Ecuația Landau-Lifshitz (magnetism)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 31 decembrie 2019; verificările necesită 2 modificări .

Ecuația Landau-Lifshitz este o ecuație care descrie mișcarea de magnetizare în aproximarea modelului continuum în solide . Introdus pentru prima dată de L. D. Landau și E. M. Lifshitz în 1935 .

Formulare

Pentru un mediu nedisipator și în absența unui curent polarizat de spin, ecuația Landau-Lifshitz este de obicei scrisă ca

\frac{\partial \mathbf M}{\partial t} = - |\gamma| [\mathbf M \times \mathbf H^{\mathrm{eff}}],\qquad (1)

unde este densitatea momentului magnetic (magnetizarea), este o constantă fenomenologică, este așa-numitul câmp magnetic efectiv. $\mathbf M\equiv \mathbf M(\mathbf r, t)$ $\gamma$ $\mathbf H^{\mathrm{eff}}\equiv \mathbf H^{\mathrm{eff}}(\mathbf r, t)$

Ecuația este utilizată în principal pentru fero- și ferimagneți . În cazul general, constanta nu coincide cu raportul giromagnetic și, în cadrul teoriei fenomenologice, trebuie considerată ca o mărime determinată din experiment. Diferența lor se datorează contribuției momentelor orbitale . Prin urmare, cu condiția ca ionii magnetici să fie în starea - (adică să nu existe momente orbitale), acesta poate fi considerat egal cu raportul giromagnetic cu un grad ridicat de precizie [1] . Acest lucru se face pentru CdCr2Se4 , ytriu fier granat Y3Fe5O12 , permaloy Fe 20 + x Ni 80 - x și majoritatea altor materiale fero- și ferimagnetice. $\gamma$ $S$ $\gamma$

Câmpul magnetic efectiv este definit ca derivata variațională a energiei libere în raport cu momentul magnetic [2]

\mathbf H^{\mathrm{eff))(\mathbf r, t) = -\frac{\delta F}{\delta \mathbf M}.\qquad (2)

În cazul în care un magnet este considerat departe de temperatura Curie sau la temperatura zero, atunci energia liberă este egală cu energia internă . $F$ $E$

În formularea (1), lungimea vectorului de magnetizare este conservată. Acest lucru poate fi demonstrat cu ușurință înmulțind ambele părți ale lui (1) scalar cu , ceea ce dă $\mathbf {M}$

\frac{\partial \mathbf M^2}{\partial t} = 0.\qquad (3)

Acest fapt dă motive să vorbim despre precesia magnetizării.

O derivare riguroasă a ecuației de mișcare a magnetizării în aproximarea continuum este imposibilă [3] , prin urmare, se postulează adesea posibilitatea unei tranziții formale de la ecuația de mișcare a operatorului de spin . ${\mathbf S}_{n}$

i\hbar\frac{\partial \mathbf S_n}{\partial t} = [\mathcal H, \mathbf S_n],\qquad (4)

la ecuația (1) prin înlocuirea și extinderea câmpului de magnetizare în apropierea punctului dintr-o serie Taylor [4] . Aici este comutatorul , este Hamiltonianul , este operatorul de spin pentru al n-lea loc al rețelei și este vectorul său cu rază, este constanta rețelei , este magnetonul Bohr . $\mathbf S_n\to -\frac{a^3}{2\mu_B}\mathbf M(\mathbf r_n)$ $\mathbf M(\mathbf r_{n+n_0})$ $\mathbf r_n$ $[\bullet,\bullet]$ $\mathcal H$ ${\mathbf S}_{n}$ $\mathbf r_n$ $A$ $\mu _{B}$

Modificări

Luarea în considerare a disipării, a efectului temperaturii sau a curenților polarizați de spin necesită o modificare a ecuației inițiale (1), care de obicei se reduce la apariția unor termeni suplimentari în partea dreaptă a lui (1). Termenii de relaxare pot avea dimensiuni diferite și un număr diferit de parametri. Dar pentru o descriere aproximativă a proceselor în feromagneți cu o disipare mică, se poate folosi o ecuație în oricare dintre următoarele forme [5] . Fiecare dintre ele poate fi convertit unul în altul.

Termen de relaxare în forma Landau-Lifshitz

Landau și Lifshitz au propus [6] următoarea modificare:

\frac{\partial \mathbf M}{\partial t} = - |\gamma| [\mathbf M \times \mathbf H^{\mathrm{eff}}] - \frac{|\gamma|\lambda}{M^2}\left[\mathbf M \times [\mathbf M \times \mathbf H^{\mathrm{eff}}]\dreapta],\qquad (5)

unde este parametrul de disipare. Uneori valoarea este luată ca parametru de disipare . $\lambda$ $\lambda_1=|\gamma|\lambda$

Ecuația Landau-Lifshitz-Hilbert

Termenul de relaxare Hilbert este adesea folosit:

\frac{\partial \mathbf M}{\partial t} = - |\gamma| [\mathbf M \times \mathbf H^{\mathrm{eff}}] + \frac{\alpha}{M}\left[\mathbf M \times \frac{\partial \mathbf M}{\partial t} \dreapta],\qquad (6)

unde este parametrul de disipare. O tranziție formală între ecuațiile (5) și (6) se poate face prin înlocuire $\alfa$

\gamma\la \frac{\gamma}{1+\alpha^2},\quad \lambda\la \frac{\alpha M}{1+\alpha^2}.\qquad (7)

În legătură cu valoarea negativă a raportului giromagnetic, există definiții ale parametrilor de relaxare cu semne opuse în (5) și (6) [7] .

Ecuația Bloch-Blomergen

Un exemplu de ecuație cu disipare care permite o modificare a lungimii vectorului de magnetizare este ecuația Bloch modificată sau ecuația Bloch- Blomergen :

\frac{\partial \mathbf M}{\partial t} = -|\gamma|[\mathbf M\times \mathbf H^{\mathrm{eff))] - \omega_r(\mathbf M - \chi_0 \mathbf H^{\mathrm{eff)))\qquad (8)

unde este așa-numita susceptibilitate statică, definită ca raportul dintre magnetizarea de saturație și valoarea absolută a câmpului efectiv și este frecvența de relaxare. $\chi_0$ $\omega_r$

Influența curentului polarizat de spin

Curentul polarizat de spin este de obicei descris printr-un termen suplimentar în partea dreaptă a (1) a formei . Una dintre abordările pentru specificația sa [8] este extinderea vectorului de -a lungul axelor direcționate de-a lungul , și . Iată vectorul unitar de-a lungul magnetizării stratului de referință. Presupunând că lungimea vectorului de magnetizare nu se modifică, prima proiecție va fi egală cu zero, iar celelalte două $|\gamma|\mathbf T$ $|\gamma|\mathbf T$ $\mathbf {M}$ $[\mathbf M\times \mathbf m_{\mathrm{ref}}]$ $\mathbf M \times [\mathbf M\times \mathbf m_{\mathrm{ref))]$ $\mathbf m_{\mathrm{ref}}$

\mathbf T_{\parallel} = - \frac{|\gamma|a_J}{M_s}\mathbf M \times [\mathbf M\times \mathbf m_{\mathrm{ref))],\quad \mathbf T_{ \perp} = |\gamma|b_J[\mathbf M\times \mathbf m_{\mathrm{ref}}],\qquad (9)

unde coeficienții și sunt proporționali cu densitatea de curent, în funcție de parametrii structurii polarizante și de unghiul dintre și . $a_J$ $B j$ $\mathbf {M}$ $\mathbf m_{\mathrm{ref}}$

Alte forme de scriere

Pentru analiza analitică, cel mai adesea ecuația Landau-Lifshitz este scrisă în variabilele unghiulare ale sistemului de coordonate sferice și . În acest caz, vectorul de magnetizare poate fi reprezentat ca $\theta$ $\phi$

M_{x}+iM_{y}=M_{s}\sin \theta e^{i\phi},\quad M_{z}=M_{s}\cos \theta,

unde este magnetizarea de saturație. Pentru a trece în (6) la variabilele unghiulare, înmulțim ecuația cu variația magnetizării , exprimând în variabilele unghiulare proiecția laturii stângi pe axa aplicată. Mai mult, scriind variațiile de energie și magnetizare în termeni de variații de unghi, obținem $Domnișoară$ $\delta \mathbf M$

\sin\theta \frac{\partial \theta}{\partial t} = -\frac{|\gamma|}{M_s} \dfrac{\delta E}{\delta \phi},\quad \sin\theta \frac{\partial \phi}{\partial t} = \frac{|\gamma|}{M_s} \dfrac{\delta E}{\delta \theta}.\qquad (10)

Obținerea ecuațiilor în variabile unghiulare care conțin termeni suplimentari se face într-un mod similar. Deci, pentru a scrie în forma Landau-Lifshitz-Hilbert, avem

\sin\theta \frac{\partial \theta}{\partial t} = -\frac{|\gamma|}{M_s} \dfrac{\delta E}{\delta \phi} - \alpha\sin^2 \theta \frac{\partial \phi}{\partial t},\quad \sin\theta \frac{\partial \phi}{\partial t} = \frac{|\gamma|}{M_s} \dfrac{ \delta E}{\delta \theta} + \alpha \frac{\partial \theta}{\partial t}.\qquad (11)

Vezi și

Note

↑ Gurevich A. G., Melkov G. A. Oscilații magnetice și unde. M .: Fizmatlit, 1994. - 464 p., - ISBN 5-02-014366-9 la p. 17.
↑ Skrotsky, G.V. Încă o dată despre ecuația Landau-Lifshitz. UFN Arhivat pe 30 aprilie 2011 la Wayback Machine
↑ Mai detaliat, această problemă a fost luată în considerare, de exemplu, în Akhiezer A.I., Baryakhtar V.G. Peletminsky S.V. Spin waves., M .: Nauka, 1967, - 368 p. la p. 44 și Herring C., Kittel C, Despre teoria undelor de spin în medii feromagnetice. — Fiz. Rev., 1951, 81 nr. 5, p. 869-880.
↑ În acest caz, ele sunt de obicei limitate la termeni de ordinul doi de micime, deoarece în cazul în care fiecare nod al rețelei este centrul său de simetrie, termenul care conține derivata întâi față de coordonată dispare.
↑ Gurevich A. G., Melkov G. A. Oscilații magnetice și unde. M .: Fizmatlit, 1994. - 464 p., - ISBN 5-02-014366-9 la pagina 27.
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. Despre teoria dispersiei permeabilității magnetice a corpurilor feromagnetice // Landau L. D. Lucrări colectate în 2 volume Ed. E. M. Lifshitz. M.: Nauka, 1969. T. 1. S. 128
↑ Hubert, Alex; Rudolf Schafer. Domenii magnetice: analiza microstructurilor magnetice . - Springer, 1998. - P. 557. - ISBN 3540641084 . Arhivat pe 20 august 2021 la Wayback Machine la pagina 151.
↑ Zvezdin A.K., et al. Ecuația generalizată Landau-Lifshitz și procesele de transfer de impuls de spin în nanostructurile magnetice . [UFN, 178, p. 436–442 (2008) [1] Arhivat la 13 aprilie 2010 la Wayback Machine

Literatură

Akhiezer, A. I., Baryakhtar, V. G. Peletminsky, S. V. Spin waves., M .: Nauka, 1967, - 368 p.
Gurevich, A. G., Melkov, G. A. Oscilații și unde magnetice. M.: Fizmatlit, 1994. - 464 p., ISBN 5-02-014366-9 .
Zavislyak, I. V., Tychinsky, A. V., Fundamentele fizice ale microelectronicii funcționale. K .: UMK VO, 1989, - 105. p.
Zvezdin, A. K., Zvezdin, K. A., Khvalkovskiy, A. V. Ecuația generalizată Landau-Lifshitz și procesele de transfer de impuls de spin în nanostructurile magnetice. UFN, 178 436–442, (2008) https://dx.doi.org/10.3367/UFNr.0178.200804i.0436
Landau, L. D., Lifshitz, E. M. Despre teoria dispersiei permeabilității magnetice a corpurilor feromagnetice. Fiz. Zs. Sowjet., 1935, 8, p. 153-169.
Skrotsky, G. V. Încă o dată despre ecuația Landau-Lifshitz. UFN
Gilbert, T. O teorie fenomenologică a amortizarii în materiale feromagnetice. IEEE Transactions on Magnetics, 2004, 40, pp. 3443-3449. https://dx.doi.org/10.1109/TMAG.2004.836740
Hubert, Alex; Rudolf Schafer. Domenii magnetice: analiza microstructurilor magnetice . - Springer, 1998. - P. 557. - ISBN 3540641084 .

Link -uri

OOMMF - Cadrul Micromagnetic orientat pe obiecte este un pachet software gratuit pentru modelarea micromagnetică scris în C++ și Tcl / Tk .
domenii feromagnetice

Fizică matematică

Tipuri de ecuații

Condiții de frontieră

Ecuații ale fizicii matematice

Difuzie și convecție	Ecuația căldurii Ecuația de difuzie Ecuația Mason-Weaver
Hidrodinamică	Ecuația de transfer Ecuații Navier-Stokes Ecuația lui Euler Ecuația Gromeka-Lamb Ecuația vortexului Ecuația burgerii Ecuații pentru apă puțin adâncă Ecuația Korteweg-de Vries
Electromagnetism	Ecuațiile lui Maxwell Ecuația Helmholtz Ecuația Landau-Lifshitz Ecuația Poisson ecranată
Mecanica cuantică	Ecuația Schrödinger Ecuația Heisenberg Ecuația Rarita-Schwinger Ecuația lui Hartree Ecuația lui Dirac Ecuația Klein-Gordon
Modele generale	Ecuația de continuitate ecuația de undă Ecuația Fokker-Planck Ecuația Poisson

Metode de rezolvare

Metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale

Metode grilă

Metode cu elemente finite	Metoda elementului finit metoda Galerkin Metoda Galerkin discontinuă Metoda cu elemente finite la scară multiplă Metoda multigrid
Alte Metode	Metoda diferențelor finite Metoda volumului finit metoda lui Godunov Metoda elementului de limită

Metode non-grilă

Studiul ecuațiilor

subiecte asemănătoare