumei unghiurilor unui triunghi de 180° este una dintre principalele caracteristici ale geometriei euclidiene, care o deosebește de cele non-euclidiene, în care axioma paralelismului nu este satisfăcută:
Triunghi | |
---|---|
Tipuri de triunghiuri | |
Linii minunate într-un triunghi | |
Puncte remarcabile ale triunghiului | |
Teoreme de bază | |
Teoreme suplimentare | |
Generalizări |